a/ Cho tam giác ABC có góc A nhọn và có diện tích là S.. Chứng minh rằng AB AC + = AD c/ Cho tam giác ABC vuông tại A.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!. Một số chú ý khi chấm bà
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS VĨNH NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2017 – 2018 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm).
a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì A a= 3−6a2−7a 12+ luôn chia hết cho 6. b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức (y 2 x+ ) 2+ =1 y2
Câu 2 ( 2 điểm)
a/ Tính giá trị của biểu thức A= 6+ 3 2 2 3 2 2.+ + 6− 3 2 2+
b/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2 2 2
a b c 2
+ + =
Chứng minh rằng
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
Câu 3 ( 2 điểm).
a/ Giải phương trình: x2−5x 8 2 x 2 0+ − − =
b/ Tìm x, y thỏa mãn điều kiện
Câu 4 (3 điểm).
a/ Cho tam giác ABC có góc A nhọn và có diện tích là S Chứng minh rằng
AB.AC.sin A
S
2
=
b/ Cho tam giác ABC, có góc A bằng 600, đường phân giác AD Chứng minh rằng
AB AC + = AD
c/ Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OD ⊥ BC; OE
⊥ AC; OF ⊥AB Hãy xác định vị trí của điểm O để OD 2 + OE + OF 2 2 có giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương a.b.c=1
3 2 c ca
1 2
b bc
1 2
a ab
1
≤ + +
+ + +
+ + +
-Hết -Học sinh không sử dụng máy tính có chức năng soạn thảo.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm !
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS VĨNH NINH HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2017 – 2018 Môn: Toán
I Một số chú ý khi chấm bài
• Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic
• Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm
• Bài hình nếu học sinh không vẽ hình thì không chấm điểm
• Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II Đáp án và biểu điểm
Câu 1 (2 điểm).
a/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì A a= 3−6a2−7a 12+ luôn chia hết cho 6 b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức (y 2 x+ ) 2+ =1 y2
a) Ta có A = a3− −a 6(a2− +a 2) = ( ) ( ) 2
Vì a – 1; a; a + 1 là ba số nguyên liên tiếp
Suy ra a a 1 a 1 2( − ) ( + )M và a a 1 a 1 3( − ) ( + )M hay a a 1 a 1 6( − ) ( + )M
Mà 6(a2− +a 2) 6M với mọi a là số nguyên
Suy ra A = a a 1 a 1( − ) ( + −) 6(a2− +a 2) 6M
Vậy A a = −3 6a2− 7a 12 + luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên A
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ b) Ta có (y 2 x+ ) 2+ =1 y2 (y 2 x+ ) 2+ −4 y2 =3 (y 2 x+ ) ( 2+ −2 y) =3
Do x, y là các số nguyên nên y 2+ và x 2 + − 2 y là ước của 3
Ta có các trường hợp sau
TH1 2
y 2 1
+ =
+ − =
x 0
= −
=
TH2 2
+ = −
+ − = −
= −
= −
(loại)
TH3 2
y 2 3
+ =
+ − =
y 1
x 0
=
=
TH4 2
+ = −
+ − = −
= −
= −
(loại)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Trang 3Vậy (x, y) = (0; 1) hoặc (0; -1)
Câu 2 ( 2 điểm)
a/ Tính giá trị của biểu thức A= 6+ 3 2 2 3 2 2.+ + 6− 3 2 2+
b/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2 2 2
a b c 2
+ + =
Chứng minh rằng
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
a/ Ta có A= 6+ 3 2 2 3 2 2.+ + 6− 3 2 2+
= (3 2 2 3 2 2 − )( + )
= 1
0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
b) Vì 2 2 2
a b c 2
+ + =
+ + =
=> ab + bc + ca = 1
Khi đó ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
Suy ra
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
( )
= 2(ab + bc + ca)
= 2
0,25 0,25
0,25
0,25
Câu 3 ( 2 điểm).
a/ Giải phương trình: x2−5x 8 2 x 2 0+ − − =
b/ Tìm x, y thỏa mãn điều kiện
a)
ĐKXĐ: x ≥ 2
Ta có x2−5x 8 2 x 2 0+ − − = x2−6x 9 (x 2 2 x 2 1) 0+ + − − − + =
x 3 0
x 2 1 0
− =
− − =
x 3
x 2 1
=
− =
x = 3(TM ĐKXĐ)
0,25 0,25 0,25 0,25
3
Trang 4C
B
A
D
C B
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/
Vậy x = 3
b/ Ta có
x y xy 5
x y x y xy 5x 15y
x y xy 5
x y x 3y
+ = +
2
x 5
y 0
=
=
y 0
= ±
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x, y) = ( 5 , 0); (- 5, 0)
0,25 05
0,25
Câu 4 (3 điểm).
a/ Cho tam giác ABC có góc A nhọn và có diện tích là S Chứng minh rằng
AB.AC.sin A
S
2
=
b/ Cho tam giác ABC, có góc A bằng 600, phân giác AD Chứng minh rằng
AB AC + = AD
c/ Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm O ở trong tam giác ta vẽ OD ⊥ BC; OE
⊥ AC; OF ⊥AB Hãy xác định vị trí của điểm O để OD 2 + OE + OF 2 2 có giá trị nhỏ nhất.
BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MÔN TOÁN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198
160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 6 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k
250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 7 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k
210 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG 8 CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k
30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8 HÀ NỘI=50k
265 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HUYỆN=200k; 230 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH=180k
50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 HÀ NỘI=80k; 55 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 (2020-2021)=80k;
90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 9 CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k
a)
Kẻ đường cao BH
Ta có S =
BH.AC
Lại có sinA =
BH
AB => BH = AB.sinA (2)
Từ (1) và (2) ta có
AB.AC.sin A S
2
b/ Ta có SABC = SABD + SACD
0,25đ
Trang 5H K
D
O
C B
https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/
Hay
=> AB.AC 3=(AB AC AD+ )
Nên ta có
3 AB AC 1 1
AD AB.AC AB AC
+
0,25đ 0,25đ
c/ Vẽ đường cao AH và OK vuông góc với AH
Ta có OE2 + OF2 = OA2 ≥ AK2
Mặt khác có OD = HK
Nên ta có OD2 + OE2 + OF2 ≥AK2 + HK2
Áp dụng bất đẳng thức
( )2
2
+
ta có
OD2 + OE2 + OF2 ≥AK2 + HK2 ≥
AK KH 2
+
=
2
AH 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi O là trung điểm của AH
Vậy Min(OD2 + OE2 + OF2) =
2
AH
2 khi O là trung điểm của AH
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương abc=1
3 2 c ca
1 2
b bc
1 2
a ab
1
≤ + +
+ + +
+ + +
z c z
y b
y
x
a= , = ; =
Đk: x, y, z >0 Thì ta có
( + + ) + + + + + + + +
=
−
+ +
− + + +
− + + +
−
=
−
+ +
+ + +
+ + +
= + +
+ + +
+ +
+
=
2xy yz xz
1 2xz
yz xy
1 2yz
xz xy
1 xz
yz
xy
P
3
2xy yz xz
xy 1
2xz yz xy
zx 1
2yz xz xy
yz 1
P
3
2xy yz xz
xy 2xz
yz xy
zx 2yz
xz xy
yz 2
c ca
1 2
b bc
1 2
a
ab
1
0,25
5
Trang 6Áp dụng Bất đẳng thức A B C
9 C
1 B
1 A
1
+ +
≥ + +
4
3 4
9 3 P 4
9 4xz 4yz 4xy
9 xz
yz xy P
+ + +
+
≥
−
Dấu “=” xảy ra khi
1 z y x 1
xyz
xz yz 2xy xz 2yz xy 2xz yz xy
=
=
=
⇔
=
+ +
= + +
= + + hay a=b=c=1
0,25
0,25
