Các giả thiết nêu trên được rút ra từ thực nghiệm và cho phép kết luận rằng:
* Trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn thuân tỷ Chỉ xuất hiện ứng suất pháp.
169
Hinh H-1
Hãy xét một đoạn thanh giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục thanh cách nhau dz. Sau biến dạng đoạn thanh bị uốn cong, hai mặt cắt giao nhau góc dọ. Gọi p là bán kính cong của lớp trung hoà. Vì các thớ của lớp trung hoà không co, giãn nên chiều dai của nó vẫn bằng đz (hình 11-1c), nghĩa là:
dz = p.do
Bây giờ xét một thớ nào đó cách lớp trung hoà một khoảng ÿ, sau biến dạng nó có chiều dai:
dz + Adz = (p + dy).do
Theo định nghĩa, biến dạng đài tương đối của thớ đó là:
170
- Adz (p+y)dạT-pádo _ y
#¿=#T—' ——————— “~
dz p.do P
“Theo định luật Húc ta có:
ứ„=EÊ,= E‹Ÿ e (a)
Lực tác dụng lên một vi phân điện tich dF la: o,.dF.
Tổng mômen các lực tác dụng lên toàn mặt cất là:
M, = Js,xeF = [E:Ÿ.y-dF = fey? -oF = E lyr =F wy
Ỷ z P ÉP PE P
Từ (b) độ cong của dầm chịu uốn được xác định:
LLM, ©
pH,
“Thay (c) vào (a) ta có ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang:
o,= Mx + (41-1)
Js
trong đó:
M, la mômen của ngẫu lực uốn;
1„ là mômen cấp hai của mật cắt ngang đối với trục x là trực quán tính chính trung tâm (trục qua trọng tâm của mặt cắt và có j,y = 0);
y là khoảng cách từ điểm cần tính ứng suất tới trục trung tâm x.
Khi bị uốn trục của thanh không bị co, giãn nhưng bị uốn cong đi. Trục thanh khi uốn cong gọi là đường đàn hồi của thanh (hình I [-2a).
Chuyển vị đài của một điểm có thể phân tích thành hai thành phần: một thành phần song song với trục thanh ban đầu, một thành phần vuông góc với trục của thanh.
Vì biến dạng bé nên có thể coi chuyển vị của mỗi điểm là thành phần
chuyển vị theo phương vuông góc với trục của thanh, Chuyển vị này gọi là độ
võng v = v(2) tại một điểm của thanh. Độ võng phụ thuộc hoành độ điểm đó.
Như vậy phương trình đường đàn hồi có đạng:
v=vŒ)
171
< Đường cong tiếp tuyến tại Á
Đường đán hồi
WY 7 4
Hinh 11-2
Tiếp tuyến của đường đàn hồi tại một điểm làm với trục thanh lúc ban đầu một góc (gọi là chuyển vị góc hay là góc xoay của mặt cắt ngang tại điểm đó).
Ta thay:
oto = S =V'œ) (14-2)
nghĩa là:
* Khi thanh bị biển dạng uốn, góc xoay của mặt cắt ngang bằng đạo hàm bậc nhất theo z của độ võng.
Quan hệ (c) cho thấy khi thanh bị uốn thì độ cong của đường đàn hồi của trực đầm là:
] = M ts
p ES,
Mặt khác, công thức xác định độ cong của một đường cong phẳng đã biết trong hinh hoc vi phan là:
1 + v"
PB qiv2)5
172
So sánh hai công thức trên ta được:
Vv" =t M,
atv2y2
Đó là phương trình vi phân (PTVP) tổng quát của đường đàn hồi.
Theo cách chọn hệ trục toa độ giáo trình này thì M, và V” luôn luôn cùng đấu với nhau. Phương trình vi phân đường đàn hồi cố dạng:
a+v22 El
"Thực tế kỹ thuật không cho phép các công trình hay chỉ tiết máy bị biến dang nhiéu, vì thế góc xoay thường rất bế, có thể bộ qua V' so với 1, thành thử phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng gần đúng như sau:
dv M
V'{2)= —— =+ (Z) Em By * (phương trình Bernoulli - Euler) (11-3) x
1II. PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CHUYEN VI V(z), 9(z) VÀ
NỘI LỤC Mớ), Qữ)
Phương pháp vạn năng và các công thức thuật toán của nó đã được giới thiệu và thiết lập cặn kẽ ở chương 9. Phương pháp này cho phép tính toán tất cả các loại thanh chịu biến dạng đàn hồi có mặt cắt thay đổi, chế độ chất tải và liên kết tuỳ ý cả về số lượng và thể loại. Nhiệm vụ cơ bản của cơ học vật rắn biến đạng nói chung và của sức bền vật liệu nói riêng là xác định trường chuyển vị và nội lực trong hệ do tác dụng ngoài gây ra. Dâm chịu uốn ngang phẳng được nghiên cứu trong chương này là một trường hợp riêng của các thanh đàn hồi chịu lực nói trên. Để xác định nội lực và chuyển vị của đầm chịu uốn ngang phẳng chúng ta có nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết hai nhiệm vụ trên. Trong mục này chúng ta sẽ áp dụng các công thức thuật toán của phương pháp vạn năng vào trường hợp dầm chịu uốn ngang phẳng.
1. Nhắc lại các liên hệ vi phân giữa nội lực, ngoại lực và chuyển vị Khi ký hiệu VỢŒ), @(z) là chuyển vị thẳng theo phương y và chuyển vị góc quanh trục x, M,(z) va Q,(z) JA mômen uốn quanh trục x, lực cất theo phương y thì các liên hé vi phân giữa các nội lực, ngoại lực và chuyển vị với nhau trên cơ 173
sở khảo sát điều kiện cân bằng các nhân tố trên hình 11-3a,b và đạo hầm liên tiếp các quan hệ (11-2), (11-3). Các quan hệ này là như sau:
dv
AQ; = Po; 7 (Z)
đ?V _ Mứ)
=M ats
AM; = Mại ae Ey
$9 sao) dz (11-4) đz 3 . EI
4 11-5
aM _ 9) đz ay _ q0) dat EJ m3
dẦM zy =d(2 dz
a)
c) J ị
i i
Ei, Fy dys. Jp i | Fiat Fist at Spier
ay
Hink 11-3 174
2. Dang ma tran
Với cách xây dựng công thức th'!ật toán hoàn toàn tương tự như ở chương 9, trong mục này công thức của các dại lượng cần tính vẫn giữ nguyên dạng của các công thức từ (9-10) đến (9-14). Sự khác nhau là số lượng và ý nghĩa vật lý của các đại lượng cần tỉnh, cụ thể là(hình 11-3):
—>
[B¡j), 3), ASu¡ trong trường bị, này có dạng:
Đp ý $ a 4
Vi) ® ES, BU, EW,
> Sz) = i(Z) Ma) 9) ; ik =]o i % ot EN $ Tụ, Ộ $ dị ( 11-6 )
Qiz) Go 66 Úo $ị 2
o 86 0 ou UF
Ly Ẩ * sae T sn
ASu = {Voie Pais Moi + Pois Gois Voir Vis G=1,n)
$'c@) = 1B.B5-1) [By [Bi] St) + YB! |B,1|JB5-a| -}B3]-A8p +
+ + Bgl. ASe, d1-?)
+ * * + > * * *Í uT*
Sa(aa) = [Ba Bs | Bo] [Bi] 5), + |Ba| |Ba-i| |Ba-a -|B2|-ASu; +
3. Dạng biểu diễn tổng
Trong trường hợp í¡ * hang va B,J; = hang véi moi “i”, các đại lượng cần tính là chuyển vị thdng V(z), chuyén vị góc @(2), mômen udn M(z) va luc cat Q{z)} tai hoanh dé z thudc doan i cé dang duéi day, khi ky hi¢u AVp;, Agy; là bước nhảy của độ võng và gốc xoay ở đầu trái đoạn ¡, còn Mo; , Po là momen và lực tập trung & “Or”:
V@)= 3 (avo + A@yis +My, & a EY 2 +P, °' By đà, ag’ + hs Aq EJ See
DI ‘Vay * n
eZ) = (se, + Mot vị EJ Pept Aggy tad er P by Aq’ A ba “
175