Tài liệu Tenseur - cơ học môi trường liên tục ppt

Ta sẽ phân biệt các dãy này bằng Cũng như vậy, dãy tji được kết hợp với dãy của cơ sở πij= e i ⊗ e*j : tenseur có thành phần tji thuộc không gian R3 ⊗R3*.. Chúng ta nhận thấy rằng các ph

CHƯƠNG 1 : MỞ ĐẦU

A Ví dụ:

Chúng ta tiến hành xét bài toán chuyển động tròn đều Vị trí của

điểm M ở thời điểm t được xác định bởi vectơ OM ở đây, ta thấy vectơ vận tốc v vuông góc với véc tơ OM( Véc tơ vị trí)

V ⊥ OM ⇔ V OM = 0 Gia tốc hướng tâm: γ = - (γ/R)OM

Mặt khác ta có: Lực hướng tâm

F = mγ

Vectơ vị trí OM là một bộ phận của không gian phẳng bao gồm

điểm gốc: Đây là không gian hình học hai chiều Môđun ||OM || đồng nhất trên toàn bộ chiều dài ||OM|| = R

ở đây chúng ta cần phân biệt OM với các vectơ V và F Theo quan điểm vật lý, OM và V , γ , F thuộc những không gian khác nhau

Ta nhận thấy sẽ không có khái niệm vuông góc (V ⊥OM ) hay tích vô

Vậy tại sao ta có các khái niệm vuông góc và tích vô hướng? Là

do ta cố tình đưa tất cả các véc tơ về cùng một không gian duy nhất Trong thực tế, ta thường biểu diễn các vectơ V và F trên cùng một tờ giấy Ta gọi đây là không gian hình học phẳng

Khi nghiên cứu chuyển động của một điểm trong không gian, các vectơ vận tốc, gia tốc được xem xét như là những vectơ của một không gian 3 chiều (luôn được phân tích thành 3 thành phần)

B Sự hợp nhất giữa các không gian

Khi những đại lượng vật lý có những đặc điểm toán học tương

đồng (3 chiều; tuân theo những quy tắc tính toán giống nhau) thì chúng

ta coi những đại lượng đó là các yếu tố của không gian R3 Không gian vectơ hình học được gọi là “biểu diễn có thể có” của R3 (Présentation possible)

Một cách tổng quát hơn, khi những đại lượng có bản chất vật lý khác nhau thuộc những không gian toán học có cùng n chiều và tuân theo cùng một quy tắc tính toán, chúng ta coi những đại lượng này như

là những bộ phận của cùng một tập hợp: không gian vectơ Rn

II.Quy ước: Kí hiệu Einstein

A Chỉ số câm:

Xét các chỉ số i và j (i, j = 1 ,n) và ma trận với các thành phần: xij Giả thiết rằng chúng ta tiến hành tính với mỗi giá trị của i, tính tổng của các thành phần khi j từ 1 đến n

Ví dụ: Với mỗi dòng của ma trận ta tính tổng các thành phần có chỉ số cột biến đổi

Chỉ số j, theo nó mà người ta có thể tính tổng tất cả các giá trị

B Quy ước của Einstein:

Xét hai ma trận vuông (n, n): A và B Các thành phần của chúng lần lượt là aij và bij

Chỉ số dòng quy ước phía trái

Chỉ số cột quy ước ở phía phải

Ta tiến hành tính tích P = A.B với các thành phần Pij Khi đó:

k

k j i k i

Nhân ma trận P = A.B với Q = C.D với

k j i k i

j i k i

k b

a c l m d l j⇔ P.Q = A B C D

Ta có thể viết mọi vectơ V của R3 nh− là một tổ hợp tuyến tính của 3 vectơ tuỳ ý có chung gốc o nh−ng độc lập tuyến tính Ký hiệu e i

với e = 1,2,3

Các vectơ e i làm thành cơ sở của R3 Ta phân tích vectơ V :

V = ∑

= 3

vi là thành phần của vectơ V trong hệ cơ sở (e i )

Xét một hệ cơ sở khác của không gian R3, (EI) với I = 1,2,3 Mỗi vectơ E i là một tổ hợp tuyến tính của e i và ta có thể viết:

A = [ai

I] =

3 3 3 2 3 1

2 3 2 2 2 1

3 2 1

a a a

a a a

a a a

Khi đó: [E1 E2 E3] = [e1 e2 e3]

3 3 3 2 3 1

2 3 2 2 2 1

1 3 1 2 1 1

a a a

a a a

a a a

Với I là chỉ số cột

i là chỉ số dòng A: ma trận chuyển

Ta sẽ tiến hành tìm thành phần vi của vectơ V trong hệ toạ độ mới Nhận thấy rằng V không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ nên ta có:

Kí hiệu B = A-1 là ma trận đảo của A với các thành phần biI Khi

phản biến với sự thay đổi hệ cơ bản Khi các thành phần tuân theo sự thay đổi của hệ cơ bản thì ta gọi là hợp biến

Các chỉ số kết hợp với thành phần hợp biến của hệ (e i ) nằm ở dưới còn chỉ số kết hợp với thành phần phản biến của (vi) nằm ở phía trên

Biểu diễn dưới dạng ma trận:

=

3 3 3 2 3 1

2 3 2 2 2 1

1 3 1 2 1 1

b b b

b b b

b b b

0 0 1

cosθ - sin θ 0 sin θ cos θ 0

0 0 1

IV Không gian đối ngẫu, ánh xạ tuyến tính trên R3:

A Định nghĩa: F được gọi là một ánh xạ từ không gian vectơ vào tập vô hướng thì F làm tương ứng mọi vectơ V của R3 là một số thực

c Nhân vô hướng vectơ V bởi một vectơ U có dạng

∀V ∈ R3 → F (V ) = U V ∈ R Vô hướng kết hợp của mọi vectơ V luôn độc lập với hệ trục toạ

và F(V ) = V U = ∑

= 3

Trong trường hợp c

F (λV +V ’) = U (λV +V ’) = λU V + U.V ’

= λF(V ) + F(V ’)

⇒ là một không gian tuyến tính

B Hệ số của một không gian tuyến tính:

a Định nghĩa: Xét vô hướng thực F(V ) trong hệ cơ sở đặc biệt (e i) Ta có thể biểu diễn V bởi các thành phần vi

Ta có thể viết đơn giản như sau: F(V ) = vi fi

b ảnh hưởng của việc thay đổi hệ cơ sở trong R3:

Nếu chúng ta thay đổi hệ cơ sở (E I = i

Ta tiến hành xem xét sự thay đổi này:

Gọi Fi là thành phần của hệ số F trong hệ toạ độ mới

D) Hệ cơ sở trong không gian đẳng cấu:

R3* là một không gian vectơ, ta có thể luôn tìm được 3 không gian tuyến tính độc lập tạo nên hệ cơ sở trong R3* cho phép phân tích tất cả các không gian tuyến tính còn lại Chúng ta sẽ đi tìm hệ cơ sở đặc biệt này của R3* đồng thời sẽ dẫn ra những đặc điểm đơn giản đem lại sự thuận tiện cho công tác tính toán

Chúng ta sẽ đưa ra dạng đầu tiên, kí hiệu e*, mà ánh xạ của nó làm cho vectơ đơn vị của hệ cơ sở bằng 1, và hai vectơ còn lại bằng 0

e* ( e1)= 1 ; e* (e2) = 0 ; e* (e3) = 0 Tương tự như trên ta lập được ba dạng sau: e*1, e*2 , e3*

j

δ ] = 0 1 0 → ma trận đơn vị

0 0 1 Chúng ta sẽ tiến hành khảo sát tính độc lập tuyến tính của 3 chỉ

Hệ cơ sở (e*i) của R3* đ−ợc định nghĩa từ cơ sở (e i) của R3 Ta gọi

nó là cơ sở đẳng cấu kết hợp với (e i )

Khi không gian R3 đ−ợc thiết lập bởi cơ sở (e i ) thì ta có thể sử dụng không gian R3* với cơ sở (e i) để khai triển các vectơ của không gian đó (dạng tuyến tính)

E Thay đổi cơ sở trong không gian đẳng cấu:

Xét cơ sở đẳng cấu mới (E*I) trong đó E*I (E j) = I

F Thành phần của các vectơ trong R3

Gọi F là không gian tuyến tính trong R3 với các thành phần Φitrong cơ sở (e*i) Ta có F = Φi e*i

b Các thành phần:

Chúng ta đã biết các thành phần phản biến (vi) của một vectơ R3 Nếu chúng ta tìm ra được một dãy gồm 3 vô hướng vi, hàm của cơ sở (e i) được chọn trong R3 và quy tắc biến đổi của kiểu phản biến khi thay

đổi cơ sở trong R3 Khi đó chúng ta sẽ coi những thành phần này như là thành phần của một vectơ của không gian R3

Chúng ta cần chú ý rằng phản biến của (vi) luôn đảm bảo tính chất vốn có của vectơ mới

c) Ví dụ: Xét một cơ sở (e i) của R3 kông nhất thiết phải trực hướng Ta tiến hành tính các thành phần (vi) của (V ) khi chiếc vectơ này lên các trục toạ độ

Sơ đồ trên chỉ là một biểu diễn 2 chiều đơn giản và không nói hết

được tính tổng quát của bài toán

Trong thực tế, phép chiếu nghiêng trên e i, ví dụ là v’e1 có mô đun

|v’||e1|

Kí hiệu v1 cho ta biết được chiều của phép chiếu

Tích vô hướng của V bởi các vectơ cơ sở cho ta các số

Xem xét trên sơ đồ ta quan sát thấy:

v1 = |V | |e1| cos θ Bây giờ chúng ta xét dãy (vi) đã được thiết lập Nếu ta tiến hành chiếu vuông góc V xuống các trục của một cơ sở mới (E I) ta thu được:

Ta nhận thấy vùng vI đã được thu gọn từ vi bằng cách hợp biến Như vậy, chúng ta khẳng định là một vectơ của R3*

Ta gọi v* là vectơ đẳng cấu của v

H Không gian đẳng cấu của R3*

R3*là một không gian vectơ tương tự như R3, ta có thể định nghĩa

đẳng cấu của nó là R3** như là một không gian của các ánh xạ tuyến tính trên R3* Bằng các phép chứng minh tương tự ta có thể chỉ ra được

A trong R3 ; B = A-1 trong R3* , A = B-1 trong R3**

Qua đây, ta có thể coi R3** và R3 là như nhau Các vectơ của R3**

b vi với các thành phần của các vectơ v= vi e i

2 Ta đưa ra một không gian vectơ thứ hai R3*, đối ngẫu của R3,

v* = vie*i

tính đối ngẫu

R3 ⇔ R3*

3 Quy luật chuyển các vectơ cơ sở của R3 dùng hệ quy chiếu để

định nghĩa sự thay đổi của dãy các chỉ số

Chỉ số ở phía trên → phản biến Chỉ số phía dưới → hợp biến

4 Ta sử dụng qui ước Einstein để ghi các chỉ số câm:

Ta có thể khai triển V với các thành phần V = vi E i

Xét điểm thứ hai M’ chuyển động cùng một mặt phẳng với M Hai điểm này chuyển động độc lập với nhau Vị trí của điểm M’ đ−ợc biểu diễn bởi vectơ V ’ = OM’ = v’i E i Theo quan điểm toán học chúng

ta có thể coi các vectơ V và V ’ thuộc những không gian phẳng khác nhau

Nh− vậy, R2 và R’2 biểu diễn vị trí riêng của các điểm chuyển

động trong khi đó mặt phẳng ban đầu XOY biểu diễn vị trí tức thời của chúng

Vị trí tức thời sẽ được kí hiệu bởi: V ⊗ V ’ Ta quy ước phía bên trái dấu ⊗ là vị trí của chuyển động đầu tiên, phía bên phải là vị trí của chuyển động thứ hai

Sự kết hợp này, kí hiệu ⊗ giữa một véc tơ của R2 với một vectơ của R’2 được gọi là phép nhân tenseur

Tập hợp của V ⊗ V ’ (vị trí tức thời) là tích đề các của R2 bởi R’2:

R2 x R’2

B Không gian “tích tenseur”:

Chúng ta sẽ thiết lập không gian R2 x R’2 dưới dạng một không gian vectơ Để có thể thiết lập được tổ hợp tuyến tính của các yếu tố

V ⊗ V ’, không gian tâm tới tính tức thời của mỗi biểu diễn vật lý, và

đưa ra các chỉ tiêu độc lập hay không độc lập tuyến tính của các nhân

tố này, người ta định nghĩa phép cộng và nhân vô hướng

Chúng ta chấp nhận 3 tiên đề sau để có thể hiểu rõ hơn bản chất của phép nhân vô hướng với hai phép toán cộng và nhân với một vô hướng mà chúng ta vừa đề cập tới:

a) Tính chất phân phối của phép cộng:

V ⊗(V1' +V'2) = V ⊗V1' + V ⊗V'2(V 1+V 2)⊗ V ’ = V 1⊗ V ’ + V 2⊗ V ’

V ⊗ V ’ là tích tenseur của V bởi V ’

V ) độc lập tuyến tính

Tuy nhiên, từ một cơ sở đặc biệt (e i) của R2 và từ một cơ sở (e i ’) của R’2, chúng ta có thể xây dựng đ−ợc bốn phần tử e i ⊗e j’= πij, dựa trên tiên đề cuối, độc lập tuyến tính

Kết quả là một không gian vectơ đ−ợc tạo ra nhờ phép nhân tenseur nhất thiết phải có số chiều bằng 4 và các phần tử πij = e i ⊗ e j’ cấu tạo nên một cơ sở (i = 1, 2 ; j = 1,2)

Bởi vậy, một không gian nh− vậy có thể xem nh− đ−ợc sinh ra bởi các phần tử πij Có nghĩa là các phần tử này là tất cả các tổ hợp tuyến tính có thể có của πij Không gian này, đ−ợc gọi là “tích tenseur” của R2bởi R’2 (hay R2 bởi chính nó), là độc lập với cơ sở đặc biệt (πij)

Định nghĩa: Tích tenseur của R2 bởi R’2 ≡ R2, kí hiệu R2 ⊗R’2, là một tập hợp của các tổ hợp tuyến tính Không gian này

có cấu trúc của một không gian vectơ 4 chiều với cơ sở là (πij)

T = tij πij ∈R2⊗R’2Chúng ta sẽ hiểu ngầm với nhau kí hiệu πij từ 1 tới 4 như sau:

π1≡ π11; π2 ≡ π12 ; π3 ≡ π21 ; π4 ≡ π22 Việc đánh số cho các thành phần của t cũng được tiến hành tương tự Nhưng ta sẽ biết rằng các phép tính trên tenseur sẽ đơn giản hơn rất nhiều nếu chúng ta giữ nguyên những chỉ số ban đầu của chúng

C Biểu diễn hình học của cơ sở (πij)

D So sánh giữa tích Đề cac và tích Tenseur

Không gian R2xR’2 là một tập hợp của các tích tenseur của tất cả các vectơ của R2 với tất cả các vectơ của R’2

Không gian R2 ⊗R’2 là một tập hợp của tất cả các tổ hợp tuyến tính của các tích tenseur này

Liệu giữa hai không gian này có sự tương đồng?

Một phần tử V ⊗ V ’ của R2xR’2 là một tổ hợp tuyến tính trên chính nó, phần tử này cũng thuộc R2⊗R’2 nhưng có hay không mối quan hệ hai chiều?

Cho hai vectơ V = vi

i

e ∈ R2 và V ’= v’i

i

e ’ ∈ R’2 Ta có thể biểu diễn các thành phần của T:

1 ' 22 21 12 11

v

v t

t t

) (

t

xt t

với t11 ≠ 0 Nếu ta đ−a ra một dãy 4 số tij tuân theo mối quan hệ trên, khi đó

ta có thể biểu diễn nó nh− là các thành phần trên (πij) của một phần tử của không gian R2xR’2

Nh−ng nếu tij là tuỳ ý không tuân theo quy luật trên thì sự biểu diễn nh− vừa rồi là không thể Điều đó có nghĩa là: T = tij πij ∉ R2xR’2

Kết quả là R2 x R’2 chỉ là tập con của R2⊗R’2 Ta có thể minh hoạ bởi hình vẽ:

Như vậy là một phần tử của R2 ⊗R’2 không hoàn toàn là một “vị trí tức thời” của chất điểm chuyển động nhưng là một tổ hợp tuyến tính của vị trí tức thời

Không gian vectơ R2⊗R’2 rộng hơn R2xR’2 Vả lại không gian

R2xR’2 không hẳn đã là một không gian vectơ bởi một tổ hợp tuyến tính của các phần tử chưa chắc đã cho ta một phần tử của không gian đó

Kết luận: Để có thể mở rộng thêm những quy tắc đã biết từ tính toán vectơ đến khái niệm mới là tính tenseur (V ⊗ V ’) chúng ta phải đưa

ra một tập tích tenseur R2⊗R’2 như là một không gian làm việc

E Biểu diễn vật lý các tenseur: Trong thực tế, trong mỗi phạm vi

sử dụng tenseur, việc biểu diễn vật lý thường xuất phát trực tiếp từ định nghĩa Trong ví dụ mà chúng ta đã từng xem xét ở trên, ta có thể hình dung ra được phần nào biểu diễn tĩnh của các tenseur với tư cách là những tổ hợp tuyến tính πij Những hệ số của các tổ hợp này sẽ là “tọng lượng tĩnh” ứng với 4 tình huống cơ bản:

π11 và π22 biểu diễn những trường hợp mà các chất điểm có xu hướng chuyển động hợp lại với nhau ở vùng lân cận trục OX và OY

π12 và π21 ứng với trường hợp mà các chất điểm chuyển động có

xu hướng chuyển động tới, trục thứ nhất OX, trục thứ hai OY hay ngược lại

Trong cơ học lượng tử, trạng thái động của các điểm chuyển động (phân tử) được biểu diễn bởi các “hàm sóng” Ψ, phần tử của không gian Hilbert (rộng hơn là không gian vectơ) Ta xây dựng các trạng thái

động của cơ sở, cho 2 điểm đặc biệt, bởi tích tenseur của các trạng thái riêng:

Ψij = Ψi ⊗ Ψj’

Một trạng thái động nào đó có thể luôn được khai triển như là một tổ hợp tuyến tính của các trạng thái của cơ sở Trong trường hợp này, đó chính là những bình phương của các hệ số có biểu diễn tĩnh như

là “trọng lượng”

F Có tồn tại tính giao hoán của phép nhân tenseur?

a Chú ý: Chúng ta đã xem xét hai không gian R2 và R’2 là hoàn toàn riêng biệt Trong thực tế xét theo quan điểm vật lý thì chúng có thể

bị nhầm bởi chúng biểu diễn cùng một không gian hình học phẳng Kết qủa là chúng đẳng cấu và những quy tắc thay đổi cơ sở trong đó là tương đương Theo quan điểm toán học thì chúng ta cũng có thể nhầm lẫn như vậy Do đó, không gian vectơ sinh ra bởi πij là tích tenseur của

R2 bởi chính nó: R2⊗R2, và phép nhân tenseur tổ hợp hai vectơ của cùng một không gian:

V ⊗ V ’ ↔ V và V ’ ∈ R2

b Tính giao hoán:

Cho hai vectơ không song song của R2: U và V ∈ R2 Ta lập tích tenseur giữa chúng U ⊗ V ∈R2⊗R’2

Cho hai vectơ khác không song song của R2: W và T với W

không song song với U ; T không song song với V

Điều đó có nghĩa là U và W; V và T là độc lập tuyến tính

Xét trường hợp đặc biệt W= V và T= U mà ta có thể quan tâm tới tính chất không song song của các vectơ này:

Nếu tồn tại tính giao hoá của ⊗, khi đó U ⊗ V = V ⊗ U và như vậy

là mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của hai phần tử Một cách tổng quát thì:

U ⊗ V ≠ V ⊗ U

II Tổng quan về phép nhân tenseur

A Khái quát về Rn: Chúng ta có thể tổng quát hoá R2 ngay lập tức cho Rn với n > 2

Ví dụ: Trong không gian R3 chúng ta có cơ sở 3 vectơ cho phép

định nghĩa 9 phần tử πij = e i ⊗ e j độc lập tuyến tính Những phần tử πijsinh ra không gian vectơ 9 chiều R3 ⊗ R3

Tương tự, Rn ⊗ Rn : n2 chiều

Tuy nhiên chúng ta chỉ xét trong phạm vi của R2 hoặc R3

B Những nét tổng quan về không gian vectơ:

Ta có thể định nghĩa tính tenseur của hai không gian vectơ nào đó nhưng chúng ta chỉ sử dụng hai không gian R3 và R3* trong thực tế

Tương tự như trên chúng ta đã đưa ra tenseur T ∈ R3⊗R3 được

định nghĩa bởi T = tij (e i ⊗e j) = tij πij ,ta sẽ đưa ra các tenseur T ∈

R3* ⊗R3*

T = tij (e*i ⊗ e*j) và kí hiệu e*i ⊗ e*j = πijSau đó là:

Tương tự như trên chúng ta phải xem xét R3 và R3* là hoàn toàn riêng biệt Chúng ta sẽ phân biệt R3⊗R3* từ R3*⊗R3 Sự đồng nhất từ

R3 ⊗R3* vào R3* ⊗R3 đưa ta quay lại việc xem xét tính giao hoán của phép nhân tenseur

Có thể dễ dàng chứng minh được rằng những không gian vectơ sau là hoàn toàn riêng biệt:

R3*⊗R3 ; R3⊗R3* ; R3*⊗R3* ; R3⊗R3 Chúng ta sẽ sử dụng cùng một kí hiệu t để biểu diễn dãy các thành phần của 4 tenseur khác nhau Ta sẽ phân biệt các dãy này bằng

Cũng như vậy, dãy (tji) được kết hợp với dãy của cơ sở πij= e i ⊗

e*j : tenseur có thành phần tji thuộc không gian R3 ⊗R3*

C Cơ sở chuẩn của tích tenseur:

a Định nghĩa: Bốn không gian vectơ đã định nghĩa luôn luôn có thể được biểu diễn bởi những cơ sở nào đó độc lập với nhau

Tuy nhiên, không phải tất cả các cơ sở đều thuận lợi cho việc tính toán Chúng ta đã thấy, khi cơ sở (e i) được chọn trong R3 chúng ta có lợi khi đưa ra R3* với hệ cơ sở đẳng cấu kết hợp (e*i) Điều đó có nghĩa

với nhau rằng những phần tử của chúng, có khả năng biểu diễn các đại lượng vật lý, được định nghĩa theo cách đồng nhất, như là những vectơ của R3 Kết quả là tất cả những thay đổi cơ sở trong R3 dẫn tới một sự thay đổi của cơ sở chuẩn,ảnh hưởng tới sự biến đổi các thành phần của tenseur

Khi ta chuyển từ cơ sở (e i ) sang cơ sở (E I = i

I

a e i), một tenseur của R3⊗R3* được viết là: T= tij (e i ⊗e*j) trở thành T= TIJ(EI ⊗E*J)

Đặc tính đồng nhất của T ảnh hưởng:

TI

J(E I ⊗E*J) = ti

j (e i ⊗e*j) Với e i ⊗e*j =( I

a i j

t (E I ⊗ E*J) Việc khai triển một phần tử của không gian vectơ trên cơ sở duy nhất được rút gọn lại:

I J

T = I i

b a J j i j

t ∀I, J

Ta thấy rằng chỉ số I (hoặc i) biến đổi như là phản biến (B= A-1)

và chỉ số J (hoặc j) biến đổi theo cách hợp biến (ma trận A)

Chúng ta nhận thấy rằng quy ước tương đối về độ cao của chỉ số theo biến kết hợp vẫn còn có giá trị

t kết hợp với Trong R3⊗R3 : tIJ = I

được viết rất đơn giản khi ta tuân thủ việc kết hợp giữa độ cao của chỉ

số và biến kết hợp

Lợi ích của chỉ số kép của các đại lượng t hay π thể hiện như sau: Khi chúng ta thay thế nó bởi một chỉ số đơn giản ( i=1, ,9), các nguyên tắc về thay đổi cơ sở không thể được diễn đạt đơn giản như vậy

πI

J = I i

b πij

bởi những hệ số mới khi đó là những hàm phức tạp của các phần tử của

ma trận ban đầu

Chú thích: Xem lại phần kí hiệu: t” = v1v’1 v v

D Tích tenseur của một dãy hai chỉ số:

a Ví dụ: Xét một toán tử c Toán tử này thực hiện phép chuyển tất cả các vectơ V của R3 thành một véctơ khác U của R3

∀ V ∈ R3 → u = c(v’) ∈ R3

Sự kết hợp giữa U và V đ−ợc định nghĩa là độc lập với mọi cơ sở:

đây là một ánh xạ thực (inteinsèque) Toán tử c có thể hoàn toàn đ−ợc

định nghĩa bởi tác động của nó lên tất cả các vectơ của một cơ sở (e i):

Nếu ta chú ý sự kết hợp của các chỉ số ( i

j

c vi), ta nhận thấy sự xuất hiện tích của ma trận vuông [ i

1 3 1 2 1

1 c c c

ui= i j

c vj

2

Nếu bây giờ chúng ta đổi cơ sở (E I = a I e i), các vectơ thực U và

V vẫn không thay đổi nh−ng ta có thể viết:

c ] Hai ma trận này biểu diễn cùng một toán

cử C trong hai cơ sở khác nhau

Chúng ta nhận thấy rằng các phần tử của ma trận kết hợp với một toán tử sẽ biến đổi khi ta thay đổi cơ sở: ta nói rằng dãy hai chỉ số ( i

số nhỏ hơn theo cách hợp biến Điều đó có nghĩa là dãy ( i

j

c ) biến đổi nh− là một dãy của các thành phần của một phần tử của R3⊗R3* hoặc

C VJ = I

i

b i j

c vj = I

i

b i j

c a J jVJ

I J

C = I

i

b i j

c a J j ∀I, J

luôn đúng trong tất cả các cơ sở bởi như ta đã biết trong cơ sở kết hợp với (E I ):

I J

nó như là dãy các thành phần của một phần tử của R3⊗R3* Trong thực

tế, R3⊗R3*chứa tất cả các tenseur có dạng T = i

j

t (e i ⊗ e*i) bởi sự đồng nhất của các không gian đẳng cấu mà các phần tử của nó tuân theo cùng một quy luật thay đổi cơ sở

Chú ý rằng chúng ta hoàn toàn có thể đồng nhất nó với dãy các thành phần của một phần tử của R3*⊗R3 bởi vì các quy luật thay đổi cơ

sở là hoàn toàn giống nhau Phép biểu diễn tenseur của dãy ( i

b Khái quát chung:

Theo cách tương đương, nếu một dãy nào đó của 9 vô hướng, hàm (dãy) của cơ sở (e i) của R3 và các phần tử được xác định vị trí qua chỉ

số đôi, được biến đổi theo cách mỗi chỉ số, được kết hợp với các phần

tử của ma trận A hoặc ma trận đảo, ta nói rằng dãy này thuộc tenseur

Điều đó có nghĩa là ta có thể biểu diễn dãy này, một trong chúng

là gốc, vật lý hay toán học, như là dãy của các thành phần của một tenseur

Ta sẽ bố trí các chỉ số ở độ cao ứng với biến của nó Ba trường hợp có thể được biểu diễn theo sự biến đổi bởi sự thay đổi cơ sở gây ra:

1 Hai lần ma trận A (khi ta chuyển từ cơ sở cũ sang cơ sở mới)

Ta nói rằng dãy này là hai lần hợp biến và ta sẽ viết 2 chỉ số ở dưới Dãy (cij) có thể được xem như là dãy của thành phần của một phần tử:

Trường hợp này ứng với ví dụ mà chúng ta xét ở trên Khi đó dãy

là một lần hợp biến và một lần phản biến Ta nói rằng: dãy là hỗn hợp Khi đó ta có:

C= i j

Để một dãy có tính tenseur thì điều kiện cần và đủ là dãy đó phải

là hàm của cơ sở đã chọn trong R3 và rằng sự biến đổi bởi sự thay đổi

có sở, với mỗi chỉ số, có dạng phản biến hoặc hợp biến

E Một vài ví dụ cơ bản:

a Dãy các phần tử của một ma trận chuyển cơ sở:

Chúng ta đã thấy dãy của các phần tử của ma trận kết hợp với một cấu tử có tính chất của một tenseur Và chúng ta cũng biết ma trận cũng

có thể dùng để viết những quan hệ chuyển cơ sở ở trên, ta đã xét đến 2

ma trận A và B

Dãy các phần tử của một ma trận đổi cơ sở có tính tenseur hay không? Trước hết phải trả lời là không Trong thực tế, một ma trận như vậy được dùng để chuyển từ một cơ sở được xác định bởi (e i) sang một

cơ sở khác đ−ợc xác định bởi (E I ) Dãy các phần tử này chỉ có một nhiệm vụ là liên kết hai cơ sở đặc biệt với nhau mà thôi

Dãy này không phải là hàm của cơ sở biểu diễn R3

b Dãy Keoneckơ i

j

δ hỗn hợp Xét dãy Keonecker 2 chỉ số ( i

j

δ ) đ−ợc định nghĩa:

i j

δ = 1 với i = j = 0 với i ≠ j

Ta xem xét dãy này có tính chất của một tenseur hay không?

Hay nói một cách khác đi: Xét một tenseur T ∈ R3⊗R3* và có các thành phần trong một cơ sở đặc biệt (e i) là i

j

δ Các đặc điểm này có biến đổi với các cơ sở khác nhau hay không?

δ

Trong một cơ sở khác bất kì (E I), với E I = i

I

a e i, những thành phần mới của T là:

I J

a x 1 = I

i

b i J

a Nếu ta lấy tổng theo i, tích của 2 ma trận B và A có dạng

I J

T = I

i

b i J

Lần này chúng ta xét tính tenseur của một dãy Keonecker có 2 chỉ số cùng được kí hiệu phía dưới

Như trước đây chúng ta sẽ xét tenseur T = tij(e*i ⊗e*j) của

R3*⊗R3* mà các phần tử của nó bằng δij trong một cơ sở đã cho Dãy (tij) là 2 lần hợp biến

1

i

i I

2 3 1

2 3 2

2 2 1

1 3 1

2 1 1

a a

a

a a

a

a a

2a a a a a

Kết quả nhận được không cho ta TIJ = δIJ Vậy dãy (δij) không có tính chất của một tenseur

Tiến hành tương tự ta có cùng một kết quả với (δij) Với những ví

dụ mà ta vừa xét, ta thấy rõ vai trò quan trọng của các chỉ số khi ta tiến hành thay đổi cơ sở

2 3 2 2

1 3 1 2

a a

a a a a

Nếu ta xác định tất cả các tích vô hướng đối với mọi cơ sở của R3,

ta sẽ được một dãy 2 chỉ số, là làm của cơ sở đã chọn trong R3 Ta tiến hành xét tính tenseur của dãy này

Điều quan trọng hàng đầu về mặt hình học đó là việc nhận viết 9 tích vô hướng gij xác định chiều dài vectơ cơ sở và các góc mà chúng

Nhưng ta cũng có thể tiến hành: uigij = uj (tính đối xứng của gijcho ta: uigij≡ uigji) Từ đó u.v=ujvj

Ta nhận thấy lợi ích trong việc có thể tính toán một cách đơn giản các thành phần hợp biến của các vectơ xuất phát từ gij, đó là việc rút gọn đơn giản tích vô hướng của 2 vectơ:

u.v= u’v = u.vj

vi = gij vj

Điều này đúng với mọi cơ sở (e i) mà không nhất thiết phải là cơ

sở trực giao

Xét trường hợp đặc biệt khi cơ sở trực giao, ta có gij = e i.e j= δij Vậy thì ui= gijuj = uj Mỗi thành phần hợp biến bằng một thành phần phản biến tương ứng

Chú ý: Khi gij = δij, đặc tính tenseur của (gij) không kéo theo đặc tính của tenseur của (δij) Sự bằng nhau của 2 dãy này không có bất kì

đặc điểm đồng nhất nào bởi chúng chỉ được thực hiện trong cơ sở đặc biệt là hệ cơ sở trực giao

e Dãy (gij): Nếu ta quy ước biểu diễn một chỉ số là chỉ số cột và chỉ số còn lại là chỉ số dòng thì (gij) sẽ được biểu diễn dưới dạng ma trận Trong thực tế ta thấy (gij), 2 lần hợp biến, không có bất cứ một sự

đổi cơ sở nào cũng như không kết hợp với bất cứ một toán tử nào

Tính đối xứng của gij cho ta 2 khả năng kết hợp chỉ số dòng và cột hoàn toàn tuỳ ý

Xét ví dụ sau với quy ước chỉ số bên phải là chỉ số cột và bên trái

là chỉ số dòng

g11 g12 g13 [gij] = g21 g22 g23

g31 g32 g33 Người ta chỉ ra rằng, như sẽ chấp nhận nó sau này, tính độc lập tuyến tính của (e i) đảm bảo tính chất trên của ma trận [gij] Ta quay trở lại với kí hiệu có thể đảo lại với mọi vectơ v, có một song

ánh giữa các vectơ của R3 và các đẳng cấu của nó trong R3*

Ma trận [gij] chấp nhận một sự đảo ngược mà chúng ta sẽ kí hiệu [gij] Ma trận này cũng đối xứng

vi= gijvj

Tích của hai ma trận đ−ợc viết một lần:

gijgjk= δik(ma trận đơn vị) hoặc gjigjk= δik có tính tới tính đối xứng của hai ma trận

Trong cơ sở mới (E I ), các dãy đ−ợc biến đổi từ (gij) và (gij) lần l−ợt là (GIJ) và (GIJ), với định nghĩa:

GIJ GJK= δI

k

Nh−ng chúng ta đã thiết lập đ−ợc: GJK = k ik

K j

GIJgji gik j

J

a = I i

b

GIK= I

i

b b k Kgik

Với định nghĩa này, tích vô hướng của hai vectơ của R3 bằng tích vô hướng trong R3* của 2 vectơ đẳng cấu với nó

F Từ vựng và các cách kí hiệu:

Ta phải thừa nhận rằng việc xây dựng những quy ước thống nhất

về tenseur là rất tiện lợi cho công tác tính toán

Một tenseur hoàn toàn có thể được định nghĩa bởi dãy các thành phần trong cơ sở chuẩn kết hợp với một cơ sở của R3 Một dãy được

đánh số biến đổi khi cơ sở bị chuyển được coi như là một tenseur Như vậy, việc tính toán tenseur sẽ dẫn tới việc thao tác trên các dãy được

đánh số

Đặc biệt, một tenseur quy ước viết T = i

j

t (e i ⊗e*j) sẽ được biểu diễn bởi dãy ( i

j

t ) Ta có thể đọc là “tenseur i

j

t n Tương tự, đẳng thức giữa 2 vectơ T = i

j

t ) = (r j i) Hay ta có thể viết đơn giản là:

ngoại trừ trường hợp ta quy ước chỉ số nghịch

Một số cách viết:

Một tenseur trong (inteinsèque) trước tiến phải là một bất biến với sự thay đổi cơ sở cho dù ta nói “tenseur tijn 2 lần phản biến bởi các chỉ số của dãy (tij) biến đổi với ma trận B = A-1

III Tích tenseur của n không gian

A Tích của nhiều hơn hai không gian :

i j i

t =

Như ta đã biết phép nhân tenseur cho phép ta có được những phần

tử của một dạng mới, là kết hợp một cách đơn giản 2 phần tử thuộc các không gian vectơ không nhất thiết phải đồng dạng Những tiên đề (đặc biệt là tiên đề về tính độc lập tuyến tính) cho ta khả năng tạo ra một không gian có dạng một không gian vectơ

Phép nhân tenseur có thể được tiến hành giữa các phần tử của các không gian bất kì hay ta có thể nói tích tenseur R3⊗R3; R3*⊗R3;

R3⊗R3*; R3*⊗R3* là các không gian vectơ

Ta kí hiệu không gian mới (R3 ⊗R3*) ⊗ R3 với 27 phần tử độc lập tuyến tính (e i ⊗ e*j)⊗e k Không gian này là tích tenseur của 3 không gian, mỗi thừa số trong chúng có thể là R3 hay R3*

Nhưng phần tử của không gian này cũng được gọi là tenseur, có thể được biểu diễn bởi dãy thành phần trên cơ sở chuẩn (e i ⊗e*j) ⊗e k Dãy này được kí hiệu bởi 3 chỉ số

j

t k [(e i ⊗e*j) ⊗e k ] ∈ (R3⊗R3*)⊗R3Trong trường hợp thay đổi cơ sở, quy tắc viết như sau:

(E I ⊗E*J) ⊗ E k = i

I

a I j

B Tính chất kết hợp của tích tenseur:

Nếu bây giờ chúng ta nhân các phần tử của R3 với các phần tử của (R3* ⊗R3), chúng ta sẽ xây dựng được không gian R3 ⊗(R3* ⊗R3) sinh ra bởi các phần tử e i ⊗(e*J⊗e k )

Xét lại ví dụ về vị trí tức thời của 2 chuyển động: gọi v và v’ là các vị trí của chất điểm 1&2; trên v ⊗ v’ biểu diễn vị trí nhất thời của 2 chất điểm Chín tích của dạng này độc lập tuyến tính (π = e ⊗e ), sinh

ra R3 ⊗R3 Xét chất điểm chuyển động thứ 3 có vị trí v” ∈ R3 Phần tử (v ⊗ v’) ⊗ v” biểu diễn tất cả các vị trí tức thời của 3 chất điểm này

Ta nhận thấy rằng v⊗(v’⊗ v”) và (v ⊗ v’)⊗ v” là hoàn toàn tương

đương bởi ta có thể xét 2 trong số 3 chất điểm một cách tuỳ ý

Xét biểu diễn hình học sau:

Ta đã viết 3 vectơ từ trái sang phải theo số thứ tự của các chất

điểm Do đó sự thay đổi vị trí của vectơ trong tích sẽ dẫn tới sự thay đổi

vị trí của điểm Như vậy thông qua biểu diễn trên ta thấy phép nhân tenseur không có tính giao hoán

C Bậc và dạng của tenseur: Ta hoàn toàn có thể thiết lập được tích tenseur của n không gian vectơ Các phần tử của không gian mới này là những tenseur bậc n trên R3 Dãy của các phần tử gồm có n chỉ số:

Tenseur i

j

t kl là một tenseur bậc 4 (hay còn gọi là hạng 4) Nó là một phần tử của R3⊗R3*⊗R3*⊗ R3 Ta có thể có các dạng khác nhau bằng cách thay đổi vị trí cá chỉ số

Dạng của một tenseur ứng với dãy xác định của các tích tenseur

được tiến hành từ trái qua phải Cách viết các thành phần của tenseur kéo theo dạng của nó thông qua vị trí chính xác của các chỉ số

Chiều cao của các chỉ số kéo theo sự biến đổi của dãy: Xét các ví

dụ minh hoạ:

i

j

t kl: tenseur bậc 4, 2 lần hợp biến và 2 lần phản biến (tenseur hỗn hợp)

tijk: tenseur bậc 3, phản biến toàn phần

tijklm: tenseur bậc 5, hợp biến toàn phần

D Đối xứng và phản đối xứng của tenseur:

a Đối xứng so với 2 chỉ số cùng độ cao:

Hai biểu thức trên chứa cùng các phần tử của ma trận A hoặc B

Nó chỉ khác nhau bởi các vị trí của chỉ số trong tenseur Do i

j

t kl = tkjilnên ta có ngay đ−ợc: I

J

T KL = K

J

T IL Chúng ta đã định nghĩa tính đối xứng của một tenseur với 2 chỉ số phản biến nên ta có thể suy ra tính đối xứng của một tenseur với 2 chỉ

số hợp biến

Ng−ợc lại, một cách tổng quát tính đối xứng của một tenseur hỗn hợp so với 2 chỉ số ở độ cao khác nhau không phải là một thuộc tính: nó chỉ ngẫu nhiên xảy ra trong một cơ sở đặc biệt

d Phân tích một tenseur bất kì thành một phần đối xứng và một phần phản xứng:

Xét một tenseur bất kì tij

kl Ta sẽ chứng minh rằng có thể phân tích một cách duy nhất thành tổng của các tenseur Gọi phần Sij

kl là đối xứng với i và j còn Aijkl là phản đối xứng với i và j

kl) Như vậy, ta luôn phân tích được tijkl thành một phần đối xứng và một phần phản xứng

Ta chỉ cần chứng minh A & S là các tenseur:

Trong một cơ sở khác ta có : SIJKL =

2

1

(TIJKL+ TJIKL) với TIJ

KL = I

i

b I j

E Teseur cùng bậc và cùng biến:

Xét những không gian tương đồng R3⊗R3*⊗R3 và R3*⊗R3⊗R3 Các cơ sở cơ bản kết hợp với (e i) trong các không gian này lần lượt là (e i ⊗e*j ⊗e k) và (e*i ⊗ e j ⊗e k ); các thành phần của tenseur u và v của không gian này có dạng: uijk và vijk

Hai tenseur này có cùng bậc 3 và cùng biến (2 lần phản biến và 1 lần hợp biến) Nếu ta lấy một tenseur bất kì uijk trong R3⊗R3*⊗R3 thì

luôn tồn tại trong R3*⊗R3⊗R3 một tenseur u’jik có cùng thành phần và

đặc tính này biến đổi trong tất cả các cơ sở chuẩn bởi lẽ sự chuyển của

2 dãy được thực hiện bởi cùng các phần tử của ma trận:

và cũng tương đương với dãy (u”ik

J) kết hợp với một tenseur của

R3 ⊗R3 ⊗R3* Bởi vậy, nếu có thể với một đại lượng vật lý thì biểu diễn tenseur dạng uijk cũng sẽ được biểu diễn bởi u’jik hay u”ikj Chúng ta đã thấy rằng dãy ( i

j

c ) của các phần tử của ma trận kết hợp với một toán tử

có thể được xem xét như là dãy thành phần của tenseur i

j

c ∈ R3* ⊗R3hoặc của tenseur i

j

c ∈ R3* ⊗R3 Một cách tổng quát, một dãy n chỉ số, p lần phản biến và (n-p) lần hợp biến thì ta có thể kết hợp với cnp=

)!

(

!

p n p

Trong thực tế chúng ta sẽ biết nhiều hơn vai trò của việc nâng, hạ chỉ số mà nó cho phép ta viết đúng các tenseur:

cijk → i

j

c k → cijk → cijk v.v Nếu chúng ta không tuân theo các quy tắc trên thì ta có thể

cijk → i

j

c k → ck

ij → cijk và cjik

vô tình thay đổi 2 trong số chúng

VD: Nếu cijk là phản xứng với i và j, ta sẽ có nguy cơ làm thay đỏi dấu trong quá trình biến đổi các lớp

Chú ý: Sự đồng nhất của uijk với ujik chấp nhận tính giao hoán