Cho hình chóp S ABCD.. Chứng minh rằng SBM SAC và tính thể tích tứ diện SABM.. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4.. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm N2;-3.Qua N
Trang 1SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT KHÂM ĐỨC
ĐỀ SỐ 33
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN - NĂM 2013 - 2014
Thời gian làm bài: 180 phút.
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH: ( 7 điểm)
yx mx C
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số C1
b) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của C m cắt đường tròn tâm I 1;1 ,
bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất
4
1 4 sin 4
sin sin cos2x x x 2 x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
4 ) 1 ( log 2 ) 1 ( log 3 ) 1 ( log 2
1 2 1 2
3
2 3
3
3 3
y x
xy
x y
y x
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
e
dx x x x x
x I
1
2 ln 3 ln 1 ln
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với đáy , ABCD là hình chữ nhật với AB 3 a 2, BC 3 a Gọi M là trung điểm CD và góc giữa ( ABCD ) với ( SBC ) bằng 600 Chứng minh rằng ( SBM ) ( SAC ) và tính thể tích tứ diện SABM
Câu 6 (1,0 điểm) Cho a3 > 36 và abc=1 Chứng minh rằng + b2 + c2 > ab + bc + ca
3
2
a
II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ): Thí sinh chọn một trong hai phần ( phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn:
Câu 7.a (1,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao
điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C và D
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(13;-1;0), N(12;0;4).Lập phương trình
mặt phẳng đi qua hai điểm M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( S) : 2 2 2
x y z 2x4y 6z 67 0
Câu 9.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn 2 2 và
6
2
B Theo chương trình nâng cao:
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm N(2;-3).Qua N vẽ đường thẳng
sao cho nó tạo thành với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng Viết phương trình đường
2 3
thẳng đó
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm
Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2;3;1 , 1; 2; 0 , 1;1; 2
Câu 9.b (1,0 điểm) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
và số đó chia hết cho 3?
Chúc các em thành công !
Trang 2
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 33 Câu 1( 2,0 điểm Ta có 2
' 3 3
y x m
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt m 0
Vì 1 ' 2 2 nên đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương trình là
3
2 2
y mx
Ta có (vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán
2
2 1
4 1
m
m
kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt
Với 1, đường thẳng không đi qua I, ta có:
2
.sin
ABI
S IA IB AIB R
Nên SIAB đạt giá trị lớn nhất bằng ½ khi sinAIB = 1 hay tam giác AIB vuông cân tại I 1
2 2
R IH
(H là trung điểm của AB)
2
2 2
4 1
m
m m
Câu 2 (1,0 điểm) pt đã cho tương đương với pt:
4
1 ) 8 cos 1 ( 2
1 ) 5 cos 3 (cos 2
1 )
2
cos
1
(
2
1
2
1 5 cos 2
1 3 cos 2
1 5 cos 3
0 2
1 3 cos
0 2
1 5 cos 0
2
1 3 cos 2
1
5
cos
x
x x
3
2 9
5
2 15 2
k x
k x
Câu 3 (1,0 điểm ĐK: x 2, y>1
pt đầu của hệ tương đương với pt: x3 2 x1 y3 2 y1 (1)
Xét hàm số f(t)t3 2 t1 với t>1
,suy ra f(t) đồng biến trên khoảng 1
, 0 1
1 3
)
(
t t
t
Suy ra: (1)x=y thế x=y vào pt thứ hai của hệ
tađược2log ( 1) 3 log ( 1)2 2log3( 1) 4
3 2
suy ra:
2 log (x 1) 3 2 log (x 1) 4 0 2 log (x 1) 1 x 1 3
đối chiếu với ĐK ta được x1 3, y1 3 Vậy hệ có nghiệm (x;y)(1 3;1 3)
Câu 4 (1,0 điểm) =I 1 +3I 2
e
1 2 e
1
xdx ln x 3 dx x ln 1 x
x ln I
+) Tính e dx Đặt Khi
x x
x I
1
1
ln 1
x
3
1
t
+) TÝnh I x lnxdx §Æt
e
1
2
2
3
x v x
dx du dx x dv
x ln u
3 2
Trang 3Vậy
3 e e 2 3 3 e 3 3 3
1
3
e 2 2 2
Câu 5 (1,0 điểm) Gọi I BM AC,suy ra là trọng tâm của tam giác I BCD
2
Mặt khác BM SABM (SAC)(SBM)(SAC)
+ Ta có
I
M
S
C D
2
( , ) 3 2.3
ABM
a
Theo bài ra 0 Xét tam giác vuông có
60
2
tan 60 3 6 3 6 9 3( )
3 2
SABM
a
Câu 6 (1,0 điểm) Từ abc=1 vì a3>36 nên a>0
a
bc 1
Bđt đã cho tương đương với +(b+c)2 -2bc>bc+a(b+c)
3
2
a
(1)Xét tam thức bậc hai f(x)= x2 –ax-3bc+
0 3 3 ) ( )
(
2
b c a b c bc a
3
2
a
Ta có hệ số của x2 là 1>0 và 0
3
36 3
36 12
3
a
a a
bc bc
a a
Theo định lý tam thức bậc hai thì f(x)>0 với
3 3 ) ( ) ( ) (
2
f b c b c a b c bc a
Câu 7.a (1,0 điểm)
Ta có: AB 1; 2AB 5 Phương trình của AB là: 2x y 2 0
I là trung điểm của AC và BD nên ta có:
I d y x I t t
Mặt khác: (CH: chiều cao)
2 1; 2 , 2 ; 2 2
5
CH
Ngoài ra:
| 6 4 | 4
;
0 1; 0 , 0; 2
t
d C AB CH
Vậy tọa độ của C và D là 5 8; , 8 2; hoặc
3 3 3 3
C1; 0 , D 0; 2
Câu 8.a (1,0 điểm) Mặt cầu (S) có tâm I( 1;2;3) bán kính R = 9.
Mặt phẳng (P) đi qua M(13;-1;0) nên có pt dạng : A(x -13) + B(y + 1) + Cz = 0 với 2 2 2
A B C 0
Vì điểm N thuộc ( P ) nên thay tọa độ N vào pt (P) ta được: A = B + 4C
Lúc này pt(P) : (B + 4C)x + By + Cz -12B – 52C = 0( P ) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi : d(I,(P)) = 9
Trang 42 2
B 2BC 8C 0
B 2C
Thay vào phương trình mặt phẳng (P) ta được hai phương trình mặt phẳng thỏa mãn bài toán:
(P ) : 2x2y z 280; (P ) : 8x4y z 100 0
Câu 9.a (1,0 điểm) Giả sử z x yi, ( ,x y )
Ta có: + z2 z2 6 (xyi)2 (x yi)2 6 x2y2 3
2
(x 1) (y 1) x (y 2)
x 3y 1 0
Giải hệ phương trình: 2 2 Vậy
2
2, 1
3
,
x y
x y
x y
x y
7 1
2 ;
4 4
z i z i
Câu 7.b (1,0 điểm) Gọi A(a;0), B(0;b) với ab 0 Đường thẳng AB cần tìm có phương trình: 1
b
y a x
AB đi qua N(2;-3) nên: từ giả thiết suy ra
a
a b b
2
3 1
3 2
3 2
3 2
1
ab ab
Từ đó suy ra Vậy có hai đường thẳng cần tìm pt là: 3x+y-3=0, 3x+4y+6=0
2 3
2
; 3
1
b
a
b a
Câu 8b (1,0 điểm H x y z; ; là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi BH AC CH, AB H, ABC
2 15
3
x
AH AB AC
z
I x y z; ; là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi AI BI CI I, ABC
2 2
AI AB AC
14 15
, ,
1 3
x
z
Câu 9b (1,0 điểm) Số có 5 chữ số cần lập là abcde (a0; a, b, c, d, e {0; 1; 2; 3; 4; 5})
3
abcde (a b c d e) 3
- Nếu (a b c d) 3 thì chọn e = 0 hoặc e = 3
- Nếu (a b c d)chia 3 dư 1 thì chọn e = 2 hoặc e = 5
- Nếu (a b c d)chia 3 dư 2 thì chọn e = 1 hoặc e = 4
Như vậy với mỗi số abcd đều có 2 cách chọn e để được một số có 5 chữ số chia hết cho 3
Số các số dạng abcd lập được từ tập A là: 5x6x6x6= 1080 số
Số các số cần tìm là 2 x 1080 = 2160 số