Phương trình Bernoulli (phương trình năng lượng)

II.2. Các phương trình cơ bản của thủy động lực học

II.2.2. Phương trình Bernoulli (phương trình năng lượng)

II.2.2.a. Phương trình Bernoulli đối với dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng

- Là phương trình cân bằng năng lượng giữa hai mặt cắt đối với chất lỏng lý tưởng (không nhớt)  không có ma sát trong  không tổn thất năng lượng  Cơ năng của dòng chảy được bảo toàn.

- Cơ năng tại mặt cắt = Thế năng + Động năng - Áp dụng định lý biến đổi động năng:

Biến đổi động năng ĐN =  công C của các lực tác dụng Đ/k ở đây:

Các phương trình (4), (5) và (6) là các dạng của phương trình liên tục của toàn dòng chất lỏng chảy ổn định

-35-

Z1

Z2 2

2 2'

2'

X Z

u2

Z

mặt chuẩn nằm ng ang

1 1,p

d d2,p2

- Dòng ổn định -  = Const

- Không ma sát (chất lỏng lý tưởng) - Lực khối chỉ gồm trọng lực

1) Tính  động năng

Động năng của dòng nguyên tố =

dm.u2 2

trong đó dm = .dw = . d. u. dt = . dQ. dt (dm = vi phân khối lượng, dw = thể tích)

  ĐN = ĐN1'-2' – ĐN1-2 = (ĐN1'-2 + ĐN2-2' ) – ( ĐN1'-2 +ĐN1-1' ) (xoá được vì ĐN1'-2 = const do tính ổn định của dòng chảy)

 ĐN = ĐN2-2' – ĐN1-1' = . dQ. dt. (

u22−u12

2 ) (1)

2) Tính công C của các lực tác dụng (gồm các lực mặt và lực khối)

C = CP + CG (công của áp lực và trọng lực)

CP = CP1 + CP2 = p1. d1. dl1 – p2. d2. dl2 = p1. d1. u1. dt – p2. d2. u2. dt = = ( p1 – p2 ). dQ. dt

CG = . dQ. dt. ( z1 – z2 )

  C = . dQ. dt. (z1 – z2) + dQ. dt. (p1 – p2) (2) Kết hợp phương trình (1) với (2):

. dQ. dt. (u222−gu12) = . dQ. dt. (z1 – z2) + dQ. dt. (p1 – p2)

Chia 2 vế cho . dQ. dt (tức là viết phương trình cho một đơn vị trọng lượng chất lỏng) và sắp xếp lại, ta có:

z1 + p1

γ + u12

2g = z2 +

p2 γ +u22

2g (3) Phương trình (3) gọi là phương trình Bernoulli cho chất lỏng không nhớt Xét ý nghĩa của phương trình

1) Ý nghĩa hình học (thủy lực):

Các số hạng z ,

p γ ,

u2

2g đều thể hiện chiều cao, có đơn vị của độ dài (m)

Để thoả mãn phương trình liên tục

-36-

H

u2/2g : chiÒu cao l u tèc

z : chiều cao vị trí

mặt chuẩn 0-0 M

 p: chiều cao áp suất

z = chiều cao (cột nước) vị trí (m)

p

γ = chiều cao (cột nước) áp suất (m)

u2

2g = chiều cao (cột nước) lưu tốc (m)

= H: Tổng chiều cao hình học (cột nước thủy động lực) (m)

Ý nghĩa: Dọc theo một dòng nguyên tố của chất lỏng lý tưởng chuyển động, tổng chiều cao hình học (cột nước thuỷ động lực) là một hằng số (nhưng sẽ khác nhau đối với những dòng nguyên tố khác nhau).

2) Ý nghĩa năng lượng

Năng lượng = Cơ năng = Thế năng (et) + Động năng (eđ)

Hãy tính et , eđ cho một thể tích chất lỏng rất nhỏ V (z, p, u) et = . V. (z +

p

γ ) (Joule = Nm)

eđ = . V.

u2

2 g = . V.

u2

2 g (Joule)

Cơ năng: e = et + eđ = . V. ( z +

p γ +

u2

2 g ) = .V. Hđ (Joule) Cơ năng của một đơn vị trọng lượng (còn gọi là cơ năng đơn vị):

E =

e

γ . δxV = z + p γ +

u2

2 g = Hđ

Vậy: Hđ biểu thị cơ năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng chuyển động.

E = Hđ = Const dọc mỗi dòng nguyên tố do không có ma sát.

Phương trình Bernoulli có thể viết lại như sau:

z +

p γ +

u2

2 g = E = Const (dọc theo một dòng nguyên tố nào đó)

Ý nghĩa: Dọc theo một dòng nguyên tố của chất lỏng lý tưởng chuyển động, tổng cơ năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng là một hằng số.

3) Đường đo áp (đường thế năng) và đường tổng cột nước (đường năng)

 Đường đo áp: là đường đi qua các đỉnh các đoạn z +

p

γ (tính từ mặt chuẩn) Cộng

Tức là chia cho trọng lượng khối chất lỏng .dVdV

-37-

 Đường tổng cột nước (đường năng): là đường đi qua đỉnh các đoạn z +

p γ +

u2 2 g

 Đường năng xây dựng từ đường đo áp cộng thêm lên một đoạn

u2 2 g

 Độ dốc thủy lực: là độ dốc của đường năng, cho ta biết tổn thất cột nước tính trên mỗi đơn vị độ dài của dòng chảy. Đối với dòng nguyên tố, độ dốc thủy lực:

J’ = –

dH

dl =− d

dl ( z + γ p + u2

2 g ) . Đối với dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng J’= 0

 Độ dốc đo áp: là độ dốc của đường đo áp. Đối với dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng, độ dốc đo áp: Jp’ =

d

dl ( z + p γ ) , J

p’ có thể > 0 hoặc  0 II.2.2.b. Phương trình Bernoulli đối với dòng nguyên tố chất lỏng thực - Lý tưởng : E1 = E2 (cơ năng đơn vị J/N = m)

- Thực : E1 > E2 (do có ma sát  có tổn thất năng lượng) - Gọi E1 – E2 = h'W1-2 = tổn thất cơ năng

cột nước trên đoạn dòng chảy 1-2 của dòng nguyên tố Từ đó phương trình Bernoulli (3) cho chất lỏng lý tưởng suy ra PT B cho chất lỏng thực (chất lỏng nhớt) có dạng:

z1 + p1

γ + u12

2g = z2 + p2

γ + u22

2g + h'W1-2 (4)

II.2.2.c. Phương trình Bernoulli đối với toàn dòng chất lỏng thực Phương trình Bernoulli cho toàn dòng tìm bằng cách

tích phân phương trình Bernoulli viết cho dòng nguyên tố.

Cách làm: sử dụng phương trình (4):

 Phương trình (4) là viết cho một dòng nguyên tố bất kỳ trong thành phần của cả dòng chảy.

 Phương trình (4) cũng là viết cho một đơn vị trọng lượng chất lỏng (1 N).  Nếu viết cho .dQ (trọng lượng của lưu lượng : N/s) thì:

-38-

,V Toàn dòng

dòng nguyên tố



p , u , z d,

z +

p γ +

u2

2 g  ( z +

p γ +

u2

2 g ). . dQ (watt) h'W1-2  h'W1-2 . . dQ (watt)

Tiếp đó từ d  mở rộng ra  

∫ω

Khi đó sẽ xuất hiện 3 tích phân sau:

 Xét tích phân (*): ∫

ω

(z+p γ ).γ.dQ

= ?

 Chỉ xét trên những mặt cắt ướt phẳng

Ta có thể CMR trên những mặt cắt ướt như vậy, áp suất p phân bố theo quy luật của áp suất thuỷ tĩnh, nghĩa là trên cùng một mặt  ta có: z +

p

γ = const.

Vậy: ∫

ω

(z+p γ).γ.dQ

= .( z +

p

γ ). ∫

ω

dQ

= .( z +

p

γ ).Q (watt) (5)

 Tích phân (**): ∫

ω

u2 2g.γ.dQ

= Động năng tính theo u = ĐNthực tế (Lưu ý: Động năng =

m.u2

2 , với một đơn vị khối lượng, động năng = ρ.u2

2 =γ.u2 2.g )

- Nếu thay u bởi v (lưu tốc trung bình mặt cắt) thì: ĐNtính theo V =

v2

2 g ..Q

Tính toán trực tiếp cho thấy ĐN(v) < ĐN(u)  ĐN(u) = ĐN(v)  

 =

§éng n¨ng(u)

§éng n¨ng(v) = hệ số hiệu chỉnh động năng (hệ số Coriolis) =

∫

ω

u2 2.g.γ.dQ

v2 2.g.γ.Q - Trong những dòng đều thường gặp:  = 1,05  1,10

- Thực nghiệm cho thấy khi u thì   : lưu tốc phân bố đều hơn trên mặt cắt (xem hình).



∫ω

u2

2 g . γ . dQ

= α.v2

2g .. Q (watt) (6)

∫ω

(z+p γ).γ.dQ

(*) ∫

ω

u2 2g.γ.dQ

(**)

∫

ω

h'¿.γ.dQ

(***)

-39-

lín

  nhá

 Tích phân (***): ∫

ω

h

'W1−2

.γ.dQ

= hW

1−2 . .Q (7)

trong đó hW

1−2 : Tổn thất cột nước trên đoạn 1-2 lấy trung bình cho tất cả các dòng nguyên tố.

Ráp lại, chia 2 vế cho .Q, ta được:

z1 + p1

γ + α1.v

12

2g = z2 + p2

γ + α2.v

22

2g + hW

1−2 (đơn vị: mét) (8) Đó là phương trình Bernoulli viết cho 1 đơn vị trọng lượng (1 N) chất lỏng của toàn dòng chất lỏng thực.

 Điều kiện áp dụng phương trình: 5 điều kiện (rất quan trọng)

1. Dòng ổn định ( tức là dQ

dt =0 )

2. Mặt cắt ướt phẳng hoặc  phẳng (  đường dòng //  tức là không có lực quán tính ly tâm do chuyển động không thẳng  dòng chảy là đều hoặc nếu có đổi thì chỉ đổi dần)

3. Chất lỏng không nén được (để =const)

4. Chất lỏng trọng lực (lực khối trong đoạn dòng chỉ gồm trọng lực).

5. Q1 = Q2 = Q (không có nhập, phân lưu trên đoạn dòng, thoả mãn phương trình liên tục)

II.2.2.d Ứng dụng phương trình Bernoulli để giải bài toán thuỷ động

Các bước tiến hành:

1) Chọn mặt chuẩn 0-0: luôn là mặt phẳng nằm ngang, có thế năng = 0, lấy làm chuẩn để tính toán cột nước.

2) Chọn mặt cắt viết phương trình Bernoulli: hai mặt cắt, các mặt cắt này phải  với các đường dòng, và các đường dòng phải // nhau (hoặc gần //), hơn nữa tại đó phải chứa các đại lượng đã cho hoặc cần phải tính toán.

3) Viết phương trình Bernoulli cho 2 mặt cắt, chú ý tới áp suất: hai mặt cắt phải cùng một loại áp suất, thường lấy áp suất tuyệt đối.

4) Xem lại các điều kiện viết phương trình: 5 điều kiện là dòng chảy phải ổn định; tại mặt cắt ướt viết phương trình dòng chảy phải là đổi dần; chất lỏng không nén được, lưu lượng không đổi trong đoạn dòng giữa 2 mặt cắt (không có phân/nhập lưu), lực khối chỉ là trọng lực.

-40-

5) Liệt kê các tổn thất năng lượng trong đoạn dòng từ mặt cắt (1-1) tới (2-2), gồm tất cả các tổn thất cục bộ và dọc đường.

6) Thay thế các đại lượng vào phương trình chung.

7) Giải bằng chữ, chọn hệ đơn vị, thay bằng số.

 Với các bài toán thủy động ta chưa xét tới tổn thất năng lượng : hw = 0. Vấn đề đưa thành phần tổn thất năng lượng vào sẽ được giải quyết ở chương sau (bài toán thủy động lực).

 Ví dụ: giải bài toán có sử dụng phương trình Bernoulli Bài toán: Một bể chứa hở dưới đáy được gắn một đường ống thoát có thiết diện  và miệng ống đặt thấp hơn mực chất lỏng trong bể một đoạn H như hình vẽ. Giả thiết trong quá trình tháo mực nước trong bể được giữ không đổi, bỏ qua mọi tổn thất cột nước trong hệ thống.

Yêu cầu:

1. Tìm lưu tốc v và lưu lượng Q chảy qua ống thoát.

2. Áp dụng bằng số với H= 4 m, = 1 dm2, chất lỏng là nước với  = 9810 N/m3.

3. Nếu ta nâng (hoặc hạ) độ cao đầu ra của ống thì lưu lượng chảy qua ống sẽ thay đổi thế nào ?

Giải:

1) Lưu lượng tháo được xác định bởi công thức: Q = v.

trong đó v là lưu tốc dòng chảy trong ống (lưu tốc trung bình mặt cắt ướt) và  là diện tích thiết diện ống.

Viết phương trình Bernoulli cho đoạn dòng giới hạn bởi hai mặt cắt: (1-1) trùng với mặt nước trong bể, và (2-2) là mặt cắt cửa ra của ống; lấy mặt chuẩn (0-0) nằm ngang đi qua tâm của mặt cắt (2-2):

z1+p1

γ +α1.v12

2g =z2+ p2

γ +α2 .v22

2g + hW1-2 (1)

Tại mặt thoáng v1= 0; hW1-2 = 0 theo giả thiết, vậy phương trình (1) viết lại như sau:



z1+pa

γ +0=z2+pa γ + v22

2g (coi 2  1)



v22

2 g = z1− z2= H

 v2 = √ 2. g. H (2)

-41-

Const Q

H

Q

1 1

2 2

0 0

Mặt khác lưu lượng Q = v.  = v2.  (3) trong đó  là diện tích mặt cắt ngang ống dẫn.

Thay số: Lưu tốc V2 = √ 2×9 , 81×4 = 8,86 (m/s)

Lưu lượng Q = 8,86  0,01 = 0,0886 (m3/s) = 88,6 l/s KL: Lưu lượng chảy trong ống Q = 88,6 l/s

2) Theo phương trình (1), nếu ta nâng độ cao đầu ra của ống thoát thì H sẽ giảm (xem hình vẽ) do đó v  Theo phương trình (2) Q.