CHƯƠNG IV CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ HÓA
4.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4.1.1.1. Mã hóa
Tập các tin rời rạc rất đa dạng và phong phú. Để hệ thống truyền tin số có thể truyền được các tin này cần phải có một quá trình biến đổi thích hợp đối với các tin rời rạc, đó chính là quá trình mã hóa.
Định nghĩa 1: Mã hóa là một ánh xạ 1- 1 từ tập các tin rời rạc ai lên tập các từ mã αini
ni
i i
: a
f → α
Để có thể dễ dàng mã hóa và giải mã, từ các từ mã αnii thường là các phần tử của một cấu trúc đại số nào đó. Bởi vậy ta có thể định nghĩa cụ thể hơn cho phép mã hóa.
Định nghĩa 2: Mã hóa là một ánh xạ 1- 1 từ tập các tin rời rạc ai lên một tập con có cấu trúc của một cấu trúc đại số nào đó.
4.1.1.2. Mã
Định nghĩa 3: Mã (hay bộ mã) là sản phẩm của phép mã hóa, hay nói cách khác mã là một tập các từ mã được lập nên theo một luật đã định.
4.1.1.3. Các yếu tố của từ mã
Định nghĩa 4: Độ dài từ mã ni là số các dấu mã cần thiết dùng để mã hóa cho tin ai. Nếu ni = const với mọi i thì mọi từ mã đều có cùng độ dài. Bộ mã tương ứng được gọi là bộ mã đều.
Nếu ni ≠ nj thì bộ mã tương ứng được gọi là bộ mã không đều
Định nghĩa 5: Số các dấu mã khác nhau (về giá trị) được sử dụng trong bộ mã được gọi là cơ số mã. Ta ký hiệu giá trị này là m.
Nếu m = 2 thì bộ mã tương ứng được gọi là mã nhị phân.
Nếu m = 3 thì bộ mã tương ứng được gọi là mã tam phân
…………
Nếu m = p thì bộ mã tương ứng được gọi là mã p phân.
Thông thường các dấu mã được chọn là các phần tử trong một trường F nào đó.
91
Ví dụ 1: Từ mã α7i trong bộ mã đều nhị phân có độ dài 7 có thể mô tả như sau:
7i 0 1 1 0 1 0 1 α =
Mỗi một dấu mã trong từ mã này chỉ có thể nhận một trong hai giá trị { } 0,1 , mỗi dấu mã là một phần tử của trường nhị phân GF(2).
4.1.2. Các khái niệm cơ bản
4.1.2.1. Độ thừa của một bộ mã đều (D)
Cho nguồn rời rạc A gồm s tin: A = { a ; 1,si }.
Xét phép mã hóa f sau: f : ai → αni ; α ∈in V.
Cơ số mã là m, khi đó số các từ mã độ dài n có thể có là: N m = n.
Định nghĩa 6: Độ thừa của một bộ mã đều được xác định theo biểu thức sau:
( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ]
0 0 0
0 0
H V H A H A
D 1 %
H V H V
Δ −
= = − (4.1)
Trong đó : H A0( ) = logs
( )
H V0 = log N n log m =
Ví dụ 2: Ta có mã hóa 4 tin A, B, C, D bằng các tin từ mã của một bộ lọc giải mã đều nhị phân, có độ dài n = 3, khi đó độ thừa của bộ mã này là:
log 4
D 1 33,33%
3log 2
= − =
Bộ mã này có 4 từ mã được dùng để mã hóa cho 4 tin rời rạc. Các từ mã còn lại (4 từ mã) không được dùng để mã hóa được gọi là các từ mã cấm.
Đối với các bộ từ mã đều, để đánh giá định lượng sự khác nhau giữa các từ mã trong bộ mã, ta sử dụng khái niệm khoảng cách mã sau.
4.1.2.2. Khoảng cách mã (d)
Định nghĩa 7: Khảng cách giữa hai từ mã bất kỳ αni và αnj là số các dấu mã khác nhau tính theo cùng một vị trí giữa hai từ mã này, ký hiệu d ( α αni , nj )
Ví dụ 3: α =i7 0 1 1 0 1 0 1
7j 1 0 0 1 1 1 0 α =
( 7i 7j )
d α α = , 6
Khoảng cách mã d có đầy đủ các tính chất của khoảng cách trong một không gian metric.
Tính chất 1: d ( α α = α αin, nj ) ( d nj , in)
Tính chất 2: 1 d ≥ α α ≥ ( ni , nj ) 0
Tính chất 3: (Tính chất tam giác): d ( α α + α α ≥ α αin, nj ) ( d nj , nk) ( d ni , nk)
Để đánh giá định lượng khả năng khống chế sai (bao gồm khả năng phát hiện sai và khả năng sửa sai) của một bộ mã ta sử dụng khái niệm khoảng cách mã tối tiểu (haykhoảng cách Hamming) sau:
Định nghĩa 8: Khoảng cách Hamming d0 của một bộ mã được xác định theo biểu thức sau:
( )
n n
i j
n n
0 i j
d Δ min d, ,
=∀α α α α
Ở đây αin và αnj không đồng nhất bằng không (Ta coi αni là từ mã không khi mọi dấu mã trong từ mã đều nhận giá trị không).
4.1.2.3. Trọng số của một từ mã
Định nghĩa 9: Trọng số của một từ mã W ( ) αin là số các dấu mã khác không trong từ mã.
Ví dụ: α =i7 0 1 1 0 1 0 1
( )i7
W α = 4
Nếu ta coi mỗi từ mã αni là một véctơ n chiều trong một không gian tuyến tính n chiều
Vn, khi đó phép cộng được thực hiện giữa hai từ mã tương tưh như phép cộng giữa hai véctơ tương ứng.
Ví dụ 4: α =i7 0 1 1 0 1 0 1 ↔ ( 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1 )
( )
7j 1 0 0 1 1 1 0 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0
α = ↔
( )
7 7 7
k i j 1 1 1 1 0 1 1 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1
α = α +α = ↔
93
Ở đây phép cộng trên mỗi thành phần (tọa độ) của véctơ được thực hiện trên trường nhị phận GF(2). Phép cộng theo modulo 2 này được mô tả như sau:
+ 0 1 0 0 1 1 1 0
Sau đây là các tính chất của trọng số:
- 0 W ≤ ( ) α ≤ni 1
- d ( α α =in, nj ) ( W α +αin nj )
4.1.3. Khả năng khống chế sai của một bộ mã đều nhị phân 4.1.3.1. Khả năng phát hiện sai
Định lý 1: Một bộ mã đều nhị phân có độ thừa (D > 0) và có d0 ≥ 2 sẽ có khả năng phát hiện được t sai thỏa mãn điều kiện:
t d ≤ 0− 1 (4.2)
Chứng minh:
Mọi từ mã trong bộ mã đều cách nhau một khoảng cách ít nhất là d0. Khi truyền tin, do có nhiễu từ mã nhận được có thể bị sai ở t vị trí t d ≤ 0 − 1. Vì vậy từ mã nhận được không thể biến thành một từ mã được dùng khác. Như vậy ta luôn có thể phát hiện được rằng từ mã đã nhận sai.
4.1.3.2. Khả năng sửa sai
Định lý 2: Một bộ mã đều nhị phân có độ thừa ( D 0 ≥ ) và có ( d0 ≥ 3 ) sẽ có khả năng sửa được e sai thỏa mãn điều kiện:
d0 1
e 2
⎡ − ⎤
≤ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ (4.3)
Ở đây [ ] x là ký hiệu phần nguyên của số x. Chứng minh:
Khi truyền tin, do có nhiễu, từ mã nhận được có thể bị sai ở e vị trí d0 1
e 2
⎛ ≤ ⎡ − ⎞ ⎤
⎜ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎟
⎝ ⎠. Như
vậy, Khoảng cách giữa từ mã nhận được với từ mã khác tối tiểu là e 1 + . Như vậy, ta luôn có thể xác định đúng được từ mã đã phát. Điều đó có nghĩa là ta đã sửa sai được e sai gặp phải trên được truyền.
4.1.4. Mã đều nhị phân không có độ thừa
Mã đều nhị phân không có độ thừa (D = 0) còn được gọi là mã đơn giản. Với mã đơn giản ta có s = N = 2n . Như vậy mỗi một từ mã có thể có đều được sử dụng để mã hóa cho các tin rời rạc. Với từ mã đơn giản d0 = 1. Vì vậy ta không thể phát hiện hay sửa được bất cứ một sai nào.
Giả sử ta truyền từ mã đơn giản qua kênh đối xứng nhị phân không nhớ có xác suất thu sai một dấu là p0. Khi đó xác suất thu đúng một dấu tương ứng là ( 1 p − 0). Từ mã chỉ nhận đúng khi mọi dấu mã đều nhận đúng. Như vậy, xác suất thu đúng từ mã p® là:
( 0)n
p® = − 1 p (4.4)
Xác suất thu sai của từ mã là:
( )n
s 0
p = − 1 p® = − − 1 1 p (4.5.a)
Với p0 1 ta có công thức gần đúng sau:
( 1 p − 0)n ≈ − 1 n p0
Ta có: ps ≈ n p0 (4.5.b)
Giả sử xác suất thu sai cho phép đối với mỗi tin rời rạc là ps cp, khi đó điều kiện sử dụng mã đơn giản trong kênh đối xứng nhị phân không nhớ là:
s s cp
p ≤ p
Hay 0 ps cp
p n (4.6)