Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 81

So 81 Full re pdf

ISSN 1859-2740

2 Ì TRUNG HỌC CƠ SỞ

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Children’s Fun Maths Journal

lan tuổi tÃo TRUNG HỌC CƠ SỞ

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN

Phủ tịch HHIT kiêm Tổng Biám đốc IIRBBI) Uiệt Ilam:

NGƯT NGÔ TRẦN ÁI Phú Tổng Biám đốc kiêm Tổng biên tập IIRBBD Uiệt [lam:

TS NGUYÊN QUÝ THAO

HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP

Phó Tổng biên tập phụ trách tạp chí:

ThS VŨ KIM THỦY

Thư kí tòa soạn: NGUYỄN XUÂN MAI

Ủy viên Hội đồng biên tập: PGS TS VŨ

DUONG THUY, GS NGUYEN KHAC PHI, PGS

TS TRAN KIEU, PGS TS NGND TON THAN,

TS NGUYEN VAN TRANG, PGS TS VU NHO,

TS TRINH TH] HAI YEN, ONG NGUYEN KHAC

MINH, ONG PHAM DINH HIEN, PGS TS NGO

HỮU DŨNG, TS TRẦN ĐÌNH CHAU, NGND vU

HỮU BÌNH, TS NGUYỄN MINH HÀ, PGS TSKH

VŨ ĐÌNH HÒA, TS NGUYỄN MINH ĐỨC, PGS

TS LÊ QUỐC HÁN, ÔNG ĐÀO NGỌC NAM,

ONG NGUYEN DUC TAN, TS NGUYEN ĐĂNG

QUANG, TS TRAN PHUONG DUNG, TS NGÔ

ANH TUYET, ONG TRUGNG CONG THANH

Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO, PHAN HƯƠNG

Đại diện tại miền Trung: ThS NGUYỄN VĂN

NHO, Ban Biên tập Toán Tin, NXB Giáo dục tại

TP Đà Nẵng, 15 Nguyễn Chí Thanh, TP Đà

Nẵng BT: 0511.3887548

Đại diện tại miền Nam: ÔNG TRẤN CHÍ HIẾU,

Giám đốc Công ti CP Sách - TBGD Bình Dương,

Ứng dụng của trung điểm vào giải toán

® Giải toán thế nào?

Một số dạng toán về đa thức một biến

® Nhìn ra thế giới

Một số bài toán từ cuộc thi Toán liên quốc

gia thuộc Bắc Âu và Bắc Đại Tây Dương

® Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên

Sau đây là một số ví dụ

Bài toán 1 Cho hình vuông ABCD tâm

O Gọi K, E tương ứng là trung điểm của

AB, OC Chứng minh rằng KE L DE

Lời giải Gọi F là trung điểm OD

Mà OK = AB (do OK là đường trung

tuyến của AOAB vuéng can) nén EF = OK

Mat khac ta co DF = OE;

DFE =180° -OFE =135° =EOK

Suy ra ADFE = AEOK (c-g-c)

Do dé FDE = OEK

— DEK =DEO +OEK =DEO +FDE

= AOD (tính chất góc ngoài của tam giác)

= 90° hay KE L DE (đpcm)

UNG DUNG GUA TRUNG ĐIỂM YAO GIAI TOAN

AU ANH MINH

(HS 9A,, THCS Kim Hồng, TP Cao Lãnh, Đồng Tháp)

Có nhiều cách tạo ra yếu tố phụ để giải bài toán hình học, trong đó có việc

tạo ra trung điểm của đoạn thẳng Điều này giúp ta sử dụng được các tính chất

về đường trung bình của tam giác, hình thang hay tính chất đường trung tuyến,

Bài toán 2 Cho hình vuông ABCD.M,N

tương ứng là trung điểm của AB, BC I là

giao điểm của CM với DN

Chứng minh rằng AI = ID

Lời giải Cách 1 Gọi P là trung điểm CD,

H là giao điểm của AP với DN

Vì ADCN = ACBM (c-g-c) nên IDC = ICN

Cách 2 Kéo dài CM cắt DA tại P

Theo cach 7 thi Cl L DN

Tuc la AIPD vuéng tai I

Ma AAMP = ABMC (g-c-g) nén

AP = BC =AD

Do đó AI = 2DP = AD (dpcm)

2)

Nhận xét Cách 1 tạo ra trung điểm H

của DI để sử dụng tính chất: Nếu một tam

giác có đường trung tuyến đồng thời là

đường cao thì tam giác ấy cân Cách 2 tạo

ra điểm P để sử dụng tính chất: Trong một

tam giác vuông thì đường trung tuyến thuộc

cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

Bài toán 3 Cho AABC vuông tại B Trên

tia đối của tia BA lấy điểm D thỏa mãn

AD = 3AB Đường thẳng vuông góc với CD

tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại

A ở E Chứng minh rằng ABDE cân

Lời giải Gọi N, I, M thứ tự là trung điểm

Vì AN, DN tương ứng là đường trung

tuyến của các tam giác ACE, DCE nên

AN = =CE = DN

Do đó ANAD cân tại N

Suy ra NI L AD

Goi J là giao điểm của NI với BE

Vì JN ⁄Z BC (do cùng vuông góc với AD) mà

N là trung điểm CE nên J là trung điểm BE

Ma | la trung điểm BM nên IJ là đường trung bình của ABME

Do do IJ // ME

Suy ra EM 1 BD (vi NI 1 AD)

Mà M là trung điểm BD nên ABDE cân tại

E (đpcm)

Bài toán 4 Cho đường tròn tâm O đường

kính AB = 2R và điểm M thỏa mãn

OM = 2R Một đường thẳng qua M cắt (O)

tại hai điểm C, D (D nằm giữa M, C) thỏa

Vay x = 1

J) 9 Xieay LOLGIAICO HOP LI KHONG?

Bài toán Giải phương trình X+x+1=0 (1)

Lời giải Nhận thấy x = 0 không thỏa mãn (1)

Khi x z 0, nhân hai vế của (1) với x ta được xỞ + x2 + x = 0 (2)

Từ (1) ta có x2 + x = —1, thay vào (2) ta được xỔ — 1 = 0 hay x? = 1

Nhận xét Ta thấy x = 1 cũng không phải là nghiệm của (1)

Theo các bạn thì lời giải trên có hợp lí không?

NGUYỄN TRỌNG THỌ (GV: Nghi Xuân, Hà Tĩnh)

© Xét qué BAN NHAN XÉT THE NAO? cessze+70)

Đa số các bạn gửi bài về đều chỉ ra lời

giải đã cho xét thiếu trường hợp

Trong lời giải đó mới chỉ xét trường hợp

2 điểm A và C nằm cùng phía đối với

đường thẳng BD và OA < OB Ta còn phải

xét thêm trường hợp OA > OB (ta làm

tương tự) và trường hợp 2 điểm A, C nằm

khác phía đối với đường thẳng BD và

OA < OB (hoặc OA > OB, ta làm tương tự)

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD

Các bạn sau nhận thưởng kì này:

Nguyễn Thế Tiến, 9E, THCS Đặng Thai

Mai, TP Vinh, Nghệ An; Bùi Hồng Phương, 8B; Nguyễn Đình Lộc, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Vũ Thành Nam,

8A, THCS Minh Thành, TP Thái Bình,

Thái Bình; Nguyễn Thị Kim Anh, 9B,

THCS Từ Sơn, Bắc Ninh

ANH KÍNH LÚP

4)

a) Hỏi hai số a, b ở trên bằng bao nhiêu?

b) Trong các số 102, 104 và 108, số nào thuộc dãy số đã cho?

VŨ THẾ THÁM (GV THCS Vĩnh Tuy, Bình Giang, Hải Dương)

Bai 1 Cac hinh 6 hang phia trén xép

chồng lên nhau ta sẽ có hình tương ứng ở

hàng dưới Vậy đáp án là B

Bài 2 Hình A lật ngược từ trên xuống

dưới và đổi màu đỏ thành xanh lá cây ta

Có bạn cho nhận xét sau: Trong hình A,

® “Xếf quá HÌNH NÀO KHÁC? (TTT2 số rang)

hình trên có 5 que, hình dưới có 2 que, ta

viết 5/2 Tương tự với các hình theo tht? tu I

giải thích tại sao Các bạn được thưởng kì !

này: Nguyễn Mai Lê, 6B, THCS Hoang J Xuân Han, Duc Tho, Ha Tinh; Dinh Thi ! Thu Trang, 9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh; i

Tran Nguyét Minh, 6H,, THCS Trung

Vương, Hoan Kiếm, Hà Nội; Phạm i

Hoàng, Trần Minh Tuấn, 6B, THCS Hoang |

Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

NGUYEN XUAN MAI 5

5)

Khi học về đa thức một biến, học sinh

thường gặp một số dạng toán sau

1 Xác định đa thức

Bài toán 1 a) Tìm đa thức P(x) bậc 4

thỏa mãn các điều kiện sau: P(-1) = 0;

2 Tính giá trị của đa thức

Bài toán 2 Cho đa thức P(x) thỏa mãn

P(1) = 1; PS) = POW) Vx #0;

P(X, + X5) = P(x,) + P(x,), Vx,, X5 © R

- Một số dạng toán

yé cla thức một biên

NGUYỄN VĂN TIẾN (GV THCS Lâm Thao, Phú Thọ)

, 5 Tinh PC)

3 Đa thức với hệ số nguyên

Bài toán 3 Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c

thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kì

thì P(x) là một số chính phương Chứng minh rằng a, b, c là các số nguyên và b là

số chắn

Lời giải Vì P(0) = c là một số chính

phương nên c = m2 nguyên (hiển nhiên c là một số nguyên)

(Problems for Special Contest in celebration

of FUN MATHS Joarnal's 10th Anniversary)

Bai 5SC Cho a, b, c, m, n va p là các số nguyên dương

ĐặtA=a+b+c+m+n+p,B-= ab + bc + ca - mn - np - pm và C = abc + mnp

Biết rằng cả B và C đều chia hết cho A Chứng minh rằng A là hợp số

LÊ XUÂN ĐẠI (GV THPT chuyên Vĩnh Phúc)

Bài 6SC Cho M là một điểm nằm trong hình bình hành ABCD thỏa mãn MAB = 409,

Mà a + be Z nên a e Z Bài tập tự giải

Đặt P(2) = tˆ, với te Z Bài 1 Chứng minh rằng với mỗi số a > 0

Ta có t2 - m2 = 2(2a + b) thi da thitc f(x) = x* + ax2 + 2 viết được

Lập luận tương tu nhu trén ta suy rab thanh t6ng cac binh phuong cla hai đa

chan (dpcm) thức bậc hai

4 Chia hết và chia còn dư Bài 2 Tìm đa thức P(x) bậc 3 thỏa mãn Bài toán 4 Cho các đa thức P(x) = x3 — x các điều kiện sau: P(—1) = —18 và khi chia

và QỌ‹) = xổ! + x49 ‡ x25 + x9 + x + 1 P(x) cho x - 1, x - 2, x— 3 đều dư 6 s ; sa

a) Tìm dư trong phép chia Q(x) cho P(x) Bài 3 Cho đa thức POY) = ax’ t bx + © b) Tim x dé Q(x) : P(x) thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kì Lời giải a) Ta có P(x) = x(x2 _ 1): thì P(x) là một số nguyên Hỏi a, b, c có

Vì các đa thức xỶ? - 1, x'” ~ 1, x””~ 1 bì Biết rằng P(x), Q(x) là những đa thức

và xổ — 1 đều chia hết cho x2 — 1 nén Q(x) thỏa mãn (2x - 5)P(x) + (4x — 1)Q(x) là một

chia P(x) du 5x + 1 đa thức chia (x - 2) dư 17 Tính Q(2)

ử

GIO! THIEU

Một số bài toán

từ cuộc thi Toán liên quốc øia thuộc Bắc âu và Bắc Đại Tây Dương

ThS NGUYỄN VĂN NHO (NXBGDVN)

NORDIC là tên gọi chỉ khu vực Bac Au

và Bắc Đại Tây Dương, bao gồm 5 nước

Đan Mạch (Denmark), Phần Lan (Finland),

Ai xo len (Iceland), Na Uy (Norway) va

Thụy Điển (Sweden) Trong số báo này,

chúng tôi tiếp tục trích giới thiệu cùng các

bạn THCS những bài toán của ki thi

NORDIC

Bai 1 (1996) Cho f la ham s6 xac dinh

trên tập các số nguyên dương, nhận giá trị

thực và số nguyên dương a thỏa mãn:

Chứng minh rằng:

f(n + 4a) = f(n), vn e Z”

Chú ý: Câu b) của bài toán là: “Xác

định giá trị nhỏ nhất của số a thỏa mãn

f(a) = 1995; f(a + 1) = 1996; f(a + 2) = 1997”

Chúng tôi bỏ câu này vì phương pháp suy

luận cũng như kiến thức sử dụng vượt quá

chương trình của học sinh THCS

Bài 3 (1998) Cho hai đường tròn (C;),

(C.) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Goi M,, M, lần lượt là tâm của (C,) va

(C,) Giá sử P là điểm nằm trên đoạn thang

AB (không trùng với A, B) sao cho AP z BP Qua P vẽ các đường thẳng vuông góc với

Một số bài toán từ cuộc thi Toán liên quốc gia

thuộc Bac Au va Bắc Đại Tây Duong

Bài 2 Giả sử A, B là hai điểm phân biệt

được tô cùng màu đỏ

Vẽ hình vuông ABCD có tâm O

Nếu O được tô màu đỏ thì AABO vuông

cân có ba đỉnh cùng màu

Xét trường hợp O được tô màu xanh

Khi đó, nếu C hoặc D được tô màu đỏ thì

tam giác vuông cân ABC hoặc ABD có ba

đỉnh cùng màu đỏ; nếu cả C và D được tô

màu xanh thì ACDO vuông cân có ba đỉnh

cùng màu xanh (dpcm)

Bài 3 Rõ ràng x z 0 Hơn nữa, nếu số

nguyên dương n thỏa mãn điều kiện bài

toán thì số nguyên âm -—n cũng thỏa mãn

điều kiện bài toán

Bài 4 Gọi P là điểm tùy ý nằm bên trong

tam giác Ta sẽ chứng minh rằng P phải thuộc về ít nhất một trong ba hình chữ nhật

đã cho

Thật vậy, qua P kẻ hai đường thẳng (d,),

(d.) lần lượt song song và vuông góc với đường thẳng (d) đã cho Ta có (d;), (d.) cắt các cạnh của tam giác ABC tại bốn điểm

Vì bốn điểm này thuộc ba hình chữ nhật

nên theo nguyên tắc Dirichlet có ít nhất hai

điểm, ta đặt là M, N, thuộc cùng một hình

chữ nhật (1)

Nếu M, N cùng thuộc (d,) hoặc (d.) thì P

phải thuộc (1)

Nếu M, N tương ứng thuộc (d¿) và (d.) thì

vì (d;), (d.) song song và vuông góc với (d)

nên (d,), (d,) song song với các cạnh của hình chữ nhật (1) nên P cũng thuộc (1) (đpcm))

®)

Ax? + Axy + 4y? = 4n2 ©› 3y2 = 4n^- (2x + y)?

© 3y2 = (2n + 2x + y)(2n — 2x - y)

Có ba trường hợp cần xét

THI 2n + 2x + y =3yˆ: 2n - 2x — y= 1

Suy ra 3y2— 1 = 2(2x + y) = 2(2x — 2y + 3y)

= 2(2m2 + 3y) hay m2 + 1 = 3(yˆ—- 2y - m2):

vô nghiệm (vÌ m2 +1 không chia hết cho 3)

TH2 2n + 2x+ y = 3y; 2n - 2x - y = y

Suy ra 2y = 4x + 2y © x = 0 (loại)

TH3 2n + 2x + y = Y'' 2n—-2x—y =3

Suy ra y* — 3 = 2(2x + y) =2(2m^ + 3y) hay

12 =(y -3)*-4m2=(y-3+ 2m)(y-3-2m)

Từ đó tìm được y = 7, m = 1

Vay (x;y; Z) =(8; 7; 13)

Câu 3 a) Ap dung hằng đẳng thức a" - b"

=(a_— b)(an~1 + an~2b + + ab~2+ pn~?)

c) Gọi giao điểm của BC với tiếp tuyến tại

A của (O) và tiếp tuyến tại P của (œ) lần lượt

(a+b+c)2^<

=> Q, = Q

và

Be THI TUYEN SINH LOP 10 THPT CHUYEN VINK PHOC

Năm học: 2009 - 2010 Môn thi: Toán (Dành cho chuyên Toán) Thời gian: 150 phút

Câu 2 (1,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c

đôi một phân biệt Chứng minh

Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD

(AB // CD, AB < CD) Gọi K, M lần lượt là

trung điểm của BD, AC Đường thẳng qua K

và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua

M và vuông góc với BC tại Q Chứng minh a) KM // AB

b) QD = QC

Cau 5 (1,0 diém) Trong mat phang cho

2009 diém, sao cho 3 diém bat ki trong

chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện

tích không lớn hơn 1 Chứng minh rằng tất

cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4

Môn thi: Toán (Dành cho chuyên Tin)

Câu 1 (3,0 điểm) a) Giải hệ phương trình

y-2x+1=0

Ũ —|x]|-1=0

b) Gidi phuong trinh 4/x -1+3 =x

Cau 2 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thực

dương thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức P = 8(x2 + y2) + +

Câu 4 (3,0 điểm) Hai đường tròn (O,, Rj),

(O,, R,) cat nhau tai hai diém phan biét A

và B Đường thẳng vuông góc với AB tại B

Thời gian: 150 phút

cắt (O,) tai C va cat (O,) tai D (C, D khac B) Một đường thẳng quay quanh B cắt các đường tròn (O,), (O.) theo thứ tự tại giao điểm thứ hai là E và F

z _, AE 2 a) Chứng minh AE không đổi

b) Các đường thẳng EC, DF cắt nhau

tại G Chứng minh tứ giác AEGF nội tiếp đường tròn

c) Chứng minh khi đường thẳng EF quay xung quanh B thì tâm đường tròn ngoại tiếp

tứ giác AEGF luôn thay đổi trên một đường

Bài 1(78+79) Tìm tất cả các số nguyên

dương n thỏa mãn 1009 < n < 2009 và n có

đúng 12 ước số, trong đó có một ước số là 17

Lời giải Đặt n = 17%-m, với k, m là các số

nguyên dương, m không chia hết cho 17

Tóm lại, có tất cả 9 giá trị của số nguyên

dương n thỏa mãn điều kiện bài toán là:

1292, 1564, 1972, 1071, 1683, 1989,

1275, 1666, 1734

Nhận xét Tòa soạn nhận được nhiều lời

giải của các bạn, trong đó quá nửa lời giải

có đáp số sai(!) Chú ý là nếu n là số

nguyên dương có dang pị' -p22 - -Đưm,

với p4, Pø bạ là những số nguyên tố phân biệt và x., x., , x là những số nguyên dương thì số ước số của n là:

(x, + 1)(X, + 1) (K,, + 1)

Các bạn sau có lời giải tốt: Bùi Quang

Tú, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Ba Đình, Hà Nội; Định Thị Thu Trang, 9B; Nguyên Thị Tuyết, 8B; Nguyên Việt Cường,

7B, THCS Tu Son, Bac Ninh; Dang Tran

Nham, 7D; Lé Tuan Anh, 9C, THCS Vinh Tường; Nguyễn Thi Thom, 8A¡, THCS Yên

Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thế Tiến, 9E;

Nguyên Hữu Hiệu, 9A, THCS Đặng Thai

Mai, TP Vinh; Hổ Thị Thúy, Trịnh Thị Mỹ

Ngọc, 6A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh

Lưu, Nghệ An; Nguyễn Hoàng Việt, 7A.; Lê Minh Hoang, TA, THCS Lam Thao, Phd Tho

NGUYEN BUC HOANG

Nhận xét Điểm mấu chốt của lời giải là

từ giả thiết chứng minh được s = x + y = 4

Các bạn sau đây có lời giải tốt: Nguyễn

Thị Mai Phương, 8B, THCS Hòa Hiếu II,

TX Thái Hòa; Lê Hồng Đức, 8B, THCS Lý

Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Văn

Ngoc Bích, 8A,, THCS Yên Lạc; Phạm Lan

Hương, 8A, THCS Lập Thạch, Vĩnh Phúc;

Tạ Tuấn Vũ, 8A; Trương Văn Cường, 8B,

THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa

NGUYÊN ANH DŨNG

Bài 3(78+79) Cho x, y là các số thực

không âm thỏa mãn x2 - 2xy + x — 2y < 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Nhận xét Các bạn sau có lời giải tỐt:

Nguyễn Vĩnh Quang, 9C, THCS Thanh Thủy,

Phú Thọ; Lê Tuấn Anh, 9C, THCS Vĩnh

Tường; Phùng Văn Mạnh, 9A, THCS Vĩnh Yên,

Vĩnh Phúc, Phạm Huy Hoàng, 9A., THCS

Giang V6, Ba Dinh; Hoang Anh Tu, 91, THCS

Marie-Curie, Hà Nội; Nguyễn Thành Đạt, 9A,

THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

NGUYÊN MINH ĐỨC

Bài 4(78+79) Cho hình bình hành

ABCD M là điểm trên cạnh AB sao cho

AM = AB, N là trung điểm của CD, G là

trọng tâm ABMN, I là giao điểm của AG và

BC Tính các ti s6 GA va 8

Gl IC Lời giải (Theo bạn Ngô Thùy Dung, 9A,

THCS Tam Dương, Vĩnh Phúc)

Gọi E là trung điểm của MB, P là giao

điểm của AI với CD Đặt AB = a

¢ Gl AP AP AP 11 3 33 -2-i-f, @

Chia theo vế của (1) cho (2) ta được

GA Gl _ 11 7

.GA 11 IB 6 Tóm lại ——=—; —=-

6G] 7 IỊC 5

Nhận xét Tất cả các lời giải gửi về tòa soạn đều có đáp số đúng Tuy nhiên nhiều

bạn trình bày lời giải còn dài dòng Ngoài

bạn Dung, những bạn sau có lời giải gọn

hơn cả: Hoàng Anh Tú, 9I, THCS Marie- Curie; Đặng Thắng Lợi, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Vân Đình, Ứng Hòa, Hà Nội; Bùi Hồng Phương, 8B, THCS Vĩnh Tường; Nguyễn Thị Hạnh Linh, 9A, THCS Tam Dương, Vĩnh Phúc; Vũ Thị Thu Hiền, 9A, THCS THCS Hải Hậu, Nam Định; Nguyễn

Hồ Hải Chinh, 8B, THCS Hồ Xuân Hương,

Quỳnh Lưu; Vương Đình Tuấn, 9A; Nguyễn

Thế Tiến, 9E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh;

Đậu Phương Thảo, Trương Thị Cẩm Tú, 9D, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu; Nguyễn

Sy Tú, 9D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Lê Minh Thái, 9C, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

HỒ QUANG VINH

43

Lời giải Cuộc thi đặc biệt

NHÂN 10 NĂM TOÁN TUỔI THƠ

Bài 3SC Tìm các số hữu fỉ n thỏa mãn tổng

Nhận xét Rất nhiều lời giải đã quên

chứng minh hoặc ngộ nhận ngay n c Z

Các bạn sau có lời giải tốt: Đặng Thắng Lợi,

9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Vân Đình,

Ứng Hòa, Hà Nội; Đào Khánh Chi, 9A,

THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An;

Hoàng Minh Hưng, 7A; Đặng Quang Tuấn,

9C, THCS Vĩnh Tường; Đỗ Xuân Việt, 9A,

THCS Lập Thạch, Vĩnh Phúc

HOÀNG TRỌNG HẢO

Bài 4SC Cho tứ giác ABCD Các điểm

M, N, P, Q theo thứ tự thuộc các cạnh AB,

BC, CD và DA thỏa mãn điều kiện MQ, NP,

BD đồng quy Chứng minh rằng

Sunpa = MAax{Sage : Sgcp : ScpA : ĐpAgỶ:

Lời giải Xét trường hợp MQ, NP, BD

đồng quy tại điểm S thuộc tia đối của tia DB

(trường hợp còn lại chứng minh tương tự)

Đối với tứ giác ABCD, ta dùng kí hiệu SA

để chỉ diện tích tam giác BCD

Sau khi tắm cho bé Ly

4 tuổi, mẹ bảo:

- Mùa này hanh khô quá,

để mẹ bôi vào chân con chút kem cho đỡ nẻ

Thấy mẹ cầm lọ kem có vẽ hình bàn tay,

Ly thắc mắc:

- Sao lại có bàn tay ở đây ha mẹ?

- À, đây là loại kem dành cho tay mà

Ly bỗng giãy nảy:

- Thế thì con sẽ bị mọc tay ở chân mất

Con không cần tay ở chân đâu

Bé Nga đưa cún Bông đi dạo trong

sân chung cu Được một lúc, bé ra lệnh cho

Đứng bên cạnh thấy vậy, bé Hà chạy

đến bảo với bé Nga:

- Sao cậu không nói:

xuống! Phải lịch sự chứt" "Làm ơn nằm

Sắp trung thu, mẹ hỏi bé Huy xem bé

thích được tặng quà gì Huy suy nghĩ một

lúc rồi nói:

- Con thích một núi ngọn núi lửa điều

khiển từ xa a

Bé Nam gần 2 tuổi nghịch ngợm chui

đầu vào trong chăn Thấy vậy, chị gái bảo:

- Nam, em làm thế thì còn gì mà thở nữa?

Nam đáp dõng dac:

- Em vẫn còn mũi mà chị

Biết trong bụng mẹ có em bé, bé Mai

4 tuổi nhờ bố viết chữ "Chào em" rồi ra sức

thuyết phục mẹ nuốt tờ giấy đó Bé nghĩ đó

là cách để hai chị em làm quen với nhau

rẻ con buồn cười za phết!

Mọi ngày cậu bé Linh 9 tuổi đi học về

khi mẹ luôn có nhà Riêng hôm nay mẹ có

việc phải đi trước khi Linh về Mẹ bóc sẵn

bánh giò, để vào bát rồi úp một cái đĩa lên

Sợ Linh không thấy, mẹ cẩn thận viết mẩu

giấy "Trong này là bánh giò" và đặt mẩu

giấy lên trên đĩa Khi mẹ về đã thấy một

mẩu giấy khác "Con đã ăn bánh gio Linh"

NGUYEN DUC (dich)

rong vòng mấy tháng nay, tại khu

| a cư T.S liên tục xảy ra một số

vụ án khiến cảnh sát thành phố rất

đau đầu Hôm qua lại có một vụ trộm lớn

Mọi người tỏ ý nghỉ ngờ cô Mila - một phụ

nữ khoảng trên dưới 30 tuổi, công tác tại

một trung tâm nghiên cứu về người khiếm

thị Có người nói rằng họ đã thấy cô tại

hiện trường trong đêm xảy ra vụ án Tuy

nhiên, kết quả điều tra ban đầu của cảnh

sát lại cho thấy Mila không liên quan gì

đến vụ trộm Để có thể khẳng định chắc

chắn hơn, thám tử Sê-lốc-cốc quyết định

tới gặp Mila

- Chào cô Mila! Tôi là thám tử Sê-lốc-

cốc, tôi gặp cô một lát được chứ?

- Xin ông cho xem thẻ! - Mila tổ vẻ ngờ

vuc

- Rất xin lỗi cô vì hôm nay tôi quên thẻ

ở văn phòng, nhưng tôi có đem theo

chứng minh thư Đây, mời cô xeml

Mila cầm tấm chứng minh thư và đưa

- Tôi đọc sách suốt từ 8 giờ tối, đến hơn

10 giờ mới thôi Tôi đang phải gấp rút

hoàn thành mấy báo cáo quan trọng

- Nhưng cả buổi tối hôm qua, trời mưa

to, khu chung cư này bị mất điện đến gần

12 giờ đêm kia mà?

- Vâng, đúng vậy Chính vì thế mà tôi

tranh thủ ngồi lì trong nhà để đọc sách

- Chẳng lẽ cô đọc bằng đèn pin hay

nến ư?

- Ô không, tôi đâu cần những thứ đó

Rồi cô Mila sang phòng bên Một lát sau cô cầm sang một cuốn sách rất dày, đưa cho thám tử Sê-lốc-cốc Nhìn cuốn

sách, thám tử vô cùng ngạc nhiên nhưng ông đã hiểu ra ngay lập tức Ông vội nói :

- Cám ơn cô Tôi tin chắc rằng cô không nói dối Chào cô!

Về tới văn phòng làm việc, thám tử nói

với các đồng nghiệp rằng ông đã có thêm

căn cứ để tin rằng cô Mila không liên quan

tới vụ án

Các bạn có biết tại sao không? Căn cứ

vào đâu mà thám tử lại kết luận như vậy?