2. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐỘN LƯỢN

2. .1 hiết lập các định lý về động lượng

Theo định luật 2 Newton, ta có:

( ) dv d mv dp F ma m

dt dt dt

    (2.6)

với p  mv gọi là vector động lượng của chất điểm.

Định lý 1:

Đạo hàm động lượng của chất điểm theo thời gian bằng lực (hay tổng hợp lực) tác dụng lên chất điểm.

Từ (2.6) ta có:

dpFdt (2.7)

Lấy tích phân hai vế (2.7) theo thời gian từ t1 đến t2 ứng với biến thiên động lượng từ p1 đến p2 ta được:

2 1

2 1

t t

p p p  Fdt

    (2.8)

2 1 t t

 Fdt gọi là xung lượng của F trong khoảng thời gian từ t1 đến t2.

Định lý 2:

Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó bằng xung lượng của lực (hay tổng hợp lực) tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó.

Nếu F = const thì (2.8) thành:

p F t

   (2.9)

Hay:

p F t

 

 (2.10)

60

Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong một đơn vị thời gian có giá trị bằng lực tác dụng lên chất điểm đó.

2. . Ý nghĩa của động lượng và xung lượng

Ý nghĩa của động lượng:

Vector v đặc trưng cho chuyển động về mặt động học. Với cùng một lực tác dụng, gia tốc mà vật thu được – đại lượng đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc của vật trong một đơn vị thời gian – phụ thuộc vào khối lượng của vật. Khối lượng vật càng lớn gia tốc vật thu được càng nhỏ, vận tốc vật càng ít thay đổi và ngược lại. Vì vậy, động lượng hay tích mv mới đặc trưng đầy đủ cho chuyển động của vật về mặt động lực học.

Ý nghĩa của xung lượng:

Tác dụng của lực không những phụ thuộc vào độ lớn của nó mà còn phụ thuộc vào thời gian tác dụng. Với cùng một lực tác dụng, nếu thời gian càng dài thì động lượng của vật biến thiên càng nhiều và ngược lại. Vì vậy xung lượng của lực trong khoảng thời gian nào đó đặc trưng cho tác dụng của lực trong khoảng thời gian đó.

2. . Định luật bảo toàn động lượng

Đối với hệ chất điểm chuyển động, ta có:

 1 1 2 2 n n

d m v m v m v F

dt      (2.11)

với F là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ.

Nếu hệ cô lập thì = 0, do đó:

m v1 1m v2 2   m vn nconst (2.12) Như vậy: Tổng động lượng của một hệ cô lập được bảo toàn.

Trường hợp hệ chất điểm không cô lập, tức là F  0, nhưng hình chiếu của F lên một phương x nào đó bằng 0, chiếu phương trình (2.11) lên phương x, ta được:

m v1 1x m v2 2x   m vn nxconst (2.13)

(2.13) là biểu thức của định luật bảo toàn động lượng theo phương: Hình chiếu của tổng động lượng của hệ lên phương mà tổng ngoại lực tác dụng lên hệ bằng không là một đại lượng bảo toàn.

Định luật bảo toàn động lượng được ứng dụng để giải thích nhiều hiện tượng

F

61

trong thực tế như hiện tượng súng giật khi bắn, ch o thuyền, chuyển động phản lực, v.v…

2. . Một số ứng dụng của định luật bảo toàn động lượng

2.2.4.1 Hiện tượng súng giật khi bắn

Hệ gồm một khẩu pháo có khối lượng M, viên đạn có khối lượng m. Vận tốc đạn bay ra khỏi nòng là v. Vận tốc giật lùi của khẩu pháo là V(hình 2.1).

Động lượng của hệ trước khi bắn:

0

p (do hệ đứng yên)

Động lượng hệ sau khi bắn:

'

p mvMV

Theo định luật bảo toàn động lượng ta phải có: p  p '

Từ đó suy ra:

V m v

 M (2.14)

Dấu trừ trong biểu thức (2.14) cho thấy vận tốc của súng và đạn ngược nhau, khi bắn viên đạn bay lên phía trước thì súng chuyển động “giật lùi” về phía sau. Vận tốc súng giật lùi (độ giật) tỉ lệ với khối lượng và vận tốc của viên đạn, tỉ lệ nghịch với khối lượng của súng. Vì vậy, để giảm giật khi bắn phải tăng khối lượng của súng. Đối với pháo hay đại bác, người ta làm hệ thống lò xo thuỷ lực đồng thời kết hợp với việc cố định "ghim" bệ pháo với mặt đất để giảm giật.

2.2.4.2 Chuyển động phản lực (Tên lửa)

Tên lửa chuyển động theo nguyên lý phản lực: khí cháy phụt ta phía sau với vận tốc u không đổi so với tên lửa, đẩy tên lửa chuyển động lên phía trước với vận tốc v (hình 2.2).

Khối lượng ban đầu của tên lửa là mo, ở thời điểm t tên lửa có vận tốc là v và khối lượng là m. Động lượng của tên lửa lúc đó: pmv

Sau khoảng thời gian dt, tên lửa phụt ra phía sau một khối khí có khối lượng dm với vận tốc u đối với tên lửa. Vận tốc của khối khí này đối với mặt đất sẽ là uv. Động lượng của khối khí:

( )

dm vu

Hình 2.1 Súng giật lùi khi bắn

62

Khối lượng tên lửa còn lại khi đó là m + dm (dm < 0) và vận tốc là vdv. Động lượng của tên lửa lúc đó là:

(mdm v)( dv)

Nếu không có thành phần của ngoại lực tác dụng theo phương chuyển động của tên lửa, áp dụng bảo toàn động lượng cho tên lửa ở thời điểm t và t + dt:

( m dm v  )(  dv )  dm u (   v ) mv (2.15)

Bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc cao, rút gọn biểu thức trên, ta được:

mdv udm (2.16) Hay:

dv u dm

 m

Tại thời điểm ban đầu, khi phóng tên lửa có vận tốc bằng 0 và khối lượng mo. Ở thời điểm t, vận tốc của tên lửa là v và khối lượng m. Lấy tích phân hai vế biểu thức này trong khoảng thời gian từ 0 (vận tốc tên lửa bằng 0 và khối lượng là mo) đến t (vận tốc tên lửa bằng v và khối lượng là m):

0 o

v m

m

dv udm

 m

  Hình 2.2 Chuyển động tên lửa

ln

o

v u m

 m (2.17)

Hay:

ln mo v u

 m (2.17')

Từ phương trình (2.17') ta thấy muốn tăng vận tốc của tên lửa thì phải tăng u và tỉ số mo/m. Vận tốc khí phụt u là hằng số đối với tên lửa; vì vậy cần tăng tỉ số mo/m. Để thực hiện điều này, người ta chế tạo tên lửa gồm nhiều tầng chứa nhiên liệu (đối với tên lửa đẩy để phóng các con tàu vũ trụ), khi cháy hết nhiên liệu ở mỗi tầng thì thiết bị tự động sẽ ngắt tầng đó với tên lửa.

Chia hai vế biểu thức (2.16) cho dt ta được:

dv dm

m u

dt  dt (2.18)

63

(2.18) là phương trình chuyển động của tên lửa. Nó có dạng phương trình định luật II Newton. Tên lửa được gia tốc bằng một phản lực: dm

u dt . Vì 0 dm

dt  và u có hướng về phía sau nên lực này sẽ hướng về phía trước.

Nếu xét cả các ngoại lực thì phương trình (2.18) có thể viết lại là:

dv dm

m F u

dt   dt (2.19)

trong đó F là các ngoại lực tác dụng lên hệ và dm

u dt chính là phản lực.

Ví dụ 2.1

Một tên lửa được phóng thẳng đứng lên từ mặt đất. Tốc độ của khí phụt ra so với tên lửa là 1000 m/s. Khối lượng ban đầu của tên lửa là 6000 kg. Tính tốc độ của tên lửa sau 10 giây. Biết rằng cứ mỗi giây tên lửa phụt ra 200 kg khí. Bỏ qua các ngoại lực tác dụng lên tên lửa.

Giải:

Bỏ qua tác dụng của ngoại lực (trọng lực), sử dụng phương trình (2.17'):

lnm0

v u

 m (1)

Với: t = 10 s thì m = 6000 – 20.200 = 4000 kg. Thay các giá trị vào (1), ta có vận tốc: v  405 m/s.

Ví dụ 2.2

Giải bài toán trong ví dụ 2.1 có xét đến trọng lực.

Giải:

Khi xét đến trọng lực, phương trình được viết thành:

dv dm

m P u

dt   dt (1)

Chiếu (1) lên phương chuyển động, ta được:

dv dm

m mg u

dt    dt (2)

Nhân 2 vế (2) với dt/m:

64

d dm

dv g t u

   m

Tích phân 2 vế từ thời điểm t = 0 đến t = 10 s, chú ý khi t =0 thì m = mo và v = vo = 0, ta được:

lnmo v gt u

   m (3)

Thay g = 9,81 m/s2 vào (3), ta được: v  307 m/s.