Đề cương bài tập GT1

Viết khai triền Maclaurin của hàm số ?? = ?2− 1.. ???2? với phần dư Peano đến cấp 12... Xét sự hội tụ, phân kỳ?. Tính các tích phân suy rộng sau : a.. Xét sự hội tụ của các tp suy rộng s

Chương 1: Giới Hạn Dạng 1: Tính giới hạn sau:

1; lim

𝑥→0

ln⁡(1+𝑠𝑖𝑛22𝑥) arctan(𝑒2𝑥−1).𝑐𝑜𝑠3𝑥 9: lim

𝑥→0

𝑥−ln⁡(1+𝑥)

𝑥2

2: lim

𝑥→0(𝑒𝑥+ 3𝑥)1𝑥 10:lim

𝑥→0

1−√𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥 2

3: lim

𝑥→0

ln(1−𝑠𝑖𝑛𝑥)+𝑥 x.(𝑒 𝑥 −1) 11: lim

𝑥→0

√1+3𝑥−√1+5𝑥 𝑠𝑖𝑛3𝑥

4: lim

𝑥→0

ln(1+𝑠𝑖𝑛𝑥)−𝑥

x 𝑡𝑎𝑛𝑥 12 lim

𝑥→0

ln(1+𝑥)−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑒 𝑠𝑖𝑛2𝑥 −1

5: lim

𝑥→0

sinx−𝑥𝑒𝑥

x ln(1+2𝑥) 13: lim

𝑥→𝜋

4

√2.𝑐𝑜𝑠𝑥−1 1−𝑡𝑎𝑛 2 𝑥

6: lim

𝑥→0

cosx−𝑒𝑥+𝑥

x ln(1+2𝑥) 14: lim

𝑥→0

𝑥−ln⁡(1+𝑥)

𝑥 2

7: lim

𝑥→0

sinx−𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥

x ln(1−3𝑥 2 ) 15: lim

𝑥→1( 1

ln 𝑥 − 1

1−𝑥)

8: lim

𝑥→0

𝑥𝑒𝑥−ln⁡(1+𝑥)

𝑥2 16: lim

𝑥→0 𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑐𝑜𝑠3𝑥

𝑥2

1: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0

𝑓(𝑥) = {

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡𝑛ế𝑢⁡𝑥 ≠ 0

⁡⁡𝑎⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑛ế𝑢⁡𝑥 = 0

2: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0

𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 1⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑛ế𝑢⁡𝑥 ≥ 0

⁡⁡𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝑥⁡⁡⁡⁡⁡𝑛ế𝑢⁡𝑥 = 0

3: Xét sự liên tục của các hàm số sau:

𝑓(𝑥) = { 𝑥 𝑠𝑖𝑛

1

𝑥⁡⁡⁡⁡⁡𝑛ế𝑢⁡𝑥 ≠ 0

⁡0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑛ế𝑢⁡𝑥 = 0

Chương 2: Đạo hàm và vi phân Dạng 1: Xét tính khả vi

1 Cho hàm 𝑓(𝑥) = |𝑥|

𝑓(𝑥) = {−𝑥, 𝑥 < 0

𝑥, 𝑥 ≥ 0, ℎà𝑚⁡𝑙𝑖ê𝑛⁡𝑡ụ𝑐⁡𝑡ạ𝑖⁡𝑥0 = 0 Xét tính khả vi của hàm 𝑓(𝑥)?

2 Với điều kiện nào thì hàm số f(x) khả vi tại 𝑥 = 0

𝑓(𝑥) = {𝑥𝑛 𝑠𝑖𝑛

1

𝑥, 𝑥 ≠ 0 0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡, 𝑥 ≥ 0

Dạng 2: Tìm đạo hàm cấp cao

1 Viết khai triền Maclaurin của hàm số 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥) 𝑠𝑖𝑛2𝑥 đến

cấp 10 Từ đó, hãy tính 𝑓(10)(0) =?

2 Viết khai triền Maclaurin của hàm số 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 đến

cấp 10 Từ đó, hãy tính 𝑓(10)(0) =?

3 Viết khai triền Maclaurin của hàm số 𝑓(𝑥) = (𝑥2− 1) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 với

phần dư Peano đến cấp 12 Từ đó, hãy tính 𝑓(12)(0) =?

4 Cho hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛3(𝑥).⁡Hãy tính 𝑓(8)(𝜋

2) =?

5 Cho hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠4(𝑥).⁡Hãy tính 𝑓(10)(0) =?

6 Cho hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2𝑠𝑖𝑛2(2𝑥).⁡Hãy tính 𝑓(0)(0) =?

Chương 3: Cực trị, khảo sát hàm số

1 Tìm cực trị của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑒4𝑥

2 Tìm cực trị hàm số 𝑦 = (𝑥 + 2) 𝑒1𝑥

3 Tìm cực trị hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 +3

2√(𝑥 − 1)3 2

4 Tìm cực trị của hàm số 𝑦 = 𝑥2 𝑒6𝑥

5 Tìm cực trị của hàm số 𝑦 = (𝑥 + 6)𝑒1𝑥

6 Tìm cực trị của hàm số 𝑦 = 𝑥 −3

2√(𝑥 + 1)3 2

Chương 4: Tích phân và ứng dụng Dạng 1: Nguyên hàm , tích phân

1 Tính nguyên hàm ∫1+𝑒𝑑𝑥𝑥

2 Tính nguyên hàm ∫ √1 − 𝑥2𝑑𝑥

3 Tính nguyên hàm ∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 (HD: đặt {𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑣𝑥 = 𝑢 )

4 Tính nguyên hàm ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 (HD; nguyên hàm từng phần)

5 Tính 𝐼 = ∫𝑒𝑒2𝑥.ln 𝑥𝑑𝑥

6 Tính 𝐼 = ∫12𝑥3+4𝑥1 𝑑𝑥

7 Tính 𝐼 = ∫ 𝑥

√1−𝑥𝑑𝑥

1

8 Tính 𝐼 = ∫ 𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥

𝜋 3

−𝜋 3

Dạng 2: Tích phân suy rộng

1 Xét sự hội tụ hay phân kỳ của: 𝐼 = ∫𝟏+∞𝒙𝟐(𝒙+𝟏)𝟏 𝑑𝑥

2 Xét sự hội tụ hay phân kỳ và tính tp:

𝐼 = ∫ 𝟏

𝒙(𝒙 + 𝟏)

+∞

𝟏

𝑑𝑥

3 Xét sự hội tụ, phân kỳ ? Tính các tích phân suy rộng sau :

a ∫2+∞𝑥2𝑥−1𝑑𝑥

b ∫2+∞𝑥3𝑥−1𝑑𝑥 (k65)

c ∫2+∞(𝑥−1)(𝑥+1)1 𝑑𝑥

d ∫0+∞𝑥 𝑒−2015𝑥𝑑𝑥

e ∫1+∞(1+𝑥2𝑥)√1+𝑥2𝑑𝑥

f ∫0+∞𝑠𝑖𝑛⁡𝑥1+𝑥2𝑑𝑥

g ∫3+∞2𝑥2−5𝑥+21 𝑑𝑥

h ∫ 𝑥

(1+𝑥 2 )√1+𝑥 2

+∞

i ∫0+∞𝑐𝑜𝑠⁡𝑥4+𝑥2𝑑𝑥

4 Xét sự hội tụ của các tp suy rộng sau :

a ∫1+∞𝑥3+𝑥𝑥2−8𝑑𝑥

b ∫1+∞√𝑥+1𝑥2−𝑥𝑑𝑥

c ∫1+∞𝑥−√𝑥+1𝑥2−𝑥+4𝑑𝑥

d ∫ cos 𝑥

𝑥2

+∞

1 𝑑𝑥

5 Xét sự hội tụ của tích phân :

𝐼 = ∫ 𝑑𝑥

√1 − 𝑥2 1

−1

6 Xét sự hội tụ và tính tích phân :

𝐼 = ∫ 𝑑𝑥

√𝑥(1 − 𝑥)

1

0

7 Xét sự hội tụ và tính tích phân

𝐼 = ∫ √𝑥𝑑𝑥

√1 − 𝑥4 1

Dạng 3 : Ứng dụng tích phân

1 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi Parabol (𝑃): 𝑦 =

3 − 𝑥2, đường thẳng 𝑦 = −2𝑥 + 3, trục tung và 𝑥 = 1

2 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

𝑦 = −2𝑥2⁡và 𝑦 = −2𝑥 − 4

3 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

𝑦 = 𝑥3− 3𝑥 và 𝑦 = 𝑥

4 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:

a Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số

𝑦 = 𝑒𝑥, trục hoành và hai đường thẳng 𝑥 = 0, 𝑥 = 3

b Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số

𝑦 = 3 − 𝑥2, trục tung và đường thẳng 𝑦 = 1

5 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay hình H

quanh trục 𝑂𝑥, với:

a 𝐻 = {𝑦 = 3𝑎𝑥 − 𝑥2(𝑎 > 0), 𝑦 = 0}

b 𝐻 = {𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 ; 𝑦 = 0; 𝑥 = 1; 𝑥 = 𝑒}

a Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hai hàm số 𝑦 = 𝑥2 và 𝑦 = 2– 𝑥2

b Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai

hàm số 𝑦 = 𝑥⁡và 𝑦 = 2– 𝑥2

7 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi miền giới hạn bởi

𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥3

8 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng

𝐷 giới hạn bởi: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2, 𝑦 = 0 quanh 𝑂𝑥

9 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền phẳng

𝐷 giới hạn bởi: 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2, 𝑦 = 0 quanh 𝑂𝑦’

10 Tính độ dài cung cho bởi:

𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠3𝑡, 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛3𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋

2