Gọi M,N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA.. Tiếp tuyến chung gần B của h
Trang 1Đề Số 1
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài 150’)
Câu 1: Giải phương trình
= 3 + 2
x x
x
1
3
x
x
Câu 2: Cho hệ phương trình:
x - 3y - 3 = 0
x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0 Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình trên Hãy tìm giá trị của biểu thức
M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2
Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và
AC (B,C là các tiếp điểm) Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng
BC cắt OE và OF ở P và Q Chứng minh rằng tỷ số không đổi khi M di
EF PQ
chuyển trên cung nhỏ BC
Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức
2(y+z) = x (yz-1)
Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh
liên tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác đó
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài: 150’) Câu 1: Cho biểu thức.
(x + x2 2006 ( y y2 2006 ) 2006
Hãy tính tổng: S = x + y
Trang 2Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn: 0
1
2 2
2 2
y x
y y x x
Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất
Câu 3:
Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chính phương
Câu 4: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T Hai
đường tròn này nằm trong đường tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M
và N Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P PM cắt đường tròn (C1) tại diểm thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B PN cắt đường tròn (C2) tại điểm thứ hai D và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C
a Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
b Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy
Câu 5: Giải phương trình.
x2 + 3x + 1 = (x+3) x2 1
Sở giáo dục và đào tạo Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thanh hoá Môn: Toán
***** Thời gian: 150 phút
Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?
y 5 13 5 13 5
Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức: 1 1 1 1 Chứng minh
a b c a b c
rằng :
Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có: 1n 1n 1n n 1n n
Bài 3: Giải hệ phương trình:
2 2 1 9
Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau:
Trang 32
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2,
x3, x4 thoả mãn điều kiện
1
x x x x
Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số 1 2
2
y x
a Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol
b Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0
Bài 8: Cho góc vuông xOy Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và Oy
sao
cho OA = OB Một đường thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O và B Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H và cắt đường thẳng
OA tại I
1 Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được
2 Gọi K là hình chiếu của O lên BI Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích điểm K khi M di động trên đoạn OB
Bài 9: Cho tam giác ABC có 0, M là một điểm di động trên cạnh BC Gọi
90
A
O và
E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC Xác định vị trí của M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất
-Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Bài I (2đ)
a
a a
a
2 1 1
2 1 2
1 1
2 1
4
3
Bài II (6đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2x2 + 4x = 19-3y2 b) Giải hệ phương trình
x3 =7x +3y
y3 = 7y+3x
Trang 4Bài III (3đ)
Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx
Bài IV (6đ)
Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠ CD) M,N lần lượt thứ tự là trung
điểm của các đường hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC Gọi I là giao
điểm của MH’ và NH Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D
Bài V (3đ)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1 Chứng minh b+c ≥ 16abc
đề thi học sinh giỏi - lớp 9 môn toán -thời gian : 150 phút
người ra đề : lê thị hương – lê thị tâm
Câu 1: (4 điểm)
Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A =
2 3
1 12
10 2
3 )
2 )(
3 4 ( 2
3 ) 6 ( 6
x x x
x x
x x
x x
x
điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1
Câu 2: (3 điểm) giải phương trình
= 4x - 3 + 48
2
Câu 3: (4 điểm)
Phân tích ra thừa số
A = x3 y3 + z3 - 3xyz
Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phương trình
x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2 (1)
t/m đk:
max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)
Câu 4: (3 điểm)
Tìm GTNN của biểu thức
=
2 10 2
10
) 1
( ) (
4
1 ) (
2
1
y x y
x x
y y
x
Trang 5Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường
cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác
thành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần
Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD
vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0) Gọi M,N lần lượt là chân
đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao
điểm của đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA chứng minh
rằng đường thẳng PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0)
Sở GD-ĐT thanh hoá Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9
TrườngTHPT Bỉm Sơn Bảng A
( Đề đề nghị ) Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát
đề)
y x
y y x x y x
y x y y x x
y x
) (
1,Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và A
Câu 2: ( 5 Điểm)
1, Giải phương trình: x2 + 4x + 5 = 2 2x 3
2, Cho 1 a 2 và 1 b 2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=( 3 )32
b a
b a
Câu 3, (6 điểm)
1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của
phương trình bậc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m = 0
Hãy xác định giá trị m để số đo của đường cao ứng với cạnh huyền
của tam giác là:
5 2
2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đường thẳng ( ) Đường tròn (o)
tiếp xúc với đường thẳng ( ) tại A Hãy dựng đường tròn (o’) tiếp xúc với
đường tròn (o) và tiếp xúc với đường thẳng ( ) tại B.
Trang 6Câu 4: (5 điểm)
Cho hai đường tròn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (o1) và (o2) tại C và
D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (o1) và (o2) tại M
và N Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P và Q Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E Chứng minh rằng:
1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD
2, Tam giác EPQ là tam giác cân
Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9 – bảng b
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
a a a
1 1 1
1 2
2
1 2
2
1
2 2
Bài 2: Phân tích đa thức B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 thành nhân tử
Bài 3: Tìm m để phương trình 0 có hai nghiệm và nghiệm này
4
2 xm
x
bằng bình phương nghiệm kia
Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên
2 1 2 2
1 1 2
m my x
m y mx
Bài 5: Giải phương trình x2 x 5 5
Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lượt là giao điểm của
d với Ox, Oy Xác định m để SABO bằng 4
Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC vuông ở A biết rằng đường
phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm
và 20 cm
Bài 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn tại B, C cắt nhau ở A,
Trang 7= 600, M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D, E
BAC
Gọi giao điểm của OD, OE với BC lần lượt là I, K Chứng minh rằng tứ giác IOCE nội tiếp
Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất
phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia
Tài liệu:
- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9
- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9
- Bài 7 : Bất đẳng thức – Phan Đức Chính
- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9
Sở Giáo dục và Đào Tạo đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
thanh hoá Môn thi : Toán
( Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài I (3,0 điểm):
Tính giá trị của biểu thức P = Trong đó a là
nghiệm dương của phương trình : 4x2+ 2x- 2= 0
Bài II ( 6,0 điểm):
1) Giả sử phương trình : x2+ax+b = 0 có hai nghiệm x1 , x2 và phương trình :x2+cx +d = 0 có hai nghiệm x3 , x4 Chứng minh rằng :
2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d) 2) Chứng minh rằng nếu phương trình :
ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a 0)
có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1x2=1 thì 5a2=2b2+ac
Bài III (5,0 điểm):
Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn AA’,BB’,CC’ lần lượt là các
đường cao H là trực tâm
1) Chứng minh rằng:
2) Cho biết Hãy tính tgB.tgC theo m
Bài IV (4,0 điểm):
Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD Ta
2 4
1
1
a a
a
a
6 ' '
HC
CH HB
BH HA
AH
m H
A AH
'
Trang 8nối với các đỉnh của hình bình hành đó
Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trong các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành
Bài V (2,0 điểm):
Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình :
x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y
Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn
-Sở GD-ĐT Thanh Hóa Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Trường THPT Mai Anh Tuấn Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006
(Thời gian làm bài: 180 phút)
Bài 1: (2,0đ)
Tính giá trị biểu thức:
A=
3 2 2
1 3
2 2
1
Bài 2: (5,0đ)
Cho parabol(P): y= x
4
1 2
a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và
có hoành độ lần lượt là 2 và - 4
b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Bài 3: (4,0đ)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đường tròn (O;R) Trên cung
AC có chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC
a Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1
điểm thứ ba cố định
b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC
c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài ấy theo R
Trang 9Bài 4: (4,0 đ)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều Điểm A’ cách
đều các điểm A, B, C
a Chứng minh rằng chân đường cao hạ từ đỉnh A’ của lăng trụ trùng với tam của đáy ABC
b Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ của lăng trụ là hình chữ nhật Bài 5: (5,0 đ)
a.Giải phương trình:
(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0
b.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2x +7xy + 6y = 602 2
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Sở gd & đt Thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
Trường thpt trần phú Môn : Toán
Nga Sơn Thời gian : 150 phút không kể thời gian
giao
Bài 1: (6 điểm)
1- Giải phương trình : x 2 + y 2 = 5
x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 13
2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2 : (3 điểm)
Cho Phương trình : x 2 – 2 (m - 1) x + m – 3 = 0 1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.
2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.
2x- 1
x 2 + 2
Trang 10Bài 3: (3 điểm)
Cho a + b + c + d = 2 Trong đó a, b, c, d Є R.
Hãy chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ 1
Bài 4: (4 điểm)
Cho đường tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:
AB AC = 2DB DC.
Bài 5: ( 4 điểm)
Cho hình chóp SABC có SA SB, SA SC,
SB SC
Biết SA = a; SB + SC = k Đặt SB = x.
a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x.
b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S ABC lớn nhất
Sở GD&ĐT Thanh hóa
Trường thpt hậu lộc 3
-o0o -đề xuất ngân hàng -o0o -đề
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 – Môn Toán
-o0o -Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức: , với x < 0
2
2
1
4 A
1
4
Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình sau biết phương trình có 2 nghiệm đối nhau:
x4 – 4x3 + 3x2 + 8x – 10 = 0
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2, biết rằng: x2 + y2 – xy = 4
Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 7x2 + 13y2 = 1820
Câu 5: (3 điểm)
Cho ABC cân nội tiếp trong đường tròn (O; R) có AB = AC = R 2 a) Tính BC theo R?
Trang 11b) Cho M là điểm di động trên cung AC nhỏ Gọi D là giao điểm của AM
và BC Chứng minh rằng AM.AD là hằng số
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp MCD di động trên một
đường cố định khi M di động trên cung AC nhỏ
-Hết -Sở gd và ĐT thanh hoá đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 : Cho biểu thức
a
a a a a
A : a2
1 a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 12 1 12
y x
B
Bài 3 : Cho phương trình (m là tham số )
2
1 ) 1 ( 4
2
x m x
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt vớimR
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2thoả mãn biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này
2 2 1 2
2
1x x x
x
Bài 4 :
Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng 9,10 điểm; tổng số điểm đạt được là 109 điểm Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?
Bài 5 : Giải phương trình
5 1 6 8 1
4
x
Bài 6 : Cho parabol(P) : y= 2 và đường thẳng (d) : y= mx – 2m – 1
4
1
x
a) tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b)chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A(P)
Bài 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
1820 13
7x2 y2
Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác
Chứng minh rằng
Trang 12C B
A S
S
ABC
cos cos
cos
Bài 9:
Cho hình vuông ABCD Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm trên
4 cạnh của hình vuông Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất
Bài 10 :
Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PBC bất kì tìm quỹ tích các điểm O1 đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay quanh P
Sở giáo dục & đào tạo thi học sinh giỏi lớp 9 THcs
Thanh hoá
Đề chính thức
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài I (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0 Biết rằng hai phương trình có nghiệm chung và a b nhỏnhất Tìm a và b
Bài II (2 điểm)
Giải phương trình: x x5 x x2 5x 20
Bài III (2,5 điểm)
1/ Giải hệ phương trình:
4 4 7 7
3 3
1 y x y x
y x
2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21
Bài IV (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O M là điểm chính giữa cung BC không chứa điểm A Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O Các đường phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM’ lần lượt tại E và F
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn
2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r
Chứng minh: IB.IC = 2r.IM
Bài V (2 điểm)
1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện: 0a3 ; 8 b11
và a + b = 11 Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b
2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz
