Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại MÔ ĐUN TỰ DO

ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại MÔ ðUN TỰ DO Cán b� h� ng d�n TS PHAN V�N THITS PHAN V�N THITS PHAN V�N THITS PHAN V�N THI����NNNN H�c viên TRTRTRTR����N THN THN THN TH���� THANH THTHANH THTHANH THTHANH TH OOOO Chuyên ngành %%%%I SI SI SI S VÀ LÝ THUYVÀ LÝ THUYVÀ LÝ THUYVÀ LÝ THUY T ST ST ST S L p TOÁN TOÁN TOÁN TOÁN K20K20K20K20 Huế, tháng 2 năm 2012 MMMM««««đđđđun tun tun tun tựựựự dodododo TrÇn ThÞ Thanh Th¶o K20 1 MỞ ĐẦU Trong Toán học, lý thuyế.

ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM

Tiểu luận cơ sở ñại số hiện ñại

MÔ ðUN TỰ DO

Cán b h ng dn: TS PHAN VN THI TS PHAN VN THI TS PHAN VN THIN N N Hc viên: TR TR TR  N TH N TH N TH THANH TH THANH TH THANH TH O O O Chuyên ngành: % % %& & &I S I S I S' ' ' VÀ LÝ THUY VÀ LÝ THUY VÀ LÝ THUY T S T S T S' ' '

L p : TOÁN : TOÁN : TOÁN K20 K20 K20

Huế, tháng 2 năm 2012

MỞ ĐẦU

Trong Toán học, lý thuyết vành và môñun chiếm một vị trí quan trọng trong

sự hình thành và phát triển của toán học hiện ñại Nó là cơ sở, nền tảng ñể xây dựng

và nghiên cứu của nhiều ngành toán học, khoa học khác Trong ñó có nhiều loại môñun ñặc biệt như: môñun tự do, môñun xạ ảnh, môñun nội xạ,

ðể hiểu sâu hơn về môñun tự do, tiểu luận này trình bày kiến thức cơ bản về

môñun tự do và một số bài tập về môñun tự do

Nội dung tiểu luận gồm hai phần:

Phần 1: Khái niệm môñun tự do và một số tính chất

Phần 2: Bài tập áp dụng

Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên tiểu luận khó tránh khỏi sai sót, mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của quý thầy cô và bạn ñọc ñể ñề tài ñược hoàn thiện hơn

Huế, tháng 2 năm 2012 Trần Thị Thanh Thảo

MỤC LỤC

MỞ ðẦU 1

MỤC LỤC 2

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

I Miền nguyên chính 3

1.1 Vành 3

1.2 Iñêan và iñêan chính 3

1.3 Miền nguyên chính 3

II MÔðUN TỰ DO 4

PHẦN 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG 12

TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

I Miền nguyên chính

1.1 Vành

ðịnh nghĩa 1.1.1: Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi

trên R, mà ta thường kí hiệu + và ⋅ thoả mãn các ñiều kiện sau:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

R

v x y z R xy z x yz

vi x y z R x y z xy xz x y z xz yz

Trường hợp phép nhân trên R có tính giao hoán thì R ñược gọi là vành giao

hoán

1.2 Iñêan và iñêan chính

ðịnh nghĩa 1.2.1: Cho R là một vành Iñêan phải (trái) của vành R là một

nhóm con I của nhóm cộng R thoả mãn ñiều kiện: ∀ ∈ ∀ ∈r R, x I xr, ∈I rx( ∈I)

Khi I vừa là iñêan phải vừa là iñêan trái, thì I ñược gọi là iñêan (hai phía) của R

ðối với vành giao hoán, ta có ngay iñêan phải là iñêan trái và ngược lại

ðịnh nghĩa 1.2.2: Iñêan chính là iñêan sinh bởi một phần tử

1.3 Miền nguyên chính

ðịnh nghĩa 1.3.1: Vành R ñược gọi là vành có ước của không nếu tồn tại

các phần tử x ≠0 và y≠0 sao cho xy=0 Lúc ñó x gọi là một ước trái của không còn y gọi là một ước phải của không

Trong trường hợp ngược lại thì ta gọi là vành không có ước của không

ðịnh nghĩa 1.3.2: Miền nguyên là vành khác { }0 , giao hoán và không có ước của không

ðịnh nghĩa 1.3.3: Miền nguyên chính là một miền nguyên có phần tử ñơn vị

và mọi iñêan của nó ñều là iñêan chính

II MÔðUN TỰ DO

ðịnh nghĩa 2.1: Cho R là một vành, S là tập hợp Một R-môñun tự do trên S là

một R-môñun F cùng với ánh xạ f S: →F sao cho với mọi ánh xạ g S: → X từ

tập S vào R-môñun X, tồn tại duy nhất một ñồng cấu R-môñun h F: → X thoả mãn

=

hf g

Mệnh ñề 2.1: Nếu (F,f) là môñun tự do trên S thì f S: →F là ñơn ánh và

( )

f S là hệ sinh của R-môñun F

Chứng minh:

•Chứng minh f S: →F là ñơn ánh

Giả sử f không ñơn ánh ⇒∃ ≠ ∈a b S f a: ( )= f b( )

Lấy X là R-môñun có nhiều hơn một phần tử Lấy g S: → X là ánh xạ thoả

mãn g a( )≠g b( )

Do (F f là môñun tự do trên S nên tồn tại duy nhất ñồng cấu R-môñun , )

h F X thoả mãn hf =g

Khi ñó hf a( )=g a( )≠ g b( )=hf b( )

Mặt khác, theo trên f a( )= f b( ) suy ra hf a( )=hf b( ), ñiều này mâu thuẫn

•Chứng minh f S là hệ sinh của F ( )

ðặt A=〈f S( )〉 là môñun con của F sinh bởi f S ( )

Gọi :i A→F là ñồng cấu bao hàm

Tương ứng g S: → A là ánh xạ thoả mãn ig = f

s֏ f s( )

:

g S→ A là ánh xạ, A là môñun Vì (F f là môñun tự do trên S nên có , )

ñồng cấu R-môñun : h F → A thoả mãn hf =g Từ ñó ihf = =ig f

Do (F f là môñun tự do trên S nên có duy nhất ñồng cấu R-môñun , )

:

F

id F → Fthoả mãn id f F = f ⇒ih=id F

F

id là toàn ánh nên i toàn ánh Vậy A = F

Cho (F f là môñun tự do trên S Ta thấy rằng: nếu ñồng nhất , ) S ≡ f S( ) thì

ta có thể xem F là R-môñun sinh bởi tập S

Mọi ánh xạ g S: → X X là môñun, ñều có thể mở rộng thành ñồng cấu R-môñun h F: → X

ðịnh lí 2.1: Với mọi tập S, bao giờ cũng tồn tại duy nhất sai khác ñẳng cấu

một R-môñun tự do trên S

Chứng minh:

ðặt

( )

= : → lµ ¸nh x¹, =0 hÇu kh¾p

ðịnh nghĩa phép cộng: ∀φ ψ, ∈F:(φ ψ+ )( ) ( ) ( )s =φ s +ψ s ,∀ ∈s S

ðịnh nghĩa phép nhân: ∀ ∈ ∀ ∈r R, φ F:( )( )rφ s =rφ( )s ,∀ ∈s S

Kiểm chứng ñược rằng F cùng với hai phép toán trên làm thành một R-môñun

Xét ánh xạ f S: →F

֏s f s

Với f s :S→ R là ánh xạ ñược xác ñịnh bởi ( )=1 nÕu 0 nÕu =

≠



s

R

f t

•Ta chứng minh (F f là một R-môñun tự do trên S , )

Giả sử g S: → X là ánh xạ từ S vào R-môñun X

Xét ánh xạ h F: → X

( ) ( )

s S

s g s

φ φ

∈

∑

֏

•Chứng minh h là ñồng cấu R-môñun

( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )

φ ψ φ ψ φ ψ

•Chứng minh hf =g

∈

t S

•Chứng minh h duy nhất thoả hf =g

Giả sử có ñồng cấu R-môñun h' :F→ X thoả mãn h f' =g

Khi ñó, ∀ ∈φ F ta có

( ) s

s S

s f

φ φ

∈

Do ñó

'

•Chứng minh (F f tồn tại duy nhất sai khác ñẳng cấu , )

Giả sử (F f', ') cũng là R-môñun tự do trên S

(F f là R-môñun tự do trên S nên có ñồng cấu R-môñun , ) h F: →F thoả '

mãn hf = f '

(F f', ') là R-môñun tự do trên S nên có ñồng cấu R-môñun h' : 'F → F thoả

mãn h f' '= f Suy ra h hf' = f

Mặt khác, (F f là R-môñun tự do trên S nên có duy nhất ñồng cấu R-môñun , )

:

F

id F → Fthoả mãn id f F = f Từ ñó ta có h h' =id F

Lập luận tương tự ta có hh'=id F'

Nhận xét: Cho họ R-môñun ( )i ∈ , ≠ ∅, i = ∀ ∈,

i S

Xét tổng trực tiếp

Mỗi phần tử ( )x i i S∈ có thể xem là một ánh xạ : Sφ → R

i ֏ x i,φ( )i =0hầu khắp

So sánh với phần tử của R-môñun tự do F trong ñịnh lí 1 ta thấy i

i S

M

∈

R-môñun tự do F sinh bởi S

ðịnh nghĩa 2.2: môñun X ñược gọi là tự do nếu X ñẳng cấu với một

R-môñun tự do trên một tập S nào ñó

Theo nhận xét trên ta thấy rằng, tổng trực tiếp của các R-môñun tự do là một

R-môñun tự do

Mệnh ñề 2.2: Mọi R-môñun M ñều là ảnh toàn cấu của một R-môñun tự do

Suy ra mọi R-môñun M ñều ñẳng cấu với một môñun thương của R-môñun tự do Chứng minh:

Cho R-môñun M Lấy một tập con S của M sao cho 〈 〉 S =M (chẳng hạn

S=M)

thoả mãn hf =i

Do 〈 〉S = M nên 〈h F( )〉 =M Suy ra h F( )= M Vậy h là toàn cấu

Suy ra M ≅F

Kerh

ðịnh nghĩa 2.3: Cho R-môñun M, tập con S⊂ M ñược gọi là ñộc lập tuyến

tính nếu

=

∑

1

n

i

ðịnh lí 2.2: Cho M là một R-môñun Tập con S⊂ M là một cơ sở nếu và chỉ

nếu ánh xạ bao hàm i S: →M có thể mở rộng thành ñẳng cấu R-môñun

→

:

Chứng minh:

( )

= : → lµ ¸nh x¹, =0 hÇu kh¾p

→ :

֏s f s

Với f s :S→ R

s( ) 1 nÕu 0 nÕu

=



≠



֏

F là R-môñun tự do trên S nên i có thể mở rộng thành ñồng cấu R-môñun duy

nhất h F: →M hf, =i

•Ta chứng minh S là cơ sở khi và chỉ khi h là ñẳng cấu

Giả sử S là cơ sở, S〈 〉=M Do F là R-môñun tự do sinh bởi S nên

( )

Suy ra

Vậy h là toàn cấu

Kerh

φ

s S

s f

φ φ

∈

Ta có

Do S là cơ sở của M nên φ( )s = ∀ ∈0, s S

Từ ñó φ =0 Suy ra h là ñơn cấu

ðảo lại, giả sử h là một ñẳng cấu Ta sẽ chứng minh S là cơ sở của M

•Chứng minh S ñộc lập tuyến tính

Giả sử có tổ hợp tuyến tính hữu hạn

1

0, ,

=

∑n j j j j j

ðặt φ: S → φ( )=r j nÕu s=x j

(φ( )s =0 hầu khắp)

Ta thấy φ∈F và

0

Do h là ñơn cấu nên φ =0 Suy ra r i =φ( )x i =0,j=1,n

•Chứng minh S là hệ sinh của M

∀ ∈ Do :h F→ M là toàn cấu nên có φ∈F sao cho h( )φ = x

Do φ∈F nên φ( )s =0 hầu khắp, tức là tồn tại hữu hạn phần tử

1, , m

y y ∈Ssao cho φ( )s = ∀ ∈0, s S \{y1, ,y m}

Ta có

Suy ra M =〈 〉 nên S là hệ sinh của M S

Vậy S là cơ sở của M

Hệ quả: R-môñun M là tự do khi và chỉ khi M có cơ sở

Mệnh ñề 2.3: Mọi cơ sở của một R-môñun hữu hạn sinh là hữu hạn

Chứng minh:

Giả sử S là một cơ sở của R-môñun hữu hạn sinh M

Do M hữu hạn sinh nên M có một hệ sinh hữu hạn X

S là cơ sở của M nên x∀ ∈ ⊆X M , x có thể biểu thị tuyến tính qua cơ sở S Gọi S’ là tập con bé nhất (theo quan hệ bao hàm) của S sao cho mọi x∈X ñều

có thể biểu thị tuyến tính qua S’

Do X hữu hạn nên S’ hữu hạn

Giả sử S⊆S Khi ñó có ' s∈S \ 'S

Do s∈ ⊆S M =〈 〉 nên s có thể biểu thị tuyến tính qua các phần tử của X X Theo trên, mọi phần tử của X ñều có thể biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S’

Do ñó s có thể biểu thị tuyến tính qua các phần tử của S’ Suy ra S'∪{ }s phụ thuộc

tuyến tính ðiều này mâu thuẫn với tính ñộc lập tuyến tính của cơ sở S

Vậy S=S’ Do S’ hữu hạn nên S hữu hạn

ðịnh lí 2.3: Mọi không gian vectơ trên một trường K ñều là K-môñun tự do

Chứng minh:

Giả sử V là một không gian vectơ trên trường K

0

V= là một K-môñun tự do trên tập ∅

0

V≠ Gọi M là tập các tập con ñộc lập tuyến tính của V Do V≠0 nên có

0≠ ∈x V

thứ tự tuyến tính (theo quan hệ bao hàm) của M

ðặt

P

N

∈

= ∪

Với mọi tập con hữu hạn N⊆ M Do N ñược sắp thứ tự tuyến tính nên có

N

∈

t

P sao cho N⊆P t Do P ñộc lập tuyến tính nên N ñộc lập tuyến tính Suy ra t

M ñộc lập tuyến tính

Vậy M∈M là phần tử chặn trên của N

Theo bổ ñề Zorn, M có một phần tử tối ñại, gọi là C

Ta chỉ ra rằng C là một cơ sở của V

Do C là phần tử tối ñại của M nên C≠ ∅ và ñộc lập tuyến tính

Ta còn phải chứng minh C là một hệ sinh của V x∀ ∈V

Nếu x=0 hay x∈C thì x∈〈 〉 C

Nếu x≠0 và x∉C thì C∪{ }x là phụ thuộc tuyến tính (do C là ñộc lập tuyến tính cực ñại của V) Suy ra có u1, ,u n∈C và r r0, , ,1 r n∈K không bằng không tất cả sao cho

Vì u1, ,u là ñộc lập tuyến tính nên n r0 ≠0

( )

1

x = −r− r u + +r u ∈〈 〉 C Suy ra x∀ ∈V thì x∈〈 〉 nên C là hệ sinh C

Do ñó C là cơ sở của V

PHẦN 2: BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho R là vành giao hoán sao cho mọi iñêan của R ñều là một R-môñun

tự do Chứng minh rằng R là một miền nguyên chính

Chứng minh:

•Chứng minh R là miền nguyên

Lấy a là một phần tử khác 0 tuỳ ý của R

Vì iñêan ( )a là một R-môñun tự do nên tập { }a ñộc lập tuyến tính

Do ñó Ann a( )=0

Từ ñó suy ra R không có ước của không nên R là một miền nguyên

•Chứng minh mọi iñêan của R ñều là iñêan chính

Gọi I là một iñêan của R thì I là một R-môñun tự do nên I có một cơ sở

Mặt khác vì hai phần tử khác 0 bất kì của I ñều phụ thuộc tuyến tính do ñẳng thức a.b – b.a = 0 nên mỗi cơ sở của I không thể có quá một phần tử Do ñó I là một

iñêan chính

Vậy R là miền nguyên chính

Bài 2: Cho R là một vành sao cho mọi iñêan trái trong R ñều là R-môñun tự

do Chứng minh rằng mọi môñun con của R-môñun tự do ñều là R-môñun tự do Chứng minh:

Cho M là R-môñun tự do ta có I là cơ sở của M Khi ñó ta có thể ñồng nhất

,

i i

i I

∈

Gọi {e i i ∈I} là một cơ sở chính tắc của M và F là môñun con của M

Ta sắp I thành tập sắp thứ tự tốt và gọi A là môñun con của M sinh bởi tập i

{e i i ∈I}

ðặt

= ∩

( )

:

i I

i i I i

∈

∈

⊕ →

֏

Khi ñó p F là iñêan của R i( )i

Vì R là iñêan chính nên p F i( )i =Ra Khi ñó có i b i∈F isao cho p b i( )i =a i Nếu a i =0 thì ta chọn b i =0 và ta ñược họ {b i i ∈I}

•Ta chứng minh F sinh bởi họ i {b j j ≤i} bằng phương pháp quy nạp

Thật vậy, giả sử F sinh bởi họ k {b j j ≤k} và ñiều này xãy ra với mọi k <i Lấy phần tử tuỳ ý x∈F i Khi ñó p x i( )=ra và do ñó: i

Suy ra x−rb i∈F , với k k <i hay x−rb i∈F biểu thị tuyến tính qua các k

, ≤

j

Vậy x biểu thị tuyến tính qua họ {b j j ≤i Vậy } F sinh bởi họ i {b j j ≤i}

•Ta chứng minh F sinh bởi họ {b i i ∈I}

Lấy phần tử tuỳ ý x∈F, khi ñó

1 1

m

x=e r + +e r , với i1< < i m

Do ñó

m

i

x∈A nên

m

i

x∈F Vậy x biểu thị tuyến tính qua họ {b j j ≤i m}

•Ta chứng minh hệ {b b i i ≠0,i∈I} ñộc lập tuyến tính

Thật vậy, giả sử

m

b r + +b r = r ≠ , với i1 < < i m Khi ñó

1

0

m

j

=

∑ 

Vì R là miền nguyên nên r m =0 hay 0

m

i

a = ðiều này vô lí

Vậy hệ {b b i i ≠0,i∈I} ñộc lập tuyến tính

Vậy {b b i i ≠0,i∈I} là cơ sở của F Suy ra F là R-môñun tự do

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Ngô Thúc Lanh, ðại số (Giáo trình sau ñại học), Nhà xuất bản giáo dục, 1985 [2] S Lang, ðại số (T V Hạo, H Kỳ dịch), Nhà xuất bản ðHTHCN, 1978

[3] Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết, Bài giảng cơ sở ñại số hiện ñại (Giáo trình sau ñại học), ðHSP, 2001

[4] Lê Văn Thuyết, Các cấu trúc ñại số cơ bản, Nhà xuất bản giáo dục, 1999

ðể hiểu sâu m? ?đun tự do, tiểu luận trình bày kiến thức

m? ?đun tự số tập m? ?đun tự

Nội dung tiểu luận gồm hai phần:... 2: Cho R vành cho iđêan trái R R-m? ?đun tự

do Chứng minh m? ?đun R-m? ?đun tự R-m? ?đun tự Chứng minh:

Cho M R-m? ?đun tự ta có I sở M Khi ta ñồng

,

i...

Vậy S sở M

Hệ quả: R-m? ?đun M tự M có sở

Mệnh đề 2.3: Mọi sở R-m? ?đun hữu hạn sinh hữu hạn

Chứng minh:

Giả sử S sở R-mơđun