Slide Financial mathematics

Financial Mathematics Banking Faculty Mathematics of Finance Chapter 1 Interest Doctor Nguyen Ngoc Anh Banking Faculty Banking Faculty Banking Faculty Chương 1 TIỀN LÃI Khái niệm lãi Lãi đơn Khái niệm Công thức Lãi suất trung bình Lãi gộp Khái niệm Công thức Lãi suất trung bình Banking Faculty Banking Faculty Khái niệm Lãi Tiền lãi Interest (I) là số tiền được trả bởi một người hay một tổ chức (người đi vay borrower) cho việc sử dụng một tài sản (tiền), thường được gọi là vốn cap.

Mathematics of Finance

Chapter 1: Interest

Doctor Nguyen Ngoc Anh Banking Faculty

Chương 1: TIỀN LÃI

 Khái niệm lãi

Khái niệm Lãi

 Tiền lãi - Interest (I)

 là số tiền được trả bởi một người hay một tổ chức

(người đi vay- borrower) cho việc sử dụng một tài sản (tiền), thường được gọi là vốn - capital, của

người cho vay- lender.

 Vốn-capital (C) được gọi là vốn gốc-principal.

/month /day

Khái niệm Lãi suất

 là tiền lãi được trả bởi người đi vay cho việc sử dụng

£100 vốn của người cho vay.

của một khoản vay như:

 TSSL hàng năm- annual percentage yield,

 Lãi suất năm- annual percentage rate,

 Phí suất tín dụng- charge of credit,

 LS thực tế- effective rate,

Phương pháp tính Lãi

Tình huống: C=1000; i=1% /tháng, n=3 tháng

10,1

Lãi đơn và lãi gộp

lãi của kỳ trước không sinh lãi

tiền lãi của một kỳ nhất định được cộng dồn vào gốc để tính lãi cho kỳ tiếp theo

cho số ngày thực tế nắm giữ

Example: simple interest

Example: simple interest

Lãi gộp

C(1+i)

Lãi gộp

Cuối năm

Ví dụ: Lãi gộp

- Thời gian trả nợ của số tiền vay như sau: Ngày 15/8/N, khách hàng trả 150 triệu đồng, ngày 15/9/N, khách hàng trả 150 triệu đồng, ngày 25/10/N, khách hàng trả 150 triệu đồng, ngày 30/11/N, khách hàng trả 50 triệu đồng Tính lãi của hợp đồng vay vốn theo 2 phương pháp trả lãi sau:

1 Tiền lãi trả theo nợ gốc trả.

Bài tập 2

Kỳ hạn gởi ngày 1-1-N (đồng)Số tiền gởi vào Lãi suất 1-1-N(%tháng) Lãi suất 13-12-N (%tháng)

12 tháng

6 tháng

3 tháng

5.000.000 12.000.000 15.000.000

1,0 0,9 0,8

1,20 1,15 1,00

Kỳ hạn gởi Số tiền gởi vào ngày

1-1-N (đồng) Lãi suất 1-1-N(%năm) Lãi suất 1-9-N(%năm)

12 tháng

6 tháng

3 tháng

15.000.000 10.000.000 25.000.000

11,0 10,0 9,5

10,0 9,5 8,5

Bài 2: Có các khoản tiền gởi tiết kiệm như sau:

Yêu cầu: Tính tổng số tiền có được của các sổ tiết kiệm trên vào 1-1-N+2

12 tháng

6 tháng

3 tháng

5.000.000 12.000.000 15.000.000

1,0 0,9 0,8

1,20 1,15 1,00

Có các khoản tiền gởi tiết kiệm như sau:

Yêu cầu: Tính tổng số tiền có được của các sổ tiết kiệm trên vào 1-1-N+2

Bài tập 4

Một khách hàng gởi 1 khoản tiền tiết kiệm là 200 triệu đồng vào 15/4/N ở Ngân hàng B với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất là 0,75% tháng Ngày 12/6/N ngân hàng điều chỉnh lãi suất tiền gởi tiết kiệm kỳ hạn 3 tháng là 0,85% tháng, lãi suất tiền gởi tiết kiệm kỳ hạn 1 tháng là 0,6% tháng, lãi suất không kỳ hạn là 0,25% tháng Ngày 15/8/N, khách hàng cần 120 triệu đồng Khách hàng đang cân nhắc lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

- Cách 1: Rút tiền gởi tiết kiệm trên, biết rằng nếu rút trước hạn ngân hàng sẽ trả theo lãi suất tiết kiệm không kỳ hạn.

- Cách 2: Đi vay vốn ở ngân hàng bằng cách cầm cố phiếu tiết kiệm trên với lãi suất vay vốn là 0,9% tháng.

Yêu cầu:

Mathematics of Finance

Chapter 2: Interest

rate & Time value of money

Doctor Nguyen Ngoc Anh Banking Faculty

Ch2 - Lãi suất & Giá trị tiền tệ theo

thời gian

 Khái niệm sử dụng của lãi gộp như: Lãi suất, LS danh nghĩa, Các nhân tố tích lũy -accumulation factors, hiệu lực của LS -force of interest,

 Sự tích lũy - accumulation, chiết khấu - discount và giá trị hiện tại - present values với dòng tiền rời rạc và dòng tiền liên tục.

 Các nhân tố định lượng của LS - interest rate quantities độc lập với thời gian

 Khái niệm phương trình giá trị - equation of value và phân tích dòng tiền trong các ứng dụng khác nhau

Ch2 - Lãi suất & Giá trị tiền tệ theo

 Giá trị hiện tại và giá trị tương lai

 Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của dòng tiền

 Định giá dòng tiền

t+1 (được gọi là LS thực - effective ROI cho thời kỳ này,

để phân biệt với LS danh nghĩa –nominal ROI và LS cố

định/Tổng LS trả trong 1 đơn vị thời gian -flat ROI), tiền mặt

sẽ được trả lại tại thời điểm t+1 là C[1+i(t)] từ một khoản đầu tư C ở thời điểm t

 Theo lãi gộp, sự tích lũy - accumulation của C từ thời điểm t

Lãi gộp

 Nếu LS không phụ thuộc vào thời gian t mà tại đó việc đầu

tư được thực hiện, chúng ta viết i(t) = i cho tất cả thời gian t

Sự tích lũy - accumulation của một khoản đầu tư C cho bất

kì khoảng n thời gian:

 Công thức này được gọi là sự tích lũy - accumulation của C

cho n thời kỳ theo lãi gộp (CI) tại mức lãi suất i trên một đơn

vị thời gian (ngay cả khi n không phải là một số nguyên).

 Sự tích lũy - accumulation tương ứng theo SI tại mức lãi suất i trên một đơn vị thời gian là:

i 1

 1 i n 

C 

VD về lãi gộp

VD về lãi gộp

LS danh nghĩa ( ih(t) )

 Xét một giao dịch có kỳ hạn là h ( h>0 , Không

phải là số nguyên)

 Đặt ih(t), là LS danh nghĩa - nominal ROI một

kỳ trong giao dịch h kỳ bắt đầu ở thời điểm t ,

LS thực - effective ROI cho h kỳ bắt đầu ở thời điểm t là h.ih(t) Ví dụ

 Với số tiền đầu tư ở thời điểm t là C trong h kỳ

thì số tiền nhận ở thời điểm t+h là C[1+h.ih(t)]

 Nếu h = 1, LS danh nghĩa = LS thực ( i (t)=i(t))

LS danh nghĩa ( ih(t) )

 Khi ih(t) không thay đổi theo t, ký hiệu ih(t) = ih .

 Khi h<1, thường viết h=1/p ( p là số nguyên

dương, h là phân số đơn giản của đơn vị thời gian), thường dùng ký hiệu i(p) hơn (i(ρ) = i1/ρ) Ví dụ

 Khi đầu tư 1 đơn vị vốn trong 1/p thời kỳ sẽ thu

về 1+ i(p)/p thì i(p) được gọi là LS danh nghĩa được trả thành p lần Ví dụ

 i1/12=i(12)=12% là LS danh nghĩa năm được

chuyển đổi sang LS thực hàng tháng sẽ là i = 12%/12 = 1%

LS danh nghĩa - VD

LS danh nghĩa - VD

Hệ số tích lũy ( A(t1,t2))

dùng để đo lường sự tăng trưởng của khoản đầu tư theo thời gian trong phương thức lãi gộp

đó:

Hệ số tích lũy

A(t 0 ,t 2 ) nếu đầu tư từ thời điểm t 0 đến t 2 ( t 2 –t 0 kỳ) hoặc

A(t 0 ,t 1 ) A(t 1 ,t 2 ) nếu đầu tư trong 2 kỳ từ t 0 đến t 1 (t 1 –t 0 kỳ) và tiếp tục tái đầu tư ở thời điểm t 1 cho (t 2 –t 1 kỳ).

 Theo nguyên tắc phù hợp- principle of consistency

A(t 0 ,t n ) = A(t 0 ,t 1 ).A(t 1 ,t 2 )…A(t n-1 ,t n ) với mọi n & t0

Nhân tố tích lũy - VD

Hiệu lực của LS (δ(t))

tích lũy A(t, t+h) Khi h sẽ ngày càng nhỏ (smaller and smaller), i h (t) sẽ có xu hướng đi về giá trị giới hạn

 hay

là LS danh nghĩa trong 1 đơn vị thời gian ở thời điểm hiện tại t.

 δ(t) được xác định theo hàm tích lũy A(t 1 ,t 2 ) được

Định lý 2.4.1

t ≥ t0, theo nguyên tắc phù hợp thì với t0 ≤ t1 ≤

Hiệu lực của LS

 Khi δ(t)=δ với mọi t, thì A(t 0 ,t 0 +n)=e δn với mọi t0 và

Hiệu lực của LS - VD

Hiệu lực của LS - VD

Hiệu lực của LS - VD

Giá trị hiện tại ( v(t) )

nợ ở tương lai, chúng ta cần số tiền bao nhiêu ở hiện tại để trả nợ? Điều này dẫn đến khái niệm giá

Giá trị hiện tại



gọi là giá trị hiện tại chiết khấu:

Giá trị hiện tại

Giá trị hiện tại - VD

Giá trị hiện tại - VD

Giá trị hiện tại của dòng tiền

 Dòng tiền rời rạc - Discrete cash flows

 Dòng tiền liên tục - Continuously payable

cash flows

PV của dòng tiền không liên tục- -

Discrete cash flows:

 Giá trị hiện tại của tổng Ct1, Ct2, Ct3,…, Ctn thực hiện ở các thời điểm t1, t2,…, tn (0 ≤ t1< t2< ,…,<tn):

Giá trị hiện tại của dòng tiền – Đồ thị

Giá trị hiện tại của dòng tiền liên tục

Continuously payable cash flows

thuyết Và một khoản cấp dưỡng được thực hiện

hàng tuần có thể xem là Dòng tiền liên tục

payment) ở thời điểm t sẽ là £ρ(t) trong một đơn vị thời gian

Giá trị hiện tại của dòng tiền

 Xem thêm: Giải thích khái niệm tỷ lệ thanh toán-

rate of payment của dòng tiền

đó, ρ(t)=M’(t) với mọi t, trong đó các nhân tố biểu thị vi phân theo thời gian

Giá trị hiện tại của dòng tiền

 Tỷ lệ thanh toán (rate of payment) ở bất kỳ thời

điểm nào là đạo hàm của tổng số tiền được trả đến thời gian đó

 Tổng số tiền được trả giữa 2 thời điểm là tích phân

(integral) của tỷ lệ thanh toán trong khoảng thời gian tương ứng

 Giữa thời điểm t và t+dt, Tổng số tiền thanh toán

nhận được là M(t+dt)–M(t) Nếu dt rất nhỏ, Số này xấp xỉ M’(t)dt hay ρ(t)dt

 Do vậy, giá trị hiện tại của số tiền nhận được giữa

Giá trị hiện tại của dòng tiền

Giá trị hiện tại của dòng tiền

chênh lệch giữa giá trị dòng tiền dương và giá trị dòng tiền âm

Present values of cash flows

Example

Giá trị dòng tiền

Valuing cash flows

Example

Các tham số định lượng của LS (IRQ)

là

Các tham số định lượng của LS

discount (1 kỳ) Để tránh hiểu nhầm với nominal rates of discount, d được gọi là LS chiết khấu

Các tham số định lượng của LS

đồng vốn đầu tư ở thời điểm s không phụ thuộc vào

s (thời điểm) và được tính như sau

có 1 nhân tố chúng ta có thể xác định 3 nhân tố lại

Các tham số định lượng của LS

(***) thì δ=ln(1+i)

tiền lãi của i ở thời điểm t=1 có cùng giá trị như

thanh toán liên tục ở một LS cố định trong thời kỳ

Các tham số định lượng của LS

này tạo nên kết quả quan trọng là một khoản thanh

[0,1] có cùng giá trị như một khoản thanh toán cho

d ở thời điểm 0 hay một khoản thanh toán cho i ở thời điểm 1

Các tham số định lượng của LS

Các tham số định lượng của LS

Phương trình giá trị (EOV)

 Tình huống:

 Một giao dịch mà thu nhập của nhà đầu tư từ số

tiền bỏ ra lần lượt là a t1, a t2, …, a tn ở các thời điểm t 1, t 2,… t n, và thu nhập sẽ là bt1, b t2,… b tn ở các thời điểm tương ứng Với mức FOI bao nhiêu thì giá trị chuỗi vốn đầu tư và chuỗi thu nhập bằng nhau?

 hay

Phương trình giá trị

tức, có thể được viết như:

VD 3.2.1 về định lý 3.2.2

Phương trình giá trị – VD 3.2.2

Phương trình giá trị - VD 3.2.3

Phương trình giá trị – VD 3.2.4

Phương trình giá trị – VD 3.2.6

Mathematics of Finance

Chapter 3: Annuities

Doctor Nguyen Ngoc Anh Banking Faculty

Chương 3 : Niên khoản

 Niên khoản chắc chắn (Certain): PV và tích lũy

 Niên khoản trì hoãn

 Niên khoản liên tục

Khái niệm

 Niên khoản là khoản tiền được thanh toán trong các

khoảng thời gian bằng nhau đề hình thành một nguồn vốn hoặc để trả nợ

 Khoảng cách thời gian giữa hai niên khoản là khoảng

thời gian giữa hai thanh toán liên tục.

 Niên khoản được định nghĩa khi chúng ta có :

 Thời điểm của niên khoản đầu tiên (thanh toán)

 Số lượng các niên khoản là số lần thanh toán.

 Khoảng thời gian

 Lãi suất Thời hạn của lãi suất phải phù hợp với khoảng

Khái niệm

khoản cố định ( niên khoản chắc chắn)

niên khoản không cố đinh (niên khoản biến đổi)

Mathematics of Finance

Niên khoản cố định

Doctor Nguyen Ngoc Anh Banking Faculty

Niên khoản cố định:

Giá trị hiện tại

 Tình huống:

 Có n lần thanh toán, mỗi lần 1 ĐV, được thực hiện tại

các khoảng thời gian bằng nhau, lần thanh toán đầu tiên được thực hiện tại thời điểm t+1 Một chuỗi các khoản thanh toán đó được minh họa trong hình, trong đó khoản thanh toán thứ rth được thực hiện tại thời điểm t + r.

 PV của chuỗi thanh toán tại 1 kỳ trước khi lần thanh toán

đầu tiên được thực hiện ký hiệu là

Niên khoản cố định: Giá trị hiện tại

NK cố định: Giá trị hiện tại

 PV của chuỗi NK tại thời điểm lần thanh toán đầu tiên

thực hiện được ký hiệu là

 Nếu i = 0 , thì = n;

 Nếu i ≠ 0 , thì

= 1+ v + v 2 + v 3 +…+ v n-1

 Tổng quát là giá trị tại thời điểm bắt đầu của khoảng

thời gian gồm n lần thanh toán, mỗi lần thanh toán 1, thực hiện đầu mỗi kỳ (in advance) trong toàn bộ thời gian này

ä n

ä n

ä n

NK cố định: Giá trị hiện tại

 Chuỗi NK này còn được gọi là annuity-due

và PV của nó h ay the PV of an n-year paid

NK cố định: Giá trị tích lũy

NK ở thời điểm lần thanh toán cuối cùng được thực hiện được ký hiệu là

toán cuối cùng được ký hiệu là

n S

S n

NK cố định: Giá trị hiện tại và giá trị

tích lũy

chuỗi NK n lần thanh toán được thực hiện lần lượt tại cuối và đầu mỗi kỳ, mỗi lần trả 1

S

n S

NK cố định: Giá trị hiện tại và giá trị

n S

a n ä n

n

NK cố định: Giá trị hiện tại và giá trị

tích lũy

n

.

S

NK cố định: Giá trị hiện tại và giá trị

tích lũy – Ví dụ

Fixed Annuities

NK cố định: Giá trị hiện tại và giá trị

tích lũy - VD

NK trì hoãn (Deferred Annuities):

Giá trị hiện tại ( ) và GT tích lũy

được ký hiệu là

hoãn m kỳ Khi n>0, Chúng ta có các ký hiệu:

NK trì hoãn (Deferred Annuities): Giá trị hiện tại (m a n ) và GT tích lũy

 = vm (v+ v2 + v3 +…+ vn)

 = vm an; hay = -

của chuỗi NK cuối kỳ trì hoãn Kết hợp chúng với

(deferred annuity-due) như sau:

NK trì hoãn (Deferred Annuities):

Giá trị hiện tại (m a n ) và GT tích lũy

NK trì hoãn (Deferred Annuities): Giá trị hiện tại (m a n ) và GT tích lũy

 Khi n là số nguyên không âm, Giá trị tại thời điểm 0

thanh toán trong 1 kỳ là hằng số và = 1 được ký hiệu là

nếu ≠ 0

Vì đây chính là biểu thức PV của dòng tiền thanh toán

liên tục được thanh toán từ thời điểm 0 đến n

NK liên tục: Giá trị hiện tại ( ) và

GT tích lũy

ā n

ā n

 Trong sự gia tăng độ dài dt ở thời điểm t, nhân tố

thanh toán được thực hiện sẽ là dt vì tỷ lệ thanh toán

p(t) = 1

Và toàn thể PV của dòng tiền được ước tính từ tích

phân đoạn từ t = 0 đến t = n

NK liên tục: Giá trị hiện tại ( ) và

Continuously Payable Annuities

Example

Mathematics of Finance

Niên khoản không cố định

Doctor Nguyen Ngoc Anh Banking Faculty

NK không cố định: GT hiện tại và GT

tích lũy

có thể tính PV (hay GT tích lũy ) từ nguyên lý ban đầu

 Khi X i =t i =i, Chuỗi NK gọi là NK tăng dần

(increasing annuity) và PV của nó ký hiệu là

n n

n

n n

 PT này chính là EOV của giao dịch mà người đầu

năm

vay của các khoản thanh toán thực hiện bởi người cho vay và người đi vay

NK không cố định: GT hiện tại và GT

tích lũy

 PV của 1 chuỗi NK bất kỳ mà thanh toán cuối kỳ

trong n kỳ trong đó số tiền thanh toán là cấp số cộng có thể biểu diễn theo

(P+Q), Khoản trả thứ t sẽ là (P-Q) +Qt, và giá trị hiện tại của chuỗi NK này sẽ là:

NK không cố định: GT hiện tại và GT

NK không cố định: GT hiện tại và GT

tích lũy

NK không cố định: GT hiện tại và GT

tích lũy

NK không cố định: GT hiện tại và GT

tích lũy

Mathematics of Finance

Tiền lãi thanh toán trong p

lần/ kỳ (Interest payable ρthly)

Doctor Nguyen Ngoc Anh Banking Faculty

Tiền lãi thanh toán trong p lần/ kỳ

(Interest payable ρthly)

thích) như là tổng lãi của số tiền vay là 1 được trả trong p lần (cuối kỳ) trong 1 đơn vị thời gian

Interest payable ρthly - Example

Interest payable ρthly - Example

Interest payable ρthly - Example

Niên khoản thanh toán thành p lần

-PV (a(ρ)

n) và Giá trị tích lũy

thiệu trong mục trước là rất quan trọng trong mối quan hệ với chuỗi NK mà được trả nhiều lần hơn 1 trong một đơn vị thời gian gọi là chuỗi NK thanh toán thành p lần

thời điểm 0 của chuỗi NK thanh toán thành p lần cuối

kỳ ở tỷ lệ thanh toán 1 trong 1 toàn bộ thời kỳ [0,n]

2/ρ,3/ρ,…,n, và số tiền trả mỗi lần là 1/ρ

Annuities payable ρthly Present values and Accumulations

Annuities payable ρthly Present values and Accumulations

Annuities payable ρthly Present values and Accumulations

Chapter 4 – Kế hoạch trả nợ vay

phương pháp tính dư nợ ở thời điểm bất kỳ.

trong các ứng dụng thương mại.