Đại số tuyến tính chương 4 ánh xạ tuyến tính

Mai Phuong, Vuong2 Ma trận của axtt Ma trận của axtt Phép biến đổi tuyến tính Ma trận đồng dạng 3 Trị riêng và vector riêng của phép BĐTT Trị riêng và vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Ché

Trang 1

Mai Phuong, Vuong

Trang 2

2 Ma trận của axtt

Ma trận của axtt Phép biến đổi tuyến tính

Ma trận đồng dạng

3 Trị riêng và vector riêng của phép BĐTT

Trị riêng và vector riêng Chéo hóa phép BĐTT Chéo hóa ma trận Chéo hóa phép BĐTT

Trang 3

Cho V , W là hai KGVT trên trường K (ví dụ như trường số

Trang 4

Trang 7

Trang 8

→ R trong đó f (x, y) = x 2 + 1 không là axtt vì

6 f : R → R trong đó f (x) = sin x không là axtt vì

Trang 9

4 f : R 2 → R 2 trong đó f (x , y ) = (x + 1, y ) không là axtt vì

5 f : R 2 → R trong đó f (x, y) = x 2 + 1 không là axtt vì

Trang 10

4 f : R 2 → R 2 trong đó f (x , y ) = (x + 1, y ) không là axtt vì

5 f : R 2 → R trong đó f (x, y) = x 2 + 1 không là axtt vì

Trang 13

Trang 14

Trang 15

Trang 16

Trang 17

Định nghĩa

Hai không gian vector được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu giữa chúng

Trang 18

Định nghĩa

Hai không gian vector được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu giữa chúng

Trang 21

Trang 22

Mọi không gian vector n chiều trên trường R đều đẳng cấu

Trang 23

Khái niệm

Ánh xạ tuyến tínhĐơn cấu, toàn cấu, đẳngcấu

Hạt nhân và ảnh

Ma trận của axtt

Ma trận của axttPhép biến đổi tuyến tính

Trị riêng và vector riêng của phép BĐTT

Trị riêng và vector riêngChéo hóa phép BĐTTChéo hóa ma trận

Trang 25

Trang 26

Trang 29

Trang 30

Trang 31

Trang 32

của V

Trang 33

b Tìm số chiều và cơ sở của Imf và Kerf

Trang 34

Khái niệm

Trị riêng và vector riêngChéo hóa phép BĐTTChéo hóa ma trậnChéo hóa phép BĐTT

4.22

Trang 35

Kgvt V có cơ sở B = {b 1 , b 2 , , b n } và kgvt W có cơ sở U = {u 1 , u 2 , , u m } Axtt

f : V → W Khi đó ta có thể biểu diễn:

f (b 1 ) = a 11 u 1 + a 21 u 2 + + a m1 u m

f (b 2 ) = a 12 u 1 + a 22 u 2 + + a m2 u m

Trang 36

Kgvt V có cơ sở B = {b 1 , b 2 , , b n } và kgvt W có cơ sở U = {u 1 , u 2 , , u m } Axtt

f : V → W Khi đó ta có thể biểu diễn:

f (b 1 ) = a 11 u 1 + a 21 u 2 + + a m1 u m

f (b 2 ) = a 12 u 1 + a 22 u 2 + + a m2 u m

Trang 37

Trang 38

Trang 39

Trang 40

Trang 41

Trang 42

V, W là hai kgvt hữu hạn chiều, f : V → W là một axtt A

là ma trận của f ứng với cơ sở B, U của V, W Khi đó, với mọi vector v ∈ V :

[f (v )] U = A[v ] B

Trang 43

Trang 44

Khái niệm

4.31

Trang 45

Trang 48

Trang 49

Trang 50

Trang 51

Trang 52

Trang 53

Khái niệm

Trang 54

Hai ma trận A và B gọi là đồng dạng, kí hiệu là A ∼ B, nếu

Trang 55

• Các ma trận của một toán tử tuyến tính f trên kgvt V theo hai cơ

sở của V đồng dạng với nhau.

Trang 56

Trang 57

Trang 58

Khái niệm

4.41

Trang 59

Trang 60

Trang 61

• Số thực λ được gọi là một giá trị riêng của phép BĐTT f : V → V

nếu tồn tại một vector KHÁC KHÔNG v ∈ V thỏa mãn f (v ) = λv

• Nếu λ 0 là một vector riêng của f thì các vector v ̸= θ thỏa mãn

f (v ) = λ 0 v được gọi là vector riêng của f ứng với λ 0

Trang 62

• Số thực λ được gọi là một giá trị riêng của phép BĐTT f : V → V

nếu tồn tại một vector KHÁC KHÔNG v ∈ V thỏa mãn f (v ) = λv

• Nếu λ 0 là một vector riêng của f thì các vector v ̸= θ thỏa mãn

f (v ) = λ 0 v được gọi là vector riêng của f ứng với λ 0

Trang 64

một phép BĐTT thì ĐLTT.

Trang 65

• Hai vector riêng ứng với 2 giá trị riêng khác nhau của một phép BĐTT thì ĐLTT.

Trang 66

A[v ] B = λ[v ] B

Trang 67

A[v ] B = λ[v ] B

Trang 68

⇓

A[v ] B = λ[v ] B

Trang 69

• Nếu λ k là một giá trị riêng của A thì các nghiệm X ̸= θ của

phương trình AX = λ k X được gọi là vector riêng của ma trận A ứng với λ k

Trang 70

• Nếu λ k là một giá trị riêng của A thì các nghiệm X ̸= θ của

phương trình AX = λ k X được gọi là vector riêng của ma trận A ứng với λ k

Trang 72

Trang 73

Trang 74

Trang 76

Trang 77

1 Chọn 1 cơ sở E của V Lập ma trận A của f đối với E

2 Xác định đa thức đặc trưng det(A − λI)

3 Giải phương trình det(A − λI) = 0 Tất cả các nghiệm λ 1 , , λ k của nó là các trị riêng của f

4 Với mỗi λ i , giải phương trình (A − λ i I).X = θ Nghiệm X ̸= θ là vector tọa độ theo cơ sở E của các vector riêng của bđtt ứng với

λ i

5 Tính các vector riêng từ các vector tọa độ ở bước 4.

Trang 78

λ i

Trang 79

λ i

Trang 80

λ i

Trang 81

λ i

Trang 83

Khái niệm

Trang 84

Trang 85

Trang 86

Bài toán chéo hóa

Trang 87

Trang 88

Trang 89

Trang 91

Trang 92

Các bước chéo hóa ma trận

1 Giải pt det(A − λI) = 0, tìm được k nghiệm phân biệt

λ 1 , λ 2 , , λ k

2 Giải các hệ phương trình tuyến tính (A − λ i I)x = θ để tìm các vector riêng ĐLTT u 1 , , u n Nếu không đủ n vector riêng ĐLTT thì A không chéo hóa được.

3 Lập ma trận T có các cột là u 1 , , u n T là ma trận làm chéo A

4 Lập ma trận chéo D từ các giá trị riêng Lưu ý thứ tự các giá trị riêng này phải tương ứng với các cột của T.

Trang 93

Trang 94

Trang 95

Tìm một cơ sở để ma trận của phép biến đổi tuyến tính

f (ax + b) = (8a + 2b)x + (2a + 5b)

Trang 96

Thuật toán chéo hóa phép BĐTT

1 Chọn 1 cơ sở E, lập ma trận A của f đối với E.

2 Chéo hóa A, thu được ma trận chéo D và ma trận làm chéo T.

3 D là ma trận có dạng đường chéo của phép BĐTT f.

Trang 97

Trang 98

Trang 99

Trang 100

là u 1 , , u n

3 Cơ sở cần tìm là S = {s 1 , , s n }, trong đó [s i ] E = u i

Định dạng
Số trang	100
Dung lượng	638,56 KB