Bài tập Giải tich 3 Bách Khoa Hà Nội

Bài tập định hướng môn Giải tích 3 của trường Đại học Bách Khoa Hà Nội do các giảng viên Viện Toán ứng dụng và Tin học biên soạn năm 2014, bao gồm bài tập về Chuỗi, Phương trình vi phân, Toán tử Laplace giúp các bạn sinh viên luyện tập và củng cố kiến thức môn Giải tích 3.

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014

BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân và chuỗi)

Kiểm tra giữa kỳ : Tự luận, vào tuần học thứ 9

Thi cuối kỳ : Tự luận

I CHUỖI

1) Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của các chuỗi sau

a)

1.2.32.3.43.4.5 

c)

  2 2

n

n n

2) Sử dụng các tiêu chuẩn: So sánh; D’Alembert; Cauchy; Tích phân, xét sự hội tụ

cả các chuỗi sau

110 1

n

n

n



n

n

n n



2 2 2

1 1

n

n n











d)

3 / 4 1

n

n n

n





2 1

n

n n n







2

1 ln







g)

2

ln

n

n

n





2

ln 1

n

n n n









1

ln

n

n

n n









 k)

2

2

1

n

n n

n n n









2 1

3 1 !

8n

n

n n







2 2

1.3.5 2 1

2 n 1 !

n

n n









3) Xét sự hội tụ của các chuỗi số

a)

2

1

1

5

n n







  2 1

2 !

n

n

n n





2 1

5

2n

n

n







 d)

 1 1

1

1

n n

n

n

n











2 1

7n !

n n

n n





2

n

n

n n n









g) 2

1

1

ln

n

n

n





1

sin 2 3 n

n









3

1

ln ln ln







k)

1

!

n

n

n

e n

n







4) Xét sự hội tụ của các chuỗi số

a)  1 2

1

1

n

n

n e







2

ln

n









1

arcsin n

n

e







1

sin

n

n a









1

1.3.5 2 1

3 !n

n

n n







3

1 cos

n

n

a n





g)

2

2

1

2

1

n n

n

n

n

n



3

1 , ( 0, 0) ln







i)  

 32

3

1 2cos

ln

n

n

n

n n











1

n

na

a







5) Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau

a)

1

1



 

2

11

n n n

x x



 

1

1

x n

n xn









d)

1

cos

2nx

n

nx





1 2 1

1 1

n











1

lnn n

n

x

x e











g)

1

, 1

n

n

n x

x

n 













1

1 2

n

n n n

x

x









i)

1

n

n

n

n

x

x





 1 2 5

1

2 1

n n

n

x n















6) Dùng tiêu chuẩn Weierstrass, chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên các tập tương ứng

a)

1 1

n

n n

x

x



1 1

2 2

n n

n

x x











 trên 1 ; 1

c)

1

1

1

2n 1





2 2

2 1

n x

n

e n



 trên 

7) Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau

2

1

2 n

n

x

n







2 1

1

1 n



2 1

3 4

n

n

x n













d)  2

1

2

n n

n

x

n







1 1

1 2

n n

n

n x x











1

1 1

n

n

x n











g)  2 1

1

5

2 4

n n n

x

n









2 1

n n

n









1

!

3 n

n n

n x n









8) Tính tổng của các chuỗi sau

a)

2 5

2

0

, 3 ; 3

n

n

n

x

x n



 



1 1 1

1

2 1 3

n n















c)

2 2

0

, 1 ; 1

n

n

x

x



 

1

1 2

, 1 ; 1

n n

n

x x







 





9) Khai triển thành chuỗi Maclaurin

a)  

3

2

1

x x

f x

x x

 



  sin 3 cos 3

f x  xx x

c)  

2

1 4

f x

x



 d) f x ln 1  x 2x2

10) a) Khai triển ( )f x  x thành chuỗi luỹ thừa của x  4

b) Khai triển   sin x

3

f x 

 thành chuỗi luỹ thừa của x  1

c) Khai triển  

2

1 3x+2

f x

x



 thành chuỗi luỹ thừa của x + 4 d) Khai triển f x lnx thành chuỗi luỹ thừa của 1

1

x x





11) a) Khai triển Fourier các hàm số sau

1/ f x  x, x  , 1 2/ f x 2 , 0x  x , 1 3/ f x 10x, 5 x15

b) Cho f x x2 trên  ;  Hãy khai triển Fourier của hàm f x , sau đó  

tính tổng các chuỗi số  

2 1

1

1 n







2 1

1







II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1) Phương trình phân li:

a) tany dxxlnx dy 0 b) ycosx y

c)

2

2

1

4 13

y x







d) y acosyb, b a0

e) y y2 3y4 0 f) y2xy 1

2

x y y

x y

 

 

  i) x2y35dxy35y dy y2 ,  0  1

k) xy dx1y2 1 x dy2 0, y 8 1

2) Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một

a) y y x 1

x y

x

c) x y2  y2xyx2 0 d) x2y dx x dy0

y x

xy dy y dx x y e dx f) x2y3dy2x y1dx 0

g) xy yln y, y 1 1

x

   h)  xyx dy  y dx 0, y 1 1

3) Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

a) y 2xy 1 2x2 b) y 12y xe x 2e x

x

c)  2

x x y y  x d)  2

y x y  y

e) 2xy3dy y dx2  0 f) 1y2dxarctanyx dy

g) y ycosxsin cos ,x x y 0  0 h) y 1x2  y arcsin ,x y 0  0

4) Phương trình Bernoulli

a)

2

1

xy

y x y

x

2 4

y

y x y x

  

c) y 2 tany xy2sin2x0 d) y dxxx y2 2dy 0

e) 3dy1 3 y3ysinx dx0, y / 2 1

y  yx y x y 

5) Phương trình vi phân toàn phần

a) x2 y dx x2y dy 0 b) y 22 dx x 32 dy 0

x y

c) e x  ysiny dx e y x xcosy dy 0

d) e dx y xe y 2y dy 0, y 1 0

6) Tìm thừa số tích phân  (y) để phương trình sau là phương trình vi phân toàn

phần và giải phương trình đó với  tìm được

2xy23y3dxy3xy2dy 0

7) Tìm thừa số tích phân  (x) để phương trình sau là phương trình vi phân toàn

phần và giải phương trình đó với  tìm được

x y x y

8) Giải các phương trình sau

a) y  4x2y1 b) y23x2dy2xy dx0, y 0 1

c)

2

1

0 1

y

y

x





x

y y e y y 

9) Chứng minh rằng

1

x t

y  x e dt là nghiệm của phương trình xy  y x e 2 x2

b)

n

n

x

y x

n n





 



 là nghiệm của phương trình 1x dy 1 x y dx

10) Giải các phương trình sau

a) y22yy 0 b) yy y2  1 c) y xy y 1

d) xyyx yy2  e) y  y 4 sinx x f) yyx  0

g) y  y xe x 3ex h) 2xy y  y2  1 i) y3y10yxe2x

k) y  y2cos cos 2x x l) y4y8ye2x sin 2x

m) y2y ysinxsinhx n)

3

2

x

x y xy y  ,  1 1,  1 0

2

o) y y y2 2

x x x



   

11) Giải các phương trình sau

a)

x x

e

y  y b) yytanx c) 2

x

e

y y y 

12) Giải các phương trình sau

a) xyxy2  y, y 2 2, y 2  1 b) 1yyy2 0, y 1 0, y 1 1

13) Giải phương trình 2xx2y2x1y2y 2 biết nó có hai nghiệm riêng

y  x y 

14) Giải phương trình  

2

y x

x y xy

x x

 

  với phép biến đổi xtant

15) Giải phương trình

3

2

cos

y

y

x y e y y

y





 bằng cách coi x là hàm của y

16) Giải các phương trình sau

a) y2mym y2 x1e mx2sin ,x m 

x

x

e

y y y x e

x

17) Tìm bốn số hạng đầu tiên khác không của chuỗi luỹ thừa mà tổng của chuỗi đó là

nghiệm của phương trình sau

a) y x y2 0, y 0 0, y 0 1

b) y2x1y1, y 0 0, y 0 1

c) x21y4xy2y 0, y 0 0, y 0 1

d) yxy y 0, y 0 0, y 0  2

18) Giải các hệ phương trình sau

a)

dy

y z dx

dz

x y z dx



 







dx

dt dy

dt









c)

1 cos

dx y dt dy

x

dt t









   



dx y

dt x y

dy x

dt x y











III PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE

3.1 Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược

1 Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace của các hàm số sau

a) f(t) = t ; b) f(t) = e 3t + 1 ; c) f(t) = sinh(kt) d) f(t) = sin2t

2 Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace của hàm số sau

a) f t  t 3t b) f(t) = t  2e 3t c) f(t) = 1 + cosh(5t) d) f(t) = cos2(2t) e) f(t) = (1 + t)3 f) f t te t

g) f t sin 3 cos 3t t h) f t sinh 32 t

3 Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace ngược của hàm

số sau

a)  

4

3

F s

s

5 / 2

F s

s s

4

F s

s





d)  

2

5 3

9

s

F s

s





 

2

10 3 25

s

F s

s





  2 1 3s

F s  s e 

3.2 Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu

1 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải bài toán giá trị ban đầu

a) x'' + 4x = 0, x(0) = 5, x'(0) = 0 b) x''  x'  2x = 0, x(0) = 0, x'(0) = 2

c) x'' + x = sin2t, x(0) = 0, x'(0) = 0 d) x'' + x = cos3t, x(0) = 1, x'(0) = 0

e) x4x3x1, x 0 0 x 0 f) x3x2xt x,  0 0,x 0 2

2 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau

 

x x y x

y x y y







 





 

x x y x y x y

y x y y x y

  



        



   

x x y x y

y x y x y







3 Dùng Định lí 2 để tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo của các hàm số sau

a)  

1 3

F s

s s



1 4

F s

s s





c)  

2 2

1 1

F s

s s



 d)  

2 2

1 1

F s

s s





e)  

1

F s

s s s



4 Sử dụng Định lí 1, chứng minh rằng

a)  n at n  n 1 at

t e t e

s a







! , 1, 2, 3

n at

n

n

t e n

s a 

 L

c)  

 2 2

2

t kt

s k





2

t kt

s k





 L

2

t kt

s k





 L

3.3 Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản

1 Áp dụng Định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace của hàm số sau

a) f(t) = t4e t b) f(t) = e 2t sin3t c)   2cos 2

8

t

f t e t  

2 Áp dụng định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm

số sau

a)   3

F s

s



2

1

F s

s s



 

2

6 25

s

F s

s s





3 Sử dụng các phân thức đơn giản để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau

a)  

2

1 4

F s

s



 

2

5 2

7 10

s

F s

s s





 

1 5

F s

s s



 d)  

4

1 16

F s

s



 

2

2

s s

F s

s s





 

2

2 2

3

2 2

s

F s

s s





 

4 Sử dụng phép phân tích 4 4  2 2 2 2

s  a  s  as a s  as a , chứng minh rằng

a)

3 1

4

s

at at

s a





L

2 1

1 cosh sin sinh cos 2

4

s

a



L

c) 1

1 sinh sin

s

at at

s a a





L

5 Giải phương trình vi phân cấp cao với điều kiện ban đầu

a) x'' + 6x' + 25x = 0, x(0) = 2, x'(0) = 3

b) x''  4x = 3t , x(0) = x'(0) = 0

c) x 3 x6x0, x 0 0, x 0 x 0  1

d) x 4 x0, x 0 0, x 0 x 0 0, x 3  0 1

e) x 4 8x16x 0, x 0  x 0  x 0 0,x 3  0 1

f) x4x13xtet, x 0 0,x 0  2

g) x6x18xcos 2 ,t x 0 1, x 0   1

3.4 Đạo hàm, Tích phân, và tích các phép biến đổi

1 Áp dụng định lí tích chập để tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau

a)  

1 3

F s

s s



 2 2

1 9

F s

s





c)  

2 2

2 4

s

F s

s





 3 2 1

s

F s

s s



2 Dùng các định lí vi, tích phân của phép biến đổi Laplace để tìm phép biến đổi Laplace của các hàm sau

a) f(t) = t sin3t b) f t te2tcos3t c) f t  sin t

t

3t 1

e

f t

t





3 Tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo của các hàm sau

a)   ln 2

2

s

F s

s





 b)  

2 1 ln

s

F s

s s





2

1

ln 1

F s

s

   

4 Biến đổi các phương trình vi phân sau để tìm nghiệm không tầm thường sao cho

 0 0

x 

a) txt2xx0, b) tx''  (4t + 1)x' + 2(2t + 1)x = 0,

c) tx2xtx0, d) tx4t2x13t4x 0

5 Giải bài toán với giá trị ban đầu

 ,  0  0 0

mxcxkx f t x  x 

a) 1, 4, 0,   1, 0

0,

t

m k c f t

t





 







b) 1, 9, 0,   sin , 0 2

t t

m k c f t

t





 







0, 2

t t

m k c f t

t

 





