Bài tập bổ sung Hình lớp 1026917

Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.. Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.. Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.. Chứng minh rằng hai tam giác M

Bài tập bổ sung Hình lớp 10

Bài 1 Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N,P, Q R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF,

FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

Cách 1.

Gọi G là trọng tâm của tam giác MPR, ta có: GM  GPGR0

Và G’ là trọng tâm của tam giác NQS, ta có: G N  ' G Q' G S' 0

1

0 2

GM  GPGR GA GB      GCGDGEGF 

1

2

G N  G QG S  G A G B      G CG DG EG F 

                   

                   

AG' AG BG' BG CG' CG DG' DG EG' EG FG' FG 0

                  

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

6GG' 0 G G'

   

Cách 2.

Gọi G là điểm bất kỳ, ta có:

GM  GPGR GA GB   GC GD  GE GF

1  1  1  1 

                   

GN  GQGS

Do đó: Nếu GM  GPGR0 thì GN  GQGS 0

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm

Bài 2 Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm

Giải.

Gọi G là điểm bất kỳ, ta có:

GM  GPGE GA GB   GC GD  GE GE

 

1 2

     

     

GN  GQGR

Do đó: Nếu GM  GPGE0 thì GN  GQGR0

Vậy hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm

A

B

C

D

E F

M

N

P

Q

R S

E

A

B

C

D

M

N

P Q

R

Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Chứng minh rằng: a) Hai tam giác DMN và BPQ có cùng trọng tâm

b) Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

3a/.Gọi G là điểm bất kỳ, ta có:

GD  GM GN  GD GD  GA GB   GB GC

 

1 2

     

     

GB  GPGQ

Do đó: Nếu GM  GPGE0 thì GN  GQGR0

Vậy hai tam giác DMN và BPQ có cùng trọng tâm

3b/.Gọi G là điểm bất kỳ, ta có:

GA GN   GP GA GA   GB GC  GC GD

 

1 2

     

     

GC  GMGQ

Do đó: Nếu GA GN   GP0 thì GC  GM GQ0

Vậy hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm

Bài 4 Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A Chứng minh rằng:

1/ BB  'CC'DD'0

2/ Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

4.1 Chứng minh: BB  'CC'DD'0

Ta có: BB  'CC'DD'     AB'ABAC'ACAD'AD

 AB'AD'AC' ABADAC

   AC'AC'ACAC0

4.2 Gọi G là điểm bất kỳ, ta có:

GB  GC GDGB     B BGCCC GD D D

GB     'GCGD'BB'CC'DD'

GB  'GCGD'

Do đó: Nếu GB  GC'GD0 thì GB  'GCGD'0

Vậy hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm

D

C B

A

M

N

P

Q

D

C B

A

M

N

P

Q

A

D

B’

C’

D’

Bài 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O H là trực tâm của tam giác ABC và D là trung điểm cạnh BC G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:

1/ AH 2OD 2/ OA OB   OCOH

3/ HA  HBHC 2HO 4/ Ba điểm H, O, G thẳng hàng

5.1 Chứng minh: AH 2OD

H là trực tâm của tam giác ABC, ta có:









Gọi B’ là điểm đối xứng với điểm B qua tâm O, ta có: '

'

B C BC

B A AC







OD là đường trung bình trong tam giác BB’C, ta có: 2 ' 2 ' 1 

/ / '

OD B B

OD B B









 

Tứ giác AHCB’ là hình bình hành

/ / ' '

/ / ' '

AH B B

B B BC

B A AB





 

' 2

AH B B



Từ (1) và (2) AH 2OD

5.2 Chứng minh: OA OB   OCOH

Ta có: OAOH HAOH AH OH2ODOHOB OC

OAOH OB OC OA OB   OCOH

5.3 Chứng minh: HA  HBHC2HO

G là trọng tâm của tam gíc ABC và với điểm H bất ký, ta có:

HAHBHC HG HO OG HOOA OB OC HOHOOA OB OC

              

Mà OA OB   OCOH

        

5.4 Chứng minh: Ba điểm H,O,G thẳng hàng, ta chứng minh: 3OGOH

G là trọng tâm của tam giác ABC và với điểm O bất ký, ta có:

3OGOA OB   OC

Mà OA OB   OCOH

Dó đó: 3OGOH Vậy ba điểm H,O,G thẳng hàng

B

A

C

O H

B’

D