Một số bài toán về dãy số

Trình bày một số vấn đề về tính chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương…và nêu ra các phương pháp giải toán, phân tích các bài toán cụ thể.. Đề cập đến m

Một số bài toán về dãy số

Nguyễn Thành Giáp

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Khoa Toán - Cơ - Tin học Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số: 60 46 40

Người hướng dẫn : TS Phạm Văn Quốc

Năm bảo vệ: 2011

Abstract Hệ thống hóa kiến thức cơ bản về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được

dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau Trình bày một số vấn đề về tính chất

số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương…và nêu ra các phương pháp giải toán, phân tích các bài toán cụ thể Đề cập đến một số bài toán về giới hạn dãy số như: giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán

Keywords Toán học; Toán sơ cấp; Dãy số; Số học

Content

MỞ ĐẦU

Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc

tế cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viết khá rộng về các vấn đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là các tính chất số hoc và tính chất giải tích của dãy số

Tính chất số học của dãy số thể hiện như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương… , tính chất giải tích có nhiều dạng nhưng quan trọng là các bài toán tìm giới hạn dãy số Các bài toán về dãy số thường là các bài toán hay và khó, tác giả luận văn đã sưu tầm, chọn lọc và phân loại theo từng chủ đề

Luận văn với đề tài “Một số bài toán về dãy số” có mục đích trình bày một cách hệ

thống, chi tiết tính chất số học của dãy số, giới hạn dãy số Luận văn được trình bày với 3 chương

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này hệ thống lại kiến thức cơ bản

nhất về dãy số, số học, phương pháp sai phân sẽ được dùng để giải quyết các bài toán trong các chương sau

Chương 2 Tính chất số học của dãy số Chương này trình bày một số vấn đề về tính

chất số học của dãy số như tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương… và nêu ra các phương pháp giải toán, phân tích các bài toán cụ thể

Chương 3 Giới hạn của dãy số Chương này đề cập đến một số bài toán về giới hạn

dãy số như: Giới hạn của tổng, dãy con và sự hội tụ của dãy số, dãy số xác định bởi phương trình cùng với phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.DÃY SỐ

1.1.1.Định nghĩa

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu:

u: N*  R

n  u(n)

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển

u1, u2, u3,…, un, …

Trong đó un = u(n) và gọi u1 là số hạng đầu, un là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với mN* được gọi là một dãy số hữu hạn

Dạng khai triển của nó là u1, u2, u3,…,um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối

1.1.2 Cách cho một dãy số

- Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

- Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

- Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:

1.1.3 Một vài dãy số đặc biệt

Định nghĩa Dãy số u1, u2, u3, … được gọi là một cấp số cộng với công sai d (d0) nếu un =

un – 1 + d với mọi n = 2, 3, …

b)Cấp số nhân

Định nghĩa Dãy số u1, u2, u3, … được gọi là một cấp số nhân với công bội q (q0, q1) nếu un = un – 1q với mọi n = 2, 3, …

c)Dãy Fibonacci

Định nghĩa Dãy u1, u2,… được xác định như sau:

1, 1

3, 4

u u  u  n

 



    

 được gọi là dãy Fibonacci

Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãy là:

n

     

1.1.4 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là hằng số thực a hữu hạn nếu với mọi số dương (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số n0 N (n0 có thể phụ thuộc vào  và vào dãy

số (un) đang xét), sao cho với mọi chỉ số n N, nn0 ta luôn có u n  a .Khi đó kí hiệu lim n

  hoặc limun = a và còn nói rằng dãy số (un) hội tụ về a Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì

Định lý 1 Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

Định lý 2.(Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)

a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ

c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Định lý 3 Nếu (un) a và (vn)(un), (vn)  C thì (vn)a

Định lý 4.(Định lý kẹp giữa về giới hạn)

Nếu với mọi nn0 ta luôn có un  xn  vn và limun = limvn = a thì limxn = a

Định lý 5 (Định lý Lagrange) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm

trong khoảng (a; b) thì tồn tại c (a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)

Định lý 6 (Định lý trung bình Cesaro)

Nếu dãy số (un) có giới hạn hữu hạn là a thì dãy số các trung bình cộng

1 2 n

n

  cũng có giới hạn là a

1.2.SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

1 Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f(x) xác định trên R, Đặt xk = x0 + kh (kN*) với

x0R, hR bất kì, cho trước Gọi yk = f(xk), khi đó hiệu số y k : y k1y k (kN*) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số f(x)

Hiệu số 2

1

        (kN*) được gọi là sai phân cấp 2 của hàm

1

        (kN*) được gọi là sai phân cấp i của hàm số f(x) (i = 1, 2, …, n, …)

Mệnh đề Sai phân mọi cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số: y0, y1,

y2, …, yn, …

2.Định nghĩa 2 Phương trình sai phân (cấp k) là một hệ thức tuyến tính chứa sai

phân cấp k

Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo các giá trị của hàm số nên ta có thể viết

phương trình dạng

a0yk+1 + a1yn+k-1 + … +akyk = f(n) (2)

trong đó a0, a1, …., ak, f(n) là các giá trị đã biết, còn yn, yn+1, …, yn+k là các giá trị chưa biết

Hàm số yn biến n thỏa mãn (2) gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (2)

1.3.2 Một số định lý cơ bản của số học

a) Định lý Euler

Định lý Euler Cho m là một số tự nhiên khác 0 và a là một số nguyên tố với m

Khi ấy ta có:

aµ(m)  1 (mod m)

b).Định lý Fermat

- Định lý Fermat Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p

Khi ấy ta có:

ap - 1  1 (mod p)

Đối với số nguyên a bất kì ta có ap

 a (mod p)

Chương 2

TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ

Dãy số nguyên là phần quan trọng trong lý thuyết dãy số Ngoài các vấn đề chung như tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm công thức tính tổng n số hạng đầu tiên… các bài toán về dãy số thường quan tâm đến tính chất số học của dãy số như tính chia hết, đồng dư, nguyên tố, chính phương, nguyên tố cùng nhau…Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng, trong nhiều trường hợp dãy số chỉ là cái bề ngoài còn bản chất bài toán là bài toán số học

2.1.TÍNH CHIA HẾT

Một số bài toán về sự chia hết của các số hạng của dãy số thường được giải bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số sau đó dựa vào các định lý về đồng dư để chứng minh sự chia hết Việc xác định số hạng tổng quát của dãy số thường được tìm bằng phương pháp sai phân hoặc thông qua dãy số phụ để đưa về phương trình sai phân thuần nhất

Bài 1

Dãy số (un) được xác định như sau:

2 3

4,5,

n

 









 Tìm số n nhỏ nhất để un 2048

Lời giải

Nhận xét: Công thức truy hồi của dãy số rất phức tạp, tuy nhiên nếu đặt dãy số phụ ta sẽ đưa được về dạng tuyến tính cấp hai

Từ công thức truy hồi của dãy ta có

2



1

n n

u

u  thì dãy (vn) được xác

định như sau:

2 3





Phương trình đặc trưng x2 – 10x + 24 = 0 có 2 nghiệm x1 = 6, x2 = 4 nên

vn = c1.6n + c2.4n

cho n = 2, n = 3 ta được 1 1 2 1

,

c  c   do đó vn = 6n-1 – 4 n-1 Vậy un = vn.vn-1…v2

= (6n-1 – 4n – 1).(6n – 2 – 4n – 2)…(6 – 4)

= 2n-1.2n-2…2.(3n-1

– 2n-1).(3n-2 – 2n-2)…(3 – 2) ( 1)

2

2

n n

 (3n-1 – 2n-1).(3n-2 – 2n-2)…(3 – 2)

Do (3n-1 – 2n-1).(3n-2 – 2n-2)…(3 – 2) là số lẻ nên để un2048 thì

( 1)

2

n n

 hay

( 1) 11 2

n n

 do đó ( 1) 11

2

n n 

suy ra n6 vậy n = 6 là giá trị cần tìm

Bài 2.(HSG QG 2011)

Cho dãy số nguyên (an) xác định bởi

a0 =1, a1 = -1

an = 6an-1 + 5an-2 với mọi n2

Chứng minh rằng a2012 – 2010 chia hết cho 2011

Lời giải

Cách 1

Xét dãy số nguyên (bn) xác định bởi

b0 =1, b1 = -1 và bn = 6bn-1 + 2016bn-2 với mọi n2

dễ thấy với mọi n0, ta có an  bn (mod 2011)

Phương trình đặc trưng của dãy (bn): x2 – 6x – 2016 = 0 hay (x – 48)(x + 42) = 0

Suy ra số hạng tổng quát của dãy (bn) có dạng: bn = C1.(- 42)n + C2 48n

Từ các điều kiện ban đầu của dãy (bn), ta được 1 2

1





Suy ra 1 49

90

90

90

n

Vì 2011 là số nguyên tố nên theo định lý Fermat nhỏ, ta có:

( - 42)2010  482010 1 (mod 2011)

Do đó 90b2012 49.( - 42)2012 + 41.482012 49.( - 42)2 + 41.482 90b2( mod 2011) Suy ra b2012 b2 (mod 2011) ( vì (90, 2011) = 1)

Mà b2 = 6b1 + 2016b0 = 2010 nên b2012 2010 (mod 2011)

Vì thế a2012 2010 (mod 2011)

Cách 2

+ Số hạng tổng quát của dãy (an):

n

+ Đặt p= 2011, ta có

1

p a



p

 = Ap+1 + Bp+1 14 và   1

p



Trong đó

1

1 2

0 3 14

p

p i

i







và

1

1 2

2 1 2 1 2

1 3 14

p

p i

i







+ Do p nguyên tô nên C k p 0 (mod p)  k 1,p1 Do đó từ 1

1

Suy ra C k p1 0 (mod p)  k 2,p1

Vì vậy từ (2) và (3) ta được

1 1 2

p p p

A







Và

p



Do đó từ (4) suy ra

1 2

p p

p a





Mặt khác ta có 452  14 (mod p) và (45, 14) = 1, theo định lý Fermat nhỏ ta có:

3p 3 (mod p) và

1 2 14

p

 45p-1 1 (mod p)

Do đú từ (5) ta được a2012 = ap+1 -3 + 2 = - 1 2010 (mod 2011)

Việc tỡm số hạng tổng quỏt của dóy số cũng cú thể thụng qua biến đổi liờn tiếp cỏc số hạng phụ thuộc nhau và biểu diễn qua một vài số hạng đầu và cú thể ỏp dụng phương phỏp quy nạp để chứng minh

Cỏc bài toỏn chứng minh dóy số cú vụ hạn số hạng chia hết cho một số cho trước thường được chứng minh số dư trong phộp chia là hữu hạn và do đú tuần hoàn dẫn đến cú

vụ hạn số hạng chia hết cho số đó cho

2.2.TÍNH CHẤT SỐ NGUYấN

Cỏc bài toỏn chứng minh dóy số gồm toàn cỏc số nguyờn được đưa về cụng thức truy hồi tuyến tớnh sau đú chứng minh bằng phương phỏp quy nạp với một vài số hạng đầu là số nguyờn

Bài 1

Cho ba số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện a2 = b + 1 Dãy số (un) xác định nh- sau:

0

2 2 1

0

, 0, 1, 2

u

u  au bu c n









Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số trên đều là số nguyên

Lời giải

un  n  n  n = 0, 1, 2 … Suy ra un21  2 aunun1  a2un2  bun2  c2 (1)

Với giả thiết a2 = b + 1 thì (1) suy ra ( a2  b ) un21  2 aunun1  a2un2  ( a2  1 ) un2  c2

Hay un2  2 aunun1  a2un21  bun21  c2 (2)

1 2

2 2

1 2

2

Do un+2 – aun+1 0 nên (3)  u n2 au n1  u n au n1

u n2 au n1  u n au n1 (4)

Do u0 = 0  u  au  bu2  c2  c2  c

0 0

Vậy từ (4) suy ra unZ nN (đpcm)

Nhận xột: Ta cũng cú thể giải bài toỏn này bằng cỏch khỏc như sau:

Ta cú:

u   au u  u a  b c 

u   au u  u c  (5)

Trong (5) thay n bởi n +1 ta cú 2 2 2

u   au u  u  c  (6) Trừ từng vế của (6) cho (5) được

u  u  au u   au u   hay u n2u nu n2  u n 2au n10 (7)

Từ (7) suy ra un+2 = un hoặc un+2 =2aun+1 – un

Từ đú do u0, u1Z nờn un Z với mọi n = 1, 2,…

Từ bài toỏn này cú thể cho nhiều bài toỏn với cỏc giỏ trị a, b, c cụ thể Chẳng hạn, chứng minh rằng mọi số hạng của cỏc dóy số sau đều là số nguyờn

2 1

0

u







0

2 1

0

u









Ta cũng cú thể dựa vào cỏch chứng minh để đưa ra cỏc bài toỏn sau:

2 1

1

u







0

2 1

2

u

u  u u









2.3.TÍNH CHÍNH PHƯƠNG

Với tớnh chất này ta thường tỡm số hạng tổng quỏt của dóy số, đưa biểu thức cần chứng minh về bỡnh phương đủ của một số nguyờn Với một số bài toỏn tổng quỏt ta cú thể đặc biệt húa để cú bài toỏn mới, ngược lại với một bài toỏn cụ thể ta cú thể tổng quỏt húa

để được một dạng toỏn

Bài 1

Cho dãy số (an):



 Chứng minh rằng 4an+2an + 1 là số chính ph-ơng (n1)

Lời giải

Cỏch 1 Xét ph-ơng trình đặc tr-ng 2 2 1  0    1 (nghiệm kép)

Ta tìm g(n) = an2 sao cho g(n+1) – 2g(n) + g(n-1) = 1 với mọi nN*

Giải ra ta có

2 ) (n n

2

* n

a n  là một nghiệm riêng của ph-ơng trình (2)

Do đó (2) có nghiệm tổng quát

2

2

2 1

n nC C

a n   

a0 = 0 suy ra C1 = 0, a1 = 1 nên C2 +

2

1

= 1  C2 =

2 1

Vậy

2

) 1 ( 2 2

2

) 1 ( 2

) 3 )(

2 (

4 n n n n  = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1=

= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 (đpcm)

Cỏch 2 Từ cụng thức truy hồi của dóy ta thay n + 1 bởi n ta được

an = 2an-1 – an-2 + 1 (3)

Trừ vế theo vế đẳng thức (2) và (3) được an+1 – 3an + 3an-1 – an-2 = 0

Xột phương trỡnh đặc trưng 3 2

        

n

a   nn Do a0 = 0, a1 = 1, a2 = 3 ta tỡm được 1

0,

2

    

2

n

n n

a 



2

) 1 ( 2

) 3 )(

2 (

4 n n n n  = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1=

= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 (đpcm)

Nhận xột Ta cú thể tỡm số hạng tổng quỏt mà khụng cần phương phỏp sai phõn, cỏch làm này sẽ gần gũi hơn với chương trỡnh học phổ thụng ban cơ bản

Đặt b n = a n+1 – a n

Từ giả thiết ta cú a n+1 – a n =a n – a n-1 +1 Do đú b n = b n – 1 + 1

Từ đú tỡm được b n = 1 + n (do (b n ) là cấp số cộng với cụng sai bằng 1, b 0 = 1

( 1) ( 1)

n n n n



Chương 3

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

3.1.GIỚI HẠN CỦA TỔNG

Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích hạng

tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa x n , sau đó tìm limx n

Bài 1

Cho dãy số (xn) (n = 1, 2, …) được xác định như sau:

x1 = 1 và x n1  x x n( n 1)(x n 2)(x n  3) 1 với n = 1, 2, …

Đặt

1

1 2

n

n

y

x







 (n = 1, 2, ….) Tìm lim n



Lời giải

Ta có x2 = 5 và xn > 0 với mọi n = 1, 2, …

x  x x  x  x    x  x x  x   x  x  (1)

Từ đó suy ra

xn+1 +1 = x n2 3x n 2 = (xn + 1)(xn + 2)

  

1

Do đó

1

1 2

n n

y

x







n



Từ (1) xk+1 = x k2 3x k  1 3x k 3.3k1 3k

Ta dễ dàng chứng minh bằng quy nạp xn > 3n-1 (2)

Nên lim 1

2

n

  (vì do (2) xn+1 > 3n)

Ta có thể chứng minh limx n =  với cách khác:

Dễ thấy (x n ) là dãy tăng, giả sử limx n = a (a1)

Nên ta có a a a( 1)(a2)(a 3) 1

Suy ra a 2 = a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 hay a 4 + 6a 3 + 10a 2 + 6a +1 = 0

3.2.DÃY CON VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ

Khi khảo sát sự hội tụ của dãy số ta thường sử dụng các định lý về tính đơn điệu và

bị chặn, nếu dãy không đơn điệu thì xét dãy với chỉ số chẵn, chỉ số lẻ Tuy nhiên có những dãy số phức tạp, tăng giảm bất thường, trong trường hợp như thể ta thường xây dựng các dãy số phụ đơn điệu, chứng minh các dãy số phụ có giới hạn, sau đó chứng minh dãy số ban đầu có cùng giới hạn, các dãy số phụ phải được xây dựng từ dãy số chính

Nhận xét: Mọi dãy con của dãy hội tụ đều hội tụ và ngược lại nếu limx 2n = limx 2n+1 = a thì limx n = a

Một cách tổng quát ta có

Cho số nguyên m 2 nếu limx mn+i = a i = 0, 1, 2, …, m – 1 thì limx n = a

Bài 1

Dãy số (xn) được xác đinh bởi công thức:

0 1

1

 





Chứng minh rằng dãy (xn) hội tụ

Lời giải

Xét dãy số (an) được xác định bởi a0= 1, 1 2

3

n n

a

a   , dễ thấy (an) giảm dần về 0

Ta chứng tỏ max{x2n, x2n+1} an, n (1)

Thật vậy, (1) đúng với n = 0 và n = 1 Giả sử (1) đúng với n và do (an) là dãy giảm nên

5x2n+2 = x2n + 2x2n+1 3an  x2n+2 an+1

Và 5x2n+3 = x2n+1 + 2x2n+2 an + 2an+13an  x2n+3 an+1

Như vậy (1) đúng với n + 1 hay (1) đúng n = 0, 1, 2, …

Dễ thấy xn > 0 n và từ (1) theo nguyên lý kẹp ta có limx2n = limx2n+1 = 0 suy ra limxn=0

Nhận xét:

Việc đưa vào dãy phụ (a n ) có tác dụng chặn cả hai dãy con (x 2n ) và (x 2n+1 ) và làm chúng cùng hội tụ về một điểm

n

x C    C   

     