Cơ sở groebner và hệ phương trình đa thức

Ứng dụng cơ sở Groebner giải hệ phương trình đa thức với sự hỗ trợ của phần mềm Maple.. Khi học môn đại số giao hoán, ta đã giải đáp được các câu hỏi trên dựavào lý thuyết cơ sở Groebner

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Nguyễn Chánh Tú

ĐÀ NẴNG - NĂM 2017

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tôi.Mọi số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Vân

Hoàn thành luận văn này, trước tiên tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắctới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Chánh Tú đã tận tâm hướngdẫn, chỉ bảo và truyền dạy kinh nghiệm cho tác giả trong suốt quá trìnhthực hiện.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy

cô giáo đã tận tình hướng dẫn và truyền đạt kiến thức cho tác giả trongsuốt thời gian học tập của khóa học

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em tronglớp Đại số và Lý thuyết số K31 đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quátrình học tập tại lớp

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Vân

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 Lý thuyết về cơ sở Groebner 3

1.1 Vành đa thức 3

1.1.1 Các khái niệm cơ bản về vành đa thức 3

1.1.2 Iđêan đơn thức 4

1.1.3 Định lí Hilbert 5

1.1.4 Tập đại số 5

1.2 Cơ sở Groebner 6

1.2.1 Thứ tự đơn thức 7

1.2.2 Hạng tử dẫn đầu, iđêan dẫn đầu 8

1.2.3 Định nghĩa cơ sở Groebner 9

1.2.4 Tiêu chuẩn Buchberger, Thuật toán Buchberger 10

CHƯƠNG 2 Ứng dụng cơ sở Groebner giải hệ phương trình đa thức với sự hỗ trợ của phần mềm Maple 16

2.1 Hệ phương trình đa thức 16

2.2 Ứng dụng cơ sở Groebner giải hệ phương trình đa thức 16

2.3 Tìm cơ sở Groebner với sự hỗ trợ của phần mềm Maple 19

2.4 Giải hệ phương trình đa thức với sự hỗ trợ của phần mềm Maple 23

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán phổ thông, khi giải hệ phương trình đa thứcmột biến ta thường sử dụng phép chia có dư và thuật toán Euclide Vậyđối với hệ phương trình đa thức nhiều biến ta còn có thể sử dụng phépchia có dư và thuật toán Euclide được nữa không hay sử dụng phép chia

và thuật toán nào tương tự ? Cách chia và thuật toán đó có gì đặc biệt và

có được ứng dụng rộng rãi không ?

Khi học môn đại số giao hoán, ta đã giải đáp được các câu hỏi trên dựavào lý thuyết cơ sở Groebner với phần ứng dụng của nó Cơ sở Groebnerđược nhà toán học Bruno Buchberger giới thiệu trong luận án tiến sĩ vàonăm 1965 dưới sự hướng dẫn của giáo sư Wolfgang Groebner Sử dụngthuật toán Buchberger giúp ta tìm được cơ sở Groebner cho các đa thứcnhiều biến Và từ đó giúp ta hình thành phương pháp giải các hệ phươngtrình đa thức nhiều biến Ngoài ra lý thuyết cơ sở Groebner đã mở ra cácứng dụng khác thực sự phong phú từ đó cho đến nay

Với những lý do trên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Chánh

Tú, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: Cơ sở Groebner và hệ phương trình

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nắm được các khái niệm về đa thức, thứ tự đơn thức, iđêan dẫn đầu,

cơ sở Groebner, tiêu chuẩn và thuật toán Buchberger

Sử dụng thuật toán Buchberger tìm cơ sở Groebner của các đa thứcnhiều biến và ứng dụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Cơ sở Groebner và ứng dụng giải hệ phương trình đa thức nhiều biến

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: thu thập, đọc và nghiên cứu các tàiliệu, các bài báo, giáo trình về các vấn đề: đa thức, thứ tự đơn thức, iđêandẫn đầu, cơ sở Groebner, tiêu chuẩn và thuật toán Buchberger, một số bàitoán ứng dụng

Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn vàcác giảng viên khác thuộc khoa Toán trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn giúp bản thân tôi hiểu rõ lý thuyết cơ sở Groebner, nắmđược các ứng dụng của nó trong nghiên cứu toán học đặc biệt là việc ứngdụng vào giải hệ phương trình đa thức nhiều biến và biết được một số loại

hệ phương trình đa thức nhiều biến giải được thông qua việc tìm cơ sởGroebner Ngoài ra luận văn còn có thể là một tài liệu tham khảo hữu íchcho các sinh viên

6 Cấu trúc của luận văn

Luận văn được trình bày theo cấu trúc gồm 02 chương:

Chương I Lý thuyết về cơ sở Groebner Trong chương này, những kháiniệm, tính chất được chỉ ra rõ ràng kèm chứng minh và ví dụ thể hiện cácnội dung liên quan đến cơ sở Groebner

Chương II Ứng dụng cơ sở Groebner giải hệ phương trình đa thức với

sự hỗ trợ của phần mềm Maple Nội dung chính của chương nêu ra một

số phương trình đa thức được giải có dùng cơ sở Groebner kèm các ví dụminh họa Đồng thời luận văn cũng chỉ ra những nhược điểm của cơ sởGroebner khi ứng dụng để giải hệ phương trình đa thức nhiều biến

LÝ THUYẾT VỀ CƠ SỞ GROEBNER

Trong chương này, chúng tôi nêu ra các khái niệm, tính chất về iđêanđơn thức, thứ tự đơn thức, hạng tử dẫn đầu, cơ sở Groebner, tiêu chuẩn vàthuật toán Buchberger Tất cả các khái niệm, kết quả trong chương này,chúng tôi lấy từ tài liệu tham khảo [1], [4], [5]

1.1 Vành đa thức

1.1.1 Các khái niệm cơ bản về vành đa thức

Cho k là một vành và x là biến số Ta gọi một biểu thức f có dạng

c0 + c1x + + cαxα với c0, c1, , cα ∈ k là đa thức của biến x với hệ sốtrong k Nếu cα 6= 0 thì α được gọi là bậc, ký hiệu degf, và cα là hệ sốđầu của f Nếu f = 0 thì ta quy ước degf = −∞ Vành đa thức k[x] củabiến x trên k là tập hợp tất cả các đa thức, trong đó phép cộng và phépnhân được thực hiện như thông thường

Vành đa thức n biến trên k được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

α∈Ahαxα, trong đó hα ∈ k[x1, , xn] Trong trường hợpnày, ta viết I = hxα : α ∈ Ai

Ví dụ 1.1.2 Trong vành k[x, y], iđêan I = x3, xy2, x là một iđêanđơn thức

Bổ đề 1.1.3 Cho iđêan I = hxα : α ∈ Ai là một iđêan đơn thức Mộtđơn thức xβ ∈ I khi và chỉ khi xβ chia hết cho xα với α ∈ A

Bổ đề 1.1.4 Cho I là một iđêan đơn thức và đa thức f ∈ k[x1, , xn].Các điều kiện sau là tương đương:

(i) f ∈ I

(ii) Mọi hạng tử của f thuộc I

(iii) f là một tổ hợp tuyến tính trên k của các đơn thức trong I

Chứng minh Hiển nhiên ta có (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) Ta cần chứng minh

(i) ⇒ (iii) Ta có f ∈ I Vì I là iđêan đơn thức nên theo Định nghĩa 1.1.1

ta có I = hxα : α ∈ Ai ,với mọi hα ∈ k[x1, , xn] để f = P

α∈Ahαxα.Theo Bổ đề 1.1.3, mọi hạng tử của f chia hết cho xα(i) nào đó Sau khigiản ước hai vế ta được f = P

hα(j)xα(j) với hα(j) ∈ k Suy ra f là tổ hợptuyến tính giữa các đơn thức xα(j) với hệ số trong k

Hệ quả 1.1.5 Hai iđêan đơn thức được gọi là bằng nhau nếu tập cácđơn thức của chúng là như nhau

Định lí 1.1.6 (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I đều viết đượcdưới dạng I = xα(1), , xα(s), trong đó α(1), , α(s) ∈ A Đặc biệt,iđêan I có hệ sinh hữu hạn

Định lí 1.1.9 Nếu k là vành Noether thì vành đa thức k[x] Noether.

Áp dụng định lí trên nhiều lần ta được kết quả sau:

Hệ quả 1.1.10 (Định lí Hilbert về cơ sở) Vành đa thức nhiều biến

k[X] là vành Noether

1.1.4 Tập đại số

Trong phần này chúng ta quan tâm đến các tập đại số, tức là tập nghiệmcủa một họ đa thức trong vành đa thức k[x1, , xn] trên một trường k.Định lý cơ sở Hilbert cho phép chúng ta quy mỗi tập đại số về tập nghiệmcủa hữu hạn đa thức, nhờ đó việc nghiên cứu các tập đại số bớt phức tạphơn

Kí hiệu kn = {(a1, , an)|ai ∈ k, ∀i = 1, , n} Ta gọi kn là không gianaffin n chiều Đặc biệt k = k1 được gọi là đường thẳng affin, k2 được gọi

là mặt phẳng affin Với mỗi tập con S của k[x1, , xn], kí hiệu:

Z(S) = {(a1, , an) ∈ kn|f (a1, , an) = 0, ∀f ∈ S}

là tập nghiệm (hay tập các không điểm chung) của S

Định nghĩa 1.1.11 Một tập con A của kn được gọi là tập đại số (hay

đa tạp affin) nếu tồn tại S ⊆ k[x1, , xn] sao cho A = Z(S) Khi đó tacũng nói A là tập đại số định nghĩa bởi S

Cho A = Z(S) là một tập đại số trong kn Nếu S = {f } thì ta viết

A = Z(f ) Nếu f khác hằng thì Z(f ) được gọi là một siêu mặt trong kn.Nếu S = {f1, , fl} là tập hữu hạn thì ta viết A = Z(f1, , fl) Chú ýrằng mỗi tập đại số (khác ∅ và khác kn) đều là giao của một họ siêu mặt,

Chứng minh Cho tập A ⊆ kn là một tập đại số Khi đó tồn tại một họ

đa thức S ⊆ k[x1, , xn] sao cho A = Z(S) Đặt I = hSi là iđêan của

k[x1, , xn] sinh bởi S Chú ý rằng S ⊆ hSi và mỗi phần tử của hSi códạng f1h1 + + ftht với f1, , ft ∈ S và h1, , ht ∈ k[x1, , xn] Suy ramỗi phần tử của kn là nghiệm của họ S nếu và chỉ nếu nó là nghiệm củaiđêan hSi Do đó A là tập nghiệm của iđêan hSi

Mệnh đề 1.1.14 Mỗi tập đại số là tập nghiệm của hữu hạn đa thức

Chứng minh Cho A ⊆ kn là một tập đại số Khi đó tồn tại họ đa thức

S ⊆ k[x1, , xn] sao cho A = Z(S) Suy ra A là tập nghiệm của iđêan

hSi Theo Định lí cơ sở Hilbert, hSi là iđêan hữu hạn sinh, tức là tồn tại

f1, , ft ∈ hSi sao cho hSi = hf1, , fti Khi đó A là tập nghiệm của họhữu hạn đa thức f1, , ft

Chú ý 1.1.15 Việc quy mỗi tập đại số về tập nghiệm của hữu hạn

đa thức là vô cùng quan trọng Nó cho phép thực hiện được thuật toánBuchberger để tìm một cơ sở Groebner của một iđêan xuất phát từ một

hệ sinh hữu hạn

1.2 Cơ sở Groebner

Để tìm hiểu về định nghĩa cơ sở Groebner, trước hết ta cần tìm hiểu vềthứ tự đơn thức và các khái niệm liên quan

1.2.1 Thứ tự đơn thức

Định nghĩa 1.2.1 Thứ tự đơn thức trên k[x1, , xn] là một quan hệ

> trên tập các đơn thức xα trong k[x1, , xn], α ∈ Zn≥0 thỏa mãn các tínhchất sau:

(i) > là một quan hệ sắp thứ tự toàn phần trong Zn≥0

(ii) Nếu α > β, với mọi γ ∈ Zn≥0 thì α + γ > β + γ

(iii) > là một quan hệ sắp thứ tự tốt Nghĩa là mọi tập khác rỗng của

Zn≥0 đều có phần tử nhỏ nhất

Sau đây ta định nghĩa một số thứ tự đơn thức quan trọng:

Định nghĩa 1.2.2 Thứ tự từ điển (Lexicographic Order)

Với α = (α1, , αn) và β = (β1, , βn) ∈ Zn≥0 Ta có α >lex β nếu

α−β ∈ Zn và thành phần đầu tiên bên trái là số dương Ta viếtxα >lex xβ

nếu Pni=1αi > Pn

i=1βi hoặc là Pni=1αi = Pn

i=1βi và α − β ∈ Zn có thànhphần đầu tiên bên phải là số âm

Ví dụ 1.2.5 Cho đa thức f = 3x3y2z + 4x2y4 − y2z + 2x4− 5y4 + 2,với x > y > z

a) Xếp theo thứ tự từ điển >lex ta được:

1.2.2 Hạng tử dẫn đầu, iđêan dẫn đầu

Định nghĩa 1.2.6 Chof là một đa thức khác không trongk[x1, , xn]

và một thứ tự đơn thức> Hạng tử dẫn đầu của đa thức f, kí hiệuLT>(f ),

là hạng tử lớn nhất của đa thứcf đối với thứ tự> NếuLT>(f ) = P

LT (f ) = 3x3y2z, LC(f ) = 3, LM (f ) = x3y2z.c) Đối với thứ tự từ điển ngược ta có:

LT (f ) = 4x2y4, LC(f ) = 4, LM (f ) = x2y4.Định lí 1.2.8 (Thuật toán chia trong vành đa thức)

Cố định một thứ tự đơn thức bất kì > trong Zn≥0 Đặt F = (f1, , fs) làmột S-bộ các đa thức đã sắp thứ tự trong k[x1, , xn] Vì thế, mọi đa thức

f ∈ k[x1, , xn] đều viết được dưới dạng f = a1f1 + + asfs + r, trong

đó ai, r ∈ k[x1, , xn], thỏa mãn:

(i) Với mọi i = 1, , s, nếu aifi 6= 0 thì LT>(f ) ≥ LT>(aifi)

(ii) r = 0 hoặc r là một tổ hợp tuyến tính các đơn thức,với hệ số trong

k, trong đó không có đơn thức nào chia hết cho các LT>(f1), , LT>(fs)

Ta gọi r là phần dư của f khi chia cho F Kí hiệu r = ¯fF

Định nghĩa 1.2.9 Cho I ⊂ k[x1, , xn] là một iđêan khác 0

(i) LT (I) là tập hợp các hạng tử dẫn đầu của f trong I Hay ta có:

LT (I) = {cαxα : ∃f ∈ I|LT (f ) = cαxα}

(ii) hLT (I)i là iđêan dẫn đầu sinh bởi các phần tử của LT (I)

Mệnh đề 1.2.10 Cho I ⊂ k[x1, , xn] là một iđêan

(i) hLT (I)i là một iđêan đơn thức

(ii) Với g1, , gt ∈ I ta có hLT (I)i = hLT (g1), , LT (gt)i

1.2.3 Định nghĩa cơ sở Groebner

Định nghĩa 1.2.11 Cố định thứ tự đơn thức bất kì trongk[x1, , xn]

I ⊂ k[x1, , xn] là một iđêan Một cơ sở Groebner của I là tập hữu hạncác đa thức G = {g1, , gs} ⊂ I nếu và chỉ nếu:

Vậy f ∈ I khi và chỉ khi r ∈ I

Dễ thấy, nếu r = 0 thì f ∈ I Ngược lại nếu f ∈ I và r 6= 0 thì r ∈ I

và vì G là cơ sở Groebner của iđêan I nên tồn tại i ∈ {1, , s} sao cho

LT (gi)|LT (f ) Điều này mâu thuẫn vì r = ¯fG Do đó ta có r = 0 và

¯

fG = 0

Hệ quả 1.2.13 Nếu G = {g1, , gs} là một cơ sở Groebner của iđêan

I thì Glà một hệ sinh của I tức là I = hg1, , gsi NếuI = h0i thì G = ∅

và h∅i = {0}

Chứng minh Ta có hg1, , gsi ⊂ I Ngược lại: ∀f ∈ I −→ ¯fG = 0

Do đó f ∈ hg1, , gsi hay I ⊂ hg1, , gsi

Định lí 1.2.14 Cố định thứ tự đơn thức bất kì và I ⊂ k[x1, , xn] làiđêan Phép chia f ∈ k[x1, , xn] bởi một cơ sở Groebner G của I được

viết là f = g + r với g ∈ I và không có hạng tử nào trong r chia hết chobất kỳ phần tử của LT (I) Phần dư r được xác định là duy nhất.

Chứng minh Giả sử có hai phần dưr vàr0 Tức là ta cóf = g+r = g0+r0

Suy ra ∀q1, , qs, q10, , qs0 ∈ R sao cho: f = q1g1 + + qsgs+ r = q10g1 + + qs0gs+ r0 Từ đây ta suy ra:r − r0 = (q1−q10)g1+ + (qs−q0s)gs ∈ I Vì

{g1, , gs}là cơ sở Groebner của I nên với mọi i ≤ sta có:LT (gi)|LT (r −

r0) Điều này không xảy ra nếu LT (r − r0) 6= 0 vì đơn thức của LT (r − r0)

phải là đơn thức của r hoặc r0 Mà theo Định lí 1.2.8, không có hạng tửnào của r và r0 chia hết cho LT (gi) Vậy r = r0

1.2.4 Tiêu chuẩn Buchberger, Thuật toán Buchberger

Định nghĩa 1.2.15 Vớif, g ∈ k[x1, , xn]là các đa thức khác đa thứckhông Cố định một thứ tự đơn thức > và LT (f ) = cxα, LT (g) = dxβ

với c, d ∈ k Đặt xγ = LCM (LM (f ), LM (g)) là bội chung nhỏ nhất của

LM (f ) và LM (g) Một S- đa thức của f và g là một đa thức xác địnhbởi:

Hơn nữa, mỗi đa thức S(fj, fk) có bậc < δ

Định lí 1.2.18 (Tiêu chuẩn Buchberger)

Cho I = hg1, , gti Một tập hợp hữu hạn G = {g1, , gs} là một cơ sởGroebner của I nếu và chỉ nếu S(gi, gj)G = 0 ∀i 6= j

Chứng minh Điều kiện cần: Do gi, gj ∈ I nên S(gi, gj) ∈ I Vì G làmột cơ sở Groebner của I, theo Định lí 1.2.14 thì đa thức dư của S(gi, gj)

trong phép chia cho G xác định duy nhất và S(gi, gj)G = 0

Điều kiện đủ: Giả sử với mọi cặp 1 ≤ i 6= j ≤ s, một đa thức dưcủa S(gi, gj) trong phép chia choG bằng 0 Ta cần chứng minh G là cơ sởGroebner

Cho f ∈ I = hg1, , gsi Khi đó ∃h1, , hs ∈ k[x1, , xn] sao cho:

f = h1g1 + + hsgs (1.1)Trong tất cả những biểu diễn như trên của f, ta chọn biểu diễn sao cho

max{LM (h1g1), , LM (hsgs)} nhỏ nhất Đơn thức này hoàn toàn xácđịnh vì thứ tự đơn thức là thứ tự tốt Ký hiệu là: m = xd Để đơn giản tagiả sử biểu diễn trên thỏa mãn: max{LM (h1g1), , LM (hsgs)} = m.Giả sử LM (f ) < m Khi đó các hạng tử lớn nhất của higi triệt tiêunhau Đặt mi = LM (higi), tách các hạng tử cao nhất ra để vận dụng Bổ

LM (TjkS(gj, gk)) < m (1.5)Theo giả thiết đa thức dư của S(gj, gk)trong phép chia choG là không,nên có thể viết

Trong đó pijk ∈ k[x] sao cho

LM (pijkgi) ≤ LM (S(gj, gk)) (1.7)Thay (1.6) vào(1.4) ta được

LM (f ) = LM (higi) = LM (hi)LM (gi)hayLT (f ) ∈ hLT (g1), , LT (gs)i.Theo định nghĩa G là cơ sở Groebner của I

Chú ý 1.2.19

i) Vì S(f, g) = −S(g, f ) nên để thử xem G = {g1, , gs} có phải là cơ

sở Groebner hay không, ta chỉ cần thử cho các cặp hạng tử S(gj, gk) với

j < k

ii) Nếu LT (f ) và LT (g) nguyên tố cùng nhau thì ta có:

S(f, g) = LT (g).f − LT (f ).g = −(g − LT (g))f + (f − LT (f ))g

Đặt smg = LM (g − LT (g)) và smf = LM (f − LT (f )) Ta xét trườnghợp nếu smg.LM (f ) = smf.LM (g) thì do tính nguyên tố cùng nhau sẽsuy ra smg chia hết cho LM (g) Điều này vô lý, vì smg < LM (g) Do đó

ở đẳng thức trên phải có:

max{LM ([g − LT (g)].f ), LM ([f − LT (f )].g)} = LM (S(f, g)).

Tức là có một phép chia S(f, g) cho G mà phần dư của nó bằng không

Do vậy không cần thử Tiêu chuẩn Buchberger cho các cặp có hạng tử dẫnđầu nguyên tố cùng nhau

Với những khái niệm về S−đa thức và tiêu chuẩn Buchberger, ta cóthuật toán tìm cơ sở Groebner của một iđêan I từ một hệ sinh tùy ý của

S như sau:

Định lí 1.2.20 (Thuật toán Buchberger)

Xét iđêan I = hf1, , fsi 6= 0 là một iđêan đơn thức Cơ sở Groebner

G = {g1, g2, , gt} của I được xây dựng qua một số bước hữu hạn theothuật toán sau:

p, q, S(p, q) đều nằm trong I Từ đó ta thực hiện phép chia cho G0 ⊂ I và

G ∪ {S} ⊂ I Như vậy ta đã thêm G vào cơ sở F của I nên Gcũng là một

cơ sở của I Thuật toán dừng khi G = G0 nghĩa là S := S(p, q)G

0

= 0 vớimọi p, q ∈ G Vậy G là cơ sở Groebner của hGi = I

Ta tiếp tục chứng minh thuật toán dừng lại sau hữu hạn bước Ở mỗibước, ta có G = G0 ∪ {S} với G ⊂ G0 và LT (G0) ⊂ LT (G) Chú ýrằng LT (S) ∈ LT (G) không chia hết cho hạng tử đầu của LT (G0), tức là

LT (S) ∈ LT (G0) Suy ra LT (G0) 6= LT (G) Vậy ta có một dãy dừng cáciđêan trong k[x1, , xn], đó là vành Noether Nghĩa là thuật toán dừng lạisau hữu hạn bước

Ví dụ 1.2.21 Cho ideal I = x2y + x, xy2 + y − 2x Tìm cơ sởGroebner của I

cơ sở Groebner cực tiểu và rút gọn dựa vào các kiến thức sau:

Bổ đề 1.2.22 Cho G là một cơ sở Groebner của iđêan I Nếu lấy một

đa thức p ∈ G sao cho LT (p) ∈ hLT (G − {p})i thì G − {p} là một cơ sởGroebner của I

Chứng minh Ta có: hLT (G)i = hLT (I)i Nếu LT (p) ∈ hLT (G − {p})i

thì hLT (G − {p})i = hLT (G)i Theo định nghĩa G − {p} cũng là cơ sởGroebner của I

Định nghĩa 1.2.23 Cơ sở Groebner cực tiểu của iđêan đơn thức I làmột cơ sở Groebner của I sao cho: