Bài toán “Tam giác thế kỷ”Giới thiệu: Đây là một bài toán hình sơ cấp, đầu bài rất đơn giản, kiến thức chỉ trong hình học phẳng sơ cấp lớp 6-7 PTTH nhưng nhièu HS lớp 10-12 không giải
Trang 1Bài toán “Tam giác thế kỷ”
Giới thiệu:
Đây là một bài toán hình sơ cấp, đầu bài rất đơn giản, kiến thức chỉ trong hình
học phẳng sơ cấp (lớp 6-7 PTTH) nhưng nhièu HS lớp 10-12 không giải nổi Bài toán đã có cách đây > 2 thế kỷ, sau > 100 năm mới có lời giải thích đáng được
chấp nhận Vì thế gọi là “Bài toán thế kỷ” Đến nay đã có 40 -50 lời giải khác
nhau của nhiều Nhà toán học trên thế giới, trong đó có cả những HS lớp 6-7 Xin giới thiệu để mọi người yêu toán tham khảo
Nội dung bài toán :
Chứng minh rằng một tam giác có 2 đường phân giác bằng nhau thí tam giác đó
là tam giác cân
Phân tích:
Với các Bài toán chứng minh tam giác có 2 đường cao bằng nhau, hoặc 2 đường trung tuyến bằug nhau là tam giác cân thì không khó, nhưng với bài toán này HS không sáng tạo, không kẻ thêm đường phụ, không suy luận thì không giải nổi !
Có nhiều hướng chứng minh, song phương pháp chứng minh “phản chứng” là gon hưn cả Xin nêu 2 các giải sau:
1.-Theo cách Phản chứng:
Hướng giải :
1
Trang 2Đặt giả thử : ∆ ABC không cân, có góc BAC > gócBCA; Từ đỉnh A kẻ AE tạo với
đáy AC góc EAC = góc BCA và cắt CM tại E Qua Bốn điểm A, E, N, C vẽ được một cung tròn, do đó có góc AEC = góc ANC (cùng chặn bởi AC) Hình 1
Suy ra ∆ AEC = ∆ANC, và
Theo giả thiết thì
Do đó có góc Điều này trái với “giả thử” đưa ra Vậy giả thử không chấp nhận được Nghĩa là và ∆ ABC là tam giác cân 2.- Hướng giải theo cách khác: hình 2
Theo hình 2, có ∆OAN = ∆ OMC (3 cạnh bằng nha) Suy ra
( OAC cân )
Do đó có Hai góc này do 2 đường phân giác AN, CM tạo ra
Vậy Nghĩa là ∆ ABC là tam giác cân
2
