NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau
1 2(1−a)2≥1−2a2,∀a∈R.
2 1 +a2
1 +b2
≥(1 +ab)2,∀a, b∈R.
3 a2+b(13b+a)≥3b(a+b),∀a, b∈R.
4 2x2+y2+ 1≥2x(1−y),∀x, y∈R.
5 x2+ 4y2+ 3z2+ 14≥2x+ 12y+ 6z,∀x, y, z∈R.
6 x
1 +x≥ y
1 +y,∀x≥y≥0.
7 (ax+by)2≤ a2+b2
x2+y2,∀a, b, x, y∈R.
8 Chox,y là hai số thực thỏa4x+y= 1. Chứng minh rằng4x2+y2≥0,2.
9 a
√b + b
√a ≥√a+√b,∀a, b >0.
10 1
√a <√
a+ 1−√
a−1, ∀a≥1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau a2b+ab2≤a3+b3,∀a, b≥0.
1 2 a4+b4≥ab a2+b2,∀a, b≥0.
4 a3+b3
≥(a+b)3,∀a, b≥0.
3
Åa+b 2
ã Åa2+b2 2
ã
≤ a3+b3
2 ,∀a, b≥0.
4
2 a5+b5
≥ a2+b2
a3+b3,∀a, b≥0.
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a2+ab+b2≥0,∀a, b∈R.
1 2 a2+b2+c2≥ab+bc+ca, ∀a, b, c∈R.
a2+b2+ 1≥ab+a+b,∀a, b∈R.
3 4 (a+b+c)2≤3 a2+b2+c2,∀a, b, c∈R.
a2+b2+ 4≥ab+ 2(a+b),∀a, b∈R.
5 6 a2+b2+c2+ 3≥2(a+b+c), ∀a, b, c∈R.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau
(a+b)(1 + 4ab)≥4ab,∀a, b≥0.
1 2 (2a+ 1)(6 +ab)(b+ 3)≥48ab,∀a, b≥0.
1 +a
b Å
1 + b c
ã 1 + c
a
≥8,∀a, b, c >0.
3 1
a+1 b ≥ 4
a+b,∀a, b >0.
4
Åa b +b
c ãc
a+a b
+ Åb
c +c a
ã
≥8,∀a, b, c >0.
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a+b+ 2≥2Ä√a+√ bọ
,∀a, b≥0.
1 a+b+c≥√
ab+√
bc+√ca,∀a, b, c≥0.
2
a+b+ 1≥√
ab+√a+√b,∀a, b≥0.
3 a
bc+ b ca + c
ab ≥ 1 a+1
b +1
c,∀a, b, c >0.
4
a+b
c +b+c
a +c+a
b ≥6,∀a, b, c >0.
5 Nếu a
b <1thì a
b <a+c
b+c, vớia, b, c >0.
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Trong các tính chất sau, tính chất nàosai?
A.
®a < b
c < d ⇒a+c < b+d. B.
®0< a < b 0< c < d ⇒ a
c < b d. C.
®0< a < b
0< c < d ⇒ac < bd. D.
®0< a≤b
0< c < d ⇒ac < bd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 2. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. a < b⇒ 1 a >1
b. B. a < b⇒ac < bc. C.
®a < b
c < d ⇒ac < bd. D.
®0< a < b
0< c < d ⇒ac < bd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 3. Mệnh đề nào sau đâysai?
A.
®a < b
c < d ⇒a+c < b+d. B.
®a≤b
c≤d ⇒ac < bd.
C.
®a < b
c > d ⇒a−c < b−d. D. ac≤bc⇒a≤b, vớic >0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 4. Cho ba sốa,b,cthỏa mãn đồng thờia+b−c >0;a+c−b >0;b+c−a >0. Để ba sốa,b,clà ba cạnh của một tam giác thì cần thêm điều kiện gì?
A. Cần có cảa,b,c≥0. B. Cần có cảa,b,c >0.
C. Chỉ cần một trong ba sốa,b,c dương. D. Không cần thêm điều kiện gì.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 5. Nếua > bvàc > d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A. ac > bd. B. a−c < b−d. C. a+c > b+d. D. a c > b
d.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 6. Cho bất đẳng thức|a−b| ≤ |a|+|b|. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi?
A. a=b. B. ab≤0. C. ab≥0. D. ab= 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của biểu thứcf(x) =x2+ 3|x|vớix∈Rlà
A. −9
4. B. −3
2. C. 0. D. 3
2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 8. Cho biểu thứcf(x) =√
1−x2. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm sốf(x)chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm sốf(x)chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất.
C. Hàm sốf(x)có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
D. Hàm sốf(x)không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 9. Cho hàm số f(x) = 1
√x2+ 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm sốf(x)có giá trị lớn nhất bằng 1và giá trị nhỏ nhất bằng0.
B. Hàm sốf(x)có giá trị lớn nhất bằng 1và không giá trị nhỏ nhất.
C. Hàm sốf(x)có giá trị lớn nhất bằng 2và giá trị nhỏ nhất bằng1.
D. Hàm sốf(x)không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 10. Cho biết hai sốavàbcó tổng bằng3. Khi đó, tích hai sốavà b
A. có giá trị nhỏ nhất là 9
4. B. có giá trị lớn nhất là 9
4. C. có giá trị lớn nhất là 3
2. D. không có giá trị lớn nhất.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 11. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. a < b⇒ac < bc. B. a < b⇒ 1 a> 1
b.
C. a < bvà c < d⇒ac < bd. D. a < b⇒ac < bc, (c >0).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 12. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
®a > b
c > d ⇒ac > bd. B.
®a > b >0
c > d >0 ⇒ac > bd.
C.
®a > b
c > d ⇒a−c > b−d. D.
®a > b c > d ⇒a
c < b d.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 13. Mệnh đề nào sau đâysai?
A.
®a < b
c < d ⇒a+c < b+d. B.
®0< a < b
0< c < d ⇒ac < bd.
C.
®a < b
c < d ⇒a−c < b−d. D.
®0< a < b 0< c < d ⇒ a
d <b c.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 14. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. a < b⇒ 1 a> 1
a. B. a < b⇒ac < bc. C.
®a < b
c < d ⇒ac < bd. D. a > b⇒a+c > b+c.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 15. Tìm mệnh đềsai?
A.
®a < b
c < d ⇒a+c < b+d. B.
®a≤b
c≤d ⇒ac < bd.
C.
®a≤b
c > d ⇒a−c < b−d. D. ac≤bc⇒a≤b, (vớic >0).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 16. Choa,b,c,dvớia > bvà c > d. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. a+c > b+d. B. a−c > b−d. C. ac > bd. D. a2> b2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm sốy=x2+ 3
x2 vớix6= 0.
A. 2√3. B. √43. C. 2√43. D. √3.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm sốy= x
2 +8
x vớix >0.
A. 4. B. 8. C. 2. D. 16.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 19. Choxvà y thỏa mãnx2+y2= 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất củaT =x+y.
A. −8 và8. B. −2 và2. C. −2√
2 và2√2. D. −√
2 và√2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 20. Nếua > b vàc > dthì bất đẳng thức nào sau đây luông đúng?
A. ac > bd. B. a−c > b−d. C. a−d > b−c. D. −ac >−bd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 21. Nếum >0vàn <0 thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A. m >−n. B. n−m <0. C. −m >−n. D. m−n <0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 22. Nếua,b vàc là các số bất kỳ vàa > bthì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. ac > bc. B. a2< b2. C. a+c > b+c. D. c−a > c−b.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 23. Nếua > b vàc > dthì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A. a c > b
d. B. a−c > b−d. C. ac > bd. D. a+c > b+d.
. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Câu 24. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thựca?
A. 6a >3a. B. 3a >6a. C. 6−3a >3−6a. D. 6 +a >3 +a.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 25. Nếua,b vàc là các số bất kỳ vàa < bthì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. ac > bc. B. a2< b2. C. 3a+ 2c >3b+ 2c. D. ac < bc.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 26. Nếua > b >0,c > d >0thì bất đẳng thức nào sau đâykhông đúng?
A. ac > bc. B. a−c > b−d. C. a2> b2. D. ac > bd.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 27. Nếua > b >0,c > d >0thì bất đẳng thức nào sau đâykhông đúng?
A. ac > bd. B. a+c > b+d. C. a c > b
d. D. a
b >d c.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 28. Sắp xếp ba số√
6 +√13; √19;√ 3 +√
16theo thứ tự từ bé đén lớn thì thứ tự đúng là
A. √19; √
3 +√16;√
6 +√13. B. √
3 +√16;√19;√ 6 +√
13. C. √19; √
6 +√13;√ 3 +√
16. D. √
6 +√13;√
3 +√16;√19.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 29. Nếua+ 2c > b+ 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. −3a >−3b. B. a2> b2. C. 2a >2b. D. a < b.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 30. Choa, b, c >0 vàa+b+c= 1. Giá trị nhỏ nhất của P=
Å 1 + 1
a ã Å
1 +1 b
ã Å 1 + 1
c ãbằng
A. 64. B. 60. C. 8. D. 16.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phần II
HÌNH HỌC
165