KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

Học viên cần hiểu được thế nào là một giả thuyết thống kê, các sai lầm và mức ý nghĩa trong kiểm định, tiêu chuẩn kiểm định cũng như nắm được các bước tiến hành để kiểm định một giả thuy

Bài 4: Kiểm định giả thuyết thống kê

Hướng dẫn học

Bài này giới thiệu những vấn đề chung liên quan đến việc kiểm định một giả thuyết thống

kê Học viên cần hiểu được thế nào là một giả thuyết thống kê, các sai lầm và mức ý nghĩa trong kiểm định, tiêu chuẩn kiểm định cũng như nắm được các bước tiến hành để kiểm định một giả thuyết thống kê Từ đó học viên có thể thực hiện được các kiểm định trong thực tế về giá trị trung bình hay tỷ lệ theo một tiêu thức nào đó của một tổng thể hay hai tổng thể với nhau

Để học tốt bài này, sinh viên cần tham khảo các phương pháp học sau:

 Học đúng lịch trình của môn học theo tuần, làm các bài luyện tập đầy đủ và tham gia thảo luận trên diễn đàn

 Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết Thống kê, PGS TS Trần Thị Kim Thu chủ biên, NXB Đại học KTQD, 2012

 Sinh viên làm việc theo nhóm và trao đổi với giảng viên trực tiếp tại lớp học hoặc qua email

 Tham khảo các thông tin từ trang Web môn học

Nội dung

Bài này trình bày khái niệm về giả thuyết thống kê và các vấn đề liên quan như sai lầm và mức ý nghĩa trong kiểm định, tiêu chuẩn kiểm định Ngoài ra bài học cũng hướng dẫn các bước tiến hành một kiểm định giả thuyết thống kê nói chung và đi vào các trường hợp cụ thể khi kiểm định giả thuyết thống kê về giá trị trung bình hoặc tỷ lệ theo một tiêu thức nào đó của một tổng thể chung và của hai tổng thể chung

Mục tiêu

Sau khi học xong bài này, sinh viên có khả năng:

 Trình bày được khái niệm về giả thuyết thống kê

 Phân biệt được các dạng giả thuyết thống kê khác nhau

 Phân biệt được các sai lầm trong kiểm định

 Mô tả được các bước tiến hành một kiểm định giả thuyết thống kê

 Vận dụng để kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình của một tổng thể chung và của hai tổng thể chung trong thực tế

 Vận dụng để kiểm định giả thuyết về tỷ lệ của một tổng thể chung và của hai tổng thể chung trong thực tế

T ình huống dẫn nhập

Liệu sản phẩm có mang lại hiệu quả như quảng cáo?

Cũng trong chiến dịch quảng bá sản phẩm kem dưỡng làm trắng da mới của nhãn hàng Pond’s,

bộ phận truyền thông của hãng đã chọn ra hai nhóm nữ thanh niên tuổi từ 15-25 để tiến hành khảo sát Một nhóm gồm những bạn có sử dụng sản phẩm kem dưỡng làm trắng da mới của Pond’s, nhóm còn lại chỉ sử dụng sản phẩm kem dưỡng da thông thường Thông qua cuộc khảo sát này, nhãn hàng muốn khẳng định chất lượng cũng như tính trung thực trong quảng cáo sản phẩm mới của hãng

1 Làm thế nào để chứng minh được chất lượng cũng như tính trung thực trong quảng cáo sản phẩm mới của nhãn hàng Pond’s?

2 Có thể kiểm tra được những gì từ cuộc khảo sát này?

Bài 4: Kiểm định giả thuyết thống kê Khi nghiên cứu các hiện tượng kinh tế xã hội bằng các phương pháp thống kê, cùng với mục đích suy rộng các tham số như: trung bình, tỷ lệ theo một tiêu thức nào đó của tổng thể mẫu cho tham số đó của tổng thể chung, đồng thời dựa vào quy luật phân phối xác suất chúng ta còn sử dụng để kiểm định giả thuyết về tổng thể chung

4.1 Một số vấn đề chung về kiểm định giả thiết

4.1.1 Giả thuyết thống kê

Giả thuyết thống kê là giả thuyết về một vấn đề nào đó của tổng thể chung Đó là các

giả thuyết về dạng của phân phối xác suất; về các tham số như trung bình, tỷ lệ, phương sai, về tính độc lập Ví dụ như: phương pháp điều trị A chữa khỏi 90% bệnh nhân; tuổi thọ của hai loại bóng đèn A và B là như nhau

Giả thuyết mà ta muốn kiểm định gọi là giả thuyết không và ký hiệu là H0 Giả thuyết đối

lập với nó được gọi là giả thuyết đối (hay giả thuyết thay thế) và được ký hiệu là H1 Giả thuyết không và giả thuyết đối tạo nên cặp giả thuyết thống kê Vì các giả thuyết thống kê

có thể đúng hoặc có thể sai nên cần kiểm định, tức là tìm ra kết luận về việc thừa nhận hay

bác bỏ giả thuyết đó Việc kiểm định này gọi là kiểm định thống kê vì thực hiện việc này

dựa vào thông tin thực nghiệm của mẫu để rút ra kết luận

Giả thuyết thống kê có thể được trình bày dưới nhiều dạng khác nhau Đối với giả thuyết không luôn tồn tại dấu bằng (=) trong biểu thức, có thể là bằng (=), lớn hơn hoặc bằng (≥) hay nhỏ hơn hoặc bằng (≤) Tuỳ theo dạng của các giả thuyết này mà lựa chọn và áp dụng kiểm định hai phía hay kiểm định một phía

 Kiểm định 2 phía là bác bỏ giả thuyết H0 khi tham số đặc trưng của mẫu cao hơn hoặc thấp hơn so với giá trị của giả thuyết về tổng thể chung Kiểm định 2 phía có

2 miền bác bỏ

Ví dụ: Giả thuyết H0:  = 0

Giả thuyết H1:   0

Miền bác bỏ kiểm định hai phía

 Kiểm định phía trái là bác bỏ giả thuyết H0 khi tham số đặc trưng của mẫu nhỏ hơn một cách đáng kể so với giá trị của giả thuyết H0 Miền bác bỏ nằm ở phía trái của đường phân phối

Ví dụ: Giả thuyết H0:  = 0

Giả thuyết H1:  < 0

Miền bác bỏ kiểm định phía trái

 Kiểm định phía phải là bác bỏ giả thuyết H0 khi tham số đặc trưng của mẫu lớn hơn một cách đáng kể so với giá trị của giả thuyết H0 Miền bác bỏ nằm ở phía phải của đường phân phối

Ví dụ: Giả thuyết H0:  = 0

Giả thuyết H1:  > 0

Miền bác bỏ kiểm định phía phải

Mặc dù ý tưởng về việc đặt các giả thuyết là không khó, tuy nhiên trong những trường hợp cụ thể điều đó lại không hề đơn giản Việc đặt giả thuyết đúng đắn là công việc quan trọng, nếu không các công việc tiếp theo sẽ trở nên vô nghĩa

Khi phải lựa chọn giữa hai giả thuyết H0 và H1 ta có thể mắc phải hai loại sai lầm: Sai

lầm loại 1 là bác bỏ giả thuyết H0 khi nó đúng; ngược lại, thừa nhận H0 khi nó sai là

sai lầm loại 2 Một kiểm định thống kê lý tưởng là kiểm định làm cho cả sai lầm loại 1

và sai lầm loại 2 nhỏ nhất, nhưng điều đó không bao giờ tồn tại trong thực tế Nếu chúng ta làm giảm sai lầm loại 1 thì sẽ làm tăng sai lầm loại 2 và ngược lại Có 4 khả năng có thể xảy ra khi tiến hành kiểm định giả thuyết thống kê như sau:

Kết luận Thực tế Chấp nhận H 0 Bác bỏ H 0 nhận H 1

Xác suất của việc mắc sai lầm loại 1 gọi là mức ý nghĩa, được ký hiệu là  Xác suất

mắc sai lầm loại 2 được ký hiệu là  Trị số 1 -  được gọi là lực của kiểm định Lực của kiểm định là xác suất bác bỏ H0 khi H0 sai Giữa  và  cũng có mối liên hệ tương

tự như mối liên hệ giữa hai loại sai lầm Xác suất mắc sai lầm loại này có thể giảm đi

Bài 4: Kiểm định giả thuyết thống kê nếu tăng xác suất mắc sai lầm loại kia Sử dụng mối liên hệ này để ra quyết định cần chọn mức ý nghĩa thích hợp trên cơ sở xem xét những chi phí tổn thất sẽ xảy ra đối với cả hai loại sai lầm

Chẳng hạn, một bệnh nhân nào đó đi chuẩn đoán bệnh, nếu mắc sai lầm loại I có nghĩa

là bác bỏ tình trạng bệnh tật (cho rằng người này không có bệnh) nhưng trên thực tế người này đang có bệnh có thể dẫn đến bệnh nhân tử vong vì không được điều trị, thì bác sĩ sẽ nghiêng về phía sai lầm loại 2, thà chữa bệnh cho người không bị bệnh còn hơn là dẫn đến bệnh nhân tử vong và do đó sẽ chọn mức ý nghĩa kiểm định thấp Thông thường  được lấy là 0,01; 0,02; 0,05 hoặc 0,10 Từ mức ý nghĩa kiểm định

 có thể xác định miền bác bỏ và miền chấp nhận giả thuyết H0

Tiêu chuẩn kiểm định là một thống kê nào đó tuân theo quy luật phân phối xác suất xác định (một số quy luật phân phối thông dụng như: quy luật phân phối chuẩn, phân phối T-Student, phân phối 2, phân phối Fisher ) khi giả thuyết không đúng Trong tập hợp các kiểm định thống kê có cùng mức ý nghĩa  (tức là có xác suất mắc sai lầm loại 1 như nhau), kiểm định nào có xác suất mắc sai lầm loại 2 nhỏ nhất sẽ được xem

là “tốt nhất”

Để tiến hành một kiểm định giả thuyết thống kê cần thực hiện tuần tự các bước sau:

 Phát biểu giả thuyết H0 và giả thuyết đối H1

 Định rõ mức ý nghĩa  (xác suất mắc sai lầm loại 1)

 Chọn tiêu chuẩn kiểm định

 Tính giá trị của tiêu chuẩn kiểm định từ mẫu quan sát

 Kết luận bác bỏ hay chấp nhận H0 tuỳ theo giá trị của tiêu chuẩn kiểm định rơi vào miền bác bỏ hay chấp nhận Cụ thể:

o Nếu giá trị của tiêu chuẩn kiểm định thuộc miền bác bỏ: H0 sai, bác bỏ giả thuyết H0

o Nếu giá trị của tiêu chuẩn kiểm định thuộc miền chấp nhận: Trong trường hợp này không nên hiểu rằng H0 hoàn toàn đúng mà chỉ nên hiểu rằng qua mẫu cụ thể này chưa đủ cơ sở để bác bỏ H0

4.2 Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình

4.2.1 Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình của một tổng thể chung

Giả sử lượng biến của tiêu thức X trong tổng thể chung phân phối theo quy luật chuẩn với trung bình là  và phương sai là 2 Ký hiệu: N (, 2) Ta chưa biết , nhưng nếu

có cơ sở để cho rằng nó bằng 0, ta đưa ra giả thuyết thống kê H0:  = 0

Để kiểm định giả thuyết này, từ tổng thể chung ta tiến hành điều tra chọn mẫu ngẫu nhiên n đơn vị và tính được trung bình mẫu là x

Để chọn tiêu chuẩn kiểm định thích hợp, ta xét các trường hợp sau:

4.2.1.1 Phương sai của tổng thể chung 2 đã biết

Tiêu chuẩn kiểm định được chọn là thống kê z:

x μ

z σ/ n





Nếu giả thuyết H0 đúng, ta có:

x μ0

z σ/ n





Đại lượng z phân phối theo quy luật chuẩn hoá N(0,1) Tuỳ thuộc vào dạng của giả thuyết đối H1 mà miền bác bỏ được xây dựng theo các trường hợp sau:

Kiểm định phía phải: Giả thuyết H0:  = 0

H1:  > 0 Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng N(0,1) tìm được Z Nếu z > Z,

ta bác bỏ giả thuyết H0

Kiểm định phía trái: Giả thuyết H0:  = 0

H1:  < 0 Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng N(0,1) tìm được Z Nếu

z < - Z ; ta bác bỏ giả thuyết H0

Kiểm định hai phía: Giả thuyết H0:  = 0

H1:   0 Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng N(0,1) tìm được Z/2 Nếu

z > Z/2; ta bác bỏ giả thuyết H0

Ví dụ: Bánh qui bơ của hãng Hải hà được đóng bằng máy với trọng lượng tịnh là 454

gram/hộp với độ lệch tiêu chuẩn là 7,9 gram Mặc dù trọng lượng tịnh thực tế của các hộp bánh có thể dao động chút ít xung quanh mức 454 gram này nhưng với công ty, điều quan trọng là trọng lượng tịnh trung bình của các hộp phải là 454 gram Để kiểm tra xem liệu bánh có được đóng đủ ở mức cần thiết hay không, bộ phận đảm bảo chất lượng đã chọn điều tra ngẫu nhiên một mẫu gồm 50 hộp Trọng lượng tịnh trung bình của mẫu này tính được là 451,2 gram Với mức ý nghĩa 5%, hãy nhận định xem liệu bánh có được đóng đủ trọng lượng cho một hộp không?

Gọi  là trọng lượng tịnh trung bình của một hộp bánh

Ta cần kiểm định cặp giả thuyết sau:

H0:  = 454 (Bánh được đóng đủ trọng lượng cần thiết)

H1:  < 454 (Bánh không được đóng đủ trọng lượng cần thiết)

x μ0 451, 2 454

Tra bảng: Z = Z0,05 = 1,64

Ta thấy z < - Z nên với mẫu đã nghiên cứu, ta có thể bác bỏ H0 và kết luận bánh không được đóng đủ trọng lượng cần thiết ở mức ý nghĩa 0,05

Bài 4: Kiểm định giả thuyết thống kê

Trong thực tế khi tiến hành kiểm định chúng ta thường không biết trước phương sai của tổng thể chung Khi đó để lựa chọn tiêu chuẩn kiểm định chúng ta cần xét đến kích thước của mẫu điều tra

a Trường hợp mẫu lớn (n  30)

Mặc dù chưa biết phương sai tổng thể chung nhưng tổng thể mẫu có quy mô lớn, theo định lý giới hạn trung tâm, trong trường hợp này ta vẫn dùng tiêu chuẩn kiểm định như đối với trường hợp đã biết phương sai tổng thể chung, trong đó độ lệch tiêu chuẩn () được thay bằng độ lệch tiêu chuẩn mẫu (S)

n

x t

S/





Trong đó:

1

2







n

x x

n i i

Nếu H0 đúng thì t sẽ phân phối theo quy luật Student với (n - 1) bậc tự do

Tuỳ thuộc vào giả thuyết đối H1 mà miền bác bỏ được xây dựng theo các trường hợp sau:

Kiểm định phía phải: Giả thuyết H0:  = 0

H1:  > 0 Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng tìm giá trị của t,(n -1) Nếu

t > t,(n -1) , ta bác bỏ giả thuyết H0

Kiểm định phía trái: Giả thuyết H0:  = 0

H1:  < 0 Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng tìm giá trị của t,(n -1) Nếu

t < - t,(n -1), ta bác bỏ giả thuyết H0

Kiểm định hai phía: Giả thuyết H0:  = 0

H1:   0 Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng tìm giá trị của t/2,(n -1) Nếu

|t| > t/2,(n -1), ta bác bỏ giả thuyết H0

Trong thực tế vì quy mô mẫu lớn (n ≥30) nên thống kê t phân phối xấp xỉ chuẩn, cho nên cũng có thể so sánh tiêu chuẩn kiểm định với giá trị Z

Ví dụ: Chủ đầu tư một dự án nhà ở tiết lộ với khách hàng tiềm năng rằng, một căn hộ

có 2 phòng ngủ ở tòa nhà mới xây thuộc dự án được cho thuê với giá là 587$/tháng

Để kiểm tra, người khách hàng này đã thu thập thông tin về 50 căn hộ có 2 phòng ngủ thuộc dự án và xác định được tiền cho thuê một căn hộ trung bình là 599,5$/tháng với

độ lệch tiêu chuẩn là 84,84$ Với mức ý nghĩa 0,02 hãy kiểm định xem thông tin của chủ đầu tư dự án trên có đúng không

Gọi  là giá thuê trung bình một căn hộ có 2 phòng ngủ thuộc dự án

Ta cần kiểm định giả thuyết:

H0:  = 587

H1:   587

Ta có: x 0 599,5 587

S / n 84,84 50

Tra bảng: t/2,(n-1) = Z0,01 (49) = 2,403

Vì t < t/2, (n-1) nên với mẫu đã nghiên cứu có thể kết luận rằng chưa đủ cơ sở để bác

bỏ H0, tạm thời chấp nhận thông tin từ chủ đầu tư dự án là đúng

b Trường hợp mẫu nhỏ (n < 30)

Trong trường hợp khi chưa biết phương sai tổng thể chung và quy mô mẫu nhỏ, thì tiêu chuẩn kiểm định được chọn là thống kê t:

n

x t

S/

μ0





Người ta đã chứng minh được rằng nếu H0 đúng thì t sẽ phân phối theo quy luật Student với (n - 1) bậc tự do

Tuỳ thuộc vào giả thuyết đối H1 mà miền bác bỏ được xây dựng theo các trường hợp sau:

Kiểm định phía phải: Giả thuyết H0:  = 0 ;

H1:  > 0 Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng tìm giá trị của t,(n -1) Nếu

t > t,(n -1) , ta bác bỏ giả thuyết H0

Kiểm định phía trái: Giả thuyết H0:  = 0

H1:  < 0 Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng tìm giá trị của t,(n -1) Nếu

t < - t,(n -1), ta bác bỏ giả thuyết H0

Kiểm định hai phía: Giả thuyết H0:  = 0

H1:   0 Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng tìm giá trị của t/2,(n -1) Nếu

|t| > t/2,(n -1), ta bác bỏ giả thuyết H0

Ví dụ: Theo công bố của một nghiên cứu về chi tiêu hộ gia đình ở thành thị, năm

2012, trung bình mỗi hộ đã phải trả 1123 nghìn đồng một tháng cho tiêu dùng năng lượng Để kiểm tra thông tin này, người ta chọn 15 hộ gia đình và tính được chi tiêu dùng năng lượng trung bình mỗi hộ là 1344,27 nghìn đồng một tháng với độ lệch tiêu chuẩn là 231 nghìn đồng Ở mức ý nghĩa 5%, liệu kết luận của nghiên cứu có thấp hơn thực tế hay không?

Gọi µ là mức chi cho tiêu dùng năng lượng trung bình của mỗi hộ một tháng

Ta cần kiểm định giả thuyết:

H0:  = 1123

H1:  > 1123

Bài 4: Kiểm định giả thuyết thống kê

Ta có: x 0 1344, 27 1123

Tra bảng phân phối Student với 14 bậc tự do ta tìm được t0,05;14 = 1,761

Vì t > t,(n -1) do đó với mẫu đã nghiên cứu, bác bỏ H0 Các hộ gia đình chi tiêu dùng năng lượng nhiều hơn mức công bố của nghiên cứu

4.2.2 Kiểm định hai giá trị trung bình của hai tổng thể chung

Đây là bài toán so sánh hai trung bình của hai tổng thể chung, một vấn đề rất có ý nghĩa của thống kê Trong thực tế chúng ta luôn phải làm phép so sánh: so sánh chất lượng của hai loại sản phẩm, của hai loại dịch vụ; so sánh hai cơ hội đầu tư; so sánh hai phương pháp dạy học, Để giải quyết vấn đề trên ta có thể dùng các phương pháp kiểm định thống kê như kiểm định tham số trong các trường hợp hai mẫu độc lập và hai mẫu phụ thuộc Bài giảng dưới đây sẽ chỉ tập trung giải quyết kiểm định hai trung bình của hai tổng thể chung trong trường hợp hai mẫu độc lập

Khi đề cập đến hai mẫu, khái niệm độc lập ở đây chúng ta hiểu là các đơn vị được chọn từ tổng thể theo cách thức sao cho việc một đơn vị được chọn vào mẫu này không ảnh hưởng đến việc chọn đơn vị vào mẫu kia

Giả sử có hai tổng thể chung: Tổng thể chung thứ nhất có các lượng biến của tiêu thức

X1 phân phối theo quy luật chuẩn N(1, 2

1

σ ) và tổng thể chung thứ hai có các lượng biến của tiêu thức X2 phân phối theo quy luật chuẩn N(2, 2

2

σ ) Nếu 1 và 2 chưa biết song có cơ sở để giả thuyết rằng giá trị của chúng bằng nhau hoặc chênh lệch nhau một giá trị nào đó, ta có giả thuyết không như sau: H0: 1 = 2 hoặc H0: 1 - 2 = 0

Để kiểm định giả thuyết trên, từ hai tổng thể chung người ta rút ra hai mẫu ngẫu nhiên

độc lập với kích thước mẫu tương ứng là n1 và n2, từ đó tính các trung bình mẫu là x1

và x2 Để chọn tiêu chuẩn kiểm định thích hợp, ta xét các trường hợp sau:

1

σ và 2

2

σ đã biết

Tiêu chuẩn kiểm định được chọn là:

z

 





Đại lượng z phân phối theo quy luật chuẩn hoá N (0, 1) Nếu giả thuyết H0 đúng thì:

2

2 2 1

2 1

0 2 1

σ σ

n n

x x z







có phân phối N (0, 1)

Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước và tuỳ thuộc vào giả thuyết đối H1 mà ta xây dựng các miền bác bỏ như sau:

Kiểm định phía phải: Giả thuyết H0: 1 - 2 = 0

H1: 1 - 2 > 0

Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng N(0,1) tìm được Z Nếu

z > Z, ta bác bỏ giả thuyết H0

Kiểm định phía trái: Giả thuyết H0: 1 - 2 = 0

H1: 1 - 2 < 0

Nếu z < - Z ; ta bác bỏ giả thuyết H0

Kiểm định hai phía: Giả thuyết H0: 1 - 2 = 0

H1: 1 - 2  0

Với mức ý nghĩa của kiểm định  cho trước, tra bảng N(0,1) tìm được Z/2 Nếu

z > Z/2; ta bác bỏ giả thuyết H0

Ví dụ: Có ý kiến cho rằng chiều cao của nam thanh niên sống ở khu vực thành thị cao hơn chiều cao của nam thanh niên sống ở khu vực nông thôn, người ta tiến hành chọn

ra 10 nam thanh niên sống ở khu vực thành thị và 12 nam thanh niên sống ở khu vực nông thôn để đo chiều cao và thu được kết quả sau (cm):

Thành thị: 168, 171, 165, 169, 168, 173, 165, 162, 167, 169

Nông thôn: 162, 168, 174, 164, 165, 166, 160, 163, 165, 167, 167, 163

Với xác suất là 95%, hãy đưa ra kết luận về nhận định trên, biết rằng chiều cao của nam thanh niên sống ở khu vực thành thị và sống ở khu vực nông thôn là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn lần lượt 2,5cm và 2,8cm

Gọi 1 và 2 lần lượt là chiều cao trung bình của nam thanh niên sống ở khu vực thành thị và khu vực Trong trường hợp này chúng ta có cặp giả thuyết sau:

 

 



H :

H :

 

 







Ta có tiêu chuẩn kiểm định như sau:



10

1677

n

x

33 , 165 12

1984

n

x

Với mức ý nghĩa 0,05 tra bảng ta có Z/2 = Z0,025 = 1,960, ta có z > Z0,025 Với mẫu

đã nghiên cứu, ta bác bỏ giả thuyết H0, như vậy có cơ sở để cho rằng chiều cao nam thanh niên sống ở khu vực thành thị cao hơn chiều cao của nam thanh niên sống ở khu vực nông thôn

1

σ và 2

2

a Trường hợp phương sai hai tổng thể bằng nhau

Trong trường hợp này tiêu chuẩn kiểm định được chọn là thống kê t:

hoặc