Bài 3: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC
3.1 Khái niệm về các phép chiếu
3.1.2. Phương pháp các hình chiếu vuông góc
Như trên ta thấy rằng một điểm A trong không gian có một hình chiếu A’ duy nhất trên mặt phẳng hình chiếu. Nhưng ngược lại điểm A’ không chỉ là hình chiếu của một điểm A duy nhất mà A’ còn là hình chiếu của vô số điểm khác nhau thuộc tia chiếu AB (H.
3-4).
Ta xem một vật thể là một tập hợp điểm nào đó. Vì vậy một hình chiếu của một vật thể trên một mặt phẳng hình chiếu chưa đủ để xác định hình dạng và kích thước của vật thể đó, nghĩa là căn cứ vào một hình chiếu, ta chưa thể hình dung hay xây dựng lại vật thể đó trong không gian. Ví dụ ở hình 3-5 hai vật thể có hình dạng khác nhau, song hình chiếu của chúng trên một mặt phẳng hình chiếu giống nhau.
Để diễn tả một cách chính xác hình dạng và kích thước của vật thể, trên các bản vẽ kỹ thuật dùng phép chiếu vuông góc chiếu vật thể lên các mặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau, sau đó gập các mặt phẳng hình chiếu cho trùng với một mặt phẳng (mặt phẳng bản vẽ), người ta được các hình chiếu vuông góc của vật thể.
Đó là phương pháp các hình chiếu vuông góc.
Để nghiên cứu biểu diễn vật thể, trước hết ta hãy nghiên cứu biểu diễn các yếu tố hình học điểm, đường thẳng và mặt phẳng.
3.2. Hình chiếu của điểm, đường thẳng và mặt phẳng
3.2.1. Hình chiếu của một điểm trên ba mặt phẳng hình chiếu
Trong không gian, ta lấy ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một làm ba mặt phẳng hình chiếu, trong đó:
- P1 ở vị trí thẳng đứng gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng.
- P2 ở vị trí nằm ngang gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng.
- P3 ở bên phải mặt phẳng P1 gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh.
Hình 3-4. Hình chiếu của các điểm A, B, C ... nằm trên một đườngthẳng
l
A B C
A’≡ B’≡ p
p
Hình 3-5. Hình chiếu của hai vật thể trên một mặt phẳng hình chiếu
24
Giao tuyến của các mặt phẳng hình chiếu gọi là trục hình chiếu, có ba trục hình chiếu là Ox, Oy và Oz. Giao điểm O của ba trục hình chiếu gọi là điểm gốc.
Chiếu vuông góc một điểm A trong không gian lên ba mặt phẳng hình chiếu, ta có: - A1 trên P1, điểm A1 gọi là hình chiếu đứng của điểm A.
- A2 trên P2, điểm A2 gọi là hình chiếu bằng của điểm A.
- A3 trên P3, điểm A3 gọi là hình chiếu cạnh của điểm A (H. 3-6).
Để vẽ ba hình chiếu của một điểm trên cùng một mặt phẳng, ta xoay P2 quang trục Ox và P3 quang trục Oz (theo chiều mũi tên) để P2 và P3 trùng với P1.
Ta có ba điểm A1, A2, và A3 là hình chiếu của điểm A trên ba mặt phẳng hình chiếu (H. 3-6) với các tính chất sau:
- Đường thẳng nối hình chiếu đứng A1 và hình chiếu bằng A2 vuông góc với trục Ox ( A1A2 ⊥ Ox ).
- Đường thẳng nối hình chiếu đứng A1 và hình chiếu cạnh A3 vuông góc với trục Oz (A1A3 ⊥ Oz ).
- Khoảng cách từ hình chiếu bằng A2 đến trục Ox bằng khoảng cách từ hình chiếu cạnh A3 đến trục Oz ( A2Ax = A3Az ).
Dựa vào các tính chất trên, bao giờ ta cũng vẽ được hình chiếu thứ ba khi biết hai trong ba hình chiếu của điểm.
A3
A1
AX
A2
A
x
y
z
0
AY
AZ
A2
A3
AZ
AX
AY
AY
0
450
Hình 3- 6. Hình chiếu của một điểm trên ba mặt phẳng h h hiế
z
x
y
y
P3 P1
P2
A1
25
3.2.2. Hình chiếu của đường thẳng - Hình chiếu của một đường thẳng
Để vẽ hình chiếu của một đường thẳng, ta chỉ cần vẽ hình chiếu của hai điểm nằm trên đường thẳng đó (H. 3-7).
- Hình chiếu của đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu + Trường hợp đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1
Hình chiếu của đường thẳng AB song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 như hình vẽ (H.3-8).
Tính chất:
* Độ dài hình chiếu đứng của đoạn thẳng AB bằng chính đoạn AB (A1B1 = AB).
* Hình chiếu bằng của AB song song với trục Ox (A2B2//Ox).
+ Trường hợp đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng (P2) hay mặt phẳng hình chiếu cạnh (P3) cũng có tính chất tương tự như trên.
- Hình chiếu của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu + Trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1
A3
P3
A
x
y
z
0
AY
AZ
A2
A3
AZ
AX
AY
0
Hình 3- 7. Hình chiếu của đường thẳng trên ba mặt phẳng hình chiếu z
x
y
y
BZ
B
B1
B2
B3 BX
BY
AX
A2
A1
P1
P2
A1
B1
B2
B3
BX BY
BY
BZ
AY
A3
P3
A
x
y
z
0
A2
A3
0
Hình 3- 8. Hình chiếu của đường thẳng
z
x
y
y
B
B1
B2
B3
A2
A1
P1
P2
A1
B1
B2
B3
26
Hình chiếu của đường thẳng AB vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 như hình vẽ (H.3-9).
Tính chất:
* Hình chiếu đứng của đường thẳng AB suy biến thành một điểm (A1 ≡ B1).
* Độ dài hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của đoạn AB bằng chính đoạn AB (A2B2
= A3B3 = AB).
+ Trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng (P2) hay mặt phẳng hình chiếu cạnh (P3) cũng có tính chất tương tự như trên.
3.2.3. Hình chiếu của mặt phẳng - Hình chiếu của một mặt phẳng
Ta biết rằng một mặt phẳng được xác định bởi ba điểm không thẳng hàng, do đó muốn vẽ hình chiếu của một mặt phẳng ta chỉ cần vẽ hình chiếu của ba điểm không thẳng hàng của mặt phẳng đó.
Hình chiếu của một mặt phẳng được xác định bởi ba điểm A, B và C là các đỉnh của một tam giác như sau (H. 3-10):
- Hình chiếu của mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu + Trường hợp mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1
A3
P3
A
x
y
z
0
A2
A3
0
Hình 3- 9. Hình chiếu của đường thẳng
z
x
y
y
B
B2
B3
A2
A1 ≡ B1
P1
P2
B2
B3
A1 ≡B1
B3 P3
A B
C A1
A2
A3
B2 C1
C2
C3
x
y z
0
P1
P2
A3
x
y
y z
A1
B1 B3
B2
A2
C3 C1
C2
0
Hình 3-10. Hình chiếu của mặt phẳng trên ba mặt phẳng ế
B1
27
Hình chiếu của mặt phẳng ABC song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 như hình vẽ (H.3-11).
Tính chất:
* Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh của mặt phẳng ABC suy biến thành đoạn thẳng và song song với trục hình chiếu (A2B2C2 // Ox và A3B3C3 // Oz).
* Hình chiếu đứng A1B1C1 bằng ABC.
+ Trường hợp mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng (P2) hay mặt phẳng hình chiếu cạnh (P3) cũng có tính chất tương tự như trên.
- Hình chiếu của mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu + Trường hợp mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1
Hình chiếu của mặt phẳng ABC vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 như hình vẽ (H.3-12).
Tính chất:
* Hình chiếu đứng của mặt phẳng suy biến thành một đường thẳng (A1, B1, và C1 thẳng hàng).
+ Trường hợp mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng (P2) hay mặt phẳng hình chiếu cạnh (P3) cũng có tính chất tương tự như trên.
B3 P3
A
B C A1
A2
A3
B2 C1
C2
C3
x
y z
0
P1
P2
A3
x
y
y z
A1
B1 B3
B2
A2
C3 C1
C2
0
Hình 3-11. Hình chiếu của mặt phẳng ABC
B1
B3
P3
A B
C A1
A2
A3 B2
C1
C2
C3
x
y z
0
P1
P2
A3
x
y
y z
A1
B1 B3
B2
A2
C3 C1
C2
0
Hình 3-12. Hình chiếu của mặt phẳng ABC
B1
28
3.3. Hình chiếu các khối hình học
Các khối hình học cơ bản thường gặp gồm có khối đa diện như: hình lăng trụ, hình chóp, hình chóp cụt và khối tròn như hình trụ, hình nón, hình nón cụt, hình cầu...
3.3.1. Hình chiếu của khối hộp Hình chiếu của khối hộp chữ nhật
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’, để vẽ hình chiếu của khối hộp ta đặt đáy ABCD song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 , mặt bên ABB’A’ song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P1. Hình chiếu của khối hộp trên ba mặt phẳng hình chiếu là các hình chữ nhật (H. 3-14).
Muốn xác định một điểm K nằm trên mặt của khối hộp, ta vẽ qua K đường thẳng nằm trên mặt của hình hộp.
3.3.2 Hình chiếu của khối trụ tròn xoay
Khối trụ được xem như khối tròn do một hình chữ nhật quay quanh một cạnh của nó tạo thành. Cạnh song song với trục quay tạo thành mặt bên của khối trụ, hai cạnh kia tạo thành hai mặt đáy (H. 3-18).
Khi vẽ hình chiếu, để đơn giản ta đặt đáy của khối trụ song song với mặt phẳng hình chiếu bằng, hình chiếu của khối trụ như hình vẽ (H. 3-19).
A
B C D
K
0
A2
A1 A3 B3
B2 B1 C1
C2
C3 D3
D2 D1 K1
K2
K3
x
y
y
z
Hình 3-18. Khối
Hình 3-19. Hình chiếu của khối
A
B C D
Hình 3-14. Hình chiếu của khối hộp chữ nhật
K B3 C3
C2 A1
A2
A3
B2 B1 C1 D1
D2
D3
K3 K1
K2
A’
B’
C’
D’
29
Muốn xác định một điểm nằm trên mặt khối trụ ta vẽ qua điểm đó một đường sinh hay đường tròn của mặt trụ.
3.3.3. Hình chiếu của khối nón tròn xoay
Khối nón tròn xoay được xem như khối tròn do một hình tam giác vuông quay quanh một cạnh góc vuông của nó tạo thành. Cạnh vuông góc kia sẽ tạo thành mặt đáy. Cạnh huyền tạo thành mặt bên của khối nón (H. 3-20).
Để vẽ hình chiếu của hình nón ta đặt đáy của hình nón song song với mặt phẳng P2, hình chiếu của khối nón như hình vẽ (H. 3-21).
Muốn xác định một điểm nằm trên mặt nón ta vẽ qua điểm đó một đường sinh hay một đường tròn của mặt nón.
3.3.4. Hình chiếu của khối cầu
Khối cầu là khối hình học giới hạn bởi mặt cầu. Hình chiếu của một khối cầu là một hình tròn có đường kính bằng đường kính của khối cầu. Hình tròn này là đường bao hình chiếu của khối cầu, đồng thời là hình chiếu của đường tròn lớn song song với mặt phẳng hình chiếu (H. 3-22).
Muốn xác định một điểm nằm trên mặt khối cầu, ta dựng qua điểm đó đường tròn nằm trên mặt cầu, đồng thời mặt phẳng chứa đường tròn đó song song với mặt phẳng hình chiếu.
0
A2
A1 A3 B3
B2 B1 C1
C2
C3 D3
D2 D1 K1
K2
K3
x
y
y
z
Hình 3-20. Khối
Hình 3-21. Hình chiếu của khối
A
B C K D
S S1
S2
S3
K2 01
02
0 K K1
x 0
y
y z
Hình 3-22. Hình chiếu của hình cầu
K3 03
30
a) b)
c) d)
3.4. Cách vẽ hình chiếu của vật thể
Để vẽ hình chiếu của vật thể, ta dùng cách phân tích hình dạng vật thể. Trước hết căn cứ theo hình dạng, kết cấu của vật thể, ta chia vật thể ra nhiều phần có hình dạng các khối hình học cơ bản và xác định vị trí tương đối giữa chúng, rồi vẽ hình chiếu của từng phần từng khối hình học cơ bản đó. Khi vẽ cần vận dụng tính chất của điểm, đường, mặt để vẽ cho đúng, nhất là giao tuyến của mặt phẳng với các khối hình học và giao tuyến của hai khối hình học.
Ví dụ: Vẽ ổ đỡ
Để thể hiện hình dạng thật các mặt của ổ đỡ, ta đặt mặt đế song song với mặt phẳng hình chiếu bằng và gân ngang song song với mặt phẳng hình chiếu đứng. Ta lần lượt vẽ các phần đế, ổ, gân đỡ như đã phân tích ở trên.