một số bài toán về poset tôpô trên một tập cố định

Dàn của tất cả các tôpô trên một tập được gọi là dàn đầy đủ, tức là có một tôpô lớn nhất được chứa trong mỗi phần tử của một họ các tôpô và có một tôpô nhỏ nhất chứa mỗi phần tử của họ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

VIỆN

LỜI CÁM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học

Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này

Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã vài lần liên lạc với các nhà toán học nước ngoài, đặc biệt là giáo sư Offia T Alas đã tận tình giải đáp các vấn đề liên quan Xin chân thành cám ơn giáo sư

Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Trỗi Tỉnh Tây Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học

Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn

TP HCM tháng 8 năm 2010 Tác giả

Trần Thanh Phong

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vào năm 1936, Garnett Birkhoff đưa ra ý kiến cho rằng việc nghiên cứu tôpô là so sánh

hai tôpô khác nhau trên cùng một tập Trong công trình của mình: “G Birkhoff, On the combination of topologies, Fund Math 26 (1936) 156-166”, Birkhoff mô tả rõ ràng sự so

sánh này bằng cách sắp xếp họ tất cả các tôpô trên một tập hợp cho trước và nhìn vào kết quả

được hình thành được gọi là dàn Về bản chất, đây là sự so sánh hai tôpô, nghĩa là nếu  và

 là hai tôpô trên cùng một tập hợp cho trước thì  thô hơn hoặc bằng với  nếu  là một tập con của  Đối với hai tôpô bất kì  và  trên tập hợp, có một tôpô   (kí hiệu chính xác hơn là  ) gọi tôpô lớn nhất được chứa trong hai tôpô  và , có một tôpô

 gọi là tôpô bé nhất chứa cả hai tôpô  và  Dàn này có phần tử lớn nhất là tôpô rời rạc và phần tử nhỏ nhất là tôpô thô (tôpô chí có tập rỗng và chính tập hợp đang xét) Dàn của

tất cả các tôpô trên một tập được gọi là dàn đầy đủ, tức là có một tôpô lớn nhất được chứa

trong mỗi phần tử của một họ các tôpô và có một tôpô nhỏ nhất chứa mỗi phần tử của họ các tôpô

Các bài toán về dàn các tôpô được nhiều nhà Toán học quan tâm vào những năm 60 của thế kỉ trước Chẳng hạn như công trình của N.Smythe và C.A Wilkins về các không gian Hausdorff cực tiểu và compact cực đại (1963); công trình của Anne K Stiener về phần bù trong các dàn tôpô T1, cấu trúc và phần bù trên dàn các tôpô (1966); công trình của A R Padmanabhan và B.V Rao về Idean trên dàn các tôpô (1969)…Đặc biệt là vào năm 1967, Garnett Birkhoff đã cho xuất bản quyển sách “lý thuyết dàn” Đến năm 1975, Roland E Larson và Suan J Andima đã khảo sát và tổng hợp đầy đủ về dàn của các tôpô Do đó, công trình này được nhiều nhà toán học quan tâm, nó dùng làm tài liệu tra cứu rất hữu ích trong quá trình nghiên cứu dàn của các tôpô

Trong quá trình nghiên cứu về dàn các tôpô, ta thấy có khái niệm về poset (partially ordered set) của các tôpô Và gần đây đã có nhiều công trình nghiên cứu về poset của các tôpô Ví như D.W McIntyre và W.S Watson (2004) quan tâm đến các khoảng vô hạn trong poset của các tôpô có số chiều 0, các tôpô Tychonoff, các tôpô chính quy; Offlia T Alas và

Richard G.Wilson (2004) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên trong dàn của các tôpô T1 Nathan Carlson (2007) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên của poset của các tôpô T2

Bài toán về poset tôpô được nhiều nhà toán học quan tâm và còn rất nhiều bài toán mở Nghiên cứu các bài toán về poset tôpô là vấn đề mang tính thời sự Đề tài nghiên cứu của chúng tôi đặc biệt quan đến vấn đề này với tên đề tài là “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ POSET TÔPÔ TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH” nhằm nghiên cứu một số vấn đề được quan tâm trong thời gian gần đây

2 Mục đích

Nghiên cứu poset của tôpô Hausdorff (T ) trên một tập cố định 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán về tôpô dưới và tôpô trên trong các poset của các tôpô T 2

Tìm các ví dụ cụ thể đối với các tôpô dưới và tôpô trên

4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn

Nghiên cứu và trình bày chứng minh một số bài toán về tôpô dưới và tôpô trên góp phần hoàn thiện các tính chất trong poset của tôpô T , dàn của các tôpô 2 T , dàn của các 1

tôpô

5 Cấu trúc luận văn

Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận Phần chính của luận văn được tập trung ở chương 2, 3 Cụ thể:

Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài

Chương 1: Nêu khái niệm poset, dàn và nhắc lại một số kiến thức về tôpô đại cương Chương 2: Nêu dàn của các tôpô T1, nêu poset của các tôpô T , trình bày mở đầu về 2

tôpô dưới và tôpô trên trong 2( )X

Chương 3: Trình bày kiến thức: một tôpô không cực tiểu trong 2( )X thuộc CH không phải là tôpô trên và cho các ví dụ về tôpô trên

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau

đề tài

Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, luận văn trình bày lại các kiến thức tơpơ đại cương cĩ liên quan đến các chương sau và mở đầu về khái niệm dàn trên tập hợp Ở đây, các định lí, các hệ quả, các

bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ khơng chứng minh Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài

(ii) Phản đối xứng: Nếu xRyvà yRx thì xy, x y, X ,

(iii) Bắc cầu: Nếu xRyvà yRz thì xRz, x y z X , , 

Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận R được gọi là một tập hợp được sắp bộ phận (viết tắt là poset) và được ký hiệu (X, R)

Thứ tự bộ phận thường được ký hiệu là  và poset được ký hiệu làX  , 

1.1.1.2 Phần tử cực tiểu, cực đại

Cho poset X  , phần tử a X,   được gọi là phần tử cực tiểu nếu trong X khơng cĩ

phần tử x nào sao cho x Phần tử a b X được gọi là phần tử cực đại nếu trong X khơng

cĩ phần tử x nào sao cho bx

Một poset cĩ thể khơng cĩ, cĩ thể cĩ một hoặc cĩ nhiều phần tử cực tiểu hay cực đại 1.1.1.3 Cận dưới, cận trên

Cho poset X  , A,   X

Phần tử aX được gọi là phần tử cận dưới của A nếu ax với x  A

Phần tử bX được gọi là phần tử cận trên của A nếu x  với x b   A

Nếu A cĩ cận dưới thì A được gọi là bị chặn dưới Nếu A cĩ cận trên thì A được gọi

là bị chặn trên Nếu A bị chặn dưới và bị chặn trên thì A được gọi là bị chặn

Cho poset X  , giả sử A là tập hợp con của X và A có cận dưới Nếu tập hợp các , 

cận dưới của A có phần tử lớn nhất  thì  được gọi là cận dưới lớn nhất và kí hiệu là inf A

  Nếu A có cận trên và tập hợp các cận trên của A có phần tử bé nhất  thì 

được gọi là cận trên bé nhất và ký hiệu  SupA

Chúng ta có thể có một phương pháp tương tự bằng cách thay tập hợp các số tự nhiên bởi một tập hợp được sắp tốt bất kỳ Phương pháp đó được gọi là phương pháp quy nạp siêu hạn

1.1.2 Tiên đề chọn

1.1.2.1 Tiên đề chọn

Giả sử  A i i I

 là một họ không rỗng các tập hợp không rỗng Lúc đó tồn tại một ánh xạ

f từ I vào i I A i sao cho f i( )A i

1.1.2.2 Định lí ( Zermelo)

Mọi tập hợp đều có thể được sắp tốt

1.1.2.3 Định lí (Zorn)

Giả sử ( , )X  là poset không rỗng sao cho mỗi tập hợp con được sắp tuyến tính của X đều có cận trên (cận dưới) trong X Lúc đó X có phần tử cực đại (cực tiểu)

1.1.3 Lực lượng của tập hợp

Cho các tập X và Y Nếu tồn tại một đơn ánh f X: Y thì ta viết X  Y ; nếu tồn tại

một song ánh f X: Y thì ta viết X  Y ; nếu tồn tại một đơn ánh f X: Y nhưng

không tồn tại một song ánh từ X lên Y thì ta viết X  Y

Ta gọi X là lực lượng của tập X

1.1.6 Giả thiết continuum

Những tập hợp điểm không đếm được quan trọng trên đường thẳng, trong đó có bản thân đường thẳng đều là những tập hợp có lực lượng continuum Một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: trên đường thẳng tồn tại hay không những tập hợp không đếm được là tập hợp có

lực lượng continuum, nói cách khác tồn tại hay không một tập hợp A sao cho

Cận trên nhỏ nhất của  a b,   (cái hợp của a và b ) a b

Cận dưới lớn nhất là  a b, a b  (cái giao của a và b )

Kí hiệu dàn với quan hệ thứ tự  là: ( , )L 

1.1.7.3 Một số thuật ngữ và kí hiệu của dàn

Dàn được gọi là đầy đủ nếu như bất kỳ tập con nào của nó cũng có một cận trên nhỏ nhất và có một cận dưới lớn

( , )L  được gọi là dàn đối ngẫu của ( , ) L 

( , )A  được gọi là con của dàn ( , ) L  nếu AL và các cái hợp và cái giao hữu hạn được bảo toàn ( , )A  được gọi là con đầy đủ của dàn ( , ) L  cái hợp và cái giao bất kỳ được

Phần tử a được gọi là phụ bù của b trong dàn nếu a b O  và a b  Dàn được gọi I

là được phụ bù nếu mọi phần tử đều có ít nhất một phần tử phụ bù của mình và được gọi là được phụ bù duy nhất nếu như mọi phần tử đều có một phần tử phụ bù

Dàn được gọi là phân phối nếu a(b c ) ( ab) ( ac) và

a b c  a b  a c , với mọi a, b, c trong dàn

Một dàn được gọi modular nếu a c thì a(b c ) ( ab) c

Một dàn được gọi là nữa-modular trên khi và chỉ khi với hai phần tử phân biệt a và b trong L sao cho a và b đều phủ c thì a  phủ cả hai phần tử a và b Một dàn được gọi b

là nữa modular dưới khi và chỉ khi với hai phần tử phân biệt a và b trong L sao cho a và

b đều được phủ trong c thì a b  được phủ trong cả hai phần tử a và b

Nếu L là dàn nguyên tử đầy đủ với A là tập hợp các nguyên tử thì L được gọi là cao (tall) khi và chỉ khi với mọi PA, ở đó p a a P ,

a a A a ,  pB PB A a b B, ,  vaøc a bthìc B 

Một ánh xạ từ dàn L vào dàn K được gọi là đồng cấu dàn nếu nó bảo toàn hữu hạn cái giao và cái hợp Ánh xạ nói trên được gọi là đồng cấu đầy đủ nếu nó bảo toàn cái hợp và cái giao bất kì Một đẳng cấu dàn là một đồng cấu dàn 1-1

Một dàn ( , )L  được gọi là tự đối ngẫu nếu nó đẳng cấu dàn với ( , ) L 

1.2 Không gian mêtric

1.2.1 Không gian mêtric

Không gian mêtric X d là một tập X cùng với một mêtric ,  d trên X

Nếu X d là một không gian mêtric thì mỗi ,  xX gọi là một điểm và với mọi

Ta gọi số thực d(A, B) này là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B

Nếu A = {a} thì ta viết d(A, B) = d(a, B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B Nếu A  B   thì d(A, B) = 0, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng

1.2.3 Không gian mêtric tích

Cho X d, X và Y d, Y là hai không gian mêtric tùy ý

 

XY  x y  x X yY là tích Descartes của X và Y

Đặt d x y1, 1 , x y2, 2 d Xx x1, 2d Yy y1, 2,x x1, 2 , y y1, 2X  Y

Khi đó d là một mêtric trên X Y

Không gian mêtric X Y d,  được gọi là không gian mêtric tích của hai không gian mêtric X và Y

1.3 Không gian tôpô

1.3.1 Tôpô Không gian tôpô

1.3.1.1 Cho một tập X Một họ  các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các

điều kiện sau:

(i) X và  thuộc ;

(ii) Hợp của tùy ý các tập thuộc  là thuộc ;

(iii) Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc 

Tôpô sinh bởi mêtric thông thường trên  gọi là tôpô thông thường

4 Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập  và tất cả các tập con G của X có X \ G đếm được, là một tôpô trên X Tôpô này gọi là tôpô Zariski

5 Với mọi tập không đếm được X, họ bao gồm tập  và tất cả các tập con G của X có

Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của nó có một cơ

sở đếm được

1.3.2.2 Ví dụ

1 Tôpô thông thường trên  có cơ sở là họ tất cả các khoảng a b với a, b là số hữu , 

tỉ, a < b Như vậy  với tôpô thông thường thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai

2 Trong không gian mêtric, họ tất cả các hình cầu mở B x,1

1.3.3 Lân cận, cơ sở lân cận

1.3.3.1 Lân cận

Cho X là một không gian tôpô và xX Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x G V Nếu lân cận V của x là tập mở thì V là lân cận mở của x

1.3.3.2 Cơ sở lân cận

Một họ x các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận U x sao cho U  V

Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm xX đều

có một cơ sở lân cận đếm được

1.3.3.3 Ví dụ

1 a b,  ab là lân cận của một điểm tùy ý của a b trên đường thẳng thực , 

2 Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x

3 Trong không gian mêtric, tại mỗi điểm x, họ các hình cầu mở tâm x, bán kính

Cho X là một không gian tôpô và A là tập con của X

Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, kí hiệu là IntA

Từ định nghĩa ta có: IntA là tập mở lớn nhất chứa trong A; AB thì IntAIntB và A

mở nếu và chỉ nếu AIntA

Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là Cl A Từ định nghĩa ta có ClA là tập đóng nhỏ nhất chứa A; AB thì ClAClB và A đóng nếu và chỉ

1.3.5 Ánh xạ liên tục

1.3.5.1 Định nghĩa

Cho X và Y là các không gian tôpô Ánh xạ f X: Y được gọi là liên tục tại xX

nếu mọi lân cận V của f x trong   Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho

Cho hai tôpô 1 và 2 trên cùng một tập hợp X ta bảo , 1 là mịn hơn 2 (hay 2 là thô

hơn 1) nếu, kí hiệu X là tập hợp X với tôpô i i i1, 2 , ánh xạ đồng nhất X1 X2 là liên tục Nếu ngoài ra 12 ta bảo 1 là chặt chẽ mịn hơn 2 (và 2 là chặt chẽ thô hơn 1)

Ta kí hiệu X1X2, X1X2 và X1X2 để chỉ rằng tôpô trên X là trùng với tôpô trên 2 X 1,tôpô trên X là mịn hơn hay trùng với tôpô trên 2 X và tôpô trên 1 X là chặt chẽ mịn hơn trên 2

a) 1 mịn hơn 2;

b) Với mọi xX, mọi lân cận của x trong 2 là một lân cận của x trong 1;

c) Mọi tập con mở của X trong 2 là mở trong 1

Cho X, Y là các không gian tôpô

Ánh xạ f X: Y được gọi là mở (hay ánh xạ mở) nếu mọi tập G mở trong X thì

Giả sử X là một tập hợp Một lọc trên X là một họ con không rỗng  các các tập con

của X sao cho

F1 Mọi tập con của X chứa một tập thuộc  cũng thuộc 

F2 Giao của mỗi họ hữu hạn các tập thuộc  cũng thuộc 

F3 Mọi tập thuộc  đều không rỗng

1.4.1.2 Cơ sở

Giả sử  là một lọc trên X Một họ  các tập con của X được gọi là cơ sở của  nếu

(1) 

(2) Với mọi tập V , tồn tại một tập W   saoc cho WV

Ta cũng nói rằng lọc các tập  sinh nên lọc  hoặc lọc  sinh bởi họ 

1.4.3 Siêu lọc

Họ các lọc trên một tập không rỗng X có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm Lọc cực đại này được gọi là một siêu lọc Như vậy, mỗi lọc  trên một tập X đều tồn tại một siêu lọc trên X chứa 

1.4.4 Điểm giới hạn, hội tụ

Giả sử ( , )X là không gian tôpô,  là một lọc trên X Điểm x X được gọi là điểm giới hạn của lọc  và lọc được gọi là hội tụ đến tới x nếu lân cận lọc ( )x tại x được

chứa trong lọc  Nếu  là một cơ sở lọc trên X thì x X được gọi là điểm giới hạn của

 và ta cũng nói cơ sở lọc  hội tụ tới x nếu lọc được sinh bởi  hội tụ tới x

Nếu  là một cơ sở của một lọc trên X , thì x được gọi là một điểm dính của  nếu nó

là điểm dính của lọc sinh bởi cơ sở  Bao dính của  , kí hiệu là Adh là tập hợp tất cả

Không gian tôpô X gọi là T3 - không gian (hay không gian chính qui) nếu X là T1- không

gian và với mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho

,

x U F V và U V  

Không gian tôpô X gọi là 1

2

T - không gian (hay không gian hoàn toàn chính qui) nếu X

là T1 - không gian và với mọi xX , mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại một

hàm liên tục f X :  0,1 sao cho f(x)=0 và f(y)=1 với mọi yF

Không gian hoàn toàn chính qui gọi là không gian Tikhonov

Không gian tôpô X gọi là T4 - không gian ( hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1-

không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao nhau trong X, tồn tại các tập mở U và

V sao cho AU B, V và U V  

Ta gọi T0 , T1 , T2, T3 , 1

2

T , T4 là các tiên đề tách

Nhận xét T - không gian  j T - không gian với i j i

1.6 Không gian compact

- Nếu V là tập mở, I thì {V}I được gọi là một phủ mở của A

- {V}I là một phủ của A cũng có thể nói A được phủ bởi họ {V}I

- Nếu I là tập hữu hạn thì {V}I được gọi là một phủ hữu hạn của A

1.6.2 Định nghĩa phủ con, phủ con hữu hạn:

Cho X là không gian tôpô, tập A  X và {V}I là một phủ của A Nếu J  I mà {V}J cũng là một phủ của A thì {V}J được gọi là một phủ con của {V}I Nếu tập J hữu hạn thì {V}J được gọi là phủ con hữu hạn của {V}I

1.6.3 Định nghĩa không gian compact:

Một không gian tôpô được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của nó đều có

chứa phủ con hữu hạn

Tập con A của không gian tôpô (X, ) được gọi là tập compact nếu (A, A) là một không gian compact, với A là tôpô cảm sinh bởi tôpô  trong X

Một cách tương đương:

Tập con A trong không gian tôpô X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A đều

có chứa phủ con hữu hạn

Nhận xét:

- Hợp của hữu hạn các tập compact của một không gian tôpô là tập compact

- Cho X là không gian compact, Y là không gian tôpô thì phép chiếu Y : X  Y  Y

là ánh xạ đóng

1.6.4 Định lý:

a) Tập con đóng của không gian compact là tập compact

b) Tập con compact của không gian compact là tập đóng

c) Không gian compact, Hausdorff là không gian chuẩn tắc

d) Cho ánh xạ f : X  Y liên tục và A là tập con compact trong X Thì f(A) là tập con

1 Không gian compact tùy ý

2 Không gian rời rạc tùy ý

3  n

Chú ý : Nếu X là không gian compact địa phương và A X thì không nhất thiết không gian con A là compact địa phương Chẳng hạn,  là compact địa phương và  nhưng không gian con  không là compact địa phương

1.6.5.3 Định lý 1

Cho X là một không gian Hausdorff compact địa phương Khi đó

a) Mọi xX và mọi lân cận mở U của x , tồn tại một lân cận compact  của x sao

Các không gian compact là những không gian tôpô quan trọng nhất Vì vậy một vấn đề

lý thuyết được đặt ra là: cho một không gian không compact X, có hay không một không gian compact Y sao cho X là một không gian con trù mật khắp nơi trong Y?

1.6.6.1 Định nghĩa:

Cho không gian X không compact Không gian compact Y cùng với ánh xạ h : X  Y sao cho h là phép đồng phôi từ X lên h(X) và h(X) trù mật khắp nơi trong Y được gọi là một compact hóa của không gian X

Chú thích:

Ánh xạ h : X  Y (với X, Y là các không gian) được gọi là phép nhúng X vào Y nếu h : X

 h(X) là phép đồng phôi

1.6.6.2 Compact hóa Alexanderov:

Compact hóa Alexanderov là compact hóa đơn giản nhất một không gian không

compact X bằng một điểm Ta xây dựng như sau:

i) Thêm vào X một điểm tùy ý không thuộc X mà ta ký hiệu là 

ii) Xác định trên Y := X  {} một họ  = {U  Y  U là tập mở trong X hoặc Y \ U là tập con đóng và compact của X} Thì  là tôpô trên Y

iii) Ta ký hiệu: X * = (Y,  )

Hiển nhiên ánh xạ nhúng i: X  X * là phép nhúng

1.6.6.3 Định lý:

a) Nếu X không compact thì (X *, i) là compact hóa của X

b) Đường thẳng thực mở rộng      { , } với ánh xạ nhúng :là một compact hóa của đường thẳng thực 

1.6.7 Không gian compact đếm được

1.6.7.1 Định nghĩa

Không gian tôpô X được gọi là compact đếm được nếu mỗi phủ mở đếm được của X có

chứa phủ con hữu hạn

Nhận xét: Hiển nhiên mọi không gian compact đều compact đếm được

Hình cầu mở B(x0, r) được gọi là r- lân cận của điểm x0 trong không gian mêtric X d , 

1.7.1.2 Tôpô sinh bởi mêtric

Cho không gian mêtric (X, d) Ta xác định trong X d một tập hợp ,   các tập con của X

như sau:

 = {U  X  xU, r > 0 sao cho B(x, r)  U}

Thì  là một tôpô trên X Tôpô  xác định như trên gọi là tôpô sinh ra bởi mêtric d trên

X, các phần tử thuộc  được gọi là các tập mở trong X d , 

1.7.2 Không gian mêtric hóa

1.7.2.1 Định nghĩa

Không gian tôpô X gọi là không gian mêtric hóa nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô xuất phát trên X

1.7.2.2 Ví dụ

Mọi không gian rời rạc đều là không gian mêtric hóa (bởi mêtric rời rạc)

1.7.3 Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc

1.5.3.1 Họ  các tập con của không gian tôpô được gọi là hữu hạn địa phương khi và chỉ khi

mỗi điểm của không gian có một lân cận chỉ cắt một số hữu hạn các phần tử của họ 

Họ  là -hữu hạn địa phương khi và chỉ khi nó là hợp của một số hữu hạn các họ con

hữu hạn địa phương

1.7.3.2 Họ  các tập con của không gian tôpô được gọi là rời rạc nếu mỗi điểm của không

gian có một lân cận cắt nhiều nhất một phần tử của họ  Như vậy, một họ rời rạc là hữu hạn địa phương

Họ  là -rời rạc khi và chỉ khi nó là hợp của một số hữu hạn các họ con rời rạc

1.7.4 Cái mịn

1.7.4.1 Định nghĩa

Phủ  của tập hợp X được gọi là cái mịn của phủ  khi và chỉ khi mỗi phần tử của phủ

 được chứa trong phần tử nào đó của phủ 

1.7.4.2 Ví dụ

Trong không gian mêtric họ tất cả các hình cầu mở bán kính một nửa là cái mịn của họ tất cả hình cầu mở bán kính một đơn vị

CHƯƠNG 2: DÀN CỦA CÁC TƠPƠ, DÀN CỦA CÁC TƠPƠ T1, POSET

Kí hiệu: £(X), £1(X), 2( )X tương ứng là dàn của các tơpơ, dàn của các tơpơ T1, poset

của các tơpơ T2 trên tập hợp X Trong chương này, chúng tơi sẽ giới thiệu dàn của các tơpơ,

dàn của các tơpơ T1 và poset của các tơpơ T2 Đối với £(X), £1(X), chúng tơi phát biểu lại trong [13] và khơng chứng minh Mục đích của chúng tơi sẽ nghiên cứu tơpơ dưới và tơpơ trên trong 2( )X Từ đĩ, đưa ra bài tốn mở và nĩ sẽ được giải đáp ở chương sau Cụ thể như sau:

2.1 Dàn của các tơpơ

2.1.1 Dàn của các tơpơ

Cho X là một tập hợp, lấy £( )X    là một tôpô trên X  Khi đĩ, £(X) là một dàn

theo tính bao hàm tập hợp Phần tử nhỏ nhất là tơpơ phi rời rạc (indiscrete) và phần tử lớn nhất là tơpơ rời rạc Cận trên nhỏ nhất của hai tơpơ  và  là tơpơ sinh bởi

     gọi là siêu tơpơ

£(X) là một dàn phản nguyên tử Các phản nguyên tử là các siêu tơpơ Nếu X  thì n

£(X) chứa n n ( 1) phản nguyên tử Nếu X là vơ hạn thì £(X) chứa 22X phản nguyên tử

2.1.3 Lực lượng của £(X)

Nếu X là tập vô hạn thì £( )X 22

Nếu X 1, 2,3, 4,5,6 hoặc 7 thì £( )X 1, 4, 29, 355, 6.942, 209.527 hoặc 9.535.241 Nếu X n thì 1 2n  £( )X 2n n( 1)

2.1.4 Cấu trúc dàn bất thường

Nếu X  thì £( )2 X là dàn không phân phối, không modular và cũng không phải là

nửa modular trên hay dưới

Nếu X  thì £( )3 X không tự đối

£( )X là dàn cao khi và chỉ chi X là hữu hạn

2.1.4 Phép nhúng trong £(X)

Đối với dàn L bất kì thì sẽ tồn tại tập hợp X sao cho L có thể nhúng vào trong £( ) X

2.1.5 Các cấu xạ trong £(X)

Nếu X  thì £( )2 X có các đồng cấu dàn bình thường Nói cách khác, bất kì đồng cấu

dàn nào của £( )X vào một dàn L có thể là đẳng cấu dàn hoặc L chỉ chứa một phần tử

Nếu X chỉ chứa một hoặc hai phần tử hoặc X là vô hạn thì nhóm tự đẳng cấu dàn của

£( )X là đẳng cấu với nhóm đối xứng trên X Nếu X là hữu hạn hoặc chứa nhiều hơn hai

phần tử thì nhóm tự đẳng cấu dàn của £( )X là đẳng cấu với tích trực tiếp của nhóm đối xứng

trên X với nhóm hai phần tử

Nếu  là một phản nguyên tử trong £( )X thì  là T1 khi và chỉ khi  không có phần tử phụ bù cực đại trong £( )X

2.1.7 Phần phụ bù trong £(X)

£( )X là dàn được phụ bù

Nếu X là vô hạn thì mọi tôpô trong £( ) X khác tôpô rời rạc và tôpô phi rời rạc có ít

nhất là X phần tử phụ bù trong £( ) X

Nếu X là vô hạn thì tồn tại một tập con của £( )X có lực lượng là X sao cho hai phần

tử bất kì của tập con đó là phụ bù của nhau

2.2 Dàn của các tôpô T1 trên tập X (£1(X))

Nghiên cứu sâu chuyên sâu về £ ( )1 X chỉ ra rằng dàn này cĩ cấu trúc khác với £( ) X

2.2.1 Dàn của các tơpơ T1

Cho £ ( )1 X là tập hợp tất cả các tơpơ T1 trên X và cho  

G GX X G, \ là hữu hạn  ,X Khi đĩ, £ ( )1 X là dàn con đầy đủ của £( ) X Phần tử

nhỏ nhất trong £ ( )1 X là tơpơ đối hữu hạn (cofinite)  và phần tử lớn nhất là tơpơ rời rạc

2.2.2 Các tính chất nguyên tử và phản nguyên tử

£1(X) cĩ nguyên tử nhưng khơng phải là dàn nguyên tử Các nguyên tử là các tơpơ cĩ

dạng  x

 là một phản nguyên tử trong £ ( )1 X khi và chỉ khi  {G xG hay G   , ở đĩ }

xX và  là một siêu lọc khơng chính tắc trên X

£ ( )X vừa là nửa modular trên và vừa là nửa modular dưới

Bất kì khoảng khơng tầm thường trong £ ( )1 X đều chứa một quan hệ phủ

Nếu X là tập hữu hạn thì dàn các đồng cấu đầy đủ của £ ( )1 X đẳng cấu với dàn các tập con hữu hạn của X và tập X được xếp thứ tự theo tính bao hàm tập hợp

2.3 Poset của các tôpô T2 trên tập hợp X

Bây giờ, chúng tôi sẽ nghiên cứu các tôpô dưới và tôpô trên của 2( )X nhưng trước hết tìm hiểu 2( )X là gì? Và các kiến thức có liên quan Cụ thể như sau:

2.3.1 2(X) và nhận xét

2.3.1.1 2( )X là poset của tất cả các tôpô Hausdorff trên tập hợp X

2.3.1.2 Nhận xét:

2 ( )

 X không phải là dàn vì cận dưới đúng không tồn tại Rõ ràng tôpô rời rạc bao hàm

các tôpô T2 nhưng không có tôpô T2 được chứa trong tất cả các tôpô T2 còn lại Các tôpô cực tiểu trong 2( )X được kí hiệu là tôpô Hausdorf cực tiểu

2.3.2 Mở đầu về tôpô dưới và tôpô trên trong 2(X)

Trong 2( )X , một “bước nhảy” có thể xảy ra giữa hai tôpô mà trong đó không tôpô nào nằm ngặt ở khoảng giữa Trong trường hợp này, tồn tại các tôpô   trong 

2( )X



sao cho    thì   hay   Chúng tôi gọi  là tôpô dưới và  là tôpô trên Tôpô dưới và tôpô trên trong £ ( )1 X được định nghĩa tương tự và được quan tâm bởi hai nhà

toán học: Offlia T Alat và Richard G Wilson Hai nhà toán học này đưa ra một đặc điểm

mạnh của tôpô dưới bằng cách sử dụng điểm cực đại Một điểm p điểm cực đại của một

không gian với tôpô  nếu p không bị cô lập và khi U và  pClU thì U  p  

2.3.2.1.Định nghĩa

Một tôpô Hausdorff là Hausdorff cực tiểu khi và chỉ khi nó không bao hàm một tôpô

Hausdorff thô ngặt hơn nào

2.3.2.2 Định nghĩa

Không gian Haurdorff Y là không gian H-đóng nếu nó là tập con đóng và được nhúng

vào trong mọi không gian Hausdorff

2.3.2.3 Định nghĩa

Một không gian là nửa chính quy nếu các tập mở chính quy tạo thành một cơ sở Tôpô

được sinh bởi các tập mở chính quy của không gian Hausdorff Y,  nào đó tạo thành một

tôpô nửa chính quy trên Y , kí hiệu là Y Chúng tôi gọi S Y là nửa chính quy hóa của S Y, 

 sao cho    với  là một tôpô thì

  hay   Khi đó,  là tôpô dưới và  là tôpô trên Ta gọi  

 và  

 2.3.2.7 Định nghĩa

Một điểm p gọi là điểm cực đại của một không gian với tôpô  nếu p không bị cô lập