NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ
12. Bài tập tương tự
Bài 9. Giải hệ phương trình
®xy+x−1 = 3y x2y−x= 2y2.
1
®x2+y2+xy+ 1 = 4y y(x+y)2= 2x2+ 7y+ 2.
2
2x2+x−1 y = 2 y−y2x−2y2=−2.
3
x(x+y+ 1)−3 = 0 (x+y)2− 5
x2 + 1 = 0.
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Cho một tam giác vuông. Khi ta tăng mỗi cạnh góc vuông lên2cm thì diện tích tam giác tăng lên17cm2. Nếu
giảm các cạnh góc vuông đi3cm và1cm thì diện tích tam giác giảm đi 11cm2. Tính diện tích tam giác ban đầu.
A. 50cm2. B. 25cm2. C. 50√5cm2. D. 50√2cm2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 2. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 24
5 giờ sẽ đầy bể. Mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy được bằng 3
2 lần lượng nước của vòi thứ hai. hỏi vòi thứ hai chảy riêng một mình thì bao lâu sẽ đầy bể?
A. 12giờ. B. 10giờ. C. 8giờ. D. 3giờ.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 3. Tìm độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng: khi ta tăng mỗi cạnh lên2 cm thì diện tích
tăng17cm2; khi ta giảm chiều dài của cạnh này là3cm và cạnh kia1 cm thì diện tích giảm11cm2.
A. 5 cm và10cm. B. 4 cm và7 cm. C. 2cm và 3cm. D. 5cm và6cm.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 4. Ta đặt
®x+y=S
xy=P thì hệ phương trình
®x2+y2= 1
x3y+xy3= 2 thành
A.
®S+P = 1
P= 2 . B.
®S2−2P = 1
P = 2 . C.
®S2+ 2P= 1
P = 2 . D.
®S2−2P= 1 S= 2 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 5. Cho hệ phương trình
®x+ 2y=m−1
2x−y= 3m+ 3. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho
x2+y2 nhỏ nhất?
A. m=−4
5. B. m=−3
2. C. m=1
2. D. m=−1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 6. Nghiệm của hệ phương trình
®x−4y= 5 2x−5y= 7 là
A. (−1;−1). B. (1; 1). C. (1;−1). D. (−1; 1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 7. Hệ phương trình
®x−2y= 1
2x+my=−1 vô nghiệm khi
A. không cóm. B. m=−4. C. m=−1
4. D. m6=−4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 8. Nghiệm của hệ phương trình
2m x−1 +2
y = 3 m
x−1 +y+ 6 y = 5
trong trường hợpm6= 0là
A. (1; 0). B. (m+ 1; 2). C. Å1
m;1 2
ã. D. (3;m).
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Câu 9. Hệ phương trình
®mx+y=m−3
4x+my=−2 có vô số nghiệm khi
A. m=±2. B. m=−2. C. m= 2. D.
®m6= 2 m6=−2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 10. Tìm ađể hệ phương trình
®ax+y=a2
x+ay= 1 vô nghiệm.
A. a=−1. B. a= 1hoặca=−1. C. a= 1. D. không cóa.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 11. Tìm tham sốmđể hệ phương trình
®mx+y+m= 0
x+my+m= 0 vô nghiệm
A. m=−1. B. m= 1. C. m= 0. D. m6= 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 12. Hệ phương trình
2x+ 3y+ 4 = 0 3x+y−1 = 0 2mx+ 5y−m= 0
có nghiệm duy nhất khi A. m=10
3 . B. m= 10. C. m=−10. D. m=−10
3 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 13. Hệ phương trình
®xy+x+y= 11 x2y+xy2= 30
A. có2 nghiệm(2; 3)và (1; 5). B. có2nghiệm(2; 1)và (3; 5).
C. có1 nghiệm là(5; 6). D. có 4nghiệm(2; 3),(3; 2),(1; 5),(5; 1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 14. Hệ phương trình
®x2+y2= 1
y=x+m có đúng 1nghiệm khi và chỉ khi
A. m=√2. B. m=−√2. C. m=√
2 vàm=−√2. D. mtùy ý.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 15. Hệ phương trình
1
x=y+ 5x 1
y =x+ 5y
có bao nhiêu cặp nghiệm(x, y)màx6=y?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Câu 16. Tìm điều kiện của tham sốmđể hệ phương trình
®3x−my = 1
−mx+ 3y=m−4 có đúng một nghiệm.
A. m6= 3haym6=−3. B. m6= 3vàm6=−3. C. m6= 3. D. m6=−3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 17. Hệ phương trình
đxãy+x+y= 11 x2y+xy2= 30
A. có2 nghiệm(2; 3)và (1; 5). B. có2 nghiệm(2; 1)và (3; 5).
C. có1 nghiệm là(5; 6). D. có4 nghiệm(2; 3),(3; 2),(1; 5),(5; 1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 18. Hệ phương trình
®x2+y2= 1
y=x+m có đúng1 nghiệm khi và chỉ khi
A. m=√2. B. m=−√2. C. m=√
2 vàm=−√2. D. mtùy ý.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 19. Hệ phương trình
®|x−1|+y= 0
2x−y= 5 có nghiệm là
A. x=−3;y= 2. B. x= 2; y=−1. C. x= 4;y=−3. D. x=−4;y= 3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 20. Hệ phương trình
®mx+ 3y= 2m−1
x+ (m+ 2)y=m+ 3 có nghiệm duy nhất với giá trị củamlà
A. m6= 1. B. m6=−3. C.
ủm6= 1
m6=−3. D.
®m6= 1 m6=−3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 21. Với giá trị nào của tham sốmthì hệ phương trình
®mx+ (m+ 4)y= 2
m(x+y) = 1−y vô nghiệm
A. m= 0. B.
ủm= 1
m= 2. C.
m−2 m=1
2
. D.
m=−1 2 m= 3
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 22. Hệ phương trình
2 x+3
y = 13 3
x+2 y = 12
có nghiệm là
A. x= 1
2;y=−1
3. B. x= 1
2;y=1
3. C. x=−1
2;y= 1
3. D. vô nghiệm.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Câu 23. Tìm ađể hệ phương trình
®ax+y=a2
x+ay= 1 vô nghiệm.
A. a= 1. B. a= 1hoặca=−1. C. a=−1. D. không cóa.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 24. Nghiệm của hệ phương trình
x+y+z= 9 1
x+1 y +1
z = 1 xy+yz+zx= 27
là
A. (1; 1; 1). B. (1; 2; 1). C. (2; 2; 1). D. (3; 3; 3).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 25. Hệ phương trình
x+y+xy= 7 2 x2y+xy2=5
2
có nghiệm là
A. (3; 2);(−2; 1). B. (0; 1);(1; 0). C. (0; 2);(2; 0). D. Å 2;1
2 ã
; Å1
2; 2 ã. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 26. Hệ phương trình
®x+y+xy= 5
x2+y2+xy= 7 có nghiệm là
A. (2; 3)hoặc(3; 2). B. (1; 2) hoặc(2; 1).
C. (−2;−3)hoặc(−3;−2). D. (−1;−2)hoặc(−2;−1).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 27. Hệ phương trình
®x+y+xy= 11
x2+y2+ 3(x+y) = 28 có nghiệm là
A. (3; 2);(2; 3). B. (−3;−7);(−7;−3).
C. vô nghiệm. D. (3; 2);(2; 3);(−3;−7);(−7;−3).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 28. Hệ phương trình
®x3= 3x+ 8y
y3= 3y+ 8x có nghiệm là(x;y)vớix6= 0và y6= 0là
A. (−√ 11;−√
11); (√
11;√11). B. (0;√
11); (√11; 0).
C. (−√11; 0). D. (√11; 0).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Câu 29. Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác0của hệ phương trình
®x2= 5x−2y y2= 5y−2x.
A. (3; 3). B. (2; 2); (3; 1);(−3; 6).
C. (1; 1);(2; 2);(3; 3). D. (−2;−2);(1;−2);(−6; 3).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 30. Hệ phương trình
®x2+y= 6
y2+x= 6 co bao nhiêu nghiệm?
A. 6. B. 4. C. 2. D. 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 31. Hệ phương trình
®x2= 3x−y
y2= 3y−x có bao nhiêu cặp nghiệm(x;y)?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 32. Cho hệ phương trình
®x+y= 4
x2+y2=m2. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hệ phương trình có nghiệm với mọi m.
B. Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi|m| ≥√8.
C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ|m| ≥2.
D. Hệ phương trình luôn vô nghiệm.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 33. Cho hệ phương trình
®3x2−4xy+ 2y2= 17
y2−x2= 16 . Hệ thức biểu diễnxtheo yrút ra từ hệ phương trình là
A. x=y−2
2 hayx= y+ 2
2 . B. x=y−3
2 hayx=y+ 3 2 . C. x=y−1
2 hayx= y+ 1
2 . D. x= 5
13y hayx= 3 5y.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 34. Cho hệ phương trình
®mx+y= 3
x+my = 2m+ 1. Các giá trị thích hợp của tham số mđể hệ phương trình có nghiệm
nguyên 1à
A. m= 0,m=−2. B. m= 1;m= 2;m= 3. C. m= 0;m= 2. D. m= 1; m=−3;m= 4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 35. Cho hệ phương trình
®2x2+y2+ 3xy= 12
2(x+y)2−y2= 14 . Các cặp nghiệm dương của hệ phương trình là
A. (1; 2),(√
2;√2). B. (2; 1),(√
3;√3). C. Å2 3; 3
ã,Å√ 3, 2
√3
ã. D. Å1 2; 1
ã, Ç√
2 3 ;√
3 ồ
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 36. Hệ phương trình
®x3−3x=y3−3y
x6+y6= 27 có bao nhiêu nghiệm?
A. 5. B. 2. C. 6. D. 4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 37. Hệ phương trình
®2x+p
y−1 = 1 2y+√
x−1 = 1 có bao nhiêu cặp nghiệm(x;y)?
A. 1. B. vô nghiệm. C. 2. D. 3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 38. Cho hệ phương trình
®x+y=m+ 1
x2y+y2x= 2m2−m−3 và các mệnh đề
(I) Hệ có vô số nghiệm khim=−1.
(II) Hệ có nghiệm khim > 3
2.
(III) Hệ có nghiệm với mọim.
Các mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Chỉ (III). D. Chỉ (I) và (III).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 39. Cho hệ phương trình
®x+y= 2a+ 1
x2+y2=a2−2a+ 3. Giá trị thích hợp của tham sốasao cho hệ có nghiệm(x;y)và
tớchxãynhỏ nhất là
A. a= 1. B. a=−1. C. a= 2. D. a=−2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 40. Cho hệ phương trình
®2x−y= 2−a
x+ 2y=a+ 1. Tìm tham sốa để tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. a= 1. B. a=−1. C. a=1
2. D. a=−1
2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 41. Tìm tham sốmđể hệ phương trình
mx−(m+ 1)y= 3m x−2my=m+ 2 x+ 2y= 4
có nghiệm.
A. m=5
2. B. m=−5
2. C. m= 2
5. D. m=−2
5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 42. Cho hệ phương trình
®2x2+xy−y2= 0
x2−xy−y2+ 3x+ 7y+ 3 = 0. Các cặp nghiệm(x;y)sao chox, yđều là các số nguyên là
A. (2;−2);(3;−3). B. (−2; 2);(−3; 3). C. (1;−1);(3;−3). D. (−1; 1);(−4; 4).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 43. Nếu(x;y)là nghiệm của hệ phương trình
®x2−4xy+y2= 1
y−4xy= 2 . Thì xybằng bao nhiêu?
A. 4. B. −4.
C. 1. D. không tồn tại giá trịxy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 44. Hệ phương trình
®x+y= 2
x−y= 5a−2 có nghiệm(x;y)vớix <0khi và chỉ khi
A. a <0. B. a >0. C. a < 5
2. D. a >5
2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 45. Cho các số thựcx, y thỏa
(xp
12−y+ằ
y(12−x2) = 12 x3−8x−1 = 2p
y−2
. Khi đóx+y bằng
A. 2. B. 1. C. 6. D. 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
{ DẠNG 3.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
®f(x;y) = 0
f(y;x) = 0. Phương pháp giải toán
Lấy vế trừ vế rồi đặt x−y làm nhân tử chung, sau đó dùng phương pháp thế để tìm nghiệm.
1. Ví dụ
VÍ DỤ 13. Giải hệ phương trình ®
x2−2y2= 2x+y y2−2x2= 2y+x.
Lời giải.
Ta có
®x2−2y2= 2x+y (1) y2−2x2= 2y+x (2).
Lấy vế trừ vế ta được
3x2−3y2=x−y⇔3(x−y)(x+y)−(x−y) = 0
⇔ (x−y)(3x+ 3y−1) = 0⇔
ủx−y= 0 3x+ 3y−1 = 0.
Trường hợp1:x−y= 0⇔y=x.
Thay vào phương trình(1)ta đượcx2−2x2= 2x+x⇔ −x2−3x= 0⇔
ủx= 0 ⇒y= 0 x=−3 ⇒y=−3.
Trường hợp2 : 3x+ 3y−1 = 0⇔y=1−3x
3 .
Thay vào phương trình(2)ta được
x2−2(1−3x)2
9 = 2x+1−3x 3
⇔ 9x2−3x+ 5 = 0
⇔ x∈∅. VậyS={(0; 0); (−3;−3)}.
VÍ DỤ 14. Giải hệ phương trình
®x3+ 1 = 2y (1) y3+ 1 = 2x (2).
Lời giải.
Lấy(1)−(2)ta được
x3−y3= 2y−2x
⇔ (x−y)(x2+xy+y2) + 2(x−y) = 0
⇔ (x−y)[x2+y2+xy+ 2] = 0
⇔
ủy=x
x2+y2+xy+ 2 = 0.
Trường hợp1:y=x.
Thay vào phương trình(1)ta được
x3−2x+ 1 = 0⇔(x−1)(x2+x−1) = 0⇔
x= 1 ⇒y= 1 x= −1 +√
5
2 ⇒y= −1 +√ 5 2 x= −1−√
5
2 ⇒y= −1−√ 5
2 .
Trường hợp2:x2+y2+xy+ 2 = 0⇔
x+y 2
2 +3y2
4 + 2 = 0(vô nghiệm).
VậyS=
® (1; 1);
Ç−1 +√ 5
2 ;−1 +√ 5 2
ồ
;
Ç−1−√ 5
2 ;−1−√ 5 2
ồ´
.
VÍ DỤ 15. Giải hệ phương trình
®2x2y=y2+ 1 (1) 2y2x=x2+ 1 (2).
Lời giải.
Điều kiện:x,y >0.
Lấy(1)−(2)ta được
2x2y−2xy2=y2−x2
⇔ 2xy(x−y) + (x−y)(x+y) = 0
⇔ (x−y)(2xy+x+y) = 0
⇔
ủx=y
2xy+x+y= 0(vô nghiệm dox,y >0).
Vớiy=x. Thay vào phương trình(1)ta được
2x3−x2−1 = 0⇔(x−1)(2x2+x+ 1) = 0⇔x= 1⇒y= 1.
VậyS ={(1; 1)}.
2. Bài tập rèn luyện
Bài 10. Giải các hệ phương trình sau
®x2= 3x+ 2y y2= 3y+ 2x.
1
®x2−2x−y−1 = 0 y2−2y−x−1 = 0.
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .