CHUỖI LŨY THỪA

CHUỖI LŨY THỪA CHUỖI LŨY THỪA ĐỊNH NGHĨA Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng 0 1 ( ) ,nn n a x x ∞ = −∑ na R∈ là giá trị cho trước Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp 0 1 ( )nn n E x R a x x[.]

CHUỖI LŨY THỪA

ĐỊNH NGHĨA

Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng:

0 1

( ) ,n

n n

a x x

∞

∑ a n ∈ R là giá trị cho trước

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là tập hợp:

0 1

Nế u hộ i tụ tại thì hộ i tu tuyệ t đố i trong

n n n

a x

x x

Xét chuỗi , với một giá trị cụ thể chuỗi trở thành chuỗi số ( có thể có dấu bất kỳ)

Xét chuỗi TTĐ:

0 1

n n

Nhắc lại: Hai chuỗi cùng hội tụ và

phân kỳ theo tiêu chuẩn C-D

Tiêu chuẩn Cauchy:

lim |n |

n n

Bán kính hội tụ

( x0 − R x, 0 + R) gọi là khoả ng hộ i tụ củ a ch uỗ i.

Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ

Tiêu chuẩn D’ALEMBERT:

Bán kính hội tụ

( x0 − R x, 0 + R) gọi là khoả ng hộ i tụ củ a ch uỗ i.

Vậy nếu đã biết BKHT thì miền hội tụ của chuỗi chỉ

→∞ +

=

1 lim

Chú ý: Công thức tính bán kính hội tụ là nghịch

đảo của công thức Cauchy-D’A

Chuỗi lũy thừa tổng quát

1 : chuỗ i trở thà nh phâ n kỳ

1

( !) (2 )!

2 / Tìm bá n kính hộ i tụ: n

n

n

x n

→∞

=

+ +

2 1

n

x n

¥

=

+

+å

5/ Tìm miền hội tụ

Tính chất của chuỗi lũy thừa

Chú ý

1 Chuỗi lũy thừa liên tục trên miền xác định

2 Trong khoảng hội tụ , đạo hàm (tích phân) của tổng chuỗi bằng chuỗi đạo hàm (tích phân) tương ứng.

3 Bán kính hội tụ của chuỗi đạo hàm và chuỗi tích phân bằng BKHT của chuỗi ban đầu.

n n

x x

− 2

−

−

( )

4 3 ( )

x

x x

−

, 1,1 1

CHUỖI TAYLOR

Cho hàm f khả vi vô hạn trong lân cận x0

khi đó, chuỗi Taylor của f trong lân cận này là

( )

0

0 0

x x n

Chuỗi Maclaurin cơ bản

R N

D

α α

α α

n

x x

n

n n

n

x x

n x x

n

D

x x

( 1)

4

n n

n

X n

2 2

2 x 1 2 x 3

1 1 7 1 1

21 61

3

x x

n n

( ) 1

f x =

0

1 2

n n

Áp dụng chuỗi Maclaurint cơ bản để tính tổng

chuỗi lũy thừa và chuỗi số.

2 /

n n

x n

( 1)!

n

n

n x n

−

∞

=

+

+

Hàm e

Áp dụng chuỗi Maclaurint cơ bản để tính tổng chuỗi lũy thừa và chuỗi số.

1 1

( 1)

4 / ( 1)

(2 )!

n n

n

x n

5 / ( 1)

(2 1)

n n

n

x n

TỔNG CHUỖI SỐ

Cho chuỗi lũy thừa Gọi là tổng chuỗi

1

n n n

n n

n n

x d

n n

2

n n

n n

Hướng dẫn

( )

2

3 2 2

x n

→∞

( ) 1 1

x d

++

n n

n n

x n

1

n n n n

n n

1

n n n

1 13

3lim 1

2 Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:

( )

1

1)

n n

n n

x a

n

∞

=

−

8)

!

n

n n

x e

x n

∞

=

− +

Chuỗi đan dấu với

Chuỗi ht theo tc Leibnitz.

: 3,3

MHT D = −

n n

x n

1 2

n

x n

2 9

3

n n

n

n

x n

n n

1

2 9

n n

n n

( ) ( ) 2 1

8)

!

n

n n

x e

4 Tính tổng của các chuỗi lũy thừa sau:

1 1

x n

2 / ( 1)

1

n n

n

x n

3 /

( 1)!

n n

nx n

4 / ( 1)

( 1)!

n n

n

x n

∑

+

1 2 1

3/Cho chuỗi lũy thừa

2 1

2 cos ( / 3)( )

!

n

n n

Bài tập

Tính tổng riêng và tổng chuỗi (nếu có)

2 1

2 1)

4 Tính tổng của các chuỗi số sau:

1

( 1)3)

∑

2 0

1

6 / ( 1)

(2 1)!

n n

5 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi:

1

1/

ln( 2)(2 )!!

n n n

x n