Bộ đề thi chọn HSG toán 12 2021 2022

Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một khối nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều.. Tỉ số thể tích khối cầu và thể tích khối nón là a .. Gọi V là thể

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1 [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Chứng minh rằng với mọi m2 hàm số f x( )=

2 2

Lời giải

Cách 1 Đặt g x( )=

2 2

g x g xy

2 2

g x g xy

Ta thấy ac    1 0, m g x( ) 0 luôn có 2 nghiệm bội lẻ (1)

Nhận xét: g x'( ) cũng bậc 2, nếu g x'( ) không đổi dấu thì g x( ) 0 chỉ có tối đa 1 nghiệm (loại)

Do đó: g x'( ) phải đổi dấu, tức là g x'( )phải có 2 nghiệm phân biệt

x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  2

Câu 2 [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] b) Giải hệ phương trình 22 52 4 4 1 2 3 4

Kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất    x y ;  4;3

Câu 3 [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có 8 chữ số Tính xác

suất để chọn được số chia hết cho 9 và chứa nhiều nhất một chữ số 9

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: n   9.10 7

Gọi biến cố: A:"chọn được số chia hết cho 9 và chứa nhiều nhất một chữ số 9"

u u u







 ; n1, 2,3, 1) Chứng minh dãy số  u n là dãy số giảm.

n

uu

3

03

n

uu

n

uu



Ta có:

1) Tính góc giữa  P và  Q khi I là trung điểm của AB

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S OAB

2 3 3 a

Câu 6 [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Với a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 12 12 12 2 .

Do đó hàm số f c đồng biến trên   1; 3, suy ra f c  f 1  1

Từ đó ta có min P  , đẳng thức xảy ra khi 1 a b c  1

Vậy min P  1

HẾT

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B, biết

AB= , a AC=2a, CC =2a Gọi M, I lần lượt là trung điểm A B  và BC Tính góc giữa

hai đường thẳng IM và AC

Câu 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm cos 3

cos

x y

a

3312

a

333

a

Câu 6 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên và đồ thị ( )C Tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại

điểm (2; m có phương trình là ) y=4x− Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số 6 y= f f x( ) và

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

MÃ ĐỀ 101

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

( 2 )

y= f x − tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là y=ax b+ và

y=cx d+ Tính giá trị của biều thức S=4a+ −3c 2b d+

1

x y

x

=

−là

x

+

=+ trên  1; 2 bằng 8 (m

là tham số thực) Khẳng định nào sau đây đúng?

a

33

a

322

a

326

Hàm số y= f (4 2− x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A (−1;0) B ( )1;3 C (0; + ) D ( )0;1

Câu 17 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình f x = là( ) 2

2log mx−6x +2 log −14x +29x−2 = có 3 nghiệm thực phân 0biệt khi

O 1

Câu 24 Cho bất phương trình: ( 2 ) ( 2 ) ( )

1 log+ x + 1 log mx +4x+m 1 Tìm tất cả các giá trị của m để ( )1 được nghiệm đúng với mọi số thực x

A 2  m 3 B −   3 m 7 C m −( ;3  7;+ ) D 2 m 3

Câu 25 Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một khối nón có thiết

diện qua trục là một tam giác đều Tỉ số thể tích khối cầu và thể tích khối nón là

a



D  a3

Câu 27 Cho tập hợp S gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S , xác

suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là

Câu 31 Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Câu 34 Cho 3 số a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác 1 Biết cũng theo

thứ tự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là d ,

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ( ) ( 2( ) ) ( ) ( 2 ) ( )

Câu 38 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA⊥(ABC) Mặt phẳng (SBC )

cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC góc 30 Thể tích của khối chóp )

S ABC bằng

A

38

9

a

383

a

3312

a

349

+

25

a b

+

=

Câu 40 Cho hàm số y= f x( ) Đồ thị của hàm số bậc ba y= f '( )x như hình vẽ bên dưới

Câu 45 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có cạnh đáy AB a= Trên cạnh BB lấy điểm M

sao cho B M =2BM Biết A M ⊥B C Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C   

a

334



= Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

364

a

362

a

363

a

366

SC Hai đường thẳng AN MN, lần lượt cắt mặt phẳng (SBD tại I và K Gọi V là thể tích )

khối chópS ABCD và V  là thể tích khối tứ diện CNIK Tỉ số V

V

 bằng

−

2

c x

−

HẾT

-HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Khẳng định nào sau đây đúng?

x y

→− = − suy ra y = −2 là tiệm cận ngang

Lại có lim 1

x y

→+ = suy ra y =1 là tiệm cận ngang

Vậy hàm số đã cho có ba đường tiệm cận

Câu 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log2(4x ) 1

m x

− = + có đúng 2 nghiệm thực phân biệt?

Lời giải Chọn A

Phương trình đã cho tương đương 1 2

4x − =m 2x+ 2 x −2.2x − =m 0 ( )1 Đặt t =2x với t  , phương trình 0 ( )1 trở thành 2

t − t− =m ( )2 Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( )2 có hai

nghiệm phân biệt dương

Vì m  nên không tồn tại giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B, biết

AB= , a AC=2a, CC =2a Gọi M, I lần lượt là trung điểm A B  và BC Tính góc giữa

hai đường thẳng IM và AC

Lời giải Chọn A

Ta có I là trung điểm BC nên I cũng là trung điểm của B C

Do đó MI là đường trung bình của tam giác B A C  nên MI A C

Mặt khác ACC A   là hình vuông suy ra AC⊥ A C

Vậy AC ⊥MI hay góc giữa hai đường thẳng IM và AC bằng 90

Câu 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm cos 3

cos

x y

Câu 5 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (ABC trùng với trọng tâm của tam giác ) ABC Biết khoảng cách

giữa đường AA và BC bằng 3

a

3324

a

3312

a

333

a

Lời giải Chọn C

 Ta có:

234

Câu 6 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên và đồ thị ( )C Tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại

điểm (2; m có phương trình là ) y=4x− Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số 6 y= f f x( ) và

y= f x − tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là y=ax b+ và

y=cx d+ Tính giá trị của biều thức S=4a+ −3c 2b d+

A S =176 B S =174 C S =178 D S = −26

Lời giải Chọn B

 Ta có f ( )2 =4.2 6− = nên tiếp tuyến của ( )2 C tại điềm M( )2; 2 có phương trình là

Câu 8 Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 2

1

x y

x

=

−là

Lời giải Chọn D

Hàm số xác định khi

2 2

x x

Từ đó suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang

Ta có

2 2

1

x y

Ta có ( ) 2

f x = x + ax b+ Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 suy ra f( )1 =  +0 3 2a b+ = (1) 0

x

+

=+ trên  1; 2 bằng 8 (m

là tham số thực) Khẳng định nào sau đây đúng?

A 8 m 10 B 4  m 8 C 0  m 4 D m 10

Lời giải Chọn A

Ta có hàm số

1

x m y

x

+

=+ có ( )2

+ Với m= −  =1 y 8x7 Khi đó y đổi dấu từ ( )− sang ( )+ khi x qua 0 nên m = − thỏa 1mãn

Trường Hợp 2: g( )0  để 0 y đổi dấu từ ( )− sang ( )+ khi x qua 0 thì

Vậy có tất cả 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 12 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD

Lời giải Chọn B

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Do tứ diện ABCD đều nên AO⊥(BCD)

Kẻ đường trung trực của cạnh AB, cắt AO tại I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, R= AI

Ta có ANI AOB nên AN AI

AO = AB hay

22A

AB AI

O

Trong đó AB =4 và AO là đường cao của tứ diện, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Theo giả thiết ( ) ( ) 2

a

33

a

322

a

326

a

Lời giải Chọn A

Ta có y = −3x2+6x m−

3

y= − +x x −mxcó hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng (−;0)

Khi và chỉ khi y =0 có hai nghiệm phân biệt và y    −0, x ( ;0)

x x

x x

O 1

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng (−;0)Hàm số (4 2x)

y= f − đồng biến trên khoảng(−1;0)

Câu 17 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình f x = là( ) 2

Lời giải Chọn B

Số nghiệm của phương trình f x = bằng số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) 2 y= f x( ) và đường thẳng y =2

Kẻ đường thẳng y =2, ta có đường thẳng y =2 cắt đồ thị hàm số y= f x( ) tại một điểm nên phương trình f x = có đúng 1 nghiệm ( ) 2

Câu 18 Gọi S là tổng n n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân ( )u n có công bội q khác 1 Biết S8=257S4 và u =3 32 Tính u 1

Lời giải Chọn A

Mặt khác theo đề bài cấp số nhân ( )u n có công bội q khác 1 nên q =2 16 Với q =2 16 ta có 2

2log mx−6x +2 log −14x +29x−2 = có 3 nghiệm thực phân 0biệt khi

Phương trình tương đương

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f x( )= có 3 nghiệm m

phân biệt thuộc khoảng 1 ; 2 19 39

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC

H

A

Quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC thu được khối tròn xoay có hình dạng là hai khối nón đỉnh B và đỉnh C, chung đáy là đường tròn (H HA; )

Xét khối nón ( )N1 có đỉnh là B, đáy là đường tròn (H HA; ) có

1

21

.3

S V

Ta thấy log 2(x− =1) log2(mx−8)

0

m m

Lời giải Chọn A

m m

Câu 25 Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một khối nón có thiết

diện qua trục là một tam giác đều Tỉ số thể tích khối cầu và thể tích khối nón là

Xét khối cầu và khối nón như hình vẽ

a



D  a3

Lời giải Chọn B

H

I

B A

S

Ta có ABCD là hình vuông, H là trung điểm cạnh AB, khi đó ta có

Câu 27 Cho tập hợp S gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S , xác

suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là

3 20

.38

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có dáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , tam giác SAB .đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD Gọi ) M là trung điểm của AD Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCM là)

Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC .

Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là ( )2

2

S =  a = a

Câu 31 Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

+ + có một đường tiệm cân đứng

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vì a b c, , 0;1 nên loga b0,logb c0,logc a 0

Do đó với cơ số thuộc 1;1

Suy ra P2.3 log3 a b.logb c.logc a = 6

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

1

12

2loga logb logc

Câu 34 Cho 3 số a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác 1 Biết cũng theo

thứ tự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là d ,

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ( ) ( 2( ) ) ( ) ( 2 ) ( )

Lời giải

Ta có: 2 ( )

y = x − mx− m− Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0; 4 khi và chỉ khi y 0, x ( )0; 4

Câu 38 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA⊥(ABC) Mặt phẳng (SBC )

cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC góc 30 Thể tích của khối chóp )

S ABC bằng

Gọi M là trung điểm của BC , trong (SAM kẻ AK) ⊥SM tại K

+

25

a b

+

=

Lời giải Chọn B

95

2

5

122

t t

K

2y−log x+2y− =2x−y?

Lời giải Chọn B

Ta có

( 1)2

Do y là số nguyên nên y 2;3; 4;5;6;7;8;9;10;11có 10cặp số nguyên ( )x y thỏa mãn ;điều kiện

1 13 15 ,

f x =x x− x−  x Tìm số điểm cực trị của hàm số 25

4343

x x x

x x

Câu 43 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh SA vuông góc với đáy,

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC bằng ) 2 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng

(SBC và ) (ABC Tính ) cos khi thể tích khối chóp S ABC nhỏ nhất.

Gọi I là trung điểm BC Ta có BC⊥(SAI) nên mp(SBC vuông góc mp) (SAI theo giao )

tuyến SI Kẻ AH ⊥SI tại H thì AH⊥(SBC) hay AH =d A SBC( ,( ) ).Ta cũng có góc tạo bởi (SBC và ) (ABC là SIA Theo giả thiết ) AH =2 và =SIA

sinsin

AH AI



2.tan

B

S

I H

Vậy V nhỏ nhất khi cos 3

Lời giải Chọn C

Xét hàm số y= −x3 3x2+6x+ có 5 2

y = x − x+ Gọi x là hoành độ tiếp điểm Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 0

Vậy phương trình tiếp tuyến là y=3(x− + hay 1) 9 y=3x+6

Câu 45 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C    có cạnh đáy AB a= Trên cạnh BB lấy điểm M

sao cho B M =2BM Biết A M ⊥B C Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C   

a

334

Cách 1: Gọi I là trung điểm của B C 

I

M C'

B' A'

C

B A

= Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

364

a

362

a

363

a

366

C

B A

Lời giải Chọn D

Trong mặt phẳng (SAC vẽ AH) ⊥SC tại H

Trong mặt phẳng (SBC , qua ) H dựng HB ⊥SC với BSB

S

Suy ra K là trọng tâm tam giác SAC nên AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao

Từ đó ta được ASC cân tại A do vậy SAC đều 3 6

S

Giả sử CE⊥SBmà (SAB) (SBC) CE (SAB) CE SA

Ta có SBC vuông cân tại B SB=BC= 2

Ta có KBC vuông cân tại KKB=KC= 1

HK= BH= HC= Xét ABC ta có

SC Hai đường thẳng AN MN, lần lượt cắt mặt phẳng (SBD tại I và K Gọi V là thể tích )

khối chópS ABCD và V  là thể tích khối tứ diện CNIK Tỉ số V

V

 bằng

Trong mặt phẳng (ABCD gọi ) O= ACBD J; =CMBD

Trong mặt phẳng (SAC gọi ) I =SOAN SO, (SBD) =I AN(SBD)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SCJvới 3 điểm N K M, , thẳng hàng nằm trên 3 cạnh

AM =x, 0  Tìm x c x để mặt phằng (MBC chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể )

tích bằng nhau

2

ab x

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại B, biết

AB= , a AC=2a, CC =2a Gọi M, I lần lượt là trung điểm A B  và BC Tính góc giữa

hai đường thẳng IM và AC

Câu 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm cos 3

cos

x y

a

3312

a

333

a

Câu 6 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên và đồ thị ( )C Tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại

điểm (2; m có phương trình là ) y=4x− Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số 6 y= f f x( ) và

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

MÃ ĐỀ 101

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

( 2 )

y= f x − tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là y=ax b+ và

y=cx d+ Tính giá trị của biều thức S=4a+ −3c 2b d+

1

x y

x

=

−là

x

+

=+ trên  1; 2 bằng 8 (m

là tham số thực) Khẳng định nào sau đây đúng?

a

33

a

322

a

326

Hàm số y= f (4 2− x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A (−1;0) B ( )1;3 C (0; + ) D ( )0;1

Câu 17 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau

Số nghiệm của phương trình f x = là( ) 2

2log mx−6x +2 log −14x +29x−2 = có 3 nghiệm thực phân 0biệt khi

O 1