Đề cương Ôn tập HK2 Toán 1154904

q n *Tổng n số hạng đầu tiên của CSN Giả sử có cấp số nhân un với công bội q... Cho tam giác có số đo 3 góc lập thành một cấp số cộng.. D không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho

Trang 1

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II-MÔN TOÁN – LỚP 11

A PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương III : DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Phương pháp quy nạp toán học:

Để c/m mệnh đề A(n) đúng n N* ta thực hiện:

B1: C/m A(n) đúng khi n=1.

B2:  n N*giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1

2 Dãy số tăng, dãy số giảm:

Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng nếu với mọi ta có n u n u n1

Dãy số  u n được gọi là dãy số giảm nếu với mọi ta có n u n u n1

Phương pháp để chứng minh một dãy số tăng hoặc giảm

Cách 1: (un) là dãy số tăng  un < un+1  n N*

Cách 2: (u n ) là dãy số tăng  un+1 - un  0 n N* (xét dấu un+1 - un)

Cách 3: un >0  n, (un) là dãy số tăng 

1



n

n u

u

< 1

3 Dãy số bị chặn:

a) Dãy số (u n) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho M nN*,u n M b) Dãy số (u n) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho m nN*,u n m c) Dãy số (u n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một

số và một số sao cho M m nN*,mu n M

4 Cấp số cộng

Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (u n ) là cấp số cộng u n =u n-1 + d,  n 2.

+ d không đổi gọi là công sai

+ Kí hiệu cấp số cộng : u 1, u2, u3, …, un, …

* Tính chất (u n ) là cấp số cộng  , (k 2)

2

1

 

k

u u

* Số hạng tổng quát: Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho

bởi công thức : u n =u 1 +(n-1)d

* Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng:

Cho cấp số cộng (u n ), gọi S n =u 1 +u 2 +…+u n

, n 1.

2

) (u1 u n

n



2

) 1 (

2u1 n d n

5 Cấp số nhân(un) là CSN  2

1

u n u q n

n

Số q được gọi là công bội của CSN

* Tính chất: Cho cấp số nhân (u n ) Ta có: 2  k  2, k  N*

k   k k 

* Số hạng tổng quát: Cho cấp số nhân (u n ).

với q

n-1

1 q

n

*Tổng n số hạng đầu tiên của CSN

Giả sử có cấp số nhân (un) với công bội q Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó: Sn = u1 + u2 + + un

Nếu q=1 thì un = u1với mọi n 1 Khi đó: Sn = nu1

Nếu q 1, ta có kết quả: 1 (1 ) với q

1

n n

S

q





Trang 2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1 Dãy số nào sau đây không bị chặn trên:

sin

n

Câu 2 Cho dãy số ( ) với un un   ( 5)n Khi đó số hạng u2nbằng:

A) 25n B) 10n C) -25n D) ( 5)  n2

Câu 3 Cho cấp số cộng ( ).Đẳng thức nào sau đây là đúng:un

A) u10  u20  2 u15 B) u u10. 20  2 u15 C) 2 D)

10. 20 15

u u  u u10  u20  u30

Câu 4 Cho cấp số nhân ( ).Đẳng thức nào sau đây là đúng:un

1. 11 6

u u  u u u1. 11 u12

Câu 5 Cho cấp số cộng x; 1; y; 9 Khi đ ó:

A) x = -3, y = 5 B) x = -5, y = 3 C) x = -1, y = 7 D) x = -2, y = 6

Câu 6 Cho cấp số nhân 3 số hạng: 2,5 ; x; 40 Hãy chọn kết quả đúng:

Câu 7.Cho dãy số ( ) với un u1  2; un  2 un1, n  2 Khi đó:

7.1 Số hạng thứ 100 bằng:

A) 299 B) 2100 C) 2101 D)200

7.2 Tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng:

A) 299 - 1 B) 2100 - 1 C) 2101 - 1 D) 1 - 2101

Câu 8 Cho cấp số cộng -2; -5; -8; -11; Khi đó công sai d và tổng 20 số hạng đầu tiên là:

A) d = 3; S20 = 510; B) d = -3; S20 = -610

C) d = -3; S20 = 610 D) d = 3; S20 = -510

Câu 9 Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng:

2

n

2

n n

u  

Câu 10 Ba số xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng là:

A) 7; 12; 17 B) 6; 10; 14 C)8; 13; 18 D) 5; 10; 17

Câu 11 Cho cấp số cộng có 1 1 ; 1 Tổng của 5 số hạng đầu tiên là:

u  d  

4

4 5

5 4

5



Câu 12 Cho cấp số cộng có d  0,1; s5   0,5 Số hạng đầu tiên là:

3

10 3



Câu 13 Cho cấp số cộng có u5   15; u20  60 Tổng của 20 số hạng đầu tiên là:

Câu 14 Cho tam giác có số đo 3 góc lập thành một cấp số cộng Biết số đo một góc là 250, số đo 2 góc còn lại là:

A) 650; 900 B)750; 800 C) 600; 950 D)700; 850

Câu 15 Cho cấp số nhân với u1 = -1; q = - 0,1 Số 10-103 :

A) là số hạng thứ 103 của cấp số nhân đã cho

B) là số hạng thứ 104 của cấp số nhân đã cho

C) là số hạng thứ 102 của cấp số nhân đã cho

D) không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho

Trang 3

Câu 16.Cho dãy số 1 ; ; 2 Chọn b để dãy số trên là một cấp số nhân:



Câu 17 Cho cấp số nhân 1; 1 1 1 ; ; ; Số hạng thứ 10 bằng:

2 4 8

Câu 18 Các giá trị của x để 3 số 2x – 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân là:

3

9

x  

Câu 19 Dãy số nào là cấp số nhân?

A) 1; 0,2; 0,04; 0,008; B) 2; 22; 222; 2222;

C) x, 2x, 3x, 4x, 5x, D) 1 1 1 1

; ; ; ;

2 3 4 5

Câu 20 Cho cấp số nhân có u1 = -3; q = 2 Số

3

96 243



A) là số hạng thứ 6 của cấp số nhân đã cho

B) là số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho

C) là số hạng thứ 7 của cấp số nhân đã cho

D) không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho

Câu 21 Cho cấp số nhân có 2 1 ; 5 16. Khi đó:

4

u  u 

;

u   q   1 1 ; 4

16

u   q  

Câu 22.Cho dãy số 1 2; n 1 2 1 , * Công thức số hạng tổng quát của dãy này

n

u



là:

n

n u

n

 

n



n



n





Câu 23 Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = 2n + 3 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A) (un) là cấp số cộng với công sai là d = 3

B) (un) là cấp số cộng với công sai là d = 2

C) (un) là cấp số nhân với công bội là q = 3

D) (un) là cấp số nhân với công bội là q = 2

Câu 24 Một cấp số nhân có 3 số hạng a, b, c khác 0 và công bội q ≠ 0 Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

a   b c

n  ฀ n 

n



2

n

n S

n



n



2

n

n S

n





Bài tập tự luận

Bài 1: Chứng minh bằng phương pháp qui nạp: n N*, n  3 ta có 2n > 2n + 1

Trang 4

Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết 7 3

2 7

8

u u



 Bài 3: Cho dãy số (un), biết: 1

1

u

+

ìï = -ïïí

ïïî a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp qui nạp Bài 4: Xác định cấp số nhân (un), biết :

3 5 6

15 135 0

u u u

ìï = ïï

í ïï

ï <

ïî Bài 5: Người ta xếp 3655 học sinh theo đội hình đồng diễn là một tam giác: hàng thứ nhất có 1 học sinh, hàng thứ hai có 2 học sinh, hàng thứ ba có 3 học sinh, Hỏi có bao nhiêu hàng?

Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n1, biểu thức S n 13n1chia hết cho 6

Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn luôn có 2 2

4

Bài 8: Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó?

Bài 9: Bốn số lập thành một cấp số cộng Biết rằng tổng của chúng bằng 22 và tích của chúng bằng

166 Tìm 4 số đó

- ( Hết)

-Chương 4 : GIỚI HẠN

I Vấn đề 1: Dãy số có giới han 0

* Phương pháp

2

1 lim 0(k N )

n 

3

1

n  e) Nếu |q| < 1 thì lim q n 0

f) Nếu |u n |V n thì Vn = 0 thì lim un = 0

4.1 Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.

5

n





sin 5

n

n

os2n

n 1

c



4.2 Chứng minh hai dãy số (un) và (vn) với:

1 ( 1)

n

u

n n



( 1) osn

n 1

n n

c

V  



4.3 Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0

2 1

n

n n

u  



sin 5 (1, 01)

n u



 

4.4 Cho dãy số (un) với

3

n n

n

u 

a) Chứng minh rằng 1 2 với mọi n

3

n

u u

 

b) Bằng phương pháp qui nạp chứng minh rằng 0 2 với mọi n

3

n

u  

   

  c) Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0

Trang 5

II Vấn đề 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn

* Phương pháp

1) limu n  L lim(u nL)0

2) Sử dụng định lí 1 và định lí 2

3) Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với công bội q

Ta có: lim 1

1

n

u S

q





4.5 Cho dãy số (un) với u n 15n 1 Chứng minh lim un = 15

n





4.6 Tìm các giới hạn sau:

2

n

   

sin 3

4

n n

1 limn

n

lim

1

n n



4.7 Tìm các giới hạn:

n





2 2

lim

n n n

 



4.8 Tìm giới hạn:

2

lim

3

n





3 2

lim 2

n n



4.9 Tìm giới hạn 2

3

1 3 2 lim

2

n n



4.10 Tìm các giới hạn:

lim

3

n



3 2

2 lim

1

n





1

n



3 3

lim

2

n n n



2

lim( n  n n)

a) lim( n2  n 1 n) b) 3 3 2

lim(n n 2n ) c) lim( n2 1 3n31)

4.13 Tìm các giới hạn

2.3 4

n

n  n

3 5.4 lim

n n



2 3.7





1 1

5 11 lim

n n



4.15 Tìm giới hạn lim 1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 (n 1)n

4.16 Tìm giới hạn lim1 2 3 2 n

n

   

4.17 Tìm tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

2 3

, , , , ,

2 2 2 2n

1

1, , , , ,

n

4.18 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng phân số

III Vấn đề 3: Dãy số có giới hạn vô cực

Trang 6

* Phương pháp

limn k    ฀(k ) 5) limq n   nếu q > 1 6) Nếu lim (–un) = + thì lim un = –

7) limu n   lim(u n)  8) Nếu lim |u n|  thì lim 1 0

n

u  9) Các qui tắc tìm giới hạn vô cực

3 lim



3

2

lim n n

n n



3

2 lim

n n n



4.22 Tìm giới hạn của các dãy số (un), với:

a) u n  3n4 5n37n b) 3 6 7 3 5 8

12

n

u

n





4.24 Tìm giới hạn của các dãy số (un), với:

2 1

n

n n

u  

n n n

u  

.3"

n

2

lim 2 n

n

n n



§GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I Vấn đề 1: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn

4.26 Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số Tìm các giới hạn sau:

2

1

lim

1

x



1 lim 5

x x

3

lim

x x

5

lim(4 3)

4

lim( 7)( 1)

4

lim

3

x





x x

2

lim(3 7 11)

1

lim (2 1)( 3)

x

x x





1 lim 1

x x

x



  

9

3

lim

9

x

x x





2 3

lim | 4 |

2

3 1 lim

x





2

lim

1

x





2 2

lim

1

x





Trang 7

a) b)

2 3

1 lim

2

x

x x





2 lim

1

x

x x





4.31 Tìm các giới hạn

1 lim

x

x x



3

2 lim

x





2

lim

2

x

x x

  

2 3

2

2 lim

x

x x





 

II Vấn đề 2:  Giới hạn một bên

 Giới hạn vô cực

L x f x

f L

x

f

o o

x





 ( ) lim ( ) lim ( )

lim

1 Cho hàm số f(x) = Tìm











 1 3

2

1 x

2 3

x khi x

x khi

1

lim ( )

x f x



2 Tìm các giới hạn:

1

x



5

lim ( 5 2 )

x

x x



3

1 lim

3

1 lim

3

x  x

3 Tìm các giới hạn:

2

| 2 |

lim

2

x

x x







| 2 | lim

2

x

x x







| 2 | lim

2

x

x x





2

lim

2

x

x x







lim

2

x

x x









2 3

3 lim

3

x

x x

x





 



2 3

3 lim

3

x

x x x





 



lim ( 2 )

a) lim ( 2 3 1) b)

    c) lim ( 5 4 2 2) d)

8 Tìm giới hạn: 2

III Vấn đề 3: Các dạng vô định 0, , 0, và  - 

0



* Phương pháp

Khi tìm giới hạn các dạng này, ta phải thực hiện một vài phép biến đổi để có thể sử dụng các định lí và qui tắc đã biết Làm như vậy ta gọi là khử dạng vô định

1 Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:

2 3

lim

3

x





2 2 1

lim

1

x





2 Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:

1

1 lim

1

x





lim

x a





Trang 8

2

1

lim

x

x x



 

2 2

4 lim

7 3

x

x x





 

2 0

lim

x



2

2 lim

x

x x x



 

3

lim

3

x

x x



 

2

lim

2 3

x

x x x





2

lim

x  x x

4

0

1

n n



0

1

x x x

§ HÀM SỐ LIÊN TỤC

I Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm

* Phương pháp

Để chứng minh f(x) liên tục tại xo, ta qua 3 bước

 B1: Tính f(xo)

 B2: Tìm lim ( )

o

x x f x



 B3: So sánh f(x) và lim ( )

o

x x f x



Nếu lim ( ) ( )

o

x x f x f x

  thì kết luận f(x) liên tục tại điểm x = xo

1 Xét tính liên tục của hàm số: Tại điểm xo = 2

2

4

x

f x x

 



 



2 Cho hàm số:

3

1 ( )

x x

f x

x

  

 



 Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm xo = 1

3 Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm xo = 3

a)

2

( )

3

f x

x



 b)

4





4 Cho hàm số

3 1

x

f x x

a

 



 



Xác định a để hàm số f(x) liên tục tại điểm xo = 1

II Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn

* Phương pháp

1 Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b)  f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b) 2) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và:

Nếu x ≠ 2 Nếu x = 2 Nếu x >1

Nếu x ≤1

Nếu x ≠ 3 Nếu x =3

Nếu x ≠ 1 Nếu x = 1

Trang 9

lim ( ) ( );

x a f x f a

x b f x f b

1 Xét tính liên tục của hàm số:

3

1 ( )

x x

f x

x

  

 



 Trên tập xác định của nĩ

2 Xét tính liên tục của hàm số:

2

4





Trên tập xác định của nĩ

3 Cho hàm số: f x( ) x2 2x 1

x a

 



 Định a để hàm số f(x) liên tục trên ฀

4 Cho hàm số

2

3 1 ( ) 3

f x

x



 

 

 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:

a) xo = 0 b) xo = 1

III Vấn đề III:

Chứng minh phương trình cĩ nghiệm nhờ tính liên tục của hàm số

*Phương pháp

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b)

1 Chứng minh phương trình: 4 2 , cĩ ít nhất hai nghiệm phân biệt trên

4x 2x   x 3 0 khoảng (–1, 1)

2 Chứng minh phương trình :x33x 1 0 có 3 nghiệm phân biệt

3.Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (m2 + 1)x 4 – x 3 – 1 = 0 cĩ ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng (– 1; 2)

4.Chứng minh phương trình sau luơn cĩ nghiệm:cosx + mcos2x = 0

5.Chứng minh rằng phương trình 3 2 4 luơn cĩ ít nhất hai nghiệm với

mọi giá trị của m

Chương V : ĐẠO HÀM Một số câu hỏi trắc nghiệm

1.Cho hàm số y= f(x) = -32 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

x

A f(-1)=-3 B f(1)=3 C f’(1)=-3 D f(0)=0

2 Tiếp tuyến với parabol y= x2 +3x tại điểm M0(1;4) cĩ hệ số gĩc k bằng bao nhiêu ?

A 5 B 4 C 0 D tan5

3 Lập phương trình tiếp tuyến với parabol (P): y= x2tại điểm M(2;4)

A y= 4x-4 B y=4x+4 C y= -4x-4 D y=4x

4 Cho đường cong (C): y=x3.Lập phương trình tiếp tuyên với (C) tại M (-1; -1) ,ta được :

A y=3x+2 B y= 3x C y= 3x-2 D y= -3x+2

5 Một vật rơi tự do theo phương trình s= gt1 2 với g=9,8 m/s2 Vận tốc tức thời của vật tại thời

2 điểm t= 5s là bao nhiêu ?

A 122,5 m/s B 29,5 m/s C 10m/s D 49m/s

6 Cho hàm số y= f(x) = x5 -1+1 Tính f’(1)

x

Nếu x ≥ 1 Nếu x< 1 Nếu x ≠ 3 Nếu x = 3

Nếu x < 0 Nếu x ≥ 0

Nếu x < 1 Nếu x = 1 Nếu x > 1

Trang 10

7 Cho hàm số f(x)= x.(x+1)10 Tính f’(0)

A 0 B 1 C 11 D Một kết quả khác

8 Cho hàm số y= ax + b ( a+b khác 0 ) Tính f’(0)

a + b

A b B 0 C 1 D

a + b

a

a + b

9 Trong các mệnh đề sau ,hàm số nào là đạo hàm của hàm số y= x -1 x - 2 x - 3  

A 3x2 -12x +11 B 3x2 +12x-11 C 3x2 -12x-11 D x - 2 x - 3   x -1 x - 2 

10 Cho hàm số y= 3 +2x2-5x+6.Tìm x để f’(x) 0

3

A.x=1 và x=-5 B x=1 hay x=-5 C   5 x 1 D x < -5 hoặc x >1

11 Cho f(x)= 1- x Tìm mệnh đề đúng

1+ x

A f’(x) =0 , với mọi x B f’(x)= , với mọi x khác -1

 2

2 1+ x

C f’(x)= , với mọi x khác -1 D Hàm liên tục trên R

 2

-2

1+ x

12 Hệ số góc của cát tuyên MN với đường cong (C): y= x2 –x+1 với M , N lần lượt có hoành độ là

1 và 2

2 13.Cho hàm số y= x3 2 Mệnh đề nào sau đây đúng

- mx + 4x - m 3

A y’= (x-m)2 B y’>0 với mọi x thuộc R

C y’>0 với mọi x thuộc R khi   2 m 2 D y’>0 với mọi x thuộc R khi   2 m 2

14 Cho hàm số y= x - 2 Mệnh đề nào sau đây đúng

x +1

A y’   0, x 1 B y' > 0, x R C y’   0, x 1 D y’   0, x 1 15.Đạo hàm của hàm số y= x - x +122 là kết quả nào sau đây :

x + x +1

2

2x - 2

2 2

2x - 2x +1

x + x +1

2x -1

2x -1 2x +1 2

16 Hàm số y= 2 2 có đạo hàm là

x - 6x + 9

A y’=0 ,với mọi x B y’= 2 , với mọi x khác 3

2x6

C y’= - 1 , với mọi x khác 3 D y’= - , với mọi x khác 3

3

4 3

x

17 Cho y= 2 Tìm mệnh đề đúng :

x + x - 6



2

-2x +1

2 -x + x - 6

 ; 2 3; 

2

-2x +1

2 -x + x - 6

R



2

-x +1

-x + x - 6

 ; 2 3; 

2

1

2 -x + x - 6

R



Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	259,67 KB