Một trong những giả thuyết cơ bản nhất của vật lý lượng tử là giả thuyét De Broglie về lưỡng tính sóng và hạt của các hệ vi mô. Như chúng ta đã biết, ánh sáng là một dạng của sóng điện từ và điều này đã được khẳng định một cách chính xác từ những thí nghiệm của Huyghens (thế kỉ 17) và Young (đầu thế kỉ 19) về giao thoa và nhiễu xạ ánh sáng. Tuy nhiên đến cuối thế kỉ 19 và đầu thế kỉ 20, sau các phát mình ra hiệu ứng quang điện”? và hiệu ứng Compton #®, người ta đã ching minh được rằng trong những trường hợp này ánh sáng không phải mang tính chất sóng mà mang tính chất hạt. Các hạt ánh sáng này được gọi là các photon hay các lượng tử ánh sáng. Năng lượng của mỗi photon tỉ lệ với tần số dao động của sóng điện từ tương ứng và được xác định bằng công thức Planck:
E=ho
với ủ- hằng số Plăng (h =1.05x1071s);
@- tân số góc của dao động và A = h/2n.
Như vậy, với cùng một đối tượng là ánh sáng, khi thì nó mang tính (*) Hiệu ứng quang điện là hiện tượng các điện tử bị bật ra khỏi bề mặt kim loại khi chiếu lên đó một chùm ánh sáng có bước sóng thích hợp.
(**) Hiệu ứng Compton là hiện tượng thay đổi bước sóng của bức xạ điện từ khi bị tỏn xạ trờn tỉnh thể niken (hoặc grafùt).
217
chất sóng khi thì nó mang tính chất hạt, tùy theo hiện tượng vật lý cụ thể mà ta quan sát. Tính chất lưỡng nguyên này của ánh sáng được gọi là lưỡng tính sóng và hạt. Sở đĩ ở đây người ta không dùng khái niệm
“tính chất sóng và hạt” mà phải gọi là “lưỡng tính sóng và hạt”, bởi vì trong những hiện tượng vật lý nào mà ánh sáng đã thể hiện tính chất sóng thì không thể hiện tính chất hạt và ngược lại. Trên thực tế không tồn tại một hiện tượng vật lý nào mà ở đó ánh sáng lại thể hiện đồng thời cả tính chất sóng lẫn tính chất hạt.
Giai đoạn phát triển tiếp theo của vật lý lượng tử là các thí nghiệm của Davisson và Germer (1927) vẻ nhiễu xạ của điện tử. Trước đó (1923-1924) De Broglie đã đưa ra giả thuyết rằng, đối với điện tử chuyển động bao giờ cũng có thể gắn nó với một sóng nhất định với bước sóng bằng :
= mv
trong đó : m là khối lượng của điện tử ; v là tốc độ chuyển động của điện tử, các thí nghiệm của Davisson và Germer đã xác nhận sự tiên đoán của De Broglie. Các kết quả thực nghiệm thu được tiếp sau đó đã chứng tỏ rằng không chỉ điện tử mà các hệ vi mô khác như các ion, nguyên tử, phân tử v.v... ngoài tính chất hạt mà ta đã biết ra, còn
có tính chất sóng nữa. Như vậy có thể nói rằng lưỡng tính sóng hạt là đặc điểm cơ bản nhất của hệ vi mô.
Đối với cùng một đối tượng vi mô, mặc dù tính chất sóng và tính chất hạt không khi nào lại cùng xuất hiện trong một hiệu ứng vật lý, nhưng chúng lại liên hệ với nhau một cách rất chặt chẽ thông qua các hằng số vật lý cơ bản. Ví dụ, ta xét ánh sáng chẳng hạn ; Nếu coi ánh sáng là sóng thì hai đại lượng cơ bản đặc trưng cho nó là bước sóng À và tần số f. Hai đại lượng này liên hệ với nhau thông qua hằng số vật lý cơ bản là vận tốc ánh sáng c:
Af=c
218
“om đục
ằ ney %
Ngược lại nếu ta coi ánh sáng là hạt thì bai đại lượng đặc trưng cho tính chất này là năng lượmg E và xung lượng P. Giữa các đại lượng đặc trưng cho tính chất hạt và các đại lượng đặc trưng cho tính chất sóng tổn tại mối liên hệ sau đây:
E=hf (AD
p=Ẻ (A-2)
x
Các hệ thức này không chỉ đúng cho ánh sáng mà còn đúng cho bất kì một hệ vi mô nào khác. Sóng gắn với tất cả các vi hạt chuyển động cùng có chung một tên goi 1A De Broglie. Để mô tả sóng De Broglie, người ta dùng hàm sóng đạng điện từ phẳng:
wit) = Ae #erk 3)
trong đó : các đại lượng @ va k (k = = - s6 séng) dac trung cho sóng được thay bằng các đại lượng E, P đặc trưng cho hạt, tức là :
—Œ-ÊT)
WŒ,Ð)= Ae " (A-3)
Thực ra, theo quan điểm sóng, mỗi vi hạt chuyển động không phải chỉ ứng với một sóng De Broglie đơn sắc mà là sự chồng chất của các
sóng De Broglie có số sóng gần nhau gọi là bó sóng.
Bản chất sóng - hạt của các hệ vi mô thể hiện bằng toán học thông qua các hệ thức bất định của Heisenberg. Theo các hệ thức này, tọa độ và xung lượng của vi hạt bất kì không thể nào đồng thời xác định chính xác cả : nếu tọa độ của hạt càng được xác định chính xác thì xung lượng của nó càng trở nên bất định và ngược lại. Điều này có thể biểu điễn như sau :
AX.AP,>h (A-4)
Ay.AP, 2h (A5)
Az.AP,>h (A-6)
219
Ngoài ba hệ thức này ra còn có một hệ thức bất định thứ tư đặc biệt quan trọng đối với việc nghiên cứu nguyên lý làm việc của các dụng cụ lượng tử, đó là hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian :
AE.At>” (A-7)
Mặc dù về hình thức hệ thức (A-7) hoàn toàn giống hệ thức (A-4) - (A-6), nhưng ý nghĩa của nó lại khác hẳn. Theo hệ thức này, nếu vi hạt ở vào trạng thái năng lượng càng bất định bao nhiêu thì thời gian tồn tại của nó ở trang thái đó càng nhỏ và ngược lại. Điểu này có nghĩa trạng thái có năng lượng xác định là trạng thái bển vững, còn trang thái có năng lượng bất định là trạng thái không bên vững.
Để khảo sát một cách định lượng trạng thái chuyển động của các hệ vi mô với đôi tính sóng và hạt ta phải thiết lập được phương trình làm sao thể hiện được đặc tính đó. Vì hàm sóng (A-3) là nghiệm của phương trình sóng :
Aw+k?ự=0
nên đối với hạt chuyển động tự do ta có thể viết ngay được phương trình:
2m _ 8
Aw+ Tạm Tự =0 (A-8)
Với T : là động năng của hạt.
Nếu hạt chuyển động đưới tác dụng của ngoại lực, thi T=E - U(r).
Thay giá trị động năng này vào phương trình (A-8) ta được:
AW +e -U)y =0 (A-9)
Khi thiét lap phuong trinh (A-9) ta da gid thiét rang, thé nang U(r) của hạt là một hàm chỉ phụ thuộc vào tọa độ và không thay đổi theo thời gian. Khi đó hàm số sóng mô t trạng thái chuyển động của hạt có thể viết đưới dạng :
220
-đE,
Œ,0=G)e ° (A-10)
Với (Œ) là hàm biên độ phức. Trong trường hợp này phương trình (A-9) cũng chính là phương trình của biên độ phức và được gọi là phuong trinh Schrodinger đối với các trạng thái dừng. Cần lưu ý rằng, ban than ham số sóng (A-10) không có ý nghĩa vật lý cụ thể mà chỉ có bình phương môđun của nó mới có ý nghĩa trực tiếp. Đại lượng wy" = MỸ xác định xác suất tìm thấy vi hạt ở thời điểm t tại một vị trí xác định trong không gian. Với các giải thích này, rõ ràng hàm sóng W(X) phải là một hàm liên tục, đơn trị và hữu hạn ở khắp mọi nơi và bằng không tại vô cùng. Ngoài ra tích phân flv dV lấy theo toàn 2
bộ vùng không gian mà hạt có thể chuyển động phải bằng 1, nếu viết trong hệ Descartes, ta có:
f j j lw dxdydz =1 +.
Kết quả phân tích phương trinh Schrédinger cho thấy rằng, thực tế không tồn tại loại hàm số \/(,L) mà có thể thỏa mãn các điều kiện vừa nêu ở trên với bất kì giá trị E nào của năng lượng. Chỉ với một số nhất định các giá trị năng lượng E:,E;...E„ mới tồn tại các hàm số sóng như vậy. Những giá trị bất liên tục này của năng lượng được gọi là các giá trị riêng và các hàm số sóng tương ứng được gọi là các hàm riêng. Tập hợp tất cả các giá trị riêng tạo thành phổ các mức năng lượng có thể của hạt. Thông thường, người ta biểu điễn các mức năng lượng có thể của hạt bằng các vạch ngang và gọi đó là giản đồ năng lượng (hình A.1).
221
—_— __
———————
——_đ yw,
Ey _— W;,
E, eee _— __ XHỊ
Hinh Al. Gidn dé năng lượng của hệ vi mô.
Tiên giản đồ này mỗi mức năng lượng E„ có thể ứng với một hay nhiều hầm riêng w, . Nếu một mức E, ứng với hàm số song wha Way - WE, thi người ta nói rằng mức năng lượng E, suy biến và bac suy biến hay trọng lượng thống kê của nó bằng g.
Để tiện cho việc khảo sát tiếp theo, ta nên thêm một dạng biểu diễn nữa của phương trình Schrodinger. Néu dat:
H= a +U
2m
goi đó là toán tử Hamilton, thì phương trình SchOrdinger c6 thể viết đưới dạng toán tử như sau:
Ay = Eự (A-11)
Vì .. do đó ta thu được đạng thời gian của phương trình SchrÕdinger:
~jủ—Y ~Bự (A-12)
Phương trình (A-12) được gọi là phương trình Schrédinger dang téng quat.