CHƯƠNG V LÝ THUYẾT THU TỐI ƯU
5.1. ĐẶT BÀI TOÁN VÀ CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN
5.1.1. Thu tín hiệu khi có nhiễu là một bài toán thống kê
Ta xét trường hợp đơn giản nhất khi dạng của tín hiệu trong kênh không bị méo và chỉ bị nhiễu cộng tính. Khi đó ở đầu vào của máy thu sẽ có tổng của tín hiệu và nhiễu:
( ) i( ) ( )
u t = μ S t − τ + n t (5.1) Trong đó μ - hệ số truyền của kênh (thông thường μ 1)
Giả thiết μ = const.
τ - thời gian giữ chậm tín hiệu của kênh n(t) - nhiễu cộng, là một hàm ngẫu nhiên
Trường dấu lối vào { } αi i 1,m = , khi đó các S ti( ) là các tín hiệu phát tương ứng với các tin αi.
Do n t ( ) là một QTNN nên u t ( ) cũng là một QTNN. Vậy khi nhận được u t ( ) ta có thể đề ra m giả thiết sau:
1. S t1( )( ) α1 đã được gửi đi và trong quá trình truyền S t1( ) được cộng thêm một nhiễu:
( ) ( ) 1( )
n t = u t − μ S t − τ
2. S t2( )( ) α2 đã được truyền đi và trong quá trình truyền S t2( ) được cộng thêm một nhiễu: n t ( ) ( ) = u t − μ S t2( − τ )
………..
m. Sm( )( ) t αm đã được truyền đi và trong quá trình truyền Sm( ) t được cộng thêm một nhiễu: n t ( ) ( ) = u t − μ Sm( t − τ )
Nhiệm vụ của bộ thu là phải chọn một trong m giả thuyết này trong khi nó chỉ biết một số tính chất của nguồn tín hiệu và dạng của tín hiệu nhận được u t ( ). Rõ ràng là mỗi một giả thuyết đều có một xác suất sai tương ứng vì n t ( ) là một hàm ngẫu nhiên. Như vậy máy thu phải chọn một lời giải nào đó trong điều kiện bất định. Việc xét các quy luật chọn lời giải trong điều kiện bất định chính là nội dung của bài toán thống kê. Vì vậy thu tín hiệu khi có nhiễu là một bài toán thống kê.
161 5.1.2. Máy thu tối ưu
Nhiệm vụ của máy thu là phải chọn lời giải do đó máy thu còn được gọi là sơ đồ giải. Yêu cầu lớn nhất của sơ đồ giải là phải cho ra lời giải đúng (phát αi ta phải tìm được βi). Trong thực tế có rất nhiều sơ đồ giải. Trong tất cả các sơ đồ giải có thể có thì tại một sơ đồ bảo đảm xác suất nhận lớn phải đúng là lớn nhất (xác suất giải sai là bé nhất). Sơ dồ này được gọi là sơ đồ giải tối ưu. Máy thu xây dựng theo sơ đồ giải đó được gọi là máy thu tối ưu (hay lý tưởng)
5.1.3. Thế chống nhiễu
Có thể dùng xác suất thu đúng để đánh giá độ chính xác của một hệ thống truyền tin một cách định lượng. Để đánh giá ảnh hưởng của nhiễu lên độ chính xác của việc thu, người ta đưa ra khái niệm tính chống nhiễu của máy thu. Nếu cùng một mức nhiễu, máy thu nào đó có xác suất thu đúng là lớn thì được coi là có tính chống nhiễu lớn. Hiển nhiên rằng tính chống nhiễu của máy thu tối ưu là lớn nhất và được gọi là thế chống nhiễu.
5.1.4. Hai loại sai lầm khi chọn giả thuyết
a. Sai lầm loại 1: Gọi Hl là giả thuyết về tin αl đã gửi đi. Nội dung của sai lầm này là bác bỏ Hl mà thực tế là nó đúng. Tức là quả thật αl gửi đi mà ta không.gửi. Sai lầm 1 là bỏ sót tin (hay mục tiêu).
b. Sai lầm loại 2: Thừa nhận Hl trong khi thực tế nó sai. Tức là thực ra không có αl mà ta
lại bảo là có. Sai lầm loại này gọi là nhầm tin hoặc báo động nhầm.
Bình thường, không có điều kiện gì đặc biệt, sự tồn tại của hai loại sai lầm trên là không
"ngang quyền" (không gây tác hại như nhau) 5.1.5. Tiêu chuẩn Kachennhicov.
Thông thường khái niệm tối ưu là phải hiểu theo một nghĩa nào đó, tức là tối ưu theo một tiêu chuẩn nào đó. Thông thường trong thông tin "thu tối ưu" được hiểu theo nghĩa như sau (Do
Kachennhicov đề ra và gọi là tiêu chuẩn Kachennhicov).
Trong cùng một điều kiện đã cho trong số hai hay nhiều sơ đồ gải, sơ đồ nào đảm bảo xác suất giải đúng lớn nhất thì được gọi là tối ưu. (tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn người quan sát lý tưởng).
Nhược: Không đả động đến các loại sai lầm, tức là coi chúng tồn tại "ngang quyền" nhau.
Ưu: Đơn giản, dễ tính toán, dễ thực hiện.
Ngoài tiêu chuẩn Kachennhicov còn có một số những tiêu chuẩn khác như: Neyman- Pearson, Bayes, Vald …. Những tiêu chuẩn này khắc phục được nhược điểm trên nhưng khá phức tạp nên không dùng trong thông tin.
5.1.6. Việc xử lý tối ưu các tín hiệu
Nhiệm vụ của máy thu là cho ta các lời giải βi. Quá trinh thức hiện nhiệm vụ này được gọi là quá trình xử lý tín hiệu. Trong quá trình xử lý tín hiệu thường phải thực hiện các phép toán
tuyến tính hoặc phi tuyến nhờ các mạch tuyến tính hoặc phi tuyến (ví dụ: biến tần, tách sóng, lọc, hạn chế, nhân, chia, tích phân, bình phương, khuếch đại ….). Quá trình xử lý tín hiệu trong máy thu tối ưu được gọi là xử lý tối ưu tín hiệu. Xử lý để nhận lời giải có xác suất sai bé nhất.. Trước kia việc tổng hợp các máy thu (xây dựng sơ đồ giải) chỉ căn cứ vào các tiêu chuẩn chất lượng mang tính chất chức năng mà không mang tính chất thống kê. Ảnh hưởng của nhiễu lên chất lượng của máy thu chỉ được tính theo tỷ số tính /tạp. Tức là việc tổng hợp máy thu tối ưu trước đây chỉ chủ yếu dựa vào trực giác, kinh nghiệm, thí nghiệm. Ngày nay lý thuyết truyền tin đã cho phép bằng toán học tổng hợp được máy thu tối ưu ("Tối ưu" lúc này mới mang tính chất định lượng) tức là dựa vào các tiêu chuẩn tối ưu bằng công cụ thống kê toán học người ta đa xác định được quy tắc giải tối ưu.
5.1.7. Xác suất giải sai và quy tắc giải tối ưu
Cho αi là tín hiệu đã gửi đi, xác suất để gửi tín hiệu này đi là p ( ) αi , p ( ) αi được gọi là xác suất tiên nghiệm m ( )i
1
p 1
⎛ ⎞
⎜ α = ⎟
⎜ ⎟
⎝ ∑ ⎠. Giả thiết rằng S ti( ) có thời hạn T, S ti( ) được gọi là các tín hiệu nguyên tố ứng với các dấu mã. ở máy thu ta nhận được u t ( ). Từ u t ( ) qua sơ đồ
giải ta sẽ có lời giải βj nào đó. Nếu nhận được βl thì ta coi rằng αl đã được gửi đi. Như vậy αl
đã được gửi đi với một xác suất p ( αl/ u ) được gọi là xác suất hậu nghiệm. Do đó xác suất giải sai sẽ là:
( ) ( )
p sai / u, β = − αl 1 p l / u (5.1) Từ (5.1) ta sẽ tìm ra quy tắc giải tối ưu (theo tiêu chuẩn Kachennhicov)
Để tìm ra quy tắc giải tối ưu ta xét hai sơ đồ giải:
- Từ u t ( ) cho ta β1 - Từ u l ( ) cho ta β2
Nếu p sai / u, ( β <1) ( p sai / u, β2) (5.2) thì ta sẽ coi sơ đồ thứ nhất tối ưu hơn sơ đồ thứ hai.
Từ (5.1) và (5.2) ⇒ p sai / u, ( β >1) ( p sai / u, β2) (5.3)
Tức là xác suất chọn lời giải sai p sai / u,β ( l) càng nhỏ nếu xác suất hậu nghiệm tương ứng p ( αl / u ) càng lớn.
Ta xét m sơ đồ, khi đó ta có thể coi ( m 1 − ) hệ thức sau:
( ) ( i )
p / u p / u
i l α > α ⎧ ⎨
⎩ ≠
l i = 1, m
Víi (5.4)
163
Nếu ta có ( m 1 − ) hệ thức này thì ta coi sơ đồ giải chọn βl sẽ là tối ưu (theo nghĩa
Kachennhicov) vì nó đảm bảo xác suất phải sai là bé nhất (5.4) chính là quy tắc giải tối ưu. Sơ đồ giải thỏa mãn (5.4) chính là sơ đồ giải tối ưu.
5.1.8. Hàm hợp lý
Dùng công thức Bayes: ( ) ( ) ( )
( )
j j
j
p w u / p / u
w u
α α
α = (5.5)
Thay vào (5.4) ta có: p ( ) ( w u / ) ( ) ( p i w u / i)
i l
α α > α α ⎧ ⎨
⎩ ≠
l l i = 1, m
Víi (5.6)
Hay ( )
( ) ( )
( )i
i
w u / p
w u / p
α α
α > α
l
l
Đặt ( )
( )
/i
i
w u / w u / λ α
α
l l và được gọi là hàm hợp lý (tỷ số hợp lý). Nó đặc trưng cho mức độ
hợp lý của giả thuyết cho rằng αl đã được gửi đi (so với giả thuyết cho rằng αi đã được gửi đi).
Ta có: ( ) ( )
( )i
/i
u p
p i l
α ⎧
λl αl ⎨ ⎩ ≠ i = 1, m
Víi (5.7)
(5.7) chính là quy tắc giải tối ưu viết dưới dạng hàm hợp lý.
5.1.9. Quy tắc hợp lý tối đa
Nếu mọi tín hiệu gửi đi đều đồng xác suất: ( ) ( )i 1
p p
α = α =l m với ∀ i, l = 1, m thì (5.7) trở thành λl/i( ) u > 1 Víi ∀ ≠ i l (5.8)
(5.8) được gọi là quy tắc hợp lý tối đa, nó hay được dùng trong thực tế vì hầu hết các hệ truyền tin đều có thể coi (với sai số chấp nhận được) nguồn dấu có các dấu đồng xác suất.
Để có thể thấy rõ ảnh hưởng của tính thống kê của nhiễu ở (5.8) ta thường viết nó dưới dạng:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
/i i i
w u / w u / : w u / 0 u w u / w u / : w u / 0
α α
λ = =
αl αl
l
( ) ( )
( ) ( ) ( )
/i /0 /0 i/0
i/0
u u u u i
u
⇒ λ = λ ⇒ λ > λ ∀ ≠
λl
l l l (5.9)
/0( ) u
λl và λi/0( ) u dễ tìm hơn λl/i( ) u . Ở đây phải hiểu rằng w u / 0 ( ) chính là mật độ xác suất của nhiễu.