Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực duy nhất.. Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn.. Gọi C′ là trung điểm của cạnh SC.. Tính thể tích khối của chóp S.AB′
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KỲ SỐ 07
PHẦN I (Chung cho tất cả các thí sinh)
y=x + mx + m− x+ (1) (m là tham số thực)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0
2 Cho điểm M(3; 1) và đường thẳng ∆: y= − + Tìm các giá trị của m để đường thẳng ∆ cắt đồ thị x 2 hàm số (1) tại 3 điểm A(0; 2); B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 2 6
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng ∆ là:
( )
2
= ⇒ =
Đường thẳng ∆ cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A(0; 2), B, C
⇔ Phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x ≠ 0
( )
2 1;
3
m
>
′
Chiều cao ∆MBC: h = d(M; (∆)) = 3 1 2 2
2
BC
h
Vì xB, xC là hai nghiệm phương trình g(x) = 0 và B, C ∈ ∆ nên:
2
1
m
⇔ = − (loại) hoặc m = 4 (thỏa mãn)
Câu II 1 Giải phương trình sin sin 2 cos sin 22 1 2 cos2( )
4
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho tương đương với
2
2
π
2
k
x= ⇔ =x π k∈ ℤ
sinx−cos sin 2x x− = ⇔1 0 sinx− −1 2 cos xsinx= ⇔0 sinx−1 1 2 sin+ x+2 sin x = 0
(1 2 sinx 2 sin2x) 0
2
2
x π kπ k
Trang 22 Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực duy nhất
Hướng dẫn giải:
Do hệ đối xứng nên nếu (x; y) là một nghiệm của hệ thì (y; x) cũng là một nghiệm của hệ Do đó để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì x = y
Thay x = y = 1 vào phương trình (2) ⇒ m = 2
Khi m = 2 thì hệ trở thành ( )( )
2
x y
( )
2 2
0
0 1
1
x y
x y
x y xy x y
xy
+ ≥
1
x y xy
+ =
Dễ thấy hệ có ba nghiệm (1; -1); (-1; 1) và (1; 1)
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn
Câu III
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (a > 0) Góc ABC bằng 120o
, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi C′ là trung điểm của cạnh SC Mặt phẳng (α) đi qua AC′ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B′, D′ Tính thể tích khối của chóp S.AB′C′D′
Hướng dẫn giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD;
I là giao điểm của SO và AC′
Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng
song song BD cắt SB, SD lần lượt tại B′ và D′
Từ BD ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ AC′
2
AC=a ⇒SC= a⇒AC′= SC= a
Do I là trọng tâm của ∆SAC
2 2
a
B D′ ′ BD
2
AB C D
a
S ′ ′ ′= AC N D′ ′ ′=
Từ B′D′ ⊥ (SAC) ⇒ (AB′C′D′) ⊥ (SAC′) Vậy đường cao h của hình chóp S.AB′C′D′ chính alf đường
cao của tam giác đều SAC′ ⇒ 3
2
a
h =
Vậy
3
3
1
S AB C D AB C D
a
V ′ ′ ′= h S ′ ′ ′= (đvtt)
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(-1; 0; 2), mặt phẳng (P): 2x− − + = và y z 3 0
y
x− = − = z−
Viết phương trình đường thẳng (d′) đi qua điểm A, cắt (d) tại B và
cắt (P) tại C sao cho AC+2AB=0
S
A
a D′
D
I
B′
C′
C
B
a
O 2a
Trang 3Hướng dẫn giải:
Gọi M là giao điểm của (d) và (P)
Phương trình tham số của (d) là:
3
2 4 6
= +
= +
Thay vào (P) ta có: 6 4− m− −2 4m− − + = ⇔6 m 3 0 m= 1
Vậy M(5; 6; 7)
Kẻ đường thẳng (d1) đi qua A và // (D) Gọi N là giao điểm của (d1) và (P) ta có:
1
1 2
2
= − +
= +
Thay vào (P) ta được 2 4− + t−4t− − + = ⇔ = − 2 t 3 0 t 1
Vậy N(-3, -4, 1)
Gọi C là điểm trên (P) sao cho NC+2NM= ⇒0 C(−19;−24; 11− )
Đường CA cắt (d) tại B thỏa mãn yêu cầu Vậy (d′) là đường thẳng qua A và C có phương trình:
y
x+ = = z−
Câu IV
1 Cho số phức z= +x yi x y; , ∈ ℤ thỏa mãn 3
18 26
T = z− + −z
Hướng dẫn giải:
x xy
x y y
Do x = y = 0 không là nghiệm hệ, đặt y = tx
( )
2
x t t
3
t = thì x = 3 và y = 1, thỏa mãn x, y ∈ Z
Khi 2
3t −12t−13= thì x, y ∉ ℤ Vậy số phức cần tìm là: z = 3 + i 0
Vậy ( )2009 ( )2009 ( )2009 ( )2009 1004( ) 1004( ) 1005
2 Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn z+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y z 3
P
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết 0≤x y z, , ≤ suy ra 3 4 2 ln 1+ ( +x)− >y 0; 4 2 ln 1+ ( +y)− > và z 0
4 2 ln 1+ +z − > Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: x 0
P
≥
Xét hàm số f t( )=2 ln 1( + −t) t t, ∈[ ]0;3 , có ( ) 1
1
t
f t
t
−
+
M
N
C
A
d1
d′ B
P
Trang 4Lập bảng biến thiên hàm f(t), với t ∈[0; 3] suy ra 0≤ f t( )≤2 ln 2 1−
Do đó P≥12 f x( ) 9f y( ) f z( )≥3 2 ln 23
+
3 2 ln 2
P = + , khi x = y = z = 1
PHẦN 2 (thí sinh làm một trong hai câu)
Câu Va
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
3
x+y = , x+ − = y 1 0
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường x= −3 y2 và x= − là: 1 y
3−y = − ⇔1 y y − − = ⇔ = − hoặc y = 2 y 2 0 y 1
1
9
−
2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cố định A nằm trên đường thẳng (∆):
2x−3y+14= , cạnh BC song song với ∆, đường cao CH có phương trình: 0 x−2y− = Biết trung 1 0 điểm của cạnh AB là M(-3; 0) Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C
Hướng dẫn giải:
Vì AB ⊥ CH nên AB có phương trình: 2x+ + = y c 0
Do M(-3; 0) ∈ AB nên c = 6 Vậy phương trình AB là: 2x+ + = y 6 0
Do A ∈ ∆ nên tọa độ A là nghiệm của hệ: 2 3 14 0 ( 4; 2)
x y
A
x y
Vì M(-3; 0) là trung điểm AB nên B(-2; -2)
Cạnh BC // ∆ và đi qua B nên BC có phương trình: 2(x+2)−3(y+2)= ⇔0 2x−3y− = Vậy tọa độ 2 0
C là nghiệm của hệ 2 3 2 0 ( )1; 0
x y
C
x y
⇒
Câu Vb
1 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y=x2; y= 2−x2 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:
x = −x ⇔x +x − = ⇔ = − hoặc x = 1 x
Khi x ∈ −[ 1; 1] thì 2−x2 ≥x2 và đồ thị các hàm y=x2 và y= 2−x2 cùng nằm phía trên trục Ox
1 1
44
x x
−
−
2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho điểm I(-1; 3) Viết phương trình đường tròn có tâm I và cắt
đường thẳng 3x−4y+10= tại hai điểm A, B sao cho AIB bằng 1200 o
Trang 5
Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng (d): 3x−4y+10= , khi đó: 0
( )
5
IH =d I d = − − + =
cos 60
IH = Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: ( )2 ( )2
x+ + y− =
Nguồn: Hocmai.vn
