1. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ HỆ SIÊU TĨNH
Những phương pháp xác định biến dạng và chuyển vị trình bày trong các chương trước được sử dụng rộng rãi để tính các hệ tĩnh định, Trong chương này ta nghiên cứu cách tính hệ siêu tĩnh.
Một kết cấu chịu tác dụng của tải trọng dạng bất kỹ cần phải được liên kết như thế nào đó để nó không trở thành một cơ cấu.
Như đã biết, để xác định phản lực liên kết trong hệ phẳng ta chỉ có thể thiết lập được ba phương trình cân bằng độc lập với nhau. Sau khi giải các phương trình này ta sẽ tìm được ba phản lực ở ba liên kết. Những liên kết này gọi là những liên kết cần thiết. Chúng có nhiệm vụ giữ cho hệ không bị biến hình hình học. Một hệ được giữ chặt bởi những liên kết cần thiết như thế được gọi là hệ tĩnh định. Trong thực tế kỹ thuật ta thường gặp những hệ có số liên kết lớn hơn số liên kết cần thiết. Với ý nghĩa này những liên kết, trừ những liên kết cần thiết, được gọi là những liên kết “thừa”. Đối với những hệ có liên kết thừa ta không thể xác định được những phản lực liên kết chỉ bằng những phương trình cân bằng. Những hệ như thế gọi là những hệ siêu tĩnh. Liên kết “thừa” cũng có thể là những liên kết ngoại hoặc những liên kết nội. Ta gọi những hệ có những liên kết ngoại “thừa” là những hệ siêu tĩnh ngoại và gọi hệ có liên kết nội
“thừa” là những hệ siêu tinh nội (hình 15-1b, c). Cần phải hiểu rằng thuật ngữ
“liên kết thừa” chí có tính chất quy ước. Bởi vì, chỉ để đảm bảo cho hệ bất biến hình hình học thì chúng là “thừa”, nhưng sự có mặt của chúng sẽ tạo cho hệ làm việc tốt hơi rất nhiều so với hệ tĩnh định cùng loại.
Từ hình vẽ ta thấy rõ là: Với cùng một chế độ đặt tải và kích thước, độ
227
vorig trong ddm siéu tinh (hinh 15-!b) nhé hon rat nhiéu so véi dé vong crong đầm tĩnh định (hình 15-1a). Bởi vậy, các liên kết “thừa” ở các điểm C va D (hình L5-1b) đã tạo cho kết cấu có độ cứng lớn hơn.
Ứng với các “liên kết thừa” được giải phóng ta có các phản lực tại các điểm
này gọi là các “phản lực thừa” hay các “ẩn số thừa”. Số các ấn số thừa này xác
định bậc siêu tĩnh của hệ.
71
(Tm
A (ith 8
ằ A A ẤP san ca
Hinh 15-1
Đối với hệ (hình 15-1b) số phản lực gối tựa là năm. Để xác định các phản lực này ta lại chỉ có ba phương trình cân bằng tĩnh độc lập. Vì thế số bậc siêu tĩnh của hệ bằng hai.
Nếu dầm hoặc khung có m thanh gối (nhưng không có chu vi kín) thì số bậc siêu tĩnh của hệ bằng số các liên kết ngoài thừa T: đốt với hệ phẳng T = m — 3;
đối với hệ không gian: T = m - 6.
Mỗi một khung phẳng kín không có khớp số bậc siêu ứnh là 3. Vì rằng ở mỗi mặt cắt ngang bất kỳ của khung có ba thành phần nội lực. Để xác định nó cần cất chu vi kín và đặt vào mặt cắt này các nội lực cần tìm Xị, X;, Xạ. Các phương trình tĩnh học không cho phép xác định các nội lực ở các mặt cắt bất kỳ của khung. Vì thế chúng là các ẩn cần tìm và chúng xác dịnh sự có mặt của các liên kết thừa bên trong của hệ. Nếu trong khung kín có một khớp thì số liên kết thừa bằng 2. Vì mômen ở khớp %ị = 0. Nếu có n thanh nối với nhau bằng một
228
khớp thì khớp này tương đương véi n—] khdp don (khớp có một phản lực liên kết). Dễ hiểu là mỗi khung phẳng có K chu vi kín thì số bậc siêu tĩnh của nó là 3K. Do đó, bậc siêu tĩnh W của hệ phẳng được xác định theo công thức:
W=T+3K-D (15-1)
Trong công thức này, T - số liên kết thừa ngoài; K - số chu vi kín ; D - số khớp đơn trong hệ.
Áp dụng các công thức trên vào các hệ trên hình Ì5-ib,c ta sẽ tìm được bậc siêu tĩnh của chúng như sau:
Đối với hệ siêu tĩnh trên hình 15-Lb:
T=m-3=5-3=2 K=0D=0
Do đó:
W=2+0=2 Đối với hệ trên hình 15-1c:
T=3-3=0 K=1;D=0 Do do:
W=04+3.1-0=3
Tất cả các hệ siêu tính đều có những đặc điểm chung sau đây:
a) Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào quan hệ độ cứng giữa các cấu kiện của hê.
b) Chuyển vị trong hệ siêu tĩnh nhỏ hơn chuyển vị trong hệ tĩnh định suy ra từ hệ siêu tĩnh này cùng một chế độ chịu tải; bởi vì các Hên kết thừa làm tăng độ cứng của hệ.
©) Khi có sự thay đổi nhiệt độ của môi trường hoặc khi nung nóng những cấu kiện của hệ cũng như khi chế tạo và lắp ghép không chính xác thì trong hệ siêu tĩnh sẽ phát sinh các nội lực.
đ) Khi những liên kết thừa bị hư hỏng thì hệ vấn không bị phá hoại, vì khi
đó hệ vẫn bất biến hình học.
229
Có thể tính các hệ siêu tĩnh bằng nhiều phương pháp khác nhau, ví dụ:
1) Phương pháp lực.
2) Phương pháp chuyển vị.
3) Phương pháp H. Cross, phương pháp G. Kani v.v...
Dưới đây ta giới thiệu cách tính hệ siêu tĩnh bằng phương pháp lực.
II. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TÁC CỦA PHƯƠNG PHÁP LỤC
Để tính toán các hệ siêu tĩnh bằng phương pháp lực, ta sẽ sử dụng tiên để giải phóng liên kết. Cụ thể là bỏ đi những liên kết thừa và thay thế tác đụng của chúng bằng những ấn số thừa X\, Xạ, X:,.... Xạ. Rõ ràng là với cách làm như thế, ta biến hệ siêu tĩnh đã cho thành hệ tương đương có bậc siêu tĩnh thấp hơn.
Hệ suy ra từ hệ tương đương sau khi đã giải phóng tất cả các lực tác dụng lên nó (lực cho và phản lực tại các liên kết bị loại bỏ) gọi là hệ cơ bản.
Các ẩn số thừa Xị, Xa,...,. Xạ trong hệ tương đương được xác định từ các điều kiện biến dạng của hệ. Ý nghĩa của những điều kiện này là như sau:
Dưới tác dụng của tải trọng cho và các ẩn số thừa Xị, Xạ,.... Xạ hệ tương đương làm việc như hệ siêu tĩnh đã cho. Những điều kiện này có đạng xác định và chúng là những phương trình chính tắc của phương pháp lực. Sau khi đã xác định được các ẩn số thifa ta sẽ tìm được các ẩn số còn lại ở các liên kết cần thiết.
Và sau đó dễ dàng vẽ được các biểu đồ nội lực như đã làm đối với hệ tĩnh định, Cần chú ý là đối với cùng một hệ siêu tĩnh đã cho có thể chọn những hệ tương đương theo những cách khác nhau. Khi ấy các phương trình biến đạng sẽ có những ý nghĩa khác nhau phù hợp với điểu'kiện biến dạng tại những liên kết bị loại bỏ. Hệ tương đương có thể là hệ tĩnh định hoặc
lên tĩnh, thông thường hệ tương đương được chọn là hệ nh định. Nhưng điều quan trọng là hệ tương, đương đó phải bất biến hình hình học và cho phép thiết lập phương trình chính tác đơn giản nhất.
Dưới dây để thấy rõ tư tưởng và trình tự tính toán của phương pháp lực, ta hãy khảo sát một số ví dụ cụ thể (hình 15-2). Đó là một dầm liên tục có hai bậc siêu tĩnh. Một phương án có thể của hệ tương đương được cho trên (hình 15-2b).
Đối với phương án này, phương trình biến đạng được viết như sau:
230
Ay= Aig + Aig, + Arp = 0