II.2. Các phương trình cơ bản của thủy động lực học
II.2.3. Phương trình động lượng (phương trình bảo toàn động lượng)
II.2.3.a. Phương trình động lượng đối với dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chảy ổn định
- Là phương trình lập nên mối quan hệ giữa sự biến thiên động lượng với các ngoại lực tác dụng.
- Áp dụng định luật động lượng: “Đạo hàm động lượng của một vật thể theo thời gian bằng hợp lực của các ngoại lực tác dụng vào vật thể”.
d ⃗ M
dt = ⃗F
Nói ngắn gọn: Xung lực = Biến thiên động lượng Điều kiện là:
- Dòng ổn định - = const
- Không ma sát (chất lỏng lý tưởng)
- Xét 1 đoạn dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng như hình vẽ
1) Thành lập phương trình động lượng cho dòng nguyên tố
Δ ⃗ ĐL =⃗ ĐL1'−2' −⃗ ĐL1−2 =⃗ ĐL2−2' − ⃗ ĐL1−1'
(1)
Viết lại phương trình (1):
Δ ⃗ ĐL = ⃗ ĐL2−2' − ⃗ ĐL1−1' = ρ . dW2. ⃗ u2− ρ . dW1. ⃗ u1= ρ . ( ⃗ u2. dt . dω2. ⃗ u2− ⃗ u1. dt . dω1. ⃗ u1) =
¿ ρ . dQ . (⃗ u2− ⃗ u1). dt
Chia 2 vế cho dt, kết hợp với định lý động lượng nêu trên, viết cho dòng nguyên tố, ta có:
u 1. dt
u2. d t 1
1 '
2 2 '
u1
u2
D ò n g n g u y ê n t ố
1 1 '
2
2 ' d W 2
d W 1
2
d
1
d
trong đó : - động lượng của vật thể ⃗ M (kg . m/s )= m . ⃗ u
- m = khối lượng (kg) - ⃗u = vector vận tốc (m/s)
- ⃗F = hợp các ngoại lực tác dụng vào vặt thể
Để thoả mãn phương trình liên tục
-42-
⃗f=ρ. dQ .(⃗u2 − ⃗u1) (2)
là phương trình động lượng viết cho dòng nguyên tố, chất lỏng lý tưởng (bỏ qua ma sát) trong đó ⃗f là hợp các ngoại lực tác động lên đoạn dòng nguyên tố (gồm các lực mặt và lực khối).
2) Tích phân phương trình động lượng cho toàn dòng (cộng động lượng của các dòng nguyên tố xếp cạnh nhau vào với nhau)
ĐLtoàn dòng= ∫
m/cắt ướt
Đ Lcác dòng nguyên tố xếp cạnh nhau= ∫
ω
ρ. dQ. u=∫
ω
ρ.u2.dω
= ĐLtính theo u = ĐLthực ĐLtoàn dòng tính theo v = .v.Q = .v2.
- Làm thí nghiệm và lập tỷ số
ĐL(u)
ĐL(v)=α0=1,03÷1,05
gọi là hệ số hiệu chỉnh động lượng (hiệu chỉnh động lượng toàn dòng tính theo v - không chính xác - về động lượng toàn dòng tính theo u - chính xác). Các thí nghiệm cho thấy rằng hệ số này thường nhỏ hơn hệ số hiệu chỉnh động năng đối với cùng một mặt cắt ướt và trong cùng điều kiện chảy.
- Cuối cùng, phương trình động lượng viết cho toàn dòng có dạng:
⃗ F= ρ . Q . ( α02. ⃗ v2 − α01. ⃗ v1)
(3) - F có thể là hợp của các lực: (1) Lực mặt: áp lực P, lực ma sát Fms, phản lực từ thành rắn R và (2) Lực khối: trọng lực G.
- Một cách phát biểu tổng quát hơn (và thuận tiện hơn trong tính toán), có thể nói:
⃗F= Σ ⃗ĐLra− Σ⃗Đ Lvào đối với mặt kiểm tra, trong đú Σ ⃗ ΔL = Σ ( α0. ρ . Q . ⃗ v )
Trong khi làm bài tập sinh viên có thể giả thiết 0 1,0 cho đơn giản.
Những chú ý khi áp dụng phương trình động lượng:
Mặt giới hạn đoạn dòng đang xét gọi là mặt kiểm tra; có thể có nhiều mặt cắt ướt trên 1 mặt kiểm tra; tại mỗi mặt cắt ướt này dòng chảy có thể hoặc đi ra hoặc đi vào mặt kiểm tra. Các lực mặt (áp lực, lực ma sát) phải được tính đủ trên tất cả các phía của mặt kiểm tra, lực khối tác dụng vào đoạn dòng cũng phải tính đủ trong khối kiểm tra đó.
Tại các mặt cắt ướt giới hạn đoạn dòng, dòng chảy phải là đổi dần (để đảm bảo lưu tốc trung bình mặt cắt được xác định hoàn toàn cả về hướng và trị số, và áp suất trên mặt cắt ướt mới phân bố theo quy luật thủy tĩnh).
Định luật (hay phương trình) động lượng có thể viết dưới dạng hình chiếu lên một trục tọa độ x bất kỳ: Fx = (0..Q.V)xra
- (0..Q.V)xvào
-43-
- Tuy nhiên phải rất chú ý tới chiều của trục tọa độ để xác định chính xác dấu của các véc tơ lực và động lượng trong phương trình hình chiếu, đối với một mặt cắt ướt nào đó; áp lực, như chúng ta đã biết, có chiều luôn hướng từ ngoài vào trong mặt cắt ướt.
- Nếu gọi là góc giữa chiều dương của trục toạ độ chiếu với phương của vectơ vận tốc ⃗ v thì dấu của cos sẽ tuỳ theo trị số của .
Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1: Một đoạn ống chạc 3 trục nằm ngang dẫn chất lỏng có tỷ trọng 0,83 phun vào không khí theo hai đoạn ống đặt lệch các góc α=600 và β=450 như hình vẽ. Biết số đọc áp suất dư trong ống chính bằng 70 kPa; lưu lượng qua các ống (2) và (3) lần lượt bằng 240 và 360 l/s, với các đường kính tương ứng
150 và 300, còn ống chính (1) là 540.
Hãy xác định trị số và đường tác dụng của lực R cần thiết để giữ đoạn ống đứng yên khi có dòng chảy, bỏ qua lực nội ma sát của chất lỏng.
Bài giải
Để áp tính toán phản lực R ta áp dụng phương trình động lượng cho khối kiểm tra là đoạn dòng chạc 3 giới hạn bởi thành ống và các mặt cắt (1), (2) và (3):
Σ ⃗ Mra− Σ ⃗ Mvao =Σ F ⃗
ở đây F chỉ còn là hợp lực của áp lực dư tại mặt cắt (1) và phản lực R, vì áp suất dư tại các mặt cắt (2) và (3) đều bằng 0. Để thuận tiện ta lập hệ trục toạ độ vuông góc 0xy như hình vẽ, lấy làm cơ sở viết lại phương trình động lượng dưới dạng hình chiếu các véc tơ:
Theo trục 0x: ( Q2.V2.cos α + Q3.V3.cos β) = Rx
hay Rx = (Q2.V2.cos α Q3.V3.cos β) (1) Theo trục 0y: (Q2.V2.sin α + Q3.V3.sin β Q1.V1) = P1 Ry
hay Ry = P1 (Q2.V2.sin α + Q3.V3.sin β Q1.V1) (2)
với P1= p1 π.d12
4 = 7.104
π.0,542
4 = 16032 (N) - Tính lưu lượng và lưu tốc trung bình tại các mặt cắt:
Theo phương trình liên tục: Q1 = Q2 + Q3 = 0,24 + 0,36 = 0,60 (m3/s) -44-
d 1 d 3 d 2
Q 1 Q 2
R
x y Q 3
0
p 1
V1 = 4Q1
π.d12= 4×0,6
π×0,542≈2,62 (m/s)
; V2 =
4.Q2
π.d22=4×0,24
π×0,152≈13,58 (m/s)
; V3 =
4Q3
π.d32=4×0,36
π×0,32≈5,09 (m/s)
;
Chất lỏng có tỷ trọng S = 0,83 = 830 kg/m3. Thế các trị số kể trên vào các phương trình hình chiếu (1) và (2):
P/t(1): Rx = 830 (0,24 13,58 cos600 0,36 5,09 cos450) 277,22 (N) P/t(2): Ry = 16032 830(0,36 5,09 sin450 + 0,24 13,58 sin600 - 0,6 2,62)
=
13919 (N) = 13,92 kN.
R= √ Rx2+ R2y= √ 277 , 222+139192= 13922 (N) ≈ 13,92 kN
Đường tác dụng của phản lực R có thể xác định bởi góc giữa phương của lực với trục nằm ngang: = arctg
Ry
Rx = arctg
13919
277,22 ≈ 88,860 Kết luận: Phản lực cần thiết để giữ đoạn ống đứng yên bằng 13,92 kN, đặt nghiêng với phương trục 0x một góc 88,86.
Ví dụ 2: Một dòng nước với lưu lượng Q1= 100 l/s và vận tốc V1=10 m/s bị chia thành hai bởi một thiết bị chia dòng hình nêm như hình bên. Góc của các dòng tia lệch so với phương 0x tương ứng là =45˚, =120˚
và =100˚; lưu lượng qua mặt cắt (2-2) đo được bằng 70 l/s. Hãy xác định lực tác dụng của dòng tia đối với thiết bị chia dòng cả về trị số và hướng, biết các dòng tia đều có trục nằm trên mặt phẳng nằm ngang và bỏ qua mọi ma sát của dòng tia.
Bài giải
Theo nguyên lý lực tác dụng và phản lực thì lực F gây ra bởi dòng tia đối với khối chia dòng bằng về trị số đối với phản lực của khối tác dụng vào dòng tia và có hướng ngược chiều, tức là F= R, với R là phản lực của khối tác dụng vào dòng chảy.
Sử dụng phương trình động lượng cho mặt kiểm tra đi qua mặt cắt ướt của các dòng tia như hình vẽ (minh hoạ bằng đường nét đứt trên hình), ta có :
Σ ⃗ Mra− Σ ⃗ Mvao =Σ F ⃗
-45-
2
2
3 3 1
Q 1 1
R
Q 2
Q 3 Khèi ph©n
dòng
x y 0
ở đây F chỉ gồm phản lực R vì toàn bộ dòng tia đều thuộc loại dòng chảy hở với áp suất tại mọi điểm trên mặt kiểm tra đều bằng áp suất khí quyển và do đó bằng nhau;
hơn nữa cũng vì dòng chảy hở nên V1 = V2 = V3 = V.
Lập hệ toạ độ vuông góc 0xy là mặt phẳng nằm ngang đi qua trục của các dòng tia và viết phương trình động lượng dưới dạng hình chiếu lên hệ tọa độ vừa lập, ta có:
Trục 0x: .V[Q2.cos + Q3.cos (180+) Q1.cos ] = Rx
Rx = .V (Q2.cos 120˚ + Q3.cos 280˚ Q1.cos 45˚) (1) Trục 0y: .V [ Q2.cos ( 90) + Q3.cos (90+ ) Q1.cos (90 )] = Ry
Ry = .V (Q2.cos 30˚ + Q3.cos 190˚ Q1.cos 45) (2)
Theo phương trình liên tục: Q3 = Q1 – Q2 = 0,1 0,07 = 0,03 (m3/s), thay vào các phương trình trên, ta được:
Rx = - 1000 10 [ 0,07 (0,5) + 0,03 0,174 – 0,1 0,707 ] = 1004,8 (N) Ry = - 1000 10 [ 0,07 0,866 + 0,03 (0,985) – 0,1 0,707 ] = 396,3 (N) Vậy lực cần tác dụng để giữ khối chia dòng đứng yên là:
R= √ Rx
2+ R2y= √ 1004 , 82+396 ,32 ≈ 1079,4 (N) ≈ 1,079 kN = F.
Phương của R có thể xác định qua góc = arctg Ry
Rx = arctg 396,3
1004,8 ≈ 21,520
Kết luận: Lực tác dụng của dòng tia lên khối hình nêm đứng yên bằng 1,08 kN, có phương hợp với trục 0x một góc 21,52, chiều ngược với chiều giả thiết của phản lực R trên hình.
-46-