Hình học kỳ 2 lớp 10

Vectơ chỉ phương Vectơ u 0  được gọi là vectơ chỉ phương VTCP của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với . Nhận xét:  Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.. Vectơ

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Vectơ chỉ phương

Vectơ u 0  được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc

trùng với .

Nhận xét:

 Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

 Nếu là vectơ chỉ phương của thì u cũng là vectơ chỉ phương của

 ku k 0  



2 Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và u  a; b là vectơ chỉ phương Khi đó phương trình tham số của đường thẳng có dạng:

, .0

3 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và u  a; b (với , ) là vectơ chỉ phương Khi đó

4 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n 0  gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của nếu giá của nó vuông góc với

Nhận xét:

 Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến

 Nếu là vectơ pháp tuyến của thì n cũng là vectơ pháp tuyến của

5 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Cho đường thẳng đi qua  M x ; y0 0 0 và có vectơ pháp tuyến n  a; b Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: a x x  0 b y y 00

Chú ý:

Nếu đường thẳng : ax by c 0   thì n  a; b là vectơ pháp tuyến của



6 Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

song song hoặc trùng với trục Ox

song song hoặc trùng với trục Oy

đi qua gốc tọa độ

Phương trình đoạn chắn: đi qua hai điểm  A a;0 ,B 0; b  :x y 1 với

7 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  1 0 và 2: a x b y c2  2  2 0

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 và 2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

Nếu hệ (I) vô nghiệm, hai đường thẳng song song

Nếu hệ (I) vô số nghiệm, hai đường thẳng trùng nhau

Nếu hệ (I) có một nghiệm duy nhất, hai đường thẳng cắt nhau Nghiệm của hệ chính là tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

8 Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 có vectơ pháp tuyến n1 a ; b1 1 và :

9 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm M x ; y 0 0 đến đường thẳng : ax by c 0   cho bởi công thức:

 Đường thẳng qua điểm M x ; y 0 0 có hệ số góc k có phương trình là: y k x x   0y0

 Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB biết A x ; y 1 1,B x ; y 2 2

Đường trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm x1 x2 y1 y2 của AB và nhận

 Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác

Cho 2 đường thẳng cắt nhau:  d : A x B y C1 1  1  10;  d : A x B y C2 2  2  2 0

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

 Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương

 Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại

 Cho   : Ax By C 0   và A x ; y 1 1,B x ; y 2 2

A và B nằm về cùng một phía đối với khi  Ax1By1C Ax 2By2C0

A và B nằm khác phía đối với khi  Ax1By1C Ax 2By2C0

đi qua và có vectơ chỉ phương nên phương trình tham số có dạng:

Chọn C



Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A 3; 1   và B 1;5 

Hướng dẫnĐường thẳng đi qua 2 điểm nhận vectơ AB 2;6  là vectơ chỉ phương suy ra đường thẳng có vectơ pháp tuyến là n    6; 2 2 3;1

Vậy phương trình đường thẳng là: 3x y 8 0  

Ta có I 4;6  là trung điểm của AB

suy ra vectơ chỉ phương của đường thẳng là

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB : x y 1 0   ; AC : 7x y 2 0   ;

Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC

Suy ra B, C nằm khác phía so với và cùng phía so với d1 d2

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là:  d : 2x 6y 7 01   

Gọi α là góc giữa đường thẳng d và trục Ox

Do tam giác OAB vuông tại O nên ta có: tan BAO OB 1

Đường thẳng d có hệ số góc bằng 1 và đi qua nên có phương trình là:

Do M 1; 5   nằm trên d nên  1 2 5  2b 0 2b 11

Thay vào (2) ta được phương trình đường thẳng d là: x 2y 11 0  

Trường hợp 2: Nếu a 2b ta có (1) bx 2by 2b  2   0 x 2y 2b 0  (3)

Do M 1; 5   nằm trên đường thẳng d nên  1 2 5  2b 0 2b 9

Thay vào (3) ta được phương trình đường thẳng d là: x 2y 9 0  

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: 1: x 3 4t và

A Song song nhau B Trùng nhau

C Vuông góc nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc

A Cắt nhau nhưng không vuông góc B Vuông góc nhau.

C Song song với nhau D Trùng nhau

Đáp án

Dạng 3: Góc và khoảng cách

1 Phương pháp giải

 Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng (d)

Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với (d).

Tọa độ điểm H là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng 

1 – D 2 – B 3 – B 4 – C

 Xác định điểm M1 đối xứng với điểm M qua (d).

Bước 1: Xác định hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng (d)

Bước 2: Gọi M1 là điểm đối xứng với M qua d thì H là trung điểm của MM1, ta được: 1

 Viết phương trình hình chiếu đối xứng của đường thẳng

Cho đường thẳng và d1 d2 Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với qua d1 d2

Bước 1: Xác định giao điểm I của hai đường thẳng và d1 d2

Bước 2: Lấy điểm M d 1 Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua d2

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua IM

Chú ý:

Nếu //d1 d2 ta làm như sau:

Bước 1: Lấy điểm M, Nd1 sau đó xác định hình chiếu của điểm M, N qua d2 là M,N

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , N 

105Hướng dẫn

Khoảng cách từ điểm M 1; 1   đến đường thẳng : 3x 4y 17 0   là:

Ví dụ 3: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho nó cách đều hai đường thẳng: d : 3x 2y 6 01    và

?2

d : 3x 2y 6 0  

A  1;0 B  0;0 C 0; 2 D  2;0

Hướng dẫnGọi M a;0  thuộc Ox Vì M cách đều hai đường thẳng và d1 d2 nên ta có:

  

Hướng dẫnGọi A là hình chiếu của M lên d : 2x y 5 0   suy ra A x;5 2x  

Gọi điểm đối xứng của M qua d là M1, khi đó ta có A là trung điểm MM1, suy ra

3 1010

3 1010

Hướng dẫn

Vectơ pháp tuyến của 1 và 2 lần lượt là n1 2;1 và n2  1;1

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC với A 3;3 , B 1; 2 ,C 4;1      Tìm côsin góc tạo thành từ hai đường thẳng

A 3x y 5 0   và 2x 3y 1 0   B x y 1 0   và x 3y 5 0  

C 3x y 5 0   và x 3y 5 0   D x y 1 0   và 2x 3y 1 0  

Hướng dẫnGiả sử đường thẳng d có phương trình tổng quát là ax by c 0   (1)

Do M 2; 1   d nên 2a b c 0     c b 2a (2)

Do tam giác ABC cân tại A nên    

Trường hợp 1: Nếu a = 3b chọn b = 1  a 3 thay vào (2) ta có: c b 2a 1 2.3     5

Thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng d là: 3x y 5 0  

Trường hợp 2: Nếu 3a b chọn a = 1   b 3 thay vào (2) ta có: c b 2a    3 2.1 5

Thay vào (1) ta được phương trình đường thẳng d là: x 3y 5 0  

52

Câu 4 Viết phương trình đường thẳng (d) qua N 3; 2   và tạo với trục Ox một góc 45

Câu 5 Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox và cách đều hai đường thẳng: d : 3x 2y 6 01    và

.2

Hướng dẫnPhương trình đường thẳng AC qua A 2; 1  , nhận vectơ chỉ phương AC0; 3  nên có vectơ pháp tuyến là n    3;0 3 1;0 , có phương trình là:

Vì CHAB nên ta có 2 t 4 4t 0 t 2 H 3 11;

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC biết trực tâm H 1;1  và phương trình cạnh AB : 5x 2y 6 0   , phương trình cạnh AC : 4x 7y 21 0   Phương trình cạnh BC là:

Câu 3 Phương trình đường thẳng  d :x 5 y 2 có vectơ chỉ phương là:

Câu 14 Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d : 4x 3y 5 01    ,d : 3x 4y 5 02    , đỉnh A 2;1  Diện tích của hình chữ nhật là:

Câu 16 Cho hai đường thẳng d : x 2y 1 01    ,d : x 3y 3 02    Phương trình đường thẳng d đối xứng với qua d1 d2 là:

Đáp án:

11 - A 12 - A 13 - A 14 - B 15 - C 16 - B

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Nếu P 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I a; b  và bán kính R  a2b2c

Nếu P 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn

Cách 2: Đưa phương trình về dạng:   2 2 (2)

Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I a; b  và bán kính R P

Nếu P 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn

Hướng dẫnGọi tâm của phương trình đường tròn cần tìm là I a; b .

Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2y22ax 2by c 0  

Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a,b,c

Giải hệ để tìm a,b,c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C)

Chú ý:

A thuộc đường tròn (C) IA R

(C) tiếp xúc với đường thẳng tại A  IA d I;   R

(C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2 d I;  1 d I;  2 R

Vì đi qua 3 điểm A 1;1 , B 1; 2 ,C 0; 1       nên ta có hệ phương trình sau:

1a2

Do A 1;1 , B 3;3      C và I Ox nên ta có hệ:

 Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính IM

Nếu IM < R suy ra M nằm trong đường tròn

Nếu IM = R suy ra M thuộc đường tròn

Nếu IM > R suy ra M nằm ngoài đường tròn

 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn (C)

Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính d I; 

Nếu d I;  < R suy ra cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Nếu d I;  = R suy ra tiếp xúc với đường tròn.

Nếu d I;  > R suy ra không cắt đường tròn.

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng và đường tròn (C) bằng số giao điểm của chúng Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

 Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn  C

Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm , bán kính I R của đường tròn  C và tính II,

R R R R

Nếu II > R R suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau

Nếu II = R R suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau

Nếu II < R R suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau

Nếu II = R R suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau

Nếu R R < II < R R suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn  C bằng số giao điểm của chúng Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

Ta có:

2 2

2 2 2

Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn?

A Cắt nhau B Đồng tâm C Đựng nhau D Trùng nhau

Để hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì ta có:

Ví dụ 4: Cho (C): x2y24x 8y 16 0   và (d): y x m  Tìm m để (d) cắt (C) tại 2 điểm A và B sao cho OAB là tam giác đều.

A m 2  3 B m 2  6 C m 3 D m < 0

Hướng dẫn(C) có tâm O 2; 4 , R = 2; (d): x y m 0  

Hạ OH vuông góc với AB thì H là trung điểm của AB Suy ra AH = 2

Xét tam giác AOH vuông tại H, ta có:

OH OA AH  3 2  5

2 2

2 2

a 2b3a b

Với a = 2b, chọn b = 1, a = 2, phương trình đường thẳng d là: d : 2x y 2 01   

Với a 1b, chọn a = 1, , phương trình đường thẳng d là:

A Tiếp xúc ngoài B Tiếp xúc trong C Đựng nhau D Ngoài nhau.

Câu 2 Cho     2 2 và Tìm m để cắt (C) tại A và B sao cho

Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến với đường tròn

1 Phương pháp giải

Cho đường tròn (C) tâm I a; b , bán kính R

Nếu biết tiếp điểm là M x ; y 0 0 thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ IM x 0a; y0b làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là x0 a x x  0  y0b y y  00

Nếu không biết tiếp điểm thì dùng diều kiện: Đường thẳng tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi 

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M 3;5  là:

A 3x 4y 12 0   B 3x 4y 8 0   C 3x 4y 12 0   D 3x 4y 2 0  

Hướng dẫnĐường tròn (C) có a = 2, b = 2, c = 4, a2b2 c 4 do đó đường tròn (C) có tâm I 2; 2 , bán kính R = 2Gọi là đường thẳng đi qua  M 4;6 , nên có dạng:

Ta thấy A 1;1  không thuộc đường tròn (C)

Phương trình đường thẳng đi qua điểm A 1;1  với hệ số góc k là:

Chọn A.



Ví dụ 4: Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x2y28x 12 0  và điểm E 4;1  Tìm tọa độ điểm

M trên trục tung sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A,B là các tiếp điểm sao cho E thuộc đường thẳng AB

A M 1; 4  B M 0; 4  C M 4; 4  D M 0; 4 

Hướng dẫnĐường tròn (C):  2 2  

x 4 y  4 I 4;0 , R 2

Gọi M 0;a  thuộc Oy, A x ; y , B x ; y 1 1  2 2   C

Tiếp tuyến tại A và B có phương trình là:

Vì (AB) qua E 4;1 : 4 0 a.1 4  a 4

Vậy trên Oy có M 0; 4  thỏa mãn

Câu 4 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn  Cm có phương trình x2y22mx 2 m 1 y 12 0      Với giá trị nào của m thì bán kính đường tròn nhỏ nhất?

A A nằm trong (C) B A nằm trên (C) C A trùng với tâm (C) D AI = 2R

Câu 9 Cho   2 2   2 2 Hai đường tròn trên:

C : x y 2x 4y 4 0; C : x   y 6x 2y 6 0  

A Tiếp xúc ngoài B Tiếp xúc trong C Đựng nhau D Ngoài nhau.

Câu 10 Cho đường tròn (C):

Câu 14 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn     2 2 và điểm

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH ELIP PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa đường elip.

Cho hai điểm cố định F1 và F2 sao cho F F1 22c c 0 và số

2a a c

Đường elip  E là tập hợp các điểm M sao cho MF1MF2 2a

Hai điểm , F1 F2 là các tiêu điểm của elip

Khoảng cách 2c là tiêu cự của elip

2 Phương trình chính tắc của elip.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho các điểm F1c;0 và F c2 ;0 với c0 thì phương trình chính tắc của elip nhận F F1, 2 làm các tiêu điểm là:

 E : x22 y22 1

a b 

Trong đó: b2 a2c2

 Elip  E nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và

nhận các gốc tọa độ làm tâm đối xứng

 Elip  E cắt các trục tọa độ tại các điểm

9

b b

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tục tọa độ Oxy, cho elip  E có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục

bé bằng 6 Phương trình nào sau đây là phương trình của elip  E

Hướng dẫnPhương trình chính tắc của elip có dạng

Vậy phương trình chính tắc của Elip là:

2 2

1

34 25

x  y  Chọn B



Hướng dẫnTiêu cự 2c  8 c 4



Hướng dẫnPhương trình chính tắc của elip có dạng

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6

và đi qua điểm A 0;5

Thay (1) vào (2) ta được: 2 2 2 2

Câu 3 Lập phương trình chính tắc của Elip  E biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.

Bước 2: Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn

, ta tìm được tọa độ của điểm M

Điểm M E nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông thì M nằm trên đường tròn  C tâm O đường kính

tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

2 2

151

15;1

20 4

116

M y

Ta có : 3 4 12 0 3 3 , thay vào phương trình ta được:

2 23

23

Câu 3 Cho elip  E có tâm sai bằng , độ dài trục nhỏ bằng 8 Phương trình chính tắc của elip 3 có