skkn-boi-duong-hsg

A ĐẶT VẤN ĐỀ A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý do chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐẠT HIỆU QUẢ” II Thực trạng việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS Lý Tự Trọng trong những năm qua 1/ Thực t[.]

A- ĐẶT VẤN ĐỀI- Lý do chọn đề tài:

“PHƯƠNG PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐẠT HIỆU QUẢ”

II- Thực trạng việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS Lý Tự Trọng trong những năm qua

1/.Thực trạng:

Sơ lược về địa phương và trường THCS Lý Tự Trọng – TP Trà Vinh

2/.Kết quả, thực trạng trên và một số vấn đề đặt ra trong việc bồi dưỡng HS giỏi.3/.Phạm vi, đối tượng

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Các biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi của trường THCS Lý Tự Trọng:1/.Nâng cao nhận thức và trách nhiệm bồi dưỡng học sinh giỏi

2/.Xây dựng kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi

3/.Xây dựng đội tuyển học sinh giỏi

A- ĐẶT VẤN ĐỀ I-Lý do chọn đề tài:

Việc bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm phát hiện ra học sinh có năng khiếu đểbồi dưỡng Động viên khích lệ học sinh học tập, khích lệ giáo viên dạy giỏi gópphần nâng cao chất lượng của quá trình dạy- học Bồi dưỡng học sinh giỏi nhằmđào tạo nhân tài cho đất nước Bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường Trung học cơ

sở có ý nghĩa thật to lớn Nhằm phát hiện ra những tài năng, nhân tài cho đấtnước

Trong các môn học, Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trongkhoa học kĩ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng cácmôn khoa học khác có hiệu quả Thông qua việc học toán, học sinh có thể nắmvững được nội dung toán học và phương pháp giải toán, từ đó vận dụng vào cácmôn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên

Vậy làm thế nào để công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt dược kết quảcao? Đây là một công việc khó khăn đối với giáo viên đang giảng dạy ở trườngTHCS Thực tế cho thấy, những thầy cô giáo được phân công phụ trách bồidưỡng học sinh giỏi thực sự hết sức lo lắng, bởi công tác bồi dưỡng học sinhgiỏi còn gặp nhiều khó khăn

Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn trên, với sự đóng góp của giáo viên trong

tổ, tôi thực hiện chuyên đề: “MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP BỒI DƯỠNG

HỌC SINH GIỎI TOÁN ĐẠT HIỆU QUẢ” Trong chuyên đề này tôi chỉ

trình bày một số bài toán cơ bản về phương trình, phân tích đa thức thành nhân

tử, chứng minh đẳng thức, rút gọn phân thức, cùng một số bài toán hình học có

vẽ thêm các yếu tố phụ khi chứng minh trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi.Tôi xin phép được trình bày để cùng quý thầy cô tham khảo và chia sẽ

II-Thực trạng việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS Lý Tự Trọng :

1/ Thực trạng

Sơ lược về địa phương và trường THCS Lý Tự Trọng- TP Trà Vinh

- Trường Trung học cơ sở Lý Tự Trọng tọa lạc phường 1, TP Trà Vinh trung tâmtỉnh tỉnh Trà Vinh, trường có 43 lớp, với khoảng 1.700 học sinh đang theo học

- Đời sống của nhân dân đa số dựa vào: buôn bán, dịch vụ, công nhân viên chức.lao động không thường xuyên, … một số ít gia đình điều kiện kinh tế còn khókhăn, … nên việc quan tâm đến vấn đề học tập của học sinh còn nhiều hạn chế

a/ Đội ngũ giáo viên Tổ Toán- lý

Tổ Toán- Lý trường THCS Lý Tự Trọng gồm 24 giáo viên, số lượng giáo viên đủ biên chế, đáp ứng việc hoàn thành xuất sắc kế hoạch giáo dục được giao hàng năm:

- Được đào tạo về chuyên môn cơ bản (Đạt chuẩn, đa số trên chuẩn), có sứckhỏe, sức trẻ, có lòng nhiệt tình trong mọi công việc Luôn luôn học tập trau dồitri thức, nhằm phục vụ tốt nhất cho sự nghiệp giáo dục- đào tạo

- Trong quá trình giảng dạy, tuy gặp không ít khó khăn nhưng phần lớn các thầy

cô giáo đều có tinh thần vượt khó đặt lên hàng đầu, đây là một trong nhữngthuận lợi góp phần vào sự thành công của ngành giáo dục- đào tạo

- Có sự đầu tư vào nghiên cứu và sáng tạo khi thực hiện nhiệm vụ

b/ Đội ngũ học sinh của trường

- Các em học sinh chăm ngoan, chuyên cần, cần cù chịu khó, vâng lời dạy bảocủa thầy cô

- Các em học có kiến thức cơ bản vững vàng, học lực đa số khá giỏi

- Có trách nhiệm trong học tập, hăng say phát biểu, tích cực nghiên cứu,

- Có ý thức vươn lên trong học tập, từng bước yêu thích các môn học đặc biệt làmôn toán

- Các em tích cực tham gia các phong trào: Giải đề theo báo khăn quàng đỏ, thi

violympic toán trên mạng (nếu có), tham gia học giải toán trên máy tính casio,

Luôn đạt các thành tích cao

Tuy nhiên các em học sinh còn những tồn tại:

- Đời sống kinh tế gia đình của học sinh còn nhiều khó khăn

- Ngoài giờ học một số em còn phụ giúp gia đình

- Một số ít cha- mẹ học sinh vì hoàn cảnh gia đình, thiếu quan tâm đến việc họccủa con em mình, giao phó việc giáo dục cho GV

- Chất lượng học tập của các em không đồng đều trong một lớp

- Còn bị tác động phức tạp trong xã hội

c/ Thực trạng về cơ sở vật chất

- Có đủ cơ sở vật chất để phục vụ cho việc học tập của học sinh

- Có đủ phương tiện phục vụ cho mục đích giảng dạy như: Phòng bộ môn, máychiếu, máy tính, bảng từ, đường truyền internet,

- Điều kiện để tiếp cận khoa học công nghệ thông tin qua việc học tập bộ môntoán ngày càng phát triển

2/ Từ thực trạng trên, một số vấn đề đặt ra trong việc bồi dưỡng HS giỏi.

Qua kiểm tra chất lượng đầu năm học, được sự quan tâm của Ban lãnhđạo trường cho phép TTCM có kế hoạch bồi dưỡng HSG từ khối 6, 7, 8, 9 đểchuẩn bị thi HSG vòng trường, Thành phố Riêng khối 9 thi HSG vòng Tỉnh, thituyển vào trường Chuyên, DTNT, THPT đại trà

Do đó, tất cả thầy cô trong tổ đều có tâm huyết cao với chuyên môn Mỗithầy cô đều có một tinh thần trách nhiệm với nhiệm vụ “Vì học sinh thân yêu”.Thầy cô luôn cố gắng để hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao

Trong quá trình giảng dạy nhiều năm, mặc dù có nhiều kinh nghiệm tronggiảng dạy: “Khắc sâu kiến thức trọng tâm từng bài, từng chương”, phối kết hợptốt với đồng nghiệp qua các tiết dự giờ, thao giảng, hội giảng, mở chuyên đề đểhọc hỏi lẫn nhau Chất lượng bồi dưỡng HSG bộ môn toán ở trường có đạt hiệuquả trong các kì thi HSG nhưng so với các bộ môn khác chất lượng môn Toánvẫn chưa đạt cao Điều đó đòi hỏi ở mỗi GV dạy bộ môn toán phải luôn trau dồinghiệp vụ chuyên môn, phương pháp giảng dạy để từng bước nâng cao chấtlượng dạy học

Để HS có được vốn kiến thức cơ bản của môn toán không những ngườithầy phải biết sử dụng kết hợp tốt các phương pháp dạy học để truyền thụ trithức cho các em mà theo tôi nghĩ còn một vấn đề không kém phần quan trọng đó

là “Làm thế nào để bồi dưỡng HSG môn toán đạt hiệu quả cao”

3 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

- Phạm vi áp dụng của chuyên đề: “Làm thế nào để bồi dưỡng HSG môn Toán

đạt hiệu quả cao” (về phương trình và vẽ các yếu tố phụ), dùng cho bộ môn toán

cấp THCS, đề tài đi sâu vào việc tổ chức thực hiện và biện pháp bồi dưỡng họcsinh giỏi của trường Trung học cơ sở Lý Tự Trọng để đạt kết quả cao và một sốbài toán trong quá trình bồi dưỡng

- Phạm vi nghiên cứu: Tổ toán- lý

- Đối tượng nghiên cứu là các em học sinh khối 8 trường THCS Lý Tự Trọng

B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Các biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán của trường THCS Lý Tự

Trọng 1/ Nâng cao nhận thức và trách nhiệm bồi dưỡng học sinh giỏi

- Nhận thức tầm quan trọng của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi là giải phápđầu tiên vô cùng quan trọng Nó quyết định việc tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏiđúng hướng và đạt hiệu quả

- Giáo viên cần quán triệt đầy đủ sâu sắc các hệ thống văn bản, chính sách liênquan đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời tham mưu với cấp trên hỗtrợ nguồn kinh phí cho hoạt động chuyên môn

- Thường xuyên sinh hoạt chuyên môn để rút kinh nghiệm cho công tác giảngdạy của GV và học tập của HS

- Vận động tuyên truyền sâu rộng trong và ngoài nhà trường, cho học sinh thấyđược tầm quan trọng, vinh dự khi đạt thành tích trong các kì thi học sinh giỏi

- Ghi nhận thành tích của giáo viên, học sinh Được công nhận giáo viên giỏiphải có học sinh giỏi Cùng với hội khuyến học, Hội CMHS và chính quyền địaphương tuyên dương thành tích của giáo viên giỏi và học sinh giỏi

2/ Xây dựng kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi

Tổ chuyên môn Toán- Lý xây dựng kế hoạch bồi dưỡng HS giỏi liên tục

và kế thừa trong 4 năm Với những nội dung sau:

- Kế hoạch chọn đội tuyển:

+ Yêu cầu tuyển chọn: tất cả học sinh đang học các khối 6, 7, 8, 9

+ Thời gian tuyển chọn: Qua quá trình học tập các khối lớp dưới, qua kiểm tra chất lượng đầu năm, có kế hoạch chọn HSG, lập đội tuyển

+ Giáo viên tuyển chọn học sinh giỏi: Là giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môntoán của các khối

- Kế hoạch bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán các khối :

+ Giáo viên tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán theo từng chuyên

đề khi phân công

Thí dụ: Phân công giáo viên bồi dưỡng học sinh theo các chuyên đề:

1/.Khối 6: Chia hết, các phép tính trong N, hình học, …

2/.Khối 7: Cộng trừ đa thức, các phép tính về lũy thừa, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, tam giác bằng nhau, …

3/.Khối 8: Phân tích đa thức thành nhân tử, phương trình, các phép tính về phân thức, giải bài toán bằng cách lập phương trình, bất phương trình, tứ giác, diện tích đa giác, tam giác đồng dạng, hình không gian, …

4/.Khối 9: Các phép tính về căn thức, hàm số, phương trình, hệ phương trình,

đồ thị, giải bài toán bằng cách lập phương trình- hệ phương trình Hệ thức lượng trong tam giác vuông, đường tròn, hình không gian, …

+ Nội dung, chương trình, đề thi cho học sinh giỏi bao giờ cũng có những yêucầu cao hơn so với chương trình chuẩn kiến thức- kỹ năng cùng cấp lớp

+ Bài tập rèn luyện từ cơ bản, nâng cao dần lên, đồng thời hướng dẫn cho họcsinh nhiều cách giải đối với một bài toán

+ Thời gian bồi dưỡng rải đều trong năm, không nên dạy dồn ở tháng cuối trướckhi thi Tổ chức bồi dưỡng hàng tuần, tháng, mỗi tuần 2 tiết vào ngày chủ nhậttheo từng chuyên đề

+ Bồi dưỡng cho các em phải có tính chọn lọc, phù hợp theo theo sự phát triểncủa từng cá nhân

Sau một thời gian khoảng 3-4 tháng bồi dưỡng, phải tiến hành thi để chọn HSG vòng trường, củng cố lại đội tuyển các khối và được GV tiếp tục bồi dưỡng

để thi HSG cấp Thành phố, sau đó tiếp tục phân công giáo viên bồi dưỡngnhững học sinh đạt vòng thành phố, để chuẩn bị thi HSG vòng tỉnh đối với họcsinh khối 9

3/ Xây dựng đội tuyển học sinh giỏi

a/ Tổ chức phát hiện

Để phát hiện học sinh giỏi, thường có các dấu hiệu sau:

+ Học sinh có năng khiếu toán, số học sinh này thường không nhiều và do giáoviên trực tiếp dạy phát hiện được Những học sinh này khi làm bài thường cónhững cách giải lạ, độc đáo hoặc thường đặt ra những vấn đề tích cực trong họctập

+ Học sinh say mê học tập môn toán, các học sinh này có thể chưa thật giỏinhưng vì say mê, yêu thích môn toán nên có thể trở thành học sinh giỏi toán nếuđược hướng dẫn và bồi dưỡng

+ Việc phát hiện và chọn học sinh giỏi được dựa trên các cơ sở sau: Căn cứ vàothành tích đạt được các năm học trước, qua kiểm tra chất lượng đầu năm, qua sựtheo dõi của giáo viên trong quá trình giảng dạy, căn cứ vào đề nghị của giáoviên trực tiếp giảng dạy trên lớp, căn cứ vào kết quả các kỳ thi học sinh giỏitrong toàn trường

b/.Tuyển chọn học sinh giỏi

Việc Tuyển chọn học sinh giỏi căn cứ vào kết quả các kì thi sau:

+ Vòng thi của trường: Đề thi được lấy từ ngân hàng đề của trường, của giáoviên, phải đảm bảo mức độ nâng cao kiến thức cho học sinh ở môn toán

+ Tổ chức kiểm tra năng lực, năng khiếu của học sinh:

Đây là công việc đầu tiên của người giáo viên dạy bồi dưỡng Mỗi giáoviên phải nắm được năng lực của từng học sinh trong đội tuyển, năng lực diễnđạt, năng lực suy luận, năng lực sáng tạo, Công việc này được tiến hành bằngcách giáo viên tổ chức cho học sinh làm bài kiểm tra tại lớp

+ Kiểm tra khả năng nắm kiến thức cơ bản của học sinh:

Sở dĩ phải có bước này bởi một yêu cầu đối với học sinh giỏi là phải nắm

vững kiến thức cơ bản (chuẩn kiến thức- kỹ năng) từ đó xây dựng trên chuẩn

kiến thức- kỹ năng

Những HS đạt HS giỏi cấp trường được bồi dưỡng để dự thi HS giỏi cáccấp Đây là những HS trong đội tuyển các khối.

c/.Tổ chức bồi dưỡng

Giáo viên dạy bồi dưỡng có năng lực chuyên môn vững vàng, chủ độngtrong kế hoạch bồi dưỡng, nắm được mặt mạnh, mặt yếu của học sinh, nhờ đótích lũy được nhiều kinh nghiệm

Phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cũng thay đổi theo phươngpháp đổi mới học sinh phải được hướng dẫn tham khảo qua các nguồn tài liệu,đọc sách, hướng dẫn tự giải các đề thi và tìm hiểu qua Internet

Trong giờ bồi dưỡng, yêu cầu giáo viên phải kết hợp việc rèn luyện kỹnăng, luyện trí nhớ với các hoạt động độc lập, sáng tạo, tích cực và bồi dưỡngkhả năng tự học cho học sinh

Sau mỗi tháng yêu cầu giáo viên cho học sinh làm bài kiểm tra và chấmbài, chữa bài và nhận xét kết quả học tập của từng học sinh

Căn cứ từ đó có thể củng cố lại đội tuyển và bổ sung những học sinh khác

có thành tích cao vào đội tuyển

Ban Giám Hiệu trường THCS Lý Tự Trọng rất quan tâm đến công tác bồidưỡng học sinh giỏi các khối, các môn Từ đầu năm học đã có kế hoạch tuyểnchọn học sinh giỏi các môn trong các khối lớp, chỉ đạo các tổ chuyên môn phâncông giáo viên bồi dưỡng thường xuyên, liên tục theo các chuyên đề phù hợptừng thời điểm cho học sinh Qua giảng dạy, thường xuyên họp nhóm rút kinhnghiệm, để công tác bồi giỏi cho học sinh ngày càng hoàn thiện Nhà trườngthường xuyên tổ chức kiểm tra uốn nắn, rút kinh nghiệm, … Và đây cũng chính

là một trong những nguyên nhân đem lại thành công trong tác bồi dưỡng họcsinh giỏi của nhà trường đạt hiệu quả cao của các khối trong các năm qua Đồngthời cũng không thể bỏ qua sự nhiệt tình, vận dụng công nghệ thông tin mộtcách sáng tạo vào công tác dạy học nói chung, bồi dưỡng học sinh giỏi toán cáckhối nói riêng, như soạn giảng giáo án điện tử, áp dụng phần mềm GSP vào soạngiảng toán THCS, sử dụng bản đồ tư duy trong từng bài dạy, trong tổng kếtchương, … Với những việc làm thiết thực trên đã được giáo viên trường thực

hiện rất nghiêm túc và đạt kết quả rất cao, đã và đang từng bước : “Tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông vào việc đổi mới phương pháp dạy học trong trường THCS”.

4/ Vận dụng một số bài toán trong quá trình bồi dưỡng HSG:

- Trong chuyên đề này, tôi xin giới thiệu với quý thầy cô một số bài toán từ cơbản đến nâng cao, chủ yếu là các bài toán về giải phương trình, chứng minhđẳng thức, rút gọn biểu thức, vẽ yếu tố phụ khi chứng minh bài toán hình học …

- Rèn cho học sinh tự tìm cách giải, tự học, tự nghiên cứu và luyện tập thườngxuyên, liên tục, luyện tập tới đâu củng cố, ôn tập kiến thức đến đó Trong đó cóvận dụng các phương pháp quy nạp, phân tích, tổng hợp,… Trong luyện tập còn

có kiểm tra lựa chọn, sắp xếp hệ thống bài tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đếnphức tạp, những bài tập củng cố kiến thức đến bài tập vận dụng tổng hợp hệthống kiến thức để rèn luyện kỹ năng tổng hợp Đó là một nghệ thuật của mỗigiáo viên trong quá trình bồi dưỡng HSG

- Bồi dưỡng HSG để đạt hiệu quả người GV phải thường xuyên nâng cao nănglực tự học của HS, cùng với HS thảo luận, nêu những thắc mắc, giải thích, kếtluận,… giao bài tập về nhà cho HS tự làm, khuyến khích HS tự thể hiện tài năngqua các bài tập,…

- Đây là kỹ năng cốt lõi đảm bảo và nâng cao hiệu quả chất lượng giảng dạy bồidưỡng cho HS trong các tiết bồi dưỡng HSG Hệ thống các kiến thức cơ bảntrọng tâm của từng phần một

- Một trong những phương pháp để HS đạt được điều đó đối với môn toán đó làkhích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến thức các em cần khắc sâu,tìm tòi những bài toán liên quan để tự học, tự nghiên cứu

MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:

• Phần 1: Đại số

“Phương pháp giải phương trình tích”

- Trước hết giáo viên phải cho học sinh thấy rõ: “Giải phương trình tích là gì”?

- Phải phân tích vế trái thành một tích (thừa số), biến đổi vế trái thành một tíchcủa các đa thức; đơn thức khác của ẩn và vế phải bằng 0

G/V ? :

- Một tích bằng 0 khi nào ?

- Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng bao nhiêu ?

- Cần cho học sinh thấy rõ là: Một tích bằng 0 khi một trong các thừa số phải có một thừa số bằng 0

- Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích đó bằng 0

- Giáo viên đưa ra dạng phương trình tích tổng quát như sau:

- Để giải phương trình tích: A(x1).A(x2 ) … A(xn ) = 0, thì ta cần giải nhữngphương trình nào ?

- Để giải phương trình trên ta cần giải các phương trình sau:

I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN:

VÍ DỤ 1: Giải phương trình: (Dang cơ bản)

(x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)

Nhận xét: Hai tích không có nhân tử chung thì ta phải khai triển và thu gọn đểtìm cách đưa về dạng tích, do đó để giải phương trình này ta cần thực hiện haibước:

Bước 1 : Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích bằng cách chuyểntất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái và đổi dấu các hạng tử đó; vế phải bằng

0; rồi áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế tráithành tích

- Đây là dạng phương trình tích có chứa căn thức bậc hai, để tránh cho học sinh

có thể hiểu bài toán môt cách phức tạp vì phương trình có chứa căn bậc hai nêngiáo viên hướng dẫn học sinh vẫn thực hiện cách giải thông thường

x 0

1 x

- Giải phương trình : x3 −19x−30 0=

- Đối với phương trình này đầu tiên chưa xuất hiện nhân tử chung, cũng không ởdạng hằng đẳng thức nào cả

- Do vậy khi giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp nào

đã biết để phân tích vế trái thành tích (gợi ý phương pháp tách hạng tử )

Cách 2: Phương trình trên có nghiệm: x = –2 Sử dụng lược đồ Horner, ta có:

Giải :

Ta có : 4x3 +14x2 +6x= ⇔0 2 2x( x2 +7x+ =3) 0

⇔2 2x x( 2 +6x x+ + = ⇔3) 0 2x(2x2+6x) + +( x 3)=0

⇔ 2x2x x( + + +3) (x 3)= ⇔0 2x x( +3 2) ( x+ =1) 0

* Ngoài ra chúng ta có thể dùng công thức nghiệm, nhẩm nghiệm a + b + c = 0

III/ DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH:

VÍ DỤ 1:

- Giải phương trình x4 −13x2 +36 0=

- Đây là phương trình bậc 4 ẩn x Để giải dạng phương trình này ta cần đặt biếnphụ sau khi tìm được giá trị của biến phụ ta thay giá trị đó vào biểu thức liênquan ban đầu để tìm nghiệm

-Cách 2: x4−13x2 +36 0= , Tách : –13x2 = –4x2–9x2

VÍ DỤ 2:

- Giải phương trình : 2x4 +5x2 + =2 0

- Để giải phương trình này giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ:

Cách 1: Đặt : x2 = a, (a ≥0), nên ta có cách giải sau :

Giải

2x4 +5x2 + = ⇔2 0 2a2+5a 2 0+ = (tách 5a = 4a + a )

⇔2a2 +4a a 2 0+ + = ⇔(2a2+4a) + + =(a 2) 0

⇔2a a 2( + + + = ⇔ +) (a 2) 0 (a 2 2a 1) ( + =) 0 (nhóm và đặt NTC )

a 2

a 2 0

12a 1 0 a

2

= −

+ =

Điều này không thể xảy ra vì x2 ≥0, với mọi giá trị của x vậy phương trình

đã cho vô nghiệm S = φ