2,3. CAC MODE TRONG BUGNG CONG HUGNG
2.5. LÝ THUYẾT SÓNG VE MODE CUA BUỒNG CỘNG HƯỚNG
Việc khảo sát một cách chặt chế va day đủ phân bố trường điện từ trong BCH quang học, chỉ có thể phải được tiến hành trên cơ sở giải hệ phương trình Maxwell với các điều kiện biên cho trước trên các gương.
Mỗi nghiệm dừng của bài toán này có thể xem như một dao động nhất định và được đặc trưng bằng một phân bố trường riêng và một tần số phức riêng (do có các tổn hao nhiễu xạ nên tần số riêng của dao động phải là phức).
61
Đặc điểm của các BCH quang học là những kích thước đặc trưng cho trước như chiều đài của BCH, bán kính cong của gương v.v... lớn hơn rất nhiều lần so với bước sóng bức xạ, vì vậy có thể coi rằng trường điện từ trong BCH là trường điện từ ngang và phân cực đồng nhất. Trong trường hợp này để xác định phân bố dừng trên bể mặt một gương nào đó, ví dụ trên bề mặt của gương bán trong suốt (gương G1) dưới dạng tích phân của trường trên bể mặt gương kia (gương G2), có thể đùng nguyên lý Huygens. Thực chất của vấn để ở đây là người ta cho trước một phân bố trường bất kì trên bề mặt gương G¡, rồi dựa vào nguyên lý Huygens để tính trường trên bể mặt gương G2, sau đó bằng cách tương tự lại tính phân bố trường trên bề mặt gương G1 dựa vào kết quả thu được đối với trường ở gương G2 (hình 2.9). Nếu các tính toán này được lặp đi lặp lại (p+L) lần thì sự phân bố trường trên bể mặt gương G2 sẽ bằng :
sự +A+b -jKR
Upaslss¥,) = 2 ff Upls,.y, 4n is, R U1 + e080 dxydy, (2-22)
trong đó :
U;(x,,y,) - phân bố trường trong mặt phẳng của gương thứ nhất ; K= Oe - hằng số lan truyền sóng trong môi trường của BCH ;
c
R - khoảng cách từ gương thứ nhất đến điểm quan sát (điểm cần khảo sát) ;
9 - góc hợp bởi R và pháp tuyến với bể mặt gương thứ nhất.
Biểu thức (2-22) là phương trình tích phân Precgon loại hai với hàm cần ầm là U›,,(x¿,y;) .Cần lưu ý rằng, ở đây việc lấy tích phân được tiến hành theo toàn bộ điện tích bề mặt của gương thứ nhất mà gương này có thể không phải là gương phẳng.
62
ae 83, yea me
aon ees
Ko
4 l&-⁄4—————. L *¿
G1 (Xiy)
5
TT 0%} +4 z
2a
A 2b (2492)
v1 ¥2
Hinh 2.9. Budng cộng hưởng với hai gương phẳng hình chữ nhật.
Các mode của BCH sẽ tương ứng với các nghiệm đừng khác nhau của phương trình tích phân (2-22), tức là tương ứng với các phân bố trường không đổi sau một khoảng thời gian nào đó. Điều này chỉ có thể xảy ra (phân bố trở thành đừng ) sau khoảng 200 + 300 lần phản xạ (hình 2.10).
Biên độ của trường 0,8
ALA q 0,72
0,70 80 120 160 200 240 260 320 Số lấn phản xạ ằ=
Hình 2.10. Sự thay đổi biên độ của trường vào số lần phản xạ.
Gia stt sau N Jan phan xa, phân bố trường trên các gương trở thành phân bố dừng. Khi đó có thể viết :
uo)=| ] Vey) N (2-23)
63
ane
Với y là hằng số phức, V(x,y) là hàm phân bố dừng Thay biểu thức (2-23) vào (2-22) ta có :
a R dxd y ¢ 2-24 x )
Vì sau N lần phản xạ Vụ,¡¿=Vụ do đó các chỉ số có thể bỏ đi được và ta có phương trình tích phân:
Vaal = jk ffvaa +cos8)
—jkR
R
Các hàm riêng V„„(x,y) là nghiệm của phương trình (2-25) ứng với các giá trị Y„„ tương ứng (gọi là giá trị riêng) sẽ đặc trưng cho cấu trúc của trường trên bề mặt gương đối với các mode xiên TEM„„ khác nhau.
Cần phải nhắc lại rằng, mỗi một mode xiên như vậy có thể chứa một loạt các mode dọc tương ứng với các giá trị q khác nhau. Trên hình 2.11 mô tả phân bố trường của một số mode xiên đơn giản khi các gương phản xa là
các gương phẳng có dạng hình vuông hoặc hình tròn.
€
V= re [Jva+cose) dxdy (2-25)
H3
TEM,; TEM,, TEM ; TEM, TEM,
Hình 2.11. Phân bố trường của gương phẳng có dạng vuông và tròn.
od oe
Đối với các gương hình vuông chỉ số m đặc trưng cho số lần thay đổi hướng của trường đọc theo trục x và chỉ số n đặc trưng cho số lần thay đổi hướng của trường dọc theo trục y. Tương tự như vậy đối với các gương hình tròn các chỉ số m và n lần lượt đặc trưng cho số lần thay đổi hướng của trường theo bán kính và theo góc phương vị.
Légarit cha giá trị riêng y„„ là đại lượng phức và được xác định bằng công thức:
InYua =ệ„„ + @Œ„m„ +kL) (2-26)
trong đó : - B„„ xác định mức độ tắt dần của sóng sau một lần phan xạ giữa hai gương (sau một lần đi qua) ;
- dạ là dịch pha bổ sung sau một lần đi qua, đại lượng này được cộng lại với dịch pha hình học.
Nói chung, các hàm V„„(x,y) là các hàm phức và chỉ được xác định tại bể mặt của các gương.
Nếu biểu diễn hệ số phẩm chất của BCH qua tham số „„ ta có:
man TC aL (2-27)
S Brn’
Khi đó điểu kiện cộng hưởng đối với các mode TEM,„„„ sẽ là:
-_ + tua = fq
mng
Cũng có thể đễ đàng xác định được tần số THEN fing của các mode này thông qua đun:
c co,
fog = oq — Sm ms oT I Oe, (2-28) 2-28
Như vậy, việc giải phương trình tích phân (2-25) đối với mọi cấu hình của BCH quang học cho phép xác định cấu trúc trường của mođe, các tần số cộng hưởng của chúng và các tổn hao của BCH.
5-GTCS 65
Cần lưu ý rằng phương trình (2-25) cũng như các công thức (2-27), (2-28) déu mang tinh tổng quát, chúng không phụ thuộc vào cấu hình nhất định của BCH cũng như hình đạng cụ thể của gương phản xạ. Vì vậy có thể sử dụng các kết quả trên để xét không chỉ các gương phẳng mà cả các gương có hình dạng khác nữa, ví dụ như các gương cầu hay gương parabol.Giả sử ta xét các gương phẳng hình chữ nhật với các cạnh bằng a, b (a,b << L) khi đó có thể coi cosÔ ~ 1 và
2 1
R=jU +(ị—X¿) TỚI _yw,} xL+z-|& =x, + ~y,Ÿ ] Phương trình (2-25) trong trường hợp này được viết như sau:
—a-b
“ee IKI QP HO -¥o)
Va, yar “ ị le sạch V(x, y,)dx dy, (2-29)
Nếu ta giả sử rằng hàm phân bố có dạng:
VỌxy) = Vœ) . VJO)
thì dùng phương pháp tách biến số ta có thể nhận được từ phương.
trình (2-29) hai phương trình tích phân giống hệt nhau, trong đó mỗi phương trình này mô tả một BCH với các gương là những mặt phẳng.
Nghiệm tổng quát bây giờ có thể viết đưới dạng:
Vana(&Y) = Vint) ô Valy)
Đối với gương phẳng hình tròn bán kính a nếu sử dụng hệ tọa độ
cực (r,0) ta có:
R=jÚ +Ÿ + — 277, cosly ~@)*L+z | + ~2nr,eos(@, —;) | 1
Phương trình tích phân bây giờ sẽ có dạng:
ain i jK[ rỶ + —211cos(@; — 92)
Vằ,@,)=xe””" [ [ =-... ,)ndndo, (2-20) oo
66