CHƯƠNG IV CƠ SỞ LÝ THUYẾT MÃ HÓA
4.11. CÁC MÃ KHỐI DỰA TRÊN SỐ HỌC CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN
4.11.4. Các tính chất của đa thức và các phần tử của trường hữu hạn
Ta biết rằng các đa thức với các hệ số thực không phải lúc nào cũng có các nhân tử thực, tuy nhiên luôn luôn có thể phân tích chúng dưới dạng các nhân thức phức. Tương tự, một đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn luôn có thể phân tích được trong một trường mở rộng nào đó.
Ví dụ: Đa thức nhị phân X3+ + X 1 có thể phân tích được trên GF(8) như sau:
( ) ( )( )
3 2 4
X + + = X 1 X + α X + α X + α
Các giá trị α α α , 2, 4 được gọi là các nghiệm của X3+ + X 1 vì chúng biểu thị các giá trị của X làm cho đa thức bằng không.
Nếu f(X) là một đa thức bất khả quy q phân thì f(X) sẽ có các nghiệm trong một trường mở rộng GF q ( )m nào đó, tức là f(X) có thể biểu diễn bằng tích của một số hạng có dạng ( x + βi)
với βi là phần tử của GF q ( )m . Hơn nữa nếu β là một nghiệm nào đó thì có thể thấy rằng các nghiệm khác có dạng β β βq, q2, q3, …
Tương tự như trường hợp phân tích các đa thức với các hệ số thực ta có thể sử dụng thuật ngữ các phần tử liên hợp cho các nghiệm của một đa thức bất khả quy. Với đa thức nhị phân bất khả quy có nghiệm β thì các nghiệm liên hợp là β β β2, , ,4 8 …
Sự tồn tại các nghiệm liên hợp của một đa thức tương đương với các tính chất sau:
( ) Xq = ⎡ ⎣ ( ) X ⎤ ⎦q
f f
143
Nếu β là một nghiệm của f ( ) X thì βq cũng là một nghiệm của f ( ) X . Đa thức ( ) X
f được gọi là đa thức tối tiểu của β. Nếu β là phần tử nguyên thủy thì f ( ) X là một đa thức nguyên thủy. Như vậy có thể sinh ra một trường hữu hạn từ một phần tử nguyên thủy là một nghiệm của đa thức nguyên thủy.
Ví dụ: Xét trường hữu hạn GF(8) tạo bởi đa thức nguyên thủy X3+ + X 1. Thế
X = α ,X = α2 hoặc X =α4 vào đa thức này ta thấy nó bằng 0. Bởi vậy X3+ + X 1 là đa
thức tối tiểu của các phần tử α α α , 2, 4. Tương tự thế α α3, 6 và α12( ) = α5 vào
X3+ + X 1 ta thấy rằng chúng là các nghiệm của đa thức này. Đa thức tối tiểu của α0 là
( X 1 + ).
Nếu m là số nguyên nhỏ nhất để β =m 1 thì phần tử β được gọi là có cấp m (ký hiệu
( )
ord β = m) và β phải là nghiệm của Xm + 1. Nếu β cũng là nghiệm của một đa thức bất khả quy f ( ) X nào đó thì f ( ) X phải là một nhân thức của Xm + 1.
Ví dụ: Giá trị nhỏ nhất của m để ( ) α3 m = 1 là 7. Bởi vậy đa thức
( ) X = X3+ X2+ 1
f là một nhân thức của X7 + 1 .
4.11.4.2. Các phần tử của trường hữu hạn xem như các nghiệm của một đa thức
Các nghiệm của nhị thức X2m−1+ 1 chính là các phần tử khác không của GF 2 ( )m .
Ví dụ: Ta đã có phân tích của X7 + 1 như sau:
( ) ( )( )
7 3 2 3
X + = + 1 1 X 1 X X + + 1 X + + X
Ta cũng biết rằng α là nghiệm của ( X3+ + X 1 ) và bởi vậy α2 và α4 cũng là các nghiệm của nó. α3 là nghiệm của ( X3 + X2+ 1 ) và bởi vậy α6 và α5 cũng là các nghiệm của nó. Nghiệm của ( X 1 + ) là 1.
4.11.4.3. Các nghiệm của một đa thức bất khả quy
Đa thức bất khả quy f ( ) X bậc m sẽ có m nghiệm là β β β , , , ,2 4 … β2m−1 và β = β2m
vì β2m−1= 1.
Vì các nghiệm của X2m−1+ 1 là tất cả các phần tử khác không của GF 2 ( )m nên một đa thức bất khả quy bậc m luôn có các nghiệm trong GF 2 ( )m . Ngược lại, các nhân thức của
2m 1
X − + 1 chứa tất cả các đa thức bất khả quy bậc m. Như vậy X3+ X2 + 1 và X3+ + X 1
là toàn bộ các đa thức bất khả quy bậc 3 có thể có.
Chú ý rằng Xm + 1 là ước của Xn + 1 nếu và chỉ nếu m là ước của n. Điều này cũng có nghĩa là tất cả các đa thức bất khả quy bậc m là nguyên thủy nếu 2m − 1 là số nguyên tố.
Ví dụ: 7 là số nguyên tố nên tất cả các đa thức bất khả quy bậc 3 đều là các đa thức nguyên thuỷ.
15 không là các số nguyên tố nên không phải tất cả các đa thức bất khả quy bậc 4 đều là các đa thức nguyên thủy. Có ba đa thức bất khả quy bậc 4 là 1 X X + + 4, 1 X + 3+ X4 và
2 3 4
1 X X + + + X + X . Chỉ có hai đa thức 1 X X + + 4 và 1 X + 3+ X4 là các đa thức nguyên thủy
4.11.4.4. Phân tích một đa thức nhị phân f(X)
Để phân tích một đa thức nhị phân ta phải xây dựng được trường hữu hạn mà trên nó có thể tìm được các nhân thức của đa thức này. Muốn vậy, trước tiên ta phải tìm các nhân thức bất khả quy nhị phân của đa thức f ( ) X này (nếu có) và các bậc của chúng. Sau đó ta tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) c' của các bậc này. Các nhân thức của f ( ) X sẽ được tìm trong GF 2 ( )c' . Cần
để ý rằng:
( )b ( ) ( ) ( ) ( )b 1 b 2 b 3
ab a a a a a
2 − = 1 2 − = 1 2 − 1 ⎡ ⎢ ⎣ 2 − + 2 − + 2 − + … + 1 ⎤ ⎥ ⎦
Bởi vậy 2c' − 1 là bội của 2c − 1 nếu c' là bội của c. Bằng cách chọn c' là bội của bậc c của một nhân thức bất khả quy nhị phân nào đó, khi đó các nghiệm của nó sẽ nằm trong GF 2 ( )c
và cũng nằm trong GF 2 ( )c'
Nếu c' là bội của các bậc của mọi đa thức bất khả quy nhị phân thì tất cả các nghiệm của chúng có thể biểu diễn được trong GF 2 ( )c ' .
Ví dụ: Đa thức f ( ) X = X5+ X4 + 1 được phân tích thành tích của hai đa thức bất khả quy sau:
( )( )
5 4 3 2
X + X + = 1 X + + X 1 X + + X 1
145
Ta có deg X ( 3+ + = X 1 ) 3 , deg X ( 2 + + = X 1 ) 2
( )
BCNN 3,2 = 6
Như vậy f ( ) X có thể phân tích được thành tích của các đa thức bậc nhất trong GF 2 ( )6 .