Bài giảng lý thuyết vành và mô đun

§¹i häc HuÕ Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Bµi gi¶ng Lý THUYÕT VµNH Vµ M¤§UN (Dµnh cho häc viªn cao häc chuyªn ngµnh §¹i sè Lý thuyÕt sè) TS Tr−¬ng C«ng Quúnh (Chñ biªn) GS TS Lª v¨n ThuyÕt HuÕ (hay §µ N½ng ?) 2012 1 LÒ I NÓI D À̂U Lý thuyết vành và môd̄un d̄óng mô t vai trò quan tro ng trong d̄a i số kết ho p Vó i viê c nghiên cú u nô i ta i cu’a cấu trúc vành, chúng ta d̄ã có d̄u o c D i nh lý nô’i tiếng cu’a Wedderburn Artin, trong d̄ó mô ta’ vành nu ’ a d̄o n nhu l.

§¹i häc HuÕ Tr−êng §¹i häc S− ph¹m

VµNH Vµ M¤§UN(Dµnh cho häc viªn cao häc chuyªn ngµnh §¹i sè - Lý thuyÕt sè)

TS Tr−¬ng C«ng Quúnh (Chñ biªn) - GS.TS Lª v¨n ThuyÕt

HuÕ (hay §µ N½ng ?) - 2012

L `O.I N ´OI D- ˆA` U

L´ y thuyˆe´t v` anh v` a mˆ od¯un d¯´ ong mˆ o.t vai tr`o quan tro.ng trong d¯a.i sˆo´ kˆe´t ho p V´o.i viˆe.c nghiˆen c´u.u nˆo.i ta.i cu’a cˆa´u tr´uc v`anh, ch´ung ta d¯˜a c´o d¯u.o c D - i.nh l´ y nˆ o’i tiˆe´ng cu’a Wedderburn-Artin, trong d¯´ o mˆo ta’ v`anh nu ’ a d¯o.n nhu l`a tˆo’ng tru. c tiˆe´p cu’a c´ac v` anh ma trˆ a.n trˆen mˆo.t thˆe’, m`a v`anh ma trˆa.n trˆen mˆo.t thˆe’ th`ı qu´ a quen thuˆ o.c V´o.i su tˆo’ng qu´at ho´a c´ac khˆong gian vecto., ta c´o d¯u.o c c´ ac mˆ od¯un, v` a la.i c´o pha.m tr`u Mod-R (R-Mod) c´ac R-mˆod¯un pha’i (tr´ai tu.o.ng

´

u.ng) Ngu.` o.i ta la.i d`ung Mod-R v`a R-Mod d¯ˆe’ d¯˘a.c tru.ng v`anh R Phu.o.ng ph´ ap n` ay m´ o.i ra d¯` o.i nhu.ng d¯˜ a to’ ra c´ o hiˆe.u qua’, v`a nhiˆe ` u D - i.nh l´y quan tro.ng

ra d¯` o.i, nhu D - i.nh l´y mˆo ta’ v`anh nu.’a d¯o.n cu’a B Osofsky D˜ı nhiˆen, d¯i xa ho.n,

R Wisbauer d¯˜ a d` ung mˆ o.t pha.m tr`u con d¯ˆa ` y cu’a pha.m tr`u Mod-R d¯´o ch´ınh l`a

σ [M] d¯ˆe’ mˆ o ta’ M R

Trong khuˆ on khˆ o’ mˆ o.t b`ai gia’ng d`anh cho c´ac l´o.p sau d¯a.i ho.c chuyˆen ng` anh D - a.i sˆo´ v`a l´y thuyˆe´t sˆo´, ch´ung tˆoi d¯˜a d¯ˆe` cˆa.p d¯ˆe´n nh˜u.ng kiˆe´n th´u.c co ba’n nhˆ a´t cu’a l´ y thuyˆe´t v` anh v` a mˆod¯un, d˜ı nhiˆen c´ o thˆe’ kˆe’ d¯ˆe´n hai phˆa ` n khˆong t´ach riˆeng nhau: d¯´ o l` a c´ ac cˆ ong cu cu’a n´o nhu c˘an, d¯ˆe´, vˆe´t, c´ai ga.t bo’, v`a c´ac l´ o.p mˆ od¯un v` a v` anh nhu Artin, No.te, nu ’ a d¯o.n, C´ac phˆa ` n n`ay nh˘a`m cung

cˆ a´p cho ho.c viˆen nh˜u.ng kiˆe´n th´u.c co ba’n nhˆa´t, ng˜o hˆa ` u c´o thˆe’ d¯a.t d¯u.o c mˆo.t phˆ ` n n`ao c´ac ´y tu.o.’ng d¯˜a d¯ˆe a ` cˆa.p o.’ trˆen Ngo`ai ra d¯ˆe’ tiˆe.n cho ho.c viˆen tham kha’o, ch´ ung tˆ oi d¯u.a thˆem phˆa ` n kiˆe´n th´u.c vˆe ` mˆod¯un o.’ chu.o.ng 0.

Khˆ ong tr´ anh kho’i nh˜ u.ng thiˆe´u s´ ot trong biˆen soa.n, mong c´ac d¯ˆo.c gia’ thˆ ong ca’m v` a cho ch´ ung tˆ oi nh˜ u.ng g´ op ´ y cˆ ` n thiˆe´t a

T ´ AC GIA’

Typeset by AMS-TEX

(iii) qui tắc unita: m1 = m

trong đó m, m 1 , m 2 là các phần tử tuỳ ý của M, r 1 , r 2 ∈ R

Lúc đó Rđược gọi là vành cơ sở NếuM là mộtR-môđun phải ta thường

kí hiệu M = M R Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm R-môđun trái

Từ định nghĩa ta suy ra ngay các kết quả sau:

r 7ư→ mr

là một đồng cấu nhóm cộng Vì vậy ta có m0 R = 0 M và m(ưr) = ưmr. Đó là

điều phải chứng minh

1.2 Ví dụ.

(1) Không gian vectơ chính là một môđun trên một thể R

(2) Mọi nhóm aben cộng đều có thể xem như là một ZZ-môđun Ngượclại, mọi ZZ-môđun đều thu được từ nhóm aben cộng

(3) Vành R có thể được xem như là môđun phải (trái) trên chính nó.Nhờ trường hợp này người ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất của vành thôngqua môđun trên vành đó

(4) Xét R là vành giao hoán có đơn vị Lúc đó vành R[x] các đa thức

ẩn x lấy hệ tử trong R Xét R[x] với phép cộng thông thường cùng với phépnhân môđun xác định như sau:

Chú ý rằng kí hiệu A < M để phân biệt với kí hiệu có tính tập hợp thuầntuý A ⊂ M Ngoài ra nếu ta viết

A <

6= M có nghĩa là A là môđun con thực sự của M

A 6 < M có nghĩa là A không là môđun con của M

Sau đây là đặc trưng của môđun con

2.1.2 Định lý. Giả sử M là một R-môđun phải Nếu A là tập con khác ∅ của

M, thì các điều kiện sau là tương đương:

RR (RR)

2.1.3 Ví dụ.

(1) Mỗi môđun M đều có hai môđun con tầm thường là {0} (ta sẽ chỉ

kí hiệu là 0) và M, trong đó 0 là môđun chỉ có một phần tử là phần tử khôngcủa môđun M

(2) Cho M R và m 0 ∈ M Lúc đó dùng Định lý 2.1.2 ta có thể thấy

m0R := {mor |r ∈ R}

là môđun con của M

(3) Cho M là không gian vectơ trên thể K Lúc đó các môđun con chính

là các không gian vectơ con

2.2 Giao và tổng các môđun con.

2.2.1 Bổ đề. Cho Γ là một tập nào đó các môđun con của M Khi đó

\

A∈Γ

A = {m ∈ M|∀A ∈ Γ[m ∈ A]}

là một môđun con của M.

Chứng minh: Kiểm chứng dễ dàng nhờ Định lý 2.1.2 và chú ý khi Γ = ∅ thì

\

A∈∅

A = M.

Từ Bổ đề 2.2.1 có thể suy ra ngay

2.2.2 Hệ quả. T

A∈Γ

A là môđun con lớn nhất trong M chứa trong tất cả A ∈ Γ.

2.2.3 Bổ đề. Cho X là tập con của M R Khi đó

A := ( {P n

j=1 xjrj|xj ∈ X, rj ∈ R và n ∈ IN}, nếu X 6= ∅

là môđun con của M.

Chứng minh: Khi X = ∅ thì dễ dàng có A < M Nếu X 6= ∅, ta có

|X) là môđun con bé nhất cuả M chứa X

Bây giờ giả sử D = T C trong đó C < M và X ⊂ C Khi đó X là tập concuả D Do D < M nên |X) < D Mặt khác |X) có thể xem nh− là một trongcác C, nên D < |X) Ta có điều phải chứng minh

2.2.6 Định nghĩa Cho MR

(1) Tập con X cuả M đ−ợc gọi là hệ sinh đối với M nếu |X) = M.

(2) Môđun M (hay iđêan phải, trái) đ−ợc gọi là hữu hạn sinh nếu đốivới M tồn tại hệ sinh gồm hữu hạn phần tử

(3) Môđun M (hay iđêan phải, trái) được gọi là cyclic (iđêan phải chính,iđêan trái chính) nếu nó được sinh bởi một phần tử.

(4) Tập con X cuả môđun M được gọi là độc lập nếu đối với mỗitập con hữu hạn {x1, , xm} ⊂ X mà xi 6= xj với i 6= j (i, j = 1, , m) thì

P m

i=1 x i r i = 0, r i ∈ R kéo theo r i = 0(i = 1, , m).

(5) Tập con X cuả môđun M được gọi là cơ sở đối với M nếu nó là hệsinh đối với M và độc lập

2.2.7 Ví dụ.

(1) Mỗi môđun M có một hệ sinh tầm thường chính là M

(2) Cho R là vành Khi đó {1} là cơ sở của RR (hay RR)

(3) Ta sẽ chứng minh rằngQ IZ không có hệ sinh hữu hạn Trước hết, tachứng minh kết quả sau:

Mệnh đề. Nếu từ một hệ sinh tùy ý X củaQ I Z ta rút ra hữu hạn một số phần

tử tùy ý thì tập hợp các phần tử còn lại vẫn là hệ sinh củaQ IZ

Chứng minh: Chỉ cần chứng minh kết quả đúng khi ta rút một phần tử x0 rakhỏi X Nếu rút nhiều phần tử thì ta chứng minh bằng quy nạp

Vì X là hệ sinh nên x0/2 có thể biểu diễn thành một tổng hữu hạn nhưsau

nghĩa là phần tử x0 được biểu diễn qua tập X \ {x0}. Do X là hệ sinh củaQ IZ

nên X \ {x0} cũng là hệ sinh củaQ IZ

Từ đây, ta suy raQ IZ có hệ sinh vô hạn, vì nếu không, theo như kết quảtrên, sau một số lần rút các phần tử ra khỏi hệ sinh, hệ sinh củaQ I Z sẽ là ∅,hayQ I Z là 0 Vô lí

Chú ý rằng hợp của các môđun con nói chung không phải là môđun con(vì hợp của các nhóm con không phải là một nhóm con) Tuy nhiên dễ dàngsuy ra được:

2.2.8 Bổ đề. Giả sử Λ = {A i |i ∈ I} là tập nào đó các môđun con A i < M R Khi đó:

n

X

a i i=1

, a i ∈ Ai.

Ngoài ra kể cả trong trường hợp Λ là tập vô hạn thì sự biểu diễn ở trong Bổ

đề 2.2.8 là không duy nhất, nghĩa là có thể có P

i∈I 0

ai = P

i∈T 0

at nhưng ai có thểkhác a t

2.2.10 Định nghĩa (1) Môđun M R được gọi là đơn nếu M 6= 0và ∀A < M[A =

0 hay A = M], nghĩa là M 6= 0 và M chỉ có hai môđun con là 0 và M

(2) Vành R được gọi là đơn nếu R 6= 0 và ∀A < RR R [A = 0 hay A = R],

nghĩa là R 6= 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và R

(3) Môđun con A < M được gọi là môđun con cực tiểu (minimal) củamôđun M nếu như A 6= 0 và ∀B < M[B <

6= A ⇒ B = 0].

(4) Tương tự, môđun con A < M được gọi là môđun con cực đại mal) của môđun M nếu như A 6= M và ∀B < M[A <

(maxi-6= B ⇒ B = M].

Ta có:

2.2.11 Bổ đề. M R đơn khi và chỉ khi M 6= 0 và ∀m(6= 0) ∈ M, M = mR.

Chứng minh: Cho MR đơn và m 6= 0. Lúc đó mR 6= 0 (rõ vì m.1 = m ∈ mR)

Từ đó mR = M Đảo lại, cho A 6= 0, A < M và a ∈ A, a 6= 0 Ta có aR = M. Từ

đó M = aR < A < M ⇒ A = M.

2.2.12 Định lý. Cho M R là R-môđun phải hữu hạn sinh khác không Lúc đó mọi môđun con thực sự của M đều chứa trong một môđun con cực đại Đặc biệt, M có một môđun con cực đại.

Chứng minh: Giả sử {m1, m2, , mn} là hệ sinh của M Nếu A <

6= M, thì ta cótập

Khi đó A < C Giả sử C = M Khi đó m 1 , m 2 , , m n ∈ C Vậy tồn tại

B ∈ Γ để m 1 , m 2 , , m n ∈ B Do đó B = M Mâu thuẩn với tính chất B ∈ Γ.Vậy C ∈ F bfh áp dụng Bổ đề Zorn, trong F tồn tại phần tử cực đại D nào

đó Ta chứng minh rằng D là môđun cực đại trong M R Giả sử D < L <

6= M R.Khi đó L ∈ F Theo tính chất cực đại của D trong F, ta có D = L

Khi cho A = 0, ta có kết luận cuối cùng

(i) Qui tắc

M/N ì R ư→ M/N (m + N, r) 7ư→ (m + N ).r = mr + N

(ii) Kiểm tra dựa vào định nghĩa

2.3.2 Định nghĩa. M/N xác định như trong Định lý 2.3.1 được gọi là môđunthương của môđun M trên môđun con N của nó

2.3.3 Chú ý Khi cho I là iđêan phải của R thì lúc đó R/I chỉ trở thành một

R-môđun phải Nhưng khi cho I là iđêan hai phía thì R/I vừa là R-môđunphải và trái, vừa là R/I-môđun phải và trái

Sau đây ta có định nghĩa:

3.1.2 Định nghĩa Đồng cấu α : AR ư→ BR được gọi là đơn cấu nếu nó là

đơn ánh, được gọi là toàn cấu nếu nó là toàn ánh, và được gọi là đẳng cấunếu α là song ánh, nghĩa là nó là toàn cấu và đơn cấu

(3) Cho AR thì ta có tự đồng cấu đồng nhất kí hiệu

(2) Nếu f, g đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) thì gf cũng vậy.

(3) ánh xạ ng−ợc f−1 của một đẳng cấu cũng là một đẳng cấu.

Chứng minh: (1). gf(xα + yβ) = g(f(xα + yβ)) = g(f(x)α + f(y)β) = g(f(x))α + g(f(y))β = (gf)(xα) + (gf)(yβ) với mọi x, y ∈ L, α, β ∈ R.

Bổ đề sau cho ta thấy tính bảo toàn cấu trúc của các đồng cấu:

3.1.6 Bổ đề Cho α : A R −→ BR Lúc đó:

(1) U < A ⇒ α(U) < B.

(2) V < B ⇒ α−1(V ) < A.

Chứng minh: (1) Cho v 1 , v 2 ∈ α(U), Lúc đó, tồn tại u 1 , u 2 ∈ U sao cho

α = v1, α(u2) = v2 Lấy r1, r2 ∈ R Ta có α(u1)r1+ α(u2)r2 = α(u1r1+ u2r2) ∈ α(U).

Suy ra u1r1+ u2r2 ∈ U Vậy α(U) < B

(2) Giả sử a1, a2 ∈ α −1 (V ) Khi đó α(a1), α(a2) ∈ V và lấy r2, r2 ∈ R thì

α(a1r1+ a2r2) = α(a1)r1+ α(a2)r2. Suy ra a1r1+ a2r2 ∈ α −1 (V ) Vậy α −1 (V ) < A

3.1.7 Định nghĩa Theo Bổ đề 3.1.6, α−1(0) là môđun con của AR Ta gọi lànhân của đồng cấu α Kí hiệu Ker(α)

Chú ý rằng nó cũng là nhân của đồng cấu nhóm nên α đơn cấu ⇔

Ker(α) = 0.

Cho AR và ta kí hiệu: HomR(A, R) = { đồng cấu α : AR −→ RR}

3.1.8 Mệnh đề HomR(A, R) cùng với hai phép toán cọng và nhân môđun xác định nh− sau trở thành R-môđun trái

(α + β)(a) := α(a) + β(a), với mọi a ∈ A, (rα)(a) := rα(a) với mọi a ∈ A, r ∈ R.

Chứng minh: Có thể kiểm chứng f + g và rα ∈ HomR(A, R) một cách dễdàng, chẳng hạn ta chứng minh rα ∈HomR(A, R) Với mọia, b ∈ Avà r1, r2 ∈ R

A∗∗R = Hom R ( R Hom R (A R , R R ), R R).

3.2 Các định lý đồng cấu và đẳng cấu.

Như trong trường hợp nhóm và bằng phương pháp tương tự, ta chứngminh được các định lý sau:

3.2.1 Định lý về đồng cấu.

Mỗi đồng cấu môđun α : A R ư→ BR đều có thể phân tích được α = α0ν, trong đó ν : A ư→ A/Ker(α) là toàn cấu chính tắc, còn α0 là đơn cấu xác định bởi

α0 : A/Ker(α) 3 a + Ker(α) 7ư→ α(a) ∈ B

Đơn cấu α0 là đẳng cấu khi và chỉ khi α là toàn cấu.

3.2.2 Hệ quả Cho α : AR ư→ BR là đồng cấu R-môđun Lúc đó :

4.1.1 Mệnh đề. Cho R là vành và (Ai|i ∈ I) là họ các R-môđun phải Ai Tích Descartes Q

4.1.3 Mệnh đề Tập tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Q

i∈I

Ai là môđun con của Q

cũng có giá hữu hạn nên (xi) + (yi) ∈ S Lấy (xi) ∈ S và α ∈ R thì (xiα) cũng

có giá hữu hạn nên (x i )α ∈ S Theo Định lý 5.1.2, S < Q

được gọi là tích trực tiếp của họ đó

(2) Môđun con gồm tất cả các phần tử có giá hữu hạn của Q

i∈I

Ai đượcgọi là tổng trực tiếp (ngoài) của họ (Ai, i ∈ I) Ta hay kí hiệu nó là L

Khi xét đến tổng và tích trực tiếp của các môđun, ta thường hay chú ý

đến một vài loại đồng cấu đặc biệt sau:

πj :Y

i∈I

Ai ư→ Aj

trong đó t i = 0 nếu i 6= j và t i = a j nếu i = j.

Dễ dàng kiểm tra các tính chất sau của các đồng cấu trên

i∈I x i = 0 với phần tử (x i ) có giá hữu hạn Do (2) cáchbiểu diễn 0 = P

i∈I 0 là duy nhất nên xi = 0 với mọi i ∈ I

(3) ⇒ (4) Cho x ∈ M i ∩ ( P

i6=j M j ) thì x = x i = P

i6=j x j trong đó (x j ) cógiá hữu hạn Lập phần tử (x0j) mới như sau:

i∈I x i = 0. Lúc đó với mọi i ∈ I

x i = P

j6=i (ưx j ) ∈ M i ∩ ( P

j6=i M j ) = 0 Vậy Kerf = 0 hay f là một đơn cấu.Tóm lại ta có f là một đẳng cấu

4.2.2 Định nghĩa Cho MR và họ (Mi)i∈I các môđun con của M M được gọi

là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con (M i ) i∈I nếu và chỉ nếu các điềukiện tương đương của Định lý 4.2.1 được thoả mãn Lúc đó ta kí hiệu:

4.2.3 Mối quan hệ giữa tổng trực tiếp trong và ngoài.

(1) Khi cho MR và (Mi)I là họ các môđun con của M Ta luôn luôn lập

được tổng trực tiếp ngoài ⊕

i∈I M i Ngoài ra nếu M i ∩ ( P

j6=i M j ) = 0 với mọi i thì

(2) Nếu cho (Mi)i∈I là họ các R-môđun phải Ta luôn luôn lập được

M = ⊕M i Lúc đó M là tổng trực tiếp trong của họ môđun con (Mi0) I sao chovới mọi i ∈ I, M i ' M 0

i

Thật vậy, với η k : M k ư→ ⊕Mi thì mỗi x ∈ M biểu diễn duy nhất dướidạng x = P

I η i (x i ) trong đó (x i ) có giá hữu hạn Theo Định lý 4.2.1.(2), M

chính là tổng trực tiếp trong của họ Mi0 = ηi(Mi) < M Do ηi đơn cấu nên

Mi0 ' Mi Do những lý do trên người ta thường đồng nhất hai khái niệm trên

và ít khi phân biệt chúng, và dùng chung một kí hiệu ⊕i∈IMi.

4.3 Hạng tử trực tiếp.

4.3.1 Định nghĩa Cho MR và N < M N được gọi là hạng tử trực tiếp của

M nếu tồn tại môđun con P của M sao cho M = N ⊕ P Lúc đó ta nói P làmôđun con phụ của N trong M

Từ định nghĩa ta suy ra ngay:

4.3.3 Mệnh đề. Mọi môđun con phụ của N trong M nếu có đều đẳng cấu với nhau.

Chứng minh: Cho N < M và N có môđun con phụ trong M là P và P0.Lúc đó M = N ⊕ P. từ đó M/N ' (N ⊕ P )/N Theo định lý đẳng cấu thứ nhất,

Chứng minh: Chú ý đối với trường hợp F = 0 thì cơ sở của F chính là tập

∅ và do vậy trong (2) ta lấy I = ∅ Do vậy ta giả sử F 6= 0

Điều này chứng tỏ {ϕi(1)} là hệ sinh của F

{ϕi(1)} độc lập: Điều này suy ngay từ tính chất của tổng trực tiếp trong 5.1.2 Định nghĩa. R-môđun phải F thoả một trong các điều kiện trên của Bổ

đề 5.1.1 được gọi là tự do

5.1.3 Ví dụ:

(1) Vành R là R-môđun phải (trái) tự do với cơ sở là {1}

(2) Mọi không gian vectơ đều là môđun tự do vì chúng luôn có cơ sở(!)

Tổng quát hơn của (1) ta có:

5.1.3 Mệnh đề. Với tập chỉ số I tuỳ ý, môđun L

i∈I

R; được thành lập bằng

cách tổng trực tiếp của I lầnR; là R-môđun phải (trái) tự do với cơ sở có lực l−ợng bằng lực l−ợng của I.

Chứng minh: Xét họ (A i |i ∈ I) mà A i = R R với mọi i ∈ I Theo Bổ đề 5.1.1,

5.2 Mối quan hệ giữa R-môđun tự do và R-môđun.

5.2.1 Định lý. Mỗi R-môđun phải M là ảnh toàn cấu của một R-môđun phải tự do nào đó Nếu MR hữu hạn sinh thì MR là ảnh toàn cấu của một

R-môđun phải tự do với cơ sở hữu hạn.

Chứng minh: Giả sử Y là một hệ sinh nào đó của M Xét môđun tự do

Chứng minh: Giả sử Y là cơ sở nào đó của môđun F R và đối với mỗi b ∈ Y

chọn a b ∈ A sao cho ϕ(a b ) = b Khi đó ánh xạ

ϕ0 : F −→ A X

brb 7−→Xabrb

là đồng cấu do Y là cơ sở Vì vậy

ϕϕ0(Xbr b ) = ϕ(Xa b r b ) =Xϕ(a b )r b = Xbr b ,

6.1.1 Định nghĩa Cho R là vành có đơn vị 1 6= 0 Cho R-môđun phải MR,

R-môđun trái RN và nhóm aben A ánh xạ β : M ì N ư→ A từ tích Descartes

M ì N vào A được gọi là song tuyến tính trong trường hợp với mọi m, m1, m2 ∈

M, n, n 1 , n 2 ∈ N và r ∈ R, β thỏa mãn:

(1) β(m1+ m2, n) = β(m1, n) + β(m2, n),

(2) β(m, n 1 + n 2 ) = β(m, n 1 ) + β(m, n 2 ),

(3) β(mr, n) = β(m, rn).

6.1.2 Ví dụ Ví dụ quen thuộc nhất của ánh xạ song tuyến tính là phép toán

trong (nhân) của vành R: R ì R ư→ R (1), (2) và (3) được thỏa mãn do tínhphân phối hai phía của phép nhân đối với phép cọng và tính kết hợp của phépnhân

6.1.3 Định nghĩa Cho M R và RN là các môđun Cặp (T, τ ) bao gồm mộtnhóm aben T và một ánh xạ song tuyến tính τ : M ì N ư→ T được gọi là

tích tenxơ của M và N nếu với mọi nhóm aben A và mọi ánh xạ song tuyếntính β : M ì N ư→ A tồn tại duy nhất ZZ-đồng cấu (nghĩa là đồng cấu nhóm)

f : T ư→ A sao cho giản đồ sau giao hoán:

Hom Z (T, A) 3 f 7ư→ f ◦ τ ∈ {β|β là ánh xạ song tuyến tính M ì N ư→ A},

là một song ánh.

(2) Nếu (T, τ ) là tích tenxơ của M và N thì τ (M ì N ) sinh ra nhóm T

(Chứng minh xin dành cho bạn đọc)

Tính duy nhất của tích tenxơ thể hiện qua:

6.1.5 Mệnh đề. Nếu (T, τ ) và (T0, τ0) là hai tích tenxơ của M và N thì lúc

đó tồn tại một ZZ-đẳng cấu f : T ư→ T0 sao cho giản đồ sau giao hoán:

cho ta gf = id T Tương tự fg = id T 0 Vậy f là một đẳng cấu

Bây giờ chúng ta bàn đến sự tồn tại của tích tenxơ Để xây dựng đượctích tenxơ của M và N, ta lấy F = ZZ(M ìN ) là nhóm aben tự do sinh ra bởi

M ì N Lúc đó F có cơ sở tự do (x α ) α∈M ìN và có thể viết F cụ thể như sau:

Chứng minh: Giả sử cho β : M ì N ư→ A là một ánh xạ song tuyến tính từ

M ì N vào nhóm aben A tùy ý Vì F là tự do trên M ì N nên có một đồngcấu nhóm g : F ư→ A sao cho giản đồ sau gisao hoán:

Tương tự kiểm chứng được

g((m 1 , n 1 + n 2 ) ư (m 1 , n 1 ) ư (m 1 , n 2 )) = 0, g((m 1 r, n 1 ) ư (m 1 , rn 1 )) = 0.

Suy ra K ⊆ Kerf Theo định lý cơ bản của đồng cấu nhóm, tồn tại một

ZZ-đồng cấu f : T ư→ A sao cho giản đồ sau giao hoán:

Qua các Mệnh đề vừa nêu, ta nhận thấy rằng khi cho M R, R N và (T, τ )

là tích tenxơ vừa mới thiết lập, thì (T, τ ) xác định duy nhất sai khác một phép

đẳng cấu Chính vì vậy, ta viết

T = M ⊗RN

và với mỗi (m, n) ∈ M ì N, ta viết τ (m, n) = m ⊗ n. Ta thường hay gọi M ⊗ R N

là tích tenxơ của MR và RN, còn τ là ánh xạ tenxơ Chú ý rằng do τ không

đơn ánh nên không thể đồng nhất M ì N với τ (M ì N ) ⊆ M ⊗ N được, chínhvì thế cũng cần lưu ý khi ta lấy m ∈ M0 < M và n ∈ N0 < N, thì m ⊗ n có thể

được hiểu theo nhiều nghĩa, đó là nghĩa theo tích tenxơ M 0 ⊗RN 0 và theo tíchtenxơ M ⊗RN Chú ý rằng tập sinh của M ⊗RN là:

Chứng minh: Theo định nghĩa của tích tenxơ.

Ta sẽ nêu lên các tính chất số học của tích tenxơ mà việc chứng minhsuy ra ngay từ định nghĩa

6.1.8 Mệnh đề. Với mỗi phần tử của M ⊗ N có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn P

i (mi⊗ ni)(mi ∈ M, ni ∈ N). Ngoài ra, với mọi m1, m2 ∈

M, n1, n2 ∈ N, r ∈ R, ta có:

(1) (m1 + m2) ⊗ n1 = (m1 ⊗ n1) + (m2⊗ n1),

(2) m1⊗ (n1+ n2) = (m1⊗ n1) + (m1⊗ n2),

(3) (m 1 r) ⊗ n = m 1 ⊗ (rn).

6.1.9 Định nghĩa ChoR và S là hai vành có đơn vị khác không Nhóm aben

(M, +) là một song môđun R-bên phải S-bên trái, kí hiệu SMR nếu

(a) M là R-môđun phải và S-môđun trái

(b) (sx)r = s(xr), ∀ r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M.

6.1.10 Chú ý.

(1) Mặc dù τ (M ì N ) = {m ⊗ n|m ∈ M, n ∈ N } sinh ra M ⊗RN, nhưng nóichung τ (M ì N ) 6= M ⊗ R N Ngoài ra, sự biểu diễn các phần tử của M ⊗ R N

như là tổng hữu hạn P

i (m i ⊗ ni) không phải duy nhất

(2) Tích tenxơ của hai môđun khác không có thể bằng không Ví dụ lấy

A = ZZ/2ZZ, U = ZZ/3ZZ. Khi đó với mọi a ∈ A, u ∈ U, trong A ⊗ Z U, ta có:

0 = 0 ⊗ 0 = a ⊗ 0 ư 0 ⊗ u = a ⊗ (3u) ư (2a) ⊗ u = 3(a ⊗ u) ư 2(a ⊗ u) = a ⊗ u.Vậy A ⊗Z U = 0.

(3) Nhóm aben M ⊗RN nói chung không phải là R-môđun Tuy nhiêncấu trúc song môđun trên M hay N cảm sinh cấu trúc môđun trên M ⊗RN.Giả sử, ví dụ ta lấy SMR,RN Lúc đó với mỗi s ∈ S ta dễ dàng kiểm tra đượcvới phép toán s(m ⊗ n) = (sm) ⊗ n làm cho M ⊗RN trở thành một S-môđuntrái Tương tự cho N =RNT là song môđun thì M ⊗RN là T-môđun phải vớiphép toán (m ⊗ n)t = m ⊗ (nt).

Đối với RRR, ta có ngay M ⊗R R là một R-môđun phải còn R ⊗R N làmột R-môđun trái Ta có:

6.1.11 Mệnh đề. Với mỗi R-môđun phải M, có R-đẳng cấu:

ν r : M ⊗ R R ư→ M xác định bởi ν r (m ⊗ r) = mr.

Chứng minh: Ta có ánh xạ M ì R ư→ M xác định bởi (m, r) 7ư→ mr là ánhxạ song tuyến tính nên tồn tại ν r : M ⊗ R R ư→ M sao cho ν r (m ⊗ r) = mr. Takiểm tra được νr là đẳng cấu thông qua đồng cấu η : M ư→ M ⊗RR xác địnhbởi η(m) = m ⊗ 1 và ta có ngay ν r ◦ η = idM, η ◦ ν r = id M ⊗ R R

Tương tự ta có:

6.1.12 Mệnh đề. Với mỗi R-môđun trái N, có R-đẳng cấu:

ν l : R ⊗ R N ư→ N xác định bởi ν l (r ⊗ n) = rn.

6.2 Tích tenxơ của các đồng cấu.

Cho M, M0 là các R-môđun phải, và cho N, N0 là các R-môđun trái Hơnnữa, giả sử cho f : M ư→ M0, g : N ư→ N0 là các R-đồng cấu Xác định ánhxạ

(f, g) : M ì N ư→ M0⊗RN0

xác định bởi (f, g)(m, n) = f(m) ⊗ g(n). Rõ ràng (f, g) là một ánh xạ song tuyếntính Vì vậy tồn tại duy nhất một ZZư đồng cấu từ M ⊗ R N vào M0⊗RN0 saocho giản đồ sau giao hoán:

M ì N ư→τ M ⊗RN

(f, g) & ↓

M0⊗RN0

6.2.1 Định nghĩa ánh xạ vừa mới nêu đ−ợc gọi là tích tenxơ của hai đồng

cấu f và g, kí hiệu f ⊗ g, xác định bởi

(f ⊗ g)(m ⊗ n) = f(m) ⊗ g(n), m ∈ M, n ∈ N.

6.2.2 Mệnh đề. Xét M R , MR0 , R N, R N0, ∀ f 1 , f 2 , f ∈ Hom R (M, M0) và ∀g1, g 2 , g ∈ Hom R (N, N0). Ta có:

6.2.4 Định nghĩa Môđun con M0 đ−ợc gọi là K − tinh nếu i ⊗ id K là đơn cấu

6.3 Tích tenxơ và tổng trực tiếp.

Định lý sau nói lên sự giao hoán của tích tenxơ với tổng trực tiếp

6.3.1 Định lý. ChoMR vàRN = ⊕ΛNλvới phép nhúng chính tắc λ :RNλ −→

R N và phép chiếu π λ : R N −→ R N λ Lúc đó (M ⊗ R N, id M ⊗  λ ) là một tổng trực tiếp của {M ⊗RNλ}Λ, nghĩa là

M ⊗ (⊕ΛNλ ) ' ⊕Λ(M ⊗RNλ).

Chứng minh: Với các ánh xạ idM ⊗ πλ : M ⊗RN −→ M ⊗RNλ, từ các tínhchất của tích tenxơ của các đồng cấu ta có:

(idM ⊗ πà)(idM ⊗ λ) = ∂λàidM ⊗Nλ.

trong đó ∂λà = 0 nếu λ 6= à và ∂λà = 1 nếu λ = à.

Với họ {fλ : M ⊗ N λ ư→ X}Λ của các ZZ-đồng cấu, chúng ta xác định

Trước hết chúng ta xác định, với mọi l ∈ L, một đồng cấu fl : N ư→

N ⊗ S L, l 7ư→ n ⊗ l, sau đó ta đi thành lập tích tenxơ id M ⊗ fl : M ⊗ R N ư→

trong đó j là phép nhúng chính tắc còn p là toàn cấu chính tắc.

(2) Cho A < MR Lúc đó ta có dãy khớp ngắn các R-môđun phải là :

Hom(ϕ, 1) : Hom R (N, X) 3 f 7−→ fϕ ∈ Hom R (M, X)

Phần chứng minh xin dành cho bạn đọc

7.1.4 Định nghĩa Một sơ đồ các R-môđun phải gọi là giao hoán nếu hợp

thành bất kì các R-đồng cấu môđun trong sơ đồ sao cho cùng gốc và cùngngọn thì bằng nhau, nói riêng, tam giác

A −→ϕ B

γ ↓ ψ C

đ−ợc gọi là giao hoán nếu γ = ψϕ.

7.2.1 Bổ đề. Cho f : M ư→ N và f0 : N ư→ M là các đồng cấu sao cho

ff0 = 1 N Lúc đó f là toàn cấu, f0 là đơn cấu và M = Kerf ⊕ Imf0.

Chứng minh: Chứng minh như bài tập.

7.2.2 Định nghĩa 1 Nếu f : M ư→ N và f0 : N ư→ M là các đồng cấu saocho ff0 = 1 N, thì chúng ta nói rằng f là toàn cấu chẻ ra, còn f0 là đơn cấu chẻra

(1) Nếu α, γ và f0 là đơn cấu, thì β cũng vậy.

(2) Nếu α, γ và g là toàn cấu, thì β cũng vậy.

(3) Nếu β là đơn cấu, α, g là toàn cấu, thì γ là đơn cấu.

(4) Nếu β là toàn cấu, f0, γ là đơn cấu, thì α là toàn cấu.

Chứng minh: Ta chứng minh (1) và (4), còn (2) và (3) được chứng minh

tương tự, xin dành cho độc giả

(1) Chỉ cần chứng minh Kerβ = 0 Giả sử b ∈ Kerβ. Vì giản đồ giaohoán, γg(b) = g0β(b) = 0. Vì γ là đơn cấu, g(b) = 0 với b ∈ Kerg. Nhưng dòngtrên là khớp nên Kerg = Imf Như vậy, tồn tại một a ∈ A sao cho b = f(a).

Bây giờ cũng do giản đồ giao hoán f0α(a) = βf(a) = β(b) = 0. Cuối cùng, f0 và

α là đơn cấu, ta có a = 0, từ đó b = f(a) = 0.

(4) Choa 0 ∈ A 0 Thì vì β là toàn cấu, tồn tại mộtb ∈ B sao choβ(b) = f 0 (a).

Vì giản đồ giao hoán và dòng thứ hai khớp ta có γg(b) = g0β(b) = g0f0(a0) = 0.

Nhưng γ là đơn cấu, nên b ∈ Kerg = Imf Vậy tồn tại a ∈ A sao cho f(a) = b.

Như vậy f0α(a) = βf(a) = β(b) = f0(a0). Cuối cùng, do f0 là đơn cấu nên

(1) Nếu α là toàn cấu, β và δ là đơn cấu, thì γ là đơn cấu.

(2) Nếu  là đơn cấu, β và δ là toàn cấu, thì γ là toàn cấu.

(3) Nếu α, β, δ và  là đẳng cấu, thì γ cũng vậy.

Chứng minh: Ta chứng minh bằng phương pháp săn trên biểu đồ.

7.4 Hom và d y khớp.

7.4.1 Mệnh đề. Cho MR và dãy khớp các R-môđun phải

0 ư→ A ư→ Bf ư→ C.g

Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp

0 ư→ HomR(M, A) Hom(1,f )ư→ HomR(M, B) Homư→R(1,g)HomR(M, C).

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh tính khớp tại Hom R (M, B) Thật vậy,

ta có Hom(1, g)Hom(1, f) = Hom(1, gf) = Hom(1, 0) = 0 Do vậy ImHom(1, f) ⊆ KerHom(1, g).

Ngược lại, giả sử v ∈ Hom R (M, B) và Hom(1, g)(v) = gv = 0. Từ đó

Imv ⊆ Kerg = Imf. Lấy j : Imf ,→ B thì v xác định đồng cấu ¯ v : M ư→ Imf

sao cho v = j ¯ v. Do f là đơn cấu nên ta có đẳng cấu f : A ư→ Imf¯ và f = j ¯ f.

Đặt u = ¯ f ư1 ¯ thì v = ¯ ¯ fu Suy ra

v = j ¯ v = j ¯ fu = fu = Hom(1, f)(u).

Do đó v ∈ ImHom(1, f) Vậy ta đã chứng minh tính khớp tại HomR(M, B)

Để chứng minh tính khớp tại HomR(M, A), ta áp dụng kết quả vừa chứngminh cho dãy khớp 0 ư→ 0 ư→ A ư→ B.

Chứng minh tương tự ta có:

7.4.2 Mệnh đề. Cho MR và dãy khớp các R-môđun phải

A ư→ Bf ư→ C ư→ 0.g

Lúc đó dãy các nhóm aben sau cũng khớp

0 ư→ HomR(C, M)Hom(g,1)ư→ HomR(B, M) HomR (f,1)

Do dòng trên là khớp, vì vậy nên ta chỉ cần chứng minh nếu có h là

đẳng cấu làm cho biểu đồ giao hoán là đủ

Thật vậy, doIm(f ⊗1) ⊆ Ker(g⊗1) nên(g⊗1)(f ⊗1) = gf ⊗1 = 0⊗1 = 0, nêntheo tính chất của Coker, tồn tại một đồng cấu nhómh : Coker(f ⊗1) ư→ C ⊗RM

sao cho g ⊗1 = hp. Suy rahp(x⊗y) = h(x⊗y +Im(f ⊗1)) = (g ⊗1)(x⊗y) = g(x)⊗y.

Để chứng minh h là một đẳng cấu nhóm, ta sẽ đi tìm một đồng cấunhóm k : C ⊗RM ư→ Coker(f ⊗ 1) sao cho kh = hk = 1. Xét tương ứng k đượcxác định như sau:

Cho c ∈ C, m ∈ M. Vì g là toàn ánh, nên tồn tại b ∈ B sao cho g(b) = c.

Nếu g(b 1 ) = g(b 2 ) thì g(b 1 ư b2) = 0, do đó b 1 ư b2 ∈ Kerg = Imf, nên lại tồn tại

a ∈ A sao cho f(a) = b 1 ư b2. Khi đó

(b1ư b2) ⊗ m = f(a) ⊗ m = (f ⊗ 1)(a ⊗ m) ∈ Im(f ⊗ 1).

Vậy: (b 1 ⊗ m) ư (b2⊗ m) ∈ Im(f ⊗ 1), do đó b 1 ⊗ m + Im(f ⊗ 1) = b2⊗ m + Im(f ⊗ 1).

có điều phải chứng minh.

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh f ⊗ 1 là một đồng cấu nhóm Thật vậy,

do F là tự do nên nó có cơ sở {ci}I Khi đó, mọi phần tử của A ⊗ R F đượcviết duy nhất dưới dạng P

I x0i⊗ ci trong đó x0i ∈ A và họ (x0i) I có giá hữu hạn.Cho (f ⊗ 1)( P

I x0i⊗ ci) = P

I f(x0i) ⊗ c i = 0. Lúc đó f(x0i) = 0, ∀i ∈ I do mọiphần tử của B ⊗RF được viết duy nhất dưới dạng P

I xi ⊗ ci Vì f là đơn ánhnên x0i = 0, ∀i ∈ I. Nghĩa là, Ker(f ⊗ 1) = 0.

(f + g)(a) = f(a) + g(a), (a ∈ A)

là một nhóm aben với phần tử không là 0(a) = 0 và phần tử đối của f là ưf

xác định bởi (ưf)(a) = ưf(a)

Cho A 6= 0 (nghĩa là E có ít nhất 2 phần tử khác nhau) Với hai phéptoán

(fg)(a) = f(g(a)), và (a)(fg) = ((a)f)g

cùng với phép cọng ở trên ta tạo ra được hai vành đó là vành các tự đồng cấutrái và vành các tự đồng cấu phải tương ứng, ký hiệu

Endl(A), Endr(A),

Dĩ nhiên ta có

Endl(A) = (Endr(A))op.

1 2 Liên quan đến định nghĩa của môđun.

Cho R là một vành Lúc đó cặp (M, λ) được gọi là R-môđun phải nếu(a) (M, +) là nhóm aben,

(b) Khi M 6= 0 thì λ : R ư→ End r (M) là một đồng cấu vành unita

Điều này có nghĩa là với mỗi a ∈ R, tồn tại tự đồng cấu λ(a) : M ư→ M

sao cho với mọi a, b ∈ R và mọi x, y ∈ M

(x + y)λ(a) = xλ(a) + yλ(a), (x)λ(ab) = ((x)λ(a))λ(b) (x)λ(a + b) = xλ(a) + xλ(b), (x)λ(1) = x.

Ta thường viết (x)λ(a) là xa (tích vô hướng phải)

Chú ý: R-môđun phải được xem như R op-môđun trái

1.3 Song môđun.

(3.1) Cho R, S là hai vành Nhóm aben (M, +)là một song môđunR-bênphải S-bên trái (ký hiệu SMR) nếu

(a) M là R-môđun phải và M là S-môđun trái

Nếu S 0 là một vành con của S thì ánh xạ nhúng iS0 : S 0 −→ S là một

đồng cấu vành, do vậy nó cảm sinh cấu trúc S 0-môđun MS0 trên mỗi MS vớiphép nhân cảm sinh

giao và tổng, dàn các môđun con của bất kỳ một trong những môđun trên làmột dàn con của cái sau Chú ý rằng mọi dàn các môđun con của MR của

MΦ(R) là nh− nhau Ta phát biểu chúng nh− sau:

1.4.1 Mệnh đề. Cho Φ : R −→ S là một đồng cấu vành còn M là một nhóm aben đồng thời nó là R-môđun phải và S-môđun phải sao cho với mọi

r ∈ R, x ∈ M, mr = mΦ(r). Lúc đó, nh− là dàn ta có:

S(M S ) < S(M R ) = S(MΦ(R)) < S(M Z ).

Dĩ nhiên các bao hàm trong Mệnh đề này nói chung là không có chiềung−ợc lại Ví dụ, trong IR-không gian vectơ một chiều có những Q I-khônggian con mà không là IR-không gian con, và có những nhóm con aben nh−ngkhông làQ I-không gian con

Bây giờ cho MR xác định bởi đồng cấu vành λ : R −→ End r (M) Ta viết

Vậy với mỗi iđêan I cảm sinh trên M một cấu trúc R/I-môđun phải gọi

là R/I cấu trúc tự nhiên MR/I. Phép nhân là

(x, a + I) 7−→ x(a + I) = xa (a ∈ R, x ∈ M)

1.4.2 Hệ quả. Cho MR, I <RRR, I ⊆ ann(M). Lúc đó:

(1) một nhóm con của M là một R-môđun con nếu và chỉ nếu nó là một

R/I-môđun con Điều này có nghĩa là dàn các R-môđun con và R/I-môđun con của M trùng nhau.

(2) MR/I là trung thành khi và chỉ khi I = ann(M).

2.2 HomS(M, N ) < HomR(M, N ) = HomΦ(R)(M, N ) < HomZ(M, N ).

Giả sử MR và NR là các R-môđun và I là iđêan của R mà nó linh hoácả M và N Ta có

2.3 HomR(M, N ) = HomR/I(M, N )

Cho M R và N R HomR(M, N ) ch−a chắc đã là R-môđun Có thể địnhnghĩa nh− trong đại số tuyến tính là

là một R-đồng cấu, nghĩa là fs ∈ HomR(M, N ). Thật vậy, rõ ràng nó cọng tínhvà

(fs)(xr) = f(s(xr)) = f((sx)r) = f(sx)r = (fs(x)r.

Mặt khác HomR(SMR, NR) là một S-môđun phải với phép nhân

(f, s) 7−→ fs (fs)(x) = f(sx)

Vậy từ tác động trái của S trên M ta có tác động phải của S trên HomR(M, N ).Mặt khác nếu N = TNR thì ta có HomR(MR,T NR) là một T-môđun trái vớiphép nhân

2.5 Mệnh đề. Cho MR Lúc đó ta có đẳng cấu R-môđun phải

ρ : M −→ Hom R (R, M) ρ(x)(a) = xa (x ∈ M, a ∈ R)

Hơn nữa nếu M là song môđun SM R thì ρ là một (S, R)-đẳng cấu.

Chính đẳng cấu này là tự nhiên theo nghĩa là nó sẽ xác định một phépbiến đổi tự nhiên các hàm tử Bây giờ ta sẽ xét đến một tổng quát hoá của

nó Cho e ∈ R là một luỹ đẳng khác không Lúc đó eRe là một vành có đơn

vị (đơn vị là e = e1e) Hơn nữa, nếu M R là R-môđun phải, thì

Me = {xe|x ∈ M}

là nhóm con của M và nó còn là eRe-môđun phải qua phép nhân vô hướng

(xe, ere) 7ư→ xere.

Phép nhân phải bởi e xác định một hàm tử hiệp biến từ Mod-R đến Mod-eRe

Ta có

2.6 Mệnh đề. Cho e ∈ R, f ∈ S là các luỹ đẳng khác không và SMR là một song môđun Lúc đó SMeeRe và f SffMR là các song môđun, và

ρ : Me ư→ Hom R (eR, M) và λ : fM ư→ Hom S (Sf, M)

xác định bởi

ρ(me)(er) = mer và λ(fm)(sf) = sfm

là các đẳng cấu song môđun.

Trường hợp đặc biệt, ta có

2.7 Hệ quả. Nếu e và f là các luỹ đẳng của vành R, thì

HomR(eR, fR) 'f Rf fReeRe ' HomR(Rf, Re).

Kí hiệu: Ta luôn luôn ký hiệu như sau

End( R M) = EndrR(M)

là vành tự đồng cấu của M hoạt động theo bên phải, với R-môđun trái M nào

đó và với R-môđun phải N, ta viết

và nếu MR khác không, I là iđêan của R mà annR(M) = I, thì

2.9 End(MR) = End(MR/I)

Nếu M R là R-môđun phải khác không, thì End(M R ), là vành con của

End l

Z (M) Vậy (M, i) là một End(MR)-môđun trái trong đó i : End(MR) −→ EndlZ(M) là ánh xạ nhúng Nghĩa là mỗi f ∈ End(M R ) là một R-tự đồng cấuhay với mỗi f, mỗi r ∈ R, và mỗi x ∈ M,

f(xr) = (fx)r.

Mặt khác, M là song môđun R-bên phải End(MR)-bên trái

End(M R ) MR.

Thực chất có thể nhìn vấn đề này từ tính chất của song môđun Cho S

là một vành còn M là S-môđun trái qua đồng cấu vành ρ : S −→ EndlZ(M).

Nếu s ∈ S, thì ρ(s) nằm trong vành con End(MR) nếu và chỉ nếu với mọi r ∈ R

Từ đó MR (SM, tương ứng) là trung thành nếu và chỉ nếu λ (ρ, tương ứng) là

Định nghĩa: Nếu cả λ và ρ đều là đẳng cấu thì ta nói rằng SMR là một songmôđun cân bằng một cách trung thành (faithfully balanced bimodule)

Có một ví dụ đơn giản và quen thuộc từ đại số tuyến tính Cho S là mộttrường, SM là không gian vectơ khác không trên S, và R = End(SM) là vànhcác S-phép biến đổi tuyến tính của M được xét như là phép nhân phải Lúc

đó, rõ ràng ta có S M R và cả M R, S M trung thành Đặc biệt phép nhân trái bởimỗi vô hướng s ∈ S là một tự đồng cấu của M R Có thể dễ dàng kiểm tra mọi

σ ∈ End(M R ) thực ra chỉ là phép nhân vô hướng như vậy Vì vậy S M R là mộtsong môđun cân bằng một cách trung thành

Một ví dụ quan trọng khác về song mụdun cân bằng một cách trungthành được cho sau đây:

2.11 Mệnh đề. Nếu R là vành và ký hiệu λ, ρ phép nhân trái và phải, thì

λ : R ư→ End(RR) và ρ : R ư→ End(RR)

là các đẳng cấu vành, tức song môđun RR R là cân đối một cách trung thành.

Chứng minh: Theo 2.10 ta có đó là các đồng cấu vành Nó là song ánh do

2.5 và sự đối xứng phía

Xét R-môđun phải M và vành các tự đồng cấu của nó

T = End(M R ).

Theo 2.10 có một song môđun TMR trong đó T-tác động cảm sinh bởi

đồng cấu đơn vị T ư→ End(MR). Vành các tự đồng cấu B của TM, được gọi

là vành song tự đồng cấu của MR, kí hiệu

B = BiEnd(M R ) = End( T M).

Phần tử của B được gọi là song tự đồng cấu của MR Vì TMR là một songmôđun, Mệnh đề 2.10 cho ta biết nếu tác động môđun của R được cho bởi λ,

thì λ(r) ∈ BiEnd(MR) với mọi r ∈ R Nghĩa là, λ là đồng cấu vành

Do vậy, nó là một song môđun cân bằng

2.12 Mệnh đề. Nếu M là R-môđun phải, thì

End(M R ) MBiEnd(MR)

là một song môđun cân đối một cách trung thành.

Chứng minh: Cho T = End(M R ) và B = BiEnd(M R ) = End( T M). Lúc đó M B

và T M là trung thành, và mọi T-đồng cấu (theo định nghĩa) là (phép nhân bởi)một phần tử của B Nhưng vì đồng cấu vành λ : R ư→ B với xλ(r) = xr, ta có

End(MB) < End(MR) = T và mệnh đề được chứng minh

Song song với R-môđun trái ta cũng có những kết quả tương tự Cho

R N, thì

BiEnd( R N ) NEnd(RN )

là cân đối một cách trung thành Cũng vậy phép nhân trái

ρ : R ư→ BiEnd( R N )

được gọi là đồng cấu tự nhiên của R vào BiEnd(RN )

2.13 Chú ý. Theo 2.12 sự phát triển tự nhiên dẫn chúng ta từ R đến T = End(MR) rồi B = BiEnd(MR) một cách ổn định Nghĩa là, T là "vành các tam

tự đồng cấu" T = End(MB) = BiEnd(TM)

Có một cách khác để nói về song môđun cân bằng Ta nói rằng R-môđunphải khác không MR là cân bằng nếu

End(M R ) M R

là song môđun cân bằng Như vậy MR là cân bằng nếu và chỉ nếu đồng cấu

tự nhiên

λ : R ư→ BiEnd(M R )