ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

MA TRẬN Phép biến đổi sơ cấp Ví dụ Giả sử ? ?.. Biến đổi ? được gọi là BĐSC nếu ? ? thuộc một trong ba loại sau đây: Loại 1: Đổi vị trí dòng ? với dòng ?, ?? ↔ ??... Phần tử khác 0 đầu

Chương 4 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

 Ma trận

 Định thức

 Hệ phương trình tuyến tính

 Không gian 𝑅𝑛

−1 2

2 7

Định nghĩa: Ma trận đơn vị là ma trận vuông

có các hệ số trên đường chéo chính bằng 1 và các hệ số còn lại bằng 0

00

MA TRẬN

Các phép toán

1 2

0 4

• Bằng nhau: Hai ma trận bằng nhau nếu các

phần tử tương ứng của chúng bằng nhau

MA TRẬN

Các phép toán

• Nhân một số với một ma trận: Cho 𝑘 là

một số thực và 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚×𝑛 là một ma trận loại 𝑚 × 𝑛 Ta định nghĩa

MA TRẬN

Ví dụ: Cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) là ma trận vuông cấp

100, có các phần tử ở hàng 𝑖 là (−1)𝑖 Xác định phần tử 𝑎36 của 𝐴2

MA TRẬN

Các phép toán

• Phép chuyển vị: Cho 𝐴 là ma trận loại

𝒎 × 𝒏 Chuyển vị của 𝐴, đƣợc ký hiệu 𝐴𝑇, là

MA TRẬN

Phép biến đổi sơ cấp

Ví dụ

Giả sử 𝐴 𝐵 Biến đổi 𝑒 được gọi là BĐSC nếu 𝑒 𝑒

thuộc một trong ba loại sau đây:

Loại 1: Đổi vị trí dòng 𝑟 với dòng 𝑖, 𝑑𝑟 ↔ 𝑑𝑖

Loại 2: Nhân dòng 𝑟 với số 𝑐 ≠ 0, 𝑑𝑟 𝑐 𝑑𝑟

Loại 3: Thay dòng 𝑟 bởi dòng 𝑟 cộng với dòng 𝑖

0), nếu có, nằm dưới dòng khác không;

2 Phần tử khác 0 đầu tiên, tính từ trái sang

phải, của dòng dưới nằm ở cột bên phải so với phần tử khác không đầu tiên của dòng trên

MA TRẬN

Ma trận bậc thang thu gọn

Ma trận 𝐴 đƣợc gọi là ma trận bậc thang thu gọn nếu nó là ma trận bậc thang, và

MA TRẬN

Hạng của ma trận

• Qua hữu hạn phép BĐSC trên dòng, ma

trận 𝐴 đƣợc biến thành một và chỉ một ma trận bậc thang thu gọn, ký hiệu 𝑅𝐴

• Số dòng khác không của 𝑅𝐴 đƣợc gọi là

hạng của 𝐴, ký hiệu là 𝑟(𝐴)

• Qua hữu hạn phép BĐSC trên dòng, ma

trận 𝐴 biến thành 𝐵, là ma trận bậc thang

Số dòng khác 0 của 𝐵 và của 𝑅𝐴 bằng nhau

Tìm hạng của 𝐴 nhƣ thế nào?

ĐỊNH THỨC

Chuẩn bị ký hiệu

Cho ma trận 𝐴 cấp 𝑛 Ta ký hiệu 𝐴(𝑖|𝑗) là ma trận có đƣợc từ 𝐴 bằng cách bỏ đi dòng thứ

ĐỊNH THỨC

Tính chất

1 det(𝐴𝑇) = det 𝐴

2 𝐴 𝐵 𝑒

• 𝑒 loại 1: det 𝐵 = − det 𝐴

• 𝑒 loại 2: det 𝐵 = 𝑐 det 𝐴

• 𝑒 loại 3: det 𝐵 = det 𝐴

3 det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det 𝐵, 𝐴 và 𝐵 cùng cấp

4 det 𝑐 𝐴 = 𝑐𝑛 det 𝐴, 𝐴 cấp 𝑛

132+ + +

− − −

det 𝐴 = 3.3.3 + 1.1.1 + 2.2.2 −1.3.2 − 2.1.3 − 3.2.1

= 18

Ví dụ

𝐴−1 = 1

−2

MA TRẬN KHẢ NGHỊCH

Ma trận phụ hợp: Cho 𝐴 là ma trận vuông cấp

𝑛 Ma trận 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) với

𝑐𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗 det 𝐴 (𝑗|𝑖) đƣợc gọi là ma trận phụ hợp của 𝐴 và đƣợc ký hiệu

𝐴|𝐵 Dạng ma trận bổ sung

0 1 0

2 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Định lý Cramer: Xét hệ 𝐴𝑋 = 𝐵 gồm 𝑛 phương trình 𝑛 ẩn

Cho hệ 𝐴𝑋 = 𝐵, gồm 𝑛 phương trình 𝑛 ẩn

Ký hiệu 𝐴𝑗 là ma trận có được từ 𝐴 bằng cách thay cột 𝑗 của 𝐴 bởi 𝐵

 Nếu det 𝐴 ≠ 0 thì hệ có duy nhất:

𝑥𝑗 = det 𝐴𝑗

det 𝐴 , 𝑗 = 1, 𝑛

 Nếu det 𝐴 = 0 và có det 𝐴𝑗0 ≠ 0 thì hệ vô

nghiệm

 Nếu det 𝐴 = 0 và có det 𝐴𝑗 = 0, ∀𝑗 thì hệ

vô nghiệm hoặc vô số nghiệm