skkn một số phương pháp xác định công thức tổng quát của về dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi các thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự

1.ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Bối cảnh:

Năm học 2013-2014 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “ Hai không”; “ Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực " Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào quá trình dạy học " Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi các thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em

1.2 Lý do chọn đề tài:

Các vấn đề liên quan tới dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích toán học Song khái niệm dãy số học sinh mới chỉ được làm quen trong chương trình toán lớp 11 phần mở đầu của Giải tích toán học Các dạng toán liên quan tới nội dung này thường là khó với các em

Qua thực tế giảng dạy chương trình chuyên toán lớp 11 những năm qua, cũng như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy một dạng toán khá cơ bản về dãy số là bài toán tìm số hạng tổng quát Lý thuyết đại số và các bài toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải tích toán học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần như là bài toán được đề cập tới đầu tiên Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác nhau bài toán này thực sự không phải là dễ với học sinh

Xuất phát từ các lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định

công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số ” Qua nội dung

các ví dụ trong đề tài nhằm giúp các em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần nào đáp ứng được việc học chuyên đề lớp 11 chuyên toán cũng như việc ôn thi học sinh giỏi các cấp

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy

từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11A1, 11A2

Phạm vi nghiên cứu:

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương III: Dãy số Cấp số cộng và cấp

số nhân” sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 ban nâng cao.

1.4 Mục đích nghiên cứu:

Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn Đại số và Giải tích 11 nói riêng

1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không

áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó

2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.1 Cơ sở lý luận:

a) Phương pháp quy nạp toán học

b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

* Dãy số   un gọi là dãy số tăng nếu un  un1,    n *

* Dãy số   un gọi là dãy số giảm nếu un  un1,    n *

Vậy: Nếu un1  un  0,    n *suy ra   un là dãy số tăng

Nếu un1  un  0,    n *suy ra   un là dãy số giảm

* Nếu tồn tại số M sao cho un  M ,    n *thì   un bị chặn trên

* Nếu tồn tại số m sao cho un  m ,    n *thì   un bị chặn dưới

* Nếu dãy số   un bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn

c) Cấp số cộng

* Dãy số   un là cấp số cộng  un1  un  d với    n *, trong đó d là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng

* Nếu dãy số  un là cấp số cộng thì un  u1n  1d

* Nếu dóy số   un là cấp số cộng thỡ tổng

1 2  1 

2

n

d) Cấp số nhõn

* Dóy số   un là cấp số nhõn  un1  u qn. với    n *, trong đú q là số

khụng đổi gọi là cụng bội của cấp số nhõn

* Nếu dóy số   un là cấp số nhõn thỡ 1. n 1

n



* Nếu dóy số   un là cấp số nhõn vơi q  1, q  0 thỡ tổng

1

n

q

q





e) Một số đinh lớ về giới hạn

- Nếu q  1 thỡ lim q n 0

- Nếu q  1 thỡ lim q n

- Nếu cỏc dóy số an  bn  cn,    n *và lim an  lim cn  L thỡ lim bn  L

- Nếu dóy số   un tăng và bị chặn trờn thỡ   un cú giới hạn

Nếu dóy số   un giảm và bị chặn dưới thỡ   un cú giới hạn

2.2 Nội dung nghiờn cứu của đề tài.

A.

Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp một

Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một là phơng trình sai phân dạng :

*

1 , n 1 n n ,

trong đó a,b, là các hằng số ,a # 0 và f là biểu thức của n cho trớc n

Dạng 1

Tìm u thoả mãn điều kiện n

1 , n 1 n 0

u  a u  b u  (1.1)

trong đó a b, , cho trớc n N *

Phơng pháp giải

Giải phơng trình đặc trng a. b 0 để tìm  Khi đó u n q n (q là hằng số ) , trong đó q đợc xác định khi biết u1 

Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng

1 và công bội bằng 2

Bài giải Ta có

1 2 , 1 1

u   u u  (1.2)

Phơng trình đặc trng có nghiệm  2 Vậy 2n

n

u c Từ u  suy ra 1 1 1

2

c  Do đó

1

2n

n



Dạng 2

Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

1 , n 1 n n ,

u  au  bu f n N (2 1)

trong đó f là đa thức theo n n

Phơng pháp giải

Giải phơng trình đặc trng a. b 0 ta tìm đợc  Ta có u n u n0 u*n Trong

đó u là nghiệm của phơng trình thuần nhất (1.1) và n0 *

n

u là nghiệm riêng tuỳ ý của

phơng trình không thuần nhất (2.1) Vậy 0 n

n

u q  q là hằng số sẽ đợc xác định sau

Ta xác định u nh sau : *n

1) Nếu #1 thì u là đa thức cùng bậc với n* f n

2) Nếu  1 thì u*n n g n với g là đa thức cùng bậc với n f n

Thay u vào phơng trình, đồng nhất các hệ số ta tính đợc các hệ số của n* *

n

u

Bài toán 2: Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

1 2; n 1 n 2 ,

Bài giải Phơng trình đặc trng   1 0 có nghiệm  1 Ta có u n u n0 u*n trong đó

0 1n , *

n1a n 1 b n an b  2n (2.3)

thay n=1và n=2 vào (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau



Do đó u n n n  1

Ta có u n u n0 u n*  c n n  1 Vì u  nên 1 2 2 c 1 1 1    c2

Vậy u n  2 n n  1 , hay u n n2  n2

Dạng 3

Tìm u thoả mãn điều kiện n

1 , n 1 n ,n

u  a u  bu v n N (3.1)

trong đó f là đa thức theo n n

Phơng pháp giải

Giải phơng trình đặc trng a. b 0 ta tìm đợc  Ta có u n u n0 u*n Trong

đó 0 n

n

u c  , c là hằng số cha đợc xác định , u đợc xác định nh sau :*n

1) Nếu   thì # * n

n

2) Nếu  thì * n

n

Thay u vào phơng trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính đợc các hệ số của n* *

n

u Biết

1,

n n n

u u u , tính đợc c

Bài toán 3: Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

1 1; 1 3 2 ,n

u  u   u  n N (3.2)

Bài giải Phơng trình đặc trng   3 0 có nghiệm  3 Ta có u n u n0 u*n trong

đó 0 3 ,n * 2n

Thay * 2n

n

u a vào phơng trình (3.2) , ta thu đợc

1

Suy ra 2n

n

n

n

u  

Dạng 4

Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

1 , n 1 n 1n 2n,

u  a u  bu f  f n N (4.1)

Trong đó f là đa thức theo n và 1n 2 n

n

Phơng pháp giải

Ta có u n u n0 u1*n u*2n Trong đó u là nghiệm tổng quát của phơng trình n0

thuần nhất au n1 bu n  , 0 u là một nghiệm riêng của phơng trình không thuần *n

nhất a u n1b u n f1n, u là nghiệm riêng bất kỳ của phơng trình không thuần nhất 2n*

Bài toán 4: Tìm u thoả mãn điều kiện n

u  u   u n  n N (4.2)

Bài giải Phơng trình đặc trng   2 0 có nghiệm  2 Ta có u n u n0 u1*n u*2n

trong đó 0 2 ,n * 2 , 2* 2n

Thay u vào phơng trình n* 2

1 2

u  u n , ta đợc

 12  1 2 2 2 2 2

Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình

Vậy u1*n n2  2n 3 thay u vào phơng trình 2n* 1 2 3.2n

u  u  Ta đợc

2

Vậy

2

3

.2 3 2

2

n

Do đó 2n  2 2 3 3 2n 1

n

      Ta có u  nên 1 1 1 2 c 2 3  c0

n

B Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp hai

Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai là phơng trình sai phân dạng

*

1 , 2 , n 1 n n 1 n ,

trong đó a,b,c,  , là các hằng số , a # 0 và f là biểu thức của n cho trớc n

(NX: Phơng trình đặc trng của phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trờng số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )

Dạng 1

Tìm u thoả mãn điều kiện n

*

1 , 2 , n 1 n n 1 0,

u  u  au  bu c u   n N (5.1)

Phơng pháp giải

Giải phơng trình đặc trng a.2 b.  tìm  Khi đóc 0

1) Nếu   là hai nghiệm thực khác nhau thì 1, 2 1n 2n

n

u A B , trong đó A và B

đợc xác định khi biết u u 1, 2

2) Nếu   là hai nghiệm kép 1, 2 1 2  thì    n

n

B đợc xác định khi biết u u 1, 2

Bài toán 5: Tìm u thoả mãn điều kiện sau n

0 1, 1 16, n 2 8 n 1 16 n

u  u  u   u  u (5.1)

Bài giải Phơng trình đặc trng 2  816 0 có nghiệm kép  4

Ta có

 4 n

n

Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình

 

0

1

3

B

 









Vậy 1 3 4 n

n

Dạng 2

Tìm u thoả mãn điều kiện n

1 , 2 , n 1 n n 1 n , 2,

u  u  a u  b u c u  f n (6.1)

trong đó a # 0, f là đa thức theo n cho trớc n

Phơng pháp giải

Giải phơng trình đặc trng a.2 b.  để tìm  Khi đó ta cóc 0

0 *,

n n n

u u u trong đó u là nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất n0

a u  b u c u   và u là một nghiệm tuỳ ý của phơng trình n*

Theo dạng 1 ta tìm đợc u , trong đó hệ số A, B cha đợc xác định , n0 *

n

u đợc xác định

nh sau :

1) Nếu #1 thì u là đa thức cùng bậc với n* f n

2) Nếu 1 là nghiệm đơn thì u n* n g g ,n n là đa thức cùng bậc với f n

3) Nếu 1 là nghiệm kép thì u*n n g g.2 n, n là đa thức cùng bậc với f , n

Thay u vào phơng trình , đồng nhất các hệ số, tính đợc các hệ số của n* *

n

u Biết u u 1, 2

từ hệ thức u n u n0 u n* tính đợc A, B

Bài toán 6: Tìm u thoả mãn điều kiện n

1 1; 2 0, n 1 2 n n 1 1, 2

u  u  u   u u   n n (6.2)

Bài giải Phơng trình đặc trng 2  2  1 0 có nghiệm kép  1 Ta có

0 *

n n n

Thay u vào phơng trình (6,2) , ta đợc n*

n12a n 1 b  2n a n b2    n 12a n  1 b  n 1

Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình

1

1

2

a











6 2

n

n

Do đó

6 2

n n n

n

Mặt khác

1 1

6 2

11

1 1

3 2

B









Vậy

2

4

n

n

Dạng 3

Tìm u thoả mãn điều kiện n

1 , 2 , 1 1 ,n 2

u  u  au  bu c u  d  n (7.1)

Phơng pháp giải

Giải phơng trình đặc trng a.2 b.  để tìm  Khi đó ta cóc 0

0 *,

n n n

u u u trong đó u đợc xác định nh dạng 1 và hệ số A và B cha đợc xác định, n0

*

n

u đợc xác định nh sau

1) Nếu   thì # * n

n

2) Nếu  là nghiệm đơn thì * n

n

3) Nếu  là nghiệm kép thì * 2 n

n

Thay u vào phơng trình , dùng phơng pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính đợc hệ n*

số k Biết u u từ hệ thức 1, 2 0 *

n n n

u u u tính đợc A,B

Bài toán 7: Tìm u thoả mãn điều kiện n

Bài giải Phơng trình đặc trng 2  2  1 0 có nghiệm kép  1 Ta có

0 *

1

u u u trong đó 0  1 n , * 2n

Thay u vào phơng trình , ta đợc n*

Vậy * 6.2n 3.2n 1

n

n n n

     (1) Thay u1 1,u2  0 vào phơng trình (1) ta thu đợc



Vậy

1

2 13 3.2n

n

Dạng 4

Tìm u thoả mãn điều kiện n

1 , 2 , n 1 n n 1 n n, 2

u  u  au  bu c u  f g n (8.1)

trong đó a # 0 , f là đa thức theo n và n n

n

Phơng pháp giải

Ta có u n u n0 u1*n u*2n trong đó u là nghiệm tổng quát của phơng trình thuần n0

nhất au n1 bu n c u n1  , 0 u là nghiệm riêng tùy ý của phơng trình không thuần 1n*

nhất au n1 bu n c u n1 f n u là nghiệm riêng tùy ý của phơng trình không thuần 2n*

nhất au n1 bu n c u n1 g n

Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )

Tìm u thoả mãn điều kiện n

1 0; 2 0, 1 2 3 1 2 ,n 2

u  u  u   u  u   n n (8.2)

Bài giải Phơng trình đặc trng 2  2 3 0 có nghiệm 1 1,2  Ta có 3

0 * *

1 2

trong đó

 

Thay u vào phơng trình 1n* u n1 2u n  3u n1  , ta đợc n

 1 2  3  1 4 1 4  0

Vậy

1

4

Do đó

 

* 1

1 4

n

Thay u vào phơng trình 2n* 1 2 3 1 2n

u   u  u   , ta đợc

3

Do đó

2

n

Vậy

1 2

Ta thay u1 1,u2  vào (8.3) ta đợc hệ phơng trình 0



Vậy

n

C Ph ơng trình sai phân tuyến tính cấp ba

Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba là phơng trình sai phân dạng

1 , 2 , 3 , n 2 n 1 n n 1 n , 2

u  u  u  a u  bu  c u d u  f n (a.1)

trong đó a,b,c, d,  , ,  là các hằng số , a # 0 và f là biểu thức của n cho trớc n

(NX: Phơng trình đặc trng của phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trờng số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )

Phơng pháp giải

Nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng

0 *

n n n

u u u , trong đó u là nghiệm tổng quát của phơng trình tuyến tính thuần nhất, n0

*

n

u là một nghiệm riêng của phơng trình tuyến tính không thuần nhất

Xét phơng trình đặc trng

a b c d  (a.2)

1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính cấp

ba thuần nhất

a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực  1, 2 , phân biệt thì 3

0

1 1n 2 2n 3 3n n

b) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn (1 2 # )3 thì

0

1 2 1 3 3

n

c) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 (1 2 3) thì

1 2 3 1

n

2) Xác định nghiệm riêng u của phơng trình (a.1)*n

 Xét f là đa thức của n ta có n

a) Nếu #1 thì u là đa thức cùng bậc với n* f n

b) Nếu  1 (nghiệm đơn ) thì u*n n g n, g là đa thức cùng bậc với n f n

c) Nếu  1 (bội 2 ) thì u n* n g2 n g là đa thức cùng bậc với n f n

d) Nếu  1 (bội 3) thì u n* n g3 n g là đa thức cùng bậc với n f n

n

f v  ta có a) Nếu   thì # * n

n

b) Nếu   (nghiệm đơn ) thì * n

n

c) Nếu   (nghiệm bội s ) thì * s n

n

Bài toán 9: Tìm dãy số ( )u biết rằng n

1 0, 2 1, 3 3, n 7 n 1 11 n 2 5 n 3, 4

u  u  u  u  u   u   u n (9.1)

Bài giải Xét phơng trình đặc trng

3 7 2 11 5 0

có 3 nghiệm thực

1 2 1, 3 5

n

Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phơng trình tạo thành, ta đợc

n n

D Bài tập áp dụng

Bài toán 10: Cho dãy số ( )a đợc xác định theo công thức sau n

1 0; 2 1, n 1 2 n n 1 1, 2

a  a  a   a  a   n (10.1)

Chứng minh số A4 .a a n n2  là số chính phơng1

Bài giải Ta có

1 2 1 1

Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta đợc

1 2

Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu đợc

1 3 3 1 2 0

a   a  a  a   (10.4)

Phơng trình đặc trng của (10.4) là

3 3 2 3 1 0

có nghiệm  1 là nghiệm bội bậc ba

Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình (10.4) là

2

1 2 3

n

Cho n=0, n=1, n=2 ta đợc

2 2 3

2 3

1 2 3





Ta thu đợc  1

2

n

n n

a   và từ đó ta có

 2 2 2

A a a   n  n

Điều này chứng tỏ A là một số chính phơng

Bài toán 11: Cho dãy số ( )x đợc xác định theo công thức sau n

 

1 7; 2 50, n 1 4 n 5 n 1 1975 2

Chứng minh rằng x19961997

Bài giải Xét dãy số ( )y với n y1 7, y2 50 và

 

1 4 5 1 22 2

y   y  y   n (11.2)

Dễ thấy y n x nmod1997 Do đó chỉ cần chứng minh

1996 0 mod1997

Đặt z n 4y n 11 suy ra z1 39, z2 211 Nhận xét rằng

z   y    y  y    z  y   (11.3)

Ta lại có

1 4 1 11

z   y   suy ra 20y n1 5z n1  55 (11.4)

Thế (11.4) vào (11.3) ta đợc

1 4 5 1

Suy ra

1 4 5 1 0

z   z  z   (11.5)

Phơng trình đặc trng của (11.5) là

2 4 5 0

     có nghiệm 1 1,2 5

Nghiệm tổng quát của (11.1) là