Áp lực của chất lỏng lên thành cong

I.5.1. Tính toán áp lực chất lỏng lên thành cong (Chất lỏng trọng lực, mặt đẳng áp nằm ngang)

 Tìm ⃗P tác dụng lên mặt cong  (trị số, điểm đặt): cách làm là không tính trực tiếp ⃗P mà trước hết tính các hình chiếu của nó (tức là Px, Py, Pz) sau đó tổng hợp lại.

 Quy ước x0y là mặt phẳng nằm ngang.

 Phương pháp xác định Px và Py là như nhau, Pz phải xác định riêng.

Hình chiếu của ⃗Px : h/chiếu của P lên Ox

áp lực tổng ⃗P ⃗Py : h/chiếu của P lên Oy

⃗Pz : h/chiếu của P lên Oz

 ⃗ P=⃗ Px+⃗ Py+ ⃗ Pz

 Trị số: P = √ Px

2+ P2y+ P2z

 Phương pháp xác định Px và Py:

- Xét một vi phân diện tích d ở độ sâu h, (bỏ qua p0 vì đang tính áp lực chỉ do chất lỏng gây ra hay còn gọi là áp lực dư) ta có:

- Áp suất lên d: p = .h

- Áp lực lên d : dP = p.d = .h. d

- Gọi dx, dy, dz là hình chiếu của d tương ứng lên 3 mặt phẳng lần lượt vuông góc với trục 0x, 0y và 0z  dx, dy là các mặt phẳng thẳng đứng; dZ là hình chiếu của d lên mặt thoáng của chất lỏng (mặt phẳng vuông góc với 0z).

- Chiếu dP lên 3 trục 0x, 0y, 0z:

dPx = dP.cos(n,x) = pCx .d.cos(n,x) = . hCx .d. cos(n,x) = . hCx. dx

dPy = dP.cos(n,y) = pCy .d.cos(n,y) = . hCy .d. cos(n,y) = .hCy. dy

dPz = dP.cos(n,z) = pCz .d.cos(n,z) = . hCz .d. cos(n,z) = .hCz. dz

ở đây: ⃗n : pháp tuyến của d;

-21-

x, y, z là hình chiếu của  lên 3 mặt phẳng toạ độ.

pCx, pCy, pCz là áp suất tại trọng tâm của các hình chiếu x, y, z

hCx, hCy, hCz là độ sâu trọng tâm của các hình chiếu x, y, z

dx, dy : hình chiếu của d lên các mặt phẳng  với 0x và 0y  dx, dy là các mặt phẳng thẳng đứng.

1) Tính Px và Py:

Px =

∫

ωx

γ . h . dωx

= pCx.x = .hCx.x và Py =

∫

ωy

γ . h. dωy

= pCy.y = .hCy.y

2) Tính PZ: (đặc biệt hơn so với hai thành phần kia) - Gọi dz là hình chiếu của d lên mặt nằm ngang.

 dV = h .dz   .dV = Trọng lượng cột chất lỏng cao h, diện tích đáy là dz

Vậy : Pz = ∫

ω

γ.dV

= .V

 Pz = .V

 Pz được tính như trọng lượng của thể tích chất lỏng V

 V (vật áp lực) được giới hạn như sau:

- Dưới : bởi chính mặt cong 

- Trên : hình chiếu của mặt cong  lên mặt nằm ngang có áp suất bằng áp suất khí quyển.

- Xung quanh : mặt trụ thẳng đứng, tựa vào biên của diện

tích  và biên của hình chiếu của  lên mặt nằm ngang kể trên.

 Vậy tính Pz  dẫn tới việc tìm V.

 Tóm lại : P = √ Px2+ P2y+ P2z

trong đó : Px = pCx .x Py = pCy .y Pz = .V

Với pC = áp suất tại trọng tâm mặt trụ, cũng là trọng tâm các hình chiếu x và y.

 Một số trường hợp đặc biệt 1) Mặt trụ có đường sinh nằm ngang

-22-

h dv

dP z

Chiếu lên mp nằm ngang

V

dZ

d





 Px

Pz

P

z

x

 Tính trị số áp lực P: Ta chọn một trong hai trục ngang là x hoặc y trùng với phương đường sinh, chẳng hạn chọn Oy // đường sinh  Py = 0  dẫn tới bài toán hai chiều x,z

P = Px + Pz (Pz có thể hướng xuống (-) hoặc lên (+) )

 P = √ Px2+ Pz2

 Xác định vị trí điểm đặt (góc ) - xem hình

 = arctg ( Pz Px )

2) Mặt cầu hoặc một phần của mặt cầu

- Bài toán 3 chiều. Trong một số trường hợp có thể đưa về bài toán 2 chiều.

I.5.2. Vật áp lực

- Thể tích hình trụ giới hạn dưới bởi mặt cong mà ta đáng xét, mặt bên thẳng đứng, tỳ lên mép của thành cong và kéo dài đến khi cắt mặt thoáng hoặc của mặt thoáng kéo dài hoặc (chính xác hơn) mặt nằm ngang có áp suất bằng áp suất khí quyển, gọi là vật áp lực.

- Trọng lượng của vật áp lực thể hiện thành phần thẳng đứng Pz của áp lực P.

Chú ý: Thường ta quy ước trục z hướng lên trên

1- Vật áp lực chỉ có chất lỏng ở ngay phía

trên mặt cong : Pz hướng xuống dưới.

2- Vật áp lực có chỉ có chất lỏng phía

dưới mặt cong: Pz hướng lên trên.

I.5.3. Định luật Ác-xi-mét (Archimedes)

3.1 Bài toán: Tìm lực tác dụng của chất lỏng trọng lực cân bằng lên vật rắn nhúng chìm hoàn toàn trong đó.

- Vật rắn có thể tích V  Ta tìm các lực thành phần rồi cộng vào.

-23- Vật áp lực

Hìng chiếu của mặt cong lên mặt thoáng

Mặt cong

X Y

Z 0

A

B

B' A' Vật áp lực

Hình chiếu mặt cong lên mặt phẳng nằm ngang có

áp suất tuyệt đối bằng p a

Mặt cong chịu áp

b a

A B

Pz

b a

A

B Pz

B

b a

A Pz

b a

Pz A

B

(A) (B) (C) (D)

A' B'

A B

C

D V

- Tưởng tượng vật rắn được bao quanh bởi một số các mặt cong, ta lần lượt tìm Δ⃗Px , Δ ⃗ Py

, Δ⃗Pz lên từng mặt cong S thành phần, tiếp đó ta tìm hợp lực:

⃗Px=ΣΔ {⃗Px¿

⃗ Py=ΣΔ { ⃗ Py¿ các Pi chỉ cùng phương, chưa chắc

⃗Pz=ΣΔ {P⃗z¿

cùng chiều

Hệ quả: hợp lực theo phương x: ⃗Px=ΣΔ {⃗Px¿

= 0 hợp lực theo phương y: ⃗ Py=ΣΔ { ⃗ Py¿ = 0

 làm vật bị nén lại chứ không làm nó chuyển động

 Vậy lực tác dụng lên vật ⃗P=⃗Pz

- Tưởng tượng vật V bao bởi hai mặt cong:

ACB (trên) và ADB (dưới) như hình bên.

a) Lực tác dụng lên mặt cong trên:

PZ

1=γ.VACBB ' A '=γ.V1

(hướng đè xuống dưới)

b) Lực tác dụng lên mặt cong dưới:

PZ

2=γ.V ADBB' A '=γ.V2

(hướng đẩy lên trên)

 Lực tác dung lên vật: PZ = PZ2−PZ1 = .(V2 – V1) = .V

 P = PZ = .V : Hướng lên trên 3.2 Định luật

Một vật rắn ngập hoàn toàn trong chất lỏng chịu tác dụng của một lực:

+ hướng lên trên,

+ có trị số bằng trọng lượng khối  Lực đó gọi là lực đẩy nổi hay lực

chất lỏng bị vật rắn choáng chỗ. nâng Ác- xi-mét.

Bài tập ví dụ về tính toán áp lực lên mặt cong:

Bài toán:

-24-

W

VËt nhóng chìm hoàn

toàn

F

Trôc quay B

R

A 0

n íc

ChÊt láng S2

h 2

h 1

ChÊt láng S 1

Mặt trụ 1/4 h×nh tròn

Cửa cống 1/4 hình trụ tròn xoay nằm ngang AB được thiết kế như hình vẽ, có thể quay quanh bản lề trụ tại B. Biết bán kính trụ bằng R= 2 m, rộng b= 3 m (vuông góc với mặt phẳng tờ giấy), các khoảng cách h1= 0,8 m, chênh lệch cột chất lỏng trong ống đo áp hình chữ U là h2= 30 cm, tỷ trọng các chất lỏng lần lượt là S1 = 0,8 và S2= 13.

Tính lực F nhỏ nhất để giữ cửa cống không bị bật ra, bỏ qua trọng lượng cửa cống và các lực ma sát nếu có.

Bài giải:

Cửa cống AB nằm cân bằng dưới tác dụng của mô men lấy quanh trục B của áp lực thủy tĩnh P gây bởi chất lỏng S1 và lực F. Vậy điều kiện cân bằng là

 MB(Qi) = 0 (1)

trong đó Qi là ngoại lực tác dụng lên mặt cong AB (phản lực tại B không gây mô men quay quanh trục B nên không cần tính đến).

 Tính áp lực thủy tĩnh P

- Lập hệ tọa độ vuông góc 3 chiều 0xyz như hình vẽ, trục 0y vuông góc với mặt phẳng tờ giấy. Gọi các thành phần chiếu lên 3 trục của áp lực thủy tĩnh P lần lượt là Px, Py và Pz.

- Thành phần các áp suất thủy tĩnh py song song với trục 0y (và cả đường sinh của mặt trụ) sẽ bằng 0 theo tính chất của áp suất thủy tĩnh (hướng vào và vuông góc với mặt chịu áp), do đó thành phần áp lực Py = 0.

 Tính hai thành phần PX và PZ.

 Tính PX = ?

Gọi x là hình chiếu của mặt cong AB lên mặt phẳng vuông góc với trục 0x, đó là một hình chữ

nhật: x= b  R (2)

Theo công thức tính áp lực thủy tĩnh lên mặt phẳng ta có: PX = pCx   x (3)

trong đó pCx là áp suất thủy tĩnh tại trọng tâm C của hình chữ nhật x. Sử dụng áp suất dư, ta có:

pCx = h2.2 – h1. –

R 2.

1 = h2.S2. – h1. –

R 2.

S1. =

-25-

F

R

A 0

n íc

ChÊt láng S2

h2

h 1

ChÊt láng S 1

z

x

P

h

PZ PX

Vật áp lực(+)

B

H

K

D 

Giới hạn trên của vật áp lực, nơi có áp suất d bằng 0

= .( h2.S2 – h1 –

R 2.

S1) = 9810  (0,313 – 0,8 –

2

2  0,8) = 22563 (N/m2) (4)

Thế các pt (3) và (4) vào pt(2): PX = pCx  b  R = 22563  3  2 = 135378 (N)

 Tính PZ = ?

Theo công thức tính thành phần thẳng đứng của áp lực thủy tĩnh lên mặt cong ta có:

PZ = VAL  1 (5)

trong đó VAL là thể tích vật áp lực tương ứng của mặt cong AB.

Để xác định thể tích thực tế của vật áp lực, ta tính áp suất dư tại điểm B.

pB = pCx –

R 2.

1 = pCx –

R 2.

S1. = 22563 –

2

2  0,8  9810 = 14715 (N/m2) > 0 , vì vậy độ cao cột chất lỏng S1 đo áp tại B, cũng chính là mặt thoáng hay giới hạn trên của vật áp lực cao hơn điểm B một đoạn h =

pB γ×S1 =

14715

9810×0,8 = 1,875 (m) Vậy thể tích của vật áp lực là: VAL = [(h + R).R –

1 4.

.R2]b = R.b.(h + R – πR

4 ), thế vào pt(5) ta có:

PZ = R.b.(h + R – πR

4 )  S1. = 23(1,875 + 2 – π

2 )  0,8  9810  108501 (N) Vậy áp lực thủy tĩnh P = √ Px2+ Pz2 = √1353782+1085012  173493 (N)  173,5 kN

- Điểm đặt của P xác định bởi góc của P so với phương ngang là :

 = arctg Pz

Px = arctg

108501

135378  38,71. Gọi điểm đặt của áp lực P là D, từ D hạ đường DK vuông góc với OB và xét hai tam giác vuông BH0 và DK0. Có góc HB0=  (2 góc có cạnh tương ứng vuông góc), do đó BH = R.cos  và đó là cánh tay đòn của P.

 Tổng hợp mô men của các ngoại lực tác dụng vào mặt cong AB quanh trục quay B - Tính mô men của áp lực P quanh tâm quay B: MB(P) = P. BH = P. R.cos  =

= 173493  2  cos 37,71 = 270757 (N.m), mô men này phải cân bằng với mô men do lực F gây ra cũng lấy xung quanh trục quay B (với cánh tay đòn là đoạn B0, vì phương của F nằm ngang) theo phương trình (1), vậy: F.R = P.BH = 270757 (N.m)

 F = P.BH

R =

270757

2  135378 (N)  135,4 kN

-26-

Kết luận: để giữ cửa cống AB không bị bật ra, ta cần tác dụng một lực F tối thiểu bằng 135,4 kN, phương và chiều như hình vẽ.

-27-