Đề tài Khuếch tán và làm chậm Neutron

Đề tài Khuếch tán và làm chậm Neutron

KHUÉCH TÁN VÀ LÀM CHẬM

NEUTRON

Tham khảo chính: Chương 5, J Lamarsh

“Introduction to Nuclear Engineering”

> Điều kiện biên

> Các nghiệm của phương trình khuếch tán

> Độ dài khuếch tán

> Phương pháp khuếch tán nhóm

> Khuéch tan neutron nhiệt

> Tinh toan lam cham neutron hai nhóm

Mở đầu

Dé thiét kế một lò phản ứng hat nhân một cách đúng đắn cần phải tiên đoán neutron phân bố như thế nào trong hệ thống

Đây là một bài toán khó do lộ trình của các neutron là rất phức tạp do kết quả của các va chạm hạt nhân liên tiếp Một trong các phép gần đúng là coi neutron ' 'khuếch tán” (diffusion) như là một chất khí trong một chất khí khác Phan bé neutron cé thé tim được bằng cách giải

phương trình khuếch tán

Cách làm này gọi là gần đúng khuéch tán và hiện nay

vân còn được dùng rộng rãi.

Thông lượng neutron (1)

Số va chạm trên mỗi cm3/s khi một chùm neutron di

Thông lượng neutron (2)

Dễ dàng mở rộng kết quả này cho các neutron có một phân bô năng lượng

F= [ >,()n(E)v(E)4E = [ ˆ> (E)6(E)dE

trong đó, ó(E) = n(E)v(E)

là thông lượng phụ thuộc năng lượng (energy-

dependent flux or flux per unit energy)

Phương trình trên là tốc độ tương tác tổng Tốc độ

tương tác từng phân (tan xa, hap thụ) có thê xác định bằng các biêu thức tương tự

F, = [_>,(E)6(E)dE F, = [ˆ®,(E)0()4E

Định luật Fick (1)

Lý thuyết khuếch tán dựa trên định luật Fick mà ban đầu được dùng cho khuếch tán hóa học: Một chất tan khuếch tán từ vùng có nồng độ cao hơn tới vùng có nồng độ thấp hơn; Lưu lượng chất tan

tỷ lệ với gradient âm của nồng độ chất tan

Cách di chuyển của các neutron cũng giống như

cách của chất tan trong dung dịch

Định luật Fick (2)

Giả sử thông lượng neutron biến đổi dọc theo trục

x như trong hình vẽ Định luật Fick được việt như

sau

đó

J, là số neutron thực đi qua

trên mỗi đơn vị thời gian

qua mỗi đơn vị diện tích

vuông góc với hướng x

(neutrons/cm2.s); D là hệ só

khuếch tán (diffusion

coefficient) [cm]

Định luật Fick (4)

Trong không gian 3 chiều và các neutron đơn năng

J=-Dgrad¢=-DV¢

Định nghĩa toán tử gradient

, dy |

ở Ì r5

Số hạt đi qua bề mặt theo hướng n trong mỗi đơn

vi thoi gian trên mỗi đơn vị diện tích (Dòng pháp tuyén-normal current)

Jn=J,

Định luật Fick (6)

Lưu ý: Định luật Fick không phải là mối quan hệ

chính xác Nó không có hiệu lực trong một sô

Phương trình liên tục (1)

Đề ý một thể tích V bắt kì trong một môi trường

chứa neutron Theo thời gian số neutron trong V

có thể thay đổi Phương trình liên tục (equation of

continuity) biéu dién sy bao toan neutron:

the number | = production| - absorption| - leakage

of neutrons in volume in volume from V

in a small V V

volume V

Phương trình liên tục (2)

> Goi ø là mật độ neutron tại tại một điểm và thời

điểm nào đó trong ƒ Tóc độ thay déi (the rate of

change) sô neutron là

hay The rate ofchange — | “— dƑ

Phương trình liên tục (3)

> Goi s là tốc độ phát ra neutron từ nguồn trong mỗi cm3 trong Ƒ Tốc độ neutron sinh ra trong toàn bộ thể

tích được cho bởi

Production rate = [sa V

> Tốc độ mắt neutron do hấp thụ trong mỗi cm%/s: 3ý Trong toàn bộ thể tích V tông số neutron mắt đi

trong mỗi giây do hấp thụ là

Absorpfionrate = i 301V

Phương trình liên tục (4)

> Để ý dòng neutron di vao va di ra khdoi V Néu J la

vector mật độ dòng neutron trên bề mặt của 7 và n là

vector pháp tuyến hướng ra ngoài từ bề mặt Số

neutron thực (net) đi qua bề mặt ra ngoài trên mỗi

Phương trình liên tục (6)

Sử dụng những kết quả trên đây chúng ta thu được

phương trình liên tục như sau:

I Say = [sav — [š — [aivJar

on = 5-5 p-divJ Dạng tổng quát

Ot

Néu mat d6 neutron không phụ thuộc thời gian thì

phương trình liên tục ở trạng thái dừng (sfeady-

state equation of continuity) sé la:

divJ +E, g-s =0

equafion) phụ thuộc thời gian:

ôn (voi neutron đơn năng DV”ø— ,+s=— và hệ số khuếch tán là

hằng sé)

V7 =div grad is called Laplacian

Phương trình khuếch tán - laplacian (2)

Các điều kiện biên (1)

Thông lượng neutron có thể thu được bằng cách

giải phương trình khuếch tán Trước khi giải

phương trình khuếch tán cần phải chỉ rõ các điều kiện bién (boundary conditions) ma nghiém cua

phương trình phải thỏa mãn

Điều kiện biên (2)

> Thông lượng neutron phải fhực, không âm và hữu hạn

> Neutron không trở lại từ bề mặt tự do (chân không)

Diffusion Vacuum or air

Độ dài ngoại suy (7) theory

fl

d=2,13D

Diffusing medium

Thực nghiệm cho thấy các vật liệu không phải d

là khí thì D<1cm nên thực tế có thê giả thiết

thông lượng triệt tiêu ở bê mặt thật của hệ

Điều kiện biên (3)

> Thông lượng và dòng neutron là /iên fục tại bề mặt

giữa hai môi trường khác nhau (ví dụ như vùng hoạt

và vành phản xạ)

Ó, = ob, (J), =(J5),

Các điều kiện biên này đôi khi được gọi là interface

boundary conditions

> Tinh déi xteng

Nghiệm của phương trình khuếch tán (1)

han phat ra S neutrons trong

khuéch tan vé han

Điều kiện biên: fhông lượng là

hữu hạn khi x tiễn đến vô cùng

Nghiệm của phương trình khuếch tán (2)

Nguồn tắm phẳng vô hạn (ft)

4 và C là hằng số được xác định nhờ các điều kiện

biên: C=0 đề thông lượng hữu hạn khi x tiên đên vô cùng, nên

Nghiệm của phương trình khuếch tán (3)

Do tính đối xứng của bài toán,

thông lượng phải giỗng nhau

Nghiệm của phương trình khuếch tán (4)

Nguồn điểm

Xét nguồn điểm phát S n/s đẳng hướng trong môi

trường vô hạn Với Laplacian trong trục tọa độ câu,

phương trình khuêch tán trở thành,

ids, al, =0 (tair khac zero)

r- dr dr LV

Số neutron thực đi qua bề mặt một hình cầu nhỏ ban

kính z bao quanh nguôn trong một đơn vị thời gian là

Amr? J(r)

‘ S LÀ LAI À

IimrJ)==— (điều kiện nguồn)

Nghiệm của phương trình khuếch tán (5)

Nghiệm của phương trình khuếch tán (6)

Nguồn điểm (tt)

Vì thông lượng phải là hữu hạn khi z tiền đến vô

cùng, ŒC phải bằng không Hằng sô 41 thu được từ

điêu kiện nguôn

Nghiệm của phương trình khuếch tán (7)

Tám trần

Khảo sát một tam vô han có độ dày 2a có một nguồn

tắm phẳng vô hạn ở trung tâm phát ra S n⁄cm2.s Điều kiện biên:

g(a + a) — Ae alt + Ce ait =0

Solutions of the diffusion equation (8)

Nghiệm của phương trình khuếch tán (9)

Nghiệm của phương trình khuếch tán (10)

Bài toán nhiều vùng (multi-region)

Xét một tắm vô hạn như vừa rồi nhưng được bao bọc bởi một môi trường khác dày vô hạn

"

'

1 '

1

Source, S feutrons/m?-s

physical interface

Region 2

K— a2 ->K— a2 >

1

Nghiệm của phương trình khuếch tán (11)

Bài toán nhiều vùng (tt)

Ta có phương trình khuếch tán cho các vùng

2 lim J(x)= Š (source condition)

3 ý,(Œa/2) =ø,(+a/2) continuity of the flux at the interface

n6 =D, sp,4Ẻ continuity of current at the interface

x=ta/2

x=ta/2

Nghiệm của phương trình khuếch tán (12)

Bài toán nhiều vùng (tt)

1

1

Nghiệm của phương trình khuếch tán (13)

Bài toán nhiều vùng (tt)

Độ dài khuếch tán (1)

Đề xem xét ý nghĩa vật lý của độ dài khuếch tán chúng

ta khảo sát một nguôn điêm đơn năng phát ra 5 n/s

trong một môi trường làm chậm đông nhất vô hạn

Hành trình của một neutron trong một môi trường

Độ dài khuếch tán (2)

Se!" 4zDr

Biểu thức thông lượng từ một nguồn điểm, ¢ =

L đặc trưng cho sự suy giảm thông lượng

Gọi dn la sé neutron bi hap thu trong khoang r va r+dr

dn =X ,o(r)dV

dW = Amr’ de ⁄

Sx

dn =—“ re" dr = 2m dr

Độ dài khuếch tán (3)

Xác suất để một neutron từ nguồn bị hấp thụ trong

Trung bình bình phương khoảng cách từ nguồn đến

diém ma tại đó một neutron bi hap thụ có thê thu

được băng cách lây trung bình z theo phân bô xác

Phương pháp khuếch tán nhóm (1)

" Chúng ta vừa giải phương trình khuếch tán cho một

số trường hợp đặc biệt với giả thiệt neutron khuêch

D,_ là hệ số khuếch tán nhóm được cho bởi

D, = 5 | DUE (Ea = | 9()4E

3 là tiết diện vận chuyển, và s„ là t6ng sé neutron phát ra trong mỗi cm3/s vào trong nhóm

Khuéch tan neutron nhiệt (1)

Phân bố năng lượng của neutron nhiệt được cho

Khuéch tan neutron nhiệt (2)

Kí hiệu thông lượng neutron nhiệt một nhóm là ¢,

ó; = | 6(E)dE

Kí hiệu 7 có nghĩa là tích phân được lấy trên vùng năng lượng nhiệt thường cho đên khoang SAT (= 0.1 eV) nhưng do trên năng lượng này thông lượng giảm rất nhanh nên có thể lấy tích phân đến vô cùng

Ú; (2) [ Ee EIKT UE;

Ja \ m

Khuéch tan neutron nhiệt (3)

Sẽ rất thuận tiện nêu thay E,=kT va 2tr =E,

Giá trị của E„ và v; có thể được tính từ các công thức

sau

E„ =8,6177 x10 eV

Khuéch tan neutron nhiệt (4)

Quan hệ giữa ¢, và thông lượng tại 2200 m/s ø; = mvạ

có thê tìm được bằng cach chia ¢, cho ¢,

Về ý nghĩa vật lý thi ¢, la tat cả thông lượng neutron

nhiệt gộp lại bằng cách tính tích phân phân bó

Maxwell trong khi ớ; là giả-thông lượng được tính

bằng cách giả thiết tắt cả các neutron nhiệt chỉ có một

năng lượng

Khuéch tan neutron nhiệt (5)

Hệ số khuếch tán trong tính toán một nhóm khuếch

tán neutron nhiệt được kí hiệu là

Tích phân là tốc độ hap thụ toàn phần và bằng

s,Œ)>„(Chọ)ó, voi g,(T) b/s non-1/v hay h/s Westcott

X, = 84(T)Z, (Ey) by /¢r

=5 8a (T)z, (Ey (2)

Khuéch tan neutron nhiệt (6)

Các thông số khuếch tan neutron nhiệt của các chat

Khuéch tan neutron nhiệt (7)

Với thông lượng nhiệt đã được định nghĩa và các

tham số (hệ số khuếch tán, tiết diện hấp thụ),

phương trình khuếch tán một nhóm đối với neutron

nhiệt có thể được viết như sau

DV’ $, — >,Ú; — Sr

2

Vv Pr — = = =5

12 =-+` _ là diện tích khuếch tán nhiệt

À, (thermal diffusion area);

L, la độ dài khuếch tán nhiệt

(thermal diffusion length)

Tính toán làm chậm neutron hai nhóm (1)

Trong một số tính toán lò, ít nhất hai nhóm neutron

phải được sử dụng để thu được kết quả đủ chính

xác

Một nhóm mô tả neutron nhiệt còn nhóm nhanh gồm

tat ca cac neutron có năng lượng trên năng lượng

nhiệt

Khảo sát một bài toán tính thông lượng hai nhóm như

là một hàm của khoảng cách từ một nguồn điểm phát

ra S neutron phân hạch (neutron nhanh) trong mỗi

giây trong một môi trường làm chậm đồng nhất vô

hạn

Tính toán làm chậm neutron hai nhóm (2)

Nhớ lại phương trình khuếch tán nhóm tổng quát

Tính toán làm chậm neutron hai nhóm (3)

Để tìm ø; từ phương trình khuếch tán nhiệt, đầu tiên

cần giải phương trình khuếch tán nhanh để có ¢,

Dùng laplacian của tọa độ cầu

Ví dụ 5.1 (1)

Bài toán: Một tắm vô hạn dày 2a có một nguồn tắm phẳng vô hạn tại

trung tâm phát ra S neutrons trên mỗi cm2/s (a) Tìm một biểu thức cho số neutron thoát ra trong một giây từ 1cm? trên hai mặt của tắm;

(b) Hỏi xác suất để một neutron từ nguồn thoát ra khỏi tắm?

Do déi xứng neutron thoát ra hai mặt là

cosh(d/L) eee - [ans]

cosh|(a + d)/L]

2J(a) = §

Ví dụ 5.1 (2)

b) Xác suất để một neutron nguồn thoát khỏi tắm bằng số neutron

thoát trên mỗi cm2/s chia cho s6 neutron phát ra trên mỗi cm^/s từ nguôn

2J(a) _ cosh(đ/L)

$ — cosh(a+đ)/L]

Ví dụ 5.2 (1)

Bài toán: Một nguồn điểm phát ra 107 neutron nhiệt trong mỗi giây được đặt trong một vật thể vô hạn chứa nước mật độ đơn vị tại nhiệt độ phòng Hỏi thông lượng neutron nhiệt cách nguồn 15cm?

Chicago Pile 1