GIAO TRINH XÁC XUẤT THỐNG KÊ

Cho 2 biến cố A và B, ta nói rằng A và B là hai biến cố đồng khả năng nếu trong phép thử đó khả năng xuất hiện hoặc không xuất hiện của hai biến cố A và B là như nhau.. Định nghĩa cổ điể

CHƯƠNG I

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

§1 GIẢI TÍCH TỔ HỢP

1.1 Luật tích

Giả sử có một công việc nào đó được chia thành k giai đoạn A 1 , A 2 ,…., A k.

Mỗi giai đoạn A i có n i cách thực hiện (i=1,2,…,k) Khi đó số cách thực hiện

3

1.2 Hoán vị

Cho một tập hợp có n phần tử Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp

xếp có thứ tự n phần tử đó vào n vị trí khác nhau Như vậy việc lập một

hoán vị có thể chia thành n giai đoạn: giai đoạn 1 là lấy ra phần tử thứ nhất

từ tập gồm n phần tử nên sẽ có n cách lấy; giai đoạn 2 là lấy ra phần tử thứ

hai từ tập gồm (n-1) phần tử nên có (n-1) cách lấy;……; giai đoạn n là lấy

ra phần tử thứ n từ tập chỉ còn lại 1 phần tử nên có 1 cách lấy Số các hoán

vị của n phần tử được ký hiệu là P (n) và theo luật tích được tính bằng công

Cho tập hợp {a,b,c} Khi đó có các hoán vị sau:

{a,b,c}; {a,c,b}; {b,c,a}; {b,a,c}; {c,b,a}; {c,a,b}

)!

(

!

k n

30

)!

2 6 (

! 6 2

Có bao nhiêu cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ đá bóng luân lưu 11m, biết rằng

11 cầu thủ (kể cả thủ môn) đều có khả năng được chọn như nhau?

Giải:

Mỗi cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ để đá luân lưu là một chỉnh hợp không lặp chập 5 của 11 Do đó, số cách chọn là

5 11

n

F và được xác định bởi công thức k k

Ví dụ 8: Dùng 10 chữ số từ 0 cho tới 9 để lập số điện thoại có 8 chữ số thì mỗi số

điện thoại được lập từ tập gồm 10 chữ số đó chính là một cách lấy ra 8 phần tử có

kể thứ tự từ tập gồm 10 phần tử; mỗi phần tử có thể được lặp đi lặp lại nhiều lần

Do đó số các số điện thoại là số chỉnh hợp lặp chập 8 của 10 phần tử, nghĩa là sẽ

10  10

F số điện thoại từ số 00000000 đến số 99999999 Còn các số điện

thoại có 8 chữ số khác nhau là số chỉnh hợp không lặp chập 8 của 10 phần tử, nghĩa là sẽ có 8

10 10.9.8.7.6.5.4.3 1814400

Ví dụ 9: Một tòa nhà có 9 tầng đánh số từ 1 đến 9 Có 4 người khách xuất phát từ

thang máy của tầng 1 để lên các tầng trên Có bao nhiêu cách để mỗi người khách

ra ở mỗi tầng khác nhau? Có bao nhiêu cách để 4 người khách ra khỏi thang máy?

Giải: Mỗi cách để 4 người khách ra ở mỗi tầng khác nhau là việc chọn ra 4 tầng

khác nhau từ 8 tầng ( từ tầng 2 đến tầng 9), nên đó là một chỉnh hợp không lặp

chập 4 của 8 phần tử Vì vậy có A84 8 7 6 5  1680 cách để 4 khách ra ở mỗi tầng khác nhau

- Mỗi khách có 8 cách chọn tầng để ra, do đó số cách để 4 khách ra khỏi thang máy

!

!( )!

k n

n C

Do đó, số cách lập đề thi là: 2

6

6!

15 2!(6 2)!

Ví dụ 11: Một hình lục giác lồi có bao nhiêu đường chéo ?

Một hình đa giác lồi n cạnh có bao nhiêu đường chéo ?

Giải:

Hình lục giác lồi có 6 cạnh và 6 đỉnh Cứ 2 đỉnh nối với nhau được 1 đoạn thẳng (không phân biệt thứ tự) Số đoạn thẳng được tạo thành từ 6 đỉnh là

15 )!

Ví dụ 12 : Cho tập hợp A1 , 2 , , 9 Hỏi có bao nhiêu số có 6 chữ số được lập

thành từ tập A sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện 3 lần, một chữ số

xuất hiện 2 lần, một chữ số xuất hiện 1 lần ?

Giải : Mỗi số có 6 chữ số được lập thành từ 3 chữ số khác nhau của tập A, giả sử

3 chữ số khác nhau đó là a,b,c trong đó chữ số a xuất hiện 3 lần, chữ số b xuất hiện 2 lần, chữ số c xuất hiện 1 lần

Ví dụ 13:

Một lớp có 30 sinh viên trong đó cán bộ lớp gồm 1 lớp trưởng và 2 lớp phó

Hỏi có bao nhiêu cách cử 4 sinh viên đi họp để trong đó có:

! 3

! 27

b Cách 1: Các khả năng có thể xảy ra:

- Có 1 sinh viên là cán bộ lớp còn 3 là sinh viên không là cán bộ lớp thì số cách chọn là C31C273  8775

- Có 2 sinh viên là cán bộ lớp và 2 sinh viên không là cán bộ lớp thì số cách chọn là: C32C272  1053

- Có 3 sinh viên là cán bộ lớp và 1 sinh viên không là cán bộ lớp thì số cách chọn là: C33C271  27

Vậy số cách cử 4 sinh viên trong đó có ít nhất 1 cán bộ lớp đi họp là:

8775+1053+27=9855

Cách 2: Có C30 cách chọn ra 4 sinh viên trong lớp, có C27 cách chọn ra 4 sinh viên không phải là cán bộ lớp Do đó số cách chọn ra 4 sinh viên mà có ít nhất 1 cán bộ lớp là 4 4

30 27 27405 17550 9855

Ví dụ 14:

Có bao nhiêu cách bố trí 7 khách lên một đoàn tàu có 3 toa để toa I có 2 người,

toa II có 3 người, toa III có 2 người

Mỗi hiện tượng trong tự nhiên chỉ có thể xảy ra khi một số điều kiện liên

quan đến nó được thực hiện Việc thực hiện một số điều kiện liên quan này

được gọi là phép thử Khi thực hiện một phép thử sẽ có các kết quả xảy ra,

số kết quả của mỗi phép thử có thể nhiều ít khác nhau Trong mỗi phép thử

có kết quả đơn giản là kết quả không phân chia nhỏ ra được nữa, có kết quả

phức hợp do nhiều kết quả đơn giản hợp thành Người ta gọi kết quả đơn

giản là biến cố sơ cấp của phép thử; tập các biến cố sơ cấp của phép thử gọi

là không gian biến cố sơ cấp, ký hiệu là Ω

Ví dụ 1:

Bật công tắc đèn, bóng có thể sáng hoặc không sáng Việc bật công tắc là một phép thử, còn đèn sáng hoặc không sáng là những biến cố sơ cấp

Biến cố được chia làm 3 loại: biến cố chắc chắn, biến cố không thể và biến

- Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra (xuất hiện) hoặc không thể xảy

ra (không xuất hiện) khi phép thử được thực hiện Kí hiệu các biến cố là

chấm là biến cố ngẫu nhiên Biến cố xuất hiện mặt có “ chấm chẵn hoặc lẻ”

là biến cố chắc chắn

2.2 Phép toán và quan hệ giữa các biến cố

2.2.1 Tổng của hai biến cố

Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu là C AB, nếu biến cố C xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra

Biến cố A là tổng của n biến cố A1,A2, ,A n nếu A xảy khi có ít nhất một

trong n biến cố ấy xảy ra Ký hiệu 



 n

i i A A

1

Ví dụ 4:

Hai người cùng bắn vào một bia Gọi A là biến cố “người thứ nhất bắn

trúng bia”, B là biến cố “người thứ hai bắn trúng bia”, C là biến cố “có ít

nhất một người bắn trúng bia” Khi đó C AB

Ví dụ 5:

Rút 2 cây bài trong bộ bài 52 cây Gọi A là biến cố “ cả hai cây rút ra đều

là Át”, B là biến cố “ có một cây là Át, một cây không là Át” Gọi C là biến

cố “ rút được ít nhất một cây Át” Khi đó C AB

2.2.2 Tích của hai biến cố

Tích của hai biến cố A và B (hay còn gọi là giao của 2 biến cố) là biến cố

C, ký hiệu là C A.B, sao cho C xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy

ra

Biến cố A được gọi là tích của n biến cố A1,A2, ,A n , nếu A xảy ra khi và

chỉ khi tất cả các biến cố A1,A2, ,A n cùng đồng thời xảy ra Ký hiệu là

Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn

trúng bia”, gọi B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”, gọi C là biến cố “

cả hai xạ thủ cùng bắn trúng bia” Khi đó, C A.B

Chú ý:

Nếu coi các biến cố là những tập hợp thì các phép toán tổng, tích và hiệu các biến cố có thể coi như là các phép toán tổng tích và hiệu của các tập hợp Các phép toán của các biến cố cũng có những tính chất như sau:

Cho 2 biến cố A và B, ta nói rằng A và B là hai biến cố đồng khả năng nếu

trong phép thử đó khả năng xuất hiện hoặc không xuất hiện của hai biến cố

A và B là như nhau

Ví dụ 8:

Tung một đồng tiền cân đối và đồng chất Gọi S là biến cố đồng tiền xuất

hiện mặt sấp, N là biến cố đồng tiền xuất hiện mặt ngửa thì S và N là hai

biến cố đồng khả năng

Ví dụ 9:

Tung đồng thời 2 đồng tiền cân đối và đồng chất

H S là biến cố cả hai đồng tiền đều xuất hiện mặt xấp

H N là biến cố cả hai đồng tiền đều xuất hiện mặt ngửa

M là biến cố 1 đồng tiền xuất hiện mặt xấp, 1 đồng tiền xuất hiện mặt ngửa

Khi đó, H S , H N là 2 biến cố đồng khả năng H S và M là 2 biến cố không đồng

khả năng

2.3.2 Biến cố xung khắc

Hai biến cố A và B gọi là xung khắc với nhau nếu chúng không thể đồng

thời xảy ra trong cùng một phép thử

Ví dụ 10:

Khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất thì biến cố A “xuất hiện

mặt 5 chấm” và biến cố B “ xuất hiện mặt 6 chấm” là hai biến cố xung khắc

nhau

Ví dụ 11:

Tung một đồng tiền cân đối và đồng chất Gọi A là biến cố “ xuất hiện mặt

sấp”, B là biến cố “ xuất hiện mặt ngửa” Khi đó, A và B là hai biến cố xung

khắc

2.3.3 Biến cố đối lập

Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu chúng xung khắc và tổng

của chúng là biến cố chắc chắn Nghĩa là: A B   ;A B   Ký hiệuA là

biến cố đối lập của biến cố A

A, B là hai biến cố đối lập nhau

Chú ý: Hai biến cố đối lập thì xung khắc, điều ngược lại chưa chắc đúng 2.3.4 Biến cố độc lập

Hai biến cố được gọi là độc lập với nhau nếu sự xuất hiện hay không xuất hiện của biến cố này không ảnh hưởng tới sự xuất hiện hay không xuất hiện của biến cố kia và ngược lại

Tính chất:

- Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì (A, B), (A,B), (A,B) độc lập với

nhau

Ví dụ 14:

Tung đồng thời hai đồng tiền cân đối và đồng chất Gọi A là biến cố “ đồng tiền

thứ nhất xuất hiện mặt sấp”, B là biến cố “ đồng tiền thứ hai xuất hiện mặt sấp” Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập

- Các biến cố A 1 , A 2 , , A n được gọi là độc lập nhau từng đôi một nếu mỗi

cặp 2 trong n biến cố độc lập với nhau

Ví dụ 15:

Có 3 xạ thủ, mỗi xạ thủ bắn 1 viên đạn vào bia Gọi A i là biến cố người thứ

i bắn trúng bia Khi đó, A 1 , A 2 , A 3 là độc lập với nhau từng đôi một

1

Ví dụ 16:

Tung con xúc xắc cân đối và đồng chất Gọi Ai là biến cố “ xuất hiện mặt i

chấm, i=1, ,6” Nhận thấy A A i. j  (với i  j), 6

1

i i

Có hai xạ thủ, mỗi xạ thủ bắn 1 viên đạn vào cùng 1 bia Gọi A 1 là biến cố

hai xạ thủ cùng bắn trượt bia, A 2 là biến cố hai xạ thủ cùng bắn trúng bia, A 3

là biến cố có 1 xạ thủ bắn trúng bia Khi đó, {A 1 , A 2 , , A 3} là nhóm đầy đủ các biến cố

Ví dụ 18:

Một hộp có 10 viên bi đỏ và 2 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi

Gọi A là biến cố lấy được 2 bi đỏ, B là biến cố lấy được 2 bi trắng, C là biến

cố lấy được 1 bi trắng và 1 bi đỏ Khi đó {A, B, C} là nhóm đầy đủ các biến

cố

§3 XÁC SUẤT- CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

3.1 Các định nghĩa xác suất

3.1.1 Định nghĩa cổ điển

Xác suất của biến cố A là một số không âm, ký hiệu là P(A) biểu thị khả

năng xảy ra biến cố A và được tính theo công thức: P A( ) m

.

Ví dụ 2:

Một tổ gồm 10 người tổ chức buổi liên hoan ngồi bàn tròn (có đánh thứ

tự) Mỗi người ngồi vào một chỗ một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để cho

hai người A và B ngồi cạnh nhau

20

! 10

! 8 2

Ví dụ 3:

Rút ngẫu nhiên từ bộ bài 52 cây bài ra 8 cây bài Tìm xác suất sao cho:

a Có 3 cây là Át, 2 cây là 10, 1 cây là 2, 1 cây là K, 1 cây là J

b Có 3 cây màu đỏ, 5 cây màu đen

b Gọi B là biến cố “ trong 8 cây rút được 3 cây màu đỏ, 5 cây màu đen”

- Số trường hợp thuận lợi cho B là: 3 5

a Chữ số 7 đầu tiên và 8 chữ số là khác nhau

b.Chữ số 7 đầu tiên và số điện thoại là số chẵn

c Chữ số 7 đầu tiên, 7 chữ số còn lại khác nhau, số điện thoại là số chẵn

d Chữ số 7 đầu tiên, sau đó là chữ số 6, tiếp là chữ số 4, chữ số cuối cùng

chẵn và 4 chữ số còn lại trùng với năm sinh của chủ hộ

Giải:

Số các số điện thoại có 8 chữ số được thành lập từ 10 chữ số là: F 8 10 =10 8

a Gọi A là biến cố chọn được số điện thoại gồm chữ số 7 đầu tiên và 8 chữ

số là khác nhau Chữ số 7 đầu tiên có 1 cách chọn, 7 chữ số còn lại khác

8 3, 024.10 10

b Gọi B là biến cố chọn được số điện thoại gồm chữ số 7 đầu tiên và số điện

thoại là số chẵn Chữ số 7 đầu tiên có 1 cách chọn, số cuối cùng chẵn có 5

cách chọn và 6 chữ số giữa có F 10 6

cách chọn Vậy :

8

6 10

10

5 1 )

c Gọi C là biến cố chọn được số điện thoại gồm chữ số 7 đầu tiên và 7 chữ

số còn lại khác nhau, số điện thoại là số chẵn Chữ số 7 đầu tiên có 1 cách chọn, số cuối cùng chẵn có 5 cách chọn, 6 chữ số giữa khác nhau và khác

chữ số cuối cùng có A 9 6

cách chọn Vậy :

3 8

6 9

10 024 , 3 10

5 1 )

P

d Gọi D là biến cố chọn được số điện thoại có chữ số 7 đầu tiên, sau đó là

chữ số 6, tiếp là chữ số 4, chữ số cuối cùng chẵn và 4 chữ số còn lại trùng với năm sinh của chủ hộ

- Chữ số 7 đầu tiên có 1 cách chọn, chữ số thứ 2 và 3 có 1 cách chọn, chữ số cuối cùng chẵn có 5 cách chọn, 4 chữ số giữa có 1 cách chọn Vậy :

8

8 5 10 10

5 1 1 1 1 )

3.1.2 Định nghĩa theo thống kê

Có nhiều hiện tượng xảy ra mà việc tìm xác suất của chúng không đảm bảo các yêu cầu của định nghĩa cổ điển, chẳng hạn việc tính xác suất xuất hiện mặt sấp khi tung đồng tiền không cân đối đồng chất, tính xác suất sinh con trai (con gái), dự đoán thời tiết,….Khi đó người ta đưa ra định nghĩa sau :

Giả sử một loại phép thử được tiến hành n lần trong đó biến cố A xuất hiện

k lần Khi đó, tỷ số

n

k được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép

cũng thay đổi nhưng nó luôn dao động quanh một số cố định nào đó,

số cố định đó gọi là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê Trên thực tế khi n đủ lớn,

Giả sử tập các biến cố đồng khả năng xuất hiện của một phép thử được

biểu thị bởi một miền hình học G có độ đo nào đó (chẳng hạn đoạn thẳng, miền có diện tích, thể tích,…mà sau đây ta ký hiệu độ đo của miền G là G )

và A là biến cố để ‘một điểm rơi ngẫu nhiên vào miền con gG’ Khi đó

xác suất của biến cố A được xác định bởi : P A( ) g

G

 Định nghĩa này được gọi là định nghĩa xác suất theo hình học

Ta có thể hiểu xác suất để ‘ một điểm rơi ngẫu nhiên vào miền con

gG ’ chính là tỷ lệ của tập con g so với tập G

Ví dụ 5 : Hai người bạn hẹn gặp nhau ở một địa điểm nào đó vào khoảng từ

19h đến 20h và quy ước nếu ai đến trước thì đợi không quá 10 phút Tìm xác

suất để hai người gặp nhau ?

Giải : Gọi x, y là thời điểm đến chỗ hẹn của mỗi người Để hai người gặp

nhau (biến cố A) thì (x,y) phải thỏa mãn : x y 10phút = 1

6h

Đặt G( , ) :19x y x y,  20là tập tất cả các khả năng có thể xảy ra Diện tích

miền G là diện tích hình vuông có cạnh là 1 nên có thể coi

g    ( phần diện tích còn lại của G sau khi đã trừ diện tích

hai tam giác vuông cân cạnh là 5

Có 10 vé số trong đó có 1 vé trúng thưởng Hai người rút ngẫu nhiên mỗi

người một vé Gọi A, B theo thứ tự là biến cố rút được vé trúng thưởng của

người thứ nhất và người thứ hai Giả sử người thứ nhất rút trước

- Ta thấy việc xuất hiện hay không xuất hiện của biến cố A sẽ ảnh hưởng tới việc xuất hiện hay không xuất hiện của biến cố B

- Giả sử A không xuất hiện, tức là người thứ nhất không rút được vé trúng

thưởng, khi đó còn lại 9 vé Xác suất để rút được một vé trúng thưởng của

người thứ hai là: P(B)=1/9

Nếu A xuất hiện nghĩa là người thứ nhất rút được vé trúng thưởng, khi đó

P(B)=0

3.2.1.Định nghĩa:

Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy là một

số không âm, ký hiệu là P(A/B) biểu thị khả năng xảy ra biến cố A khi biến

cố B đã xảy ra Tương tự ta cũng có định nghĩa P(B/A)

Ta có thể nêu cách tính xác suất có điều kiện P A B( / ) theo nghĩa cổ điển như sau :

( / )

( )

AB AB

B B

Ví dụ 7:

Tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất Tìm xác suất để xuất hiện mặt hai chấm biết rằng mặt có số chấm chẵn sẽ xuất hiện

Giải:

- Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt hai chấm”

- Gọi B là biến cố “xuất hiện mặt có số chấm chẵn”

Số lần xuất hiện mặt có số chấm chẵn là 3 Số lần xuất hiện mặt hai chấm là

3.3.1 Công thức nhân xác suất

Từ công thức xác suất điều kiện: ( / ) ( )

Trong một kho có 20 sản phẩm, trong đó có 12 phế phẩm Rút ngẫu nhiên

4 lần mỗi lần một sản phẩm không hoàn lại Tìm xác suất để 4 sản phẩm rút

ra đều là phế phẩm

Giải:

Cách 1: Việc rút ra 4 sản phẩm sẽ tương đương với việc rút 4 lần, mỗi lần

một sản phẩm không hoàn lại

- Gọi A là biến cố “rút được cả 4 sản phẩm đều là phế phẩm”

- Gọi Ai là biến cố “ rút được phế phẩm trong lần rút thứ i, i=1, 2, 3 ,4 “

1

12 

C

C

+ P(A 2 /A 1) là xác suất rút được một phế phẩm lần thứ hai với điều kiện lần

một rút được phế phẩm (nhưng không hoàn lại) Do đó: P(A 2 /A 1 )=

19

11

1 19

33 17

9 9

5 19

11 5

3



Cách 2: Việc rút 4 lần mỗi lần 1 sản phẩm không hoàn lại, tương đương với

việc rút 1 lần cả 4 sản phẩm Ta dùng công thức xác suất cổ điển

- Gọi A là biến cố “cả 4 sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm”

P(A)=

4 12 4 20

9.10.11.12 33 17.18.19.20 323

C

Ví dụ 9:

Một thủ kho có 1 chùm chìa khoá gồm có 9 chìa trong đó có 2 chìa mở

được cửa Thủ kho mở cửa bằng cách lần lượt thử từng chìa đến khi mở được cửa thì dừng lại (nếu chìa nào không mở được thì bỏ ra ngoài) Tìm xác suất để thủ kho mở được cửa ở lần mở chìa thứ 3

Một máy gồm 4 bộ phận hoạt động độc lập với nhau Biết rằng xác suất

để 4 bộ phận đó hoạt động tốt theo thứ tự lần lượt là 0,6; 0,7; 08; 0,9 Tìm

xác suất để máy hoạt động tốt, biết rằng một bộ phận hỏng thì máy sẽ ngừng hoạt động

Giải:

- Gọi A là biến cố “máy hoạt động tốt”

- Gọi A i là biến cố “ bộ phận thứ i hoạt động tốt, (i=1,2,3,4) Khi đó,  A i i1,4

Giả sử A, B là hai biến cố bất kỳ

n i

n n

j

k j i i

i n

( )

( )

- Nếu n =3 thì:

P A A A P A P A P A P A A P A A P A A P A A A

Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì P A B(  ) P A( ) P B( )

Đặc biệt, nếu các biến cố  n1

Có ba xạ thủ cùng bắn vào một đích, mỗi xạ thủ bắn một viên với xác suất

trúng đích của mỗi xạ thủ lần lượt là 0,9; 0,8; 0,7 Tìm xác suất để đích bị

bắn trúng (coi việc bắn trúng đích của các xạ thủ là độc lập)

Giải:

Cách 1

- Gọi A là biến cố “ đích bị bắn trúng”

- Gọi A i là biến cố “ xạ thủ thứ i bắn trúng đích” (i=1 3)

Do việc bắn trúng đích của các xạ thủ là độc lập nhau nên  A i i1,3 độc lập với nhau

Đích bị bắn trúng khi có ít nhất 1 xạ thủ bắn trúng nên ta có: A A1A2A3

a Tìm xác suất để người đó mua được con gà mái

b Người thứ 2 đến mua, người bán gà lại bắt ngẫu nhiên ra một con Tìm

xác suất để người thứ 2 mua được gà trống

c Xác suất này sẽ bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà

bán cho người thứ nhất là gà trống hay gà mái

Giải:

- Gọi B i là biến cố người thứ i mua được gà mái (i=1,2)

a Ta có

1 3

b Gọi B là biến cố người thứ 2 mua được gà trống Vì người thứ 2 mua gà

trống sau khi người thứ nhất đã mua xong gà mái nên xác suất để người thứ

3.3.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Giả sử A i là một nhóm biến cố đầy đủ (i=1,2, ,n) trong một phép thử, A là một biến cố thỏa mãn A xảy ra chỉ khi có ít nhất một trong các biến cố A i xảy ra Khi đã biết P(A i ) và P(A/A i) thì:

P A( )  



n i

i

i P A A A

P

1

) / ( ).

(

(Công thức xác suất đầy đủ)

Cũng với giả thiết như trên và thêm giả thiết là phép thử đã được thực hiện -

nghĩa là biến cố A đã xảy ra, khi đó:

1

( ) ( / ) ( ) ( / ) ( / )

từ hộp đó rút ngẫu nhiên ra 1 chi tiết máy

a Tìm xác suất để chi tiết máy rút ra là loại I

b Biết chi tiết máy rút ra là loại I, tìm xác suất để chi tiết máy rút ra đó là

thuộc hộp 2

Giải:

a Gọi A i là biến cố “ rút được hộp thứ i” (i=1,2,3)

A là biến cố “ rút được chi tiết máy loại I”

{A 1 , A 2 , A 3 } là hệ biến cố đầy đủ, A xảy ra khi hoặc A 1 xảy ra hoặc A 2 xảy ra

hoặc A 3 xảy ra Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

1 4

số người không nghiện thuốc lá là 40%

a Chọn ngẫu nhiên một người biết rằng người đó viêm họng Tìm xác suất

để người đó nghiện thuốc lá

b Nếu người đó không viêm họng, tìm xác suất để người đó nghiện thuốc

lá

Giải:

Gọi A 1 là biến cố “người được chọn ra nghiện thuốc”

Gọi A 2 là biến cố “người được chọn ra không nghiện thuốc”

Gọi A là biến cố “ người được chọn ra bị viêm họng”

A 1 , A 2 là hệ biến cố đầy đủ và A xảy ra khi hoặc A 1 xảy ra hoặc A 2 xảy ra Theo công thức xác suất đầy đủ thì

(

i

i

i P A A A

P =0,3.0,6+0,7.0,4=0,46

a Xác suất chọn được người viêm họng do nghiện thuốc là:

    1   11

, 0

) 6 , 0 1 (

3 , 0 )

(

) / ( ) ( )

/

A P

A A P A P

b Biết sản phẩm lấy ra sau cùng là tốt, tìm xác suất để sản phẩm lấy ra đó là

của hộp 1 chuyển sang

Giải:

a Gọi A 1 là biến cố “ lấy được sản phẩm tốt ở hộp 1 bỏ sang hộp 2”

A 2 là biến cố “ lấy được sản phẩm xấu ở hộp 1 bỏ sang hộp 2”

A là biến cố “sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt”

Khi đó A 1 , A 2 là nhóm biến cố đầy đủ và A xảy ra khi A 1 xảy ra hoặc A 2 xảy

ra Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

4 3

1 10

9 3

b. Gọi B 1 là biến cố “sản phẩm lấy ra sau cùng của hộp một chuyển sang”

B 2 là biến cố “sản phẩm lấy ra sau cùng của hộp hai ngay từ đầu”

Cách 1: Tính

2

( ) ( / ) ( / )

1 2

1 ( / ) 1 ( / )

Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli

Tiến hành n phép thử độc lập (tức là các kết qủa của phép thử này không làm ảnh hưởng tới kết quả của phép thử kia) được gọi là n phép thử Bernoulli nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau:

+ Mỗi phép thử có một trong hai kết quả A hoặc A

+ P A( )  p như nhau đối với mọi phép thử

Ví dụ 16: Tung đồng tiền cân đối đồng chất 10 lần, đó là 10 phép thử

Bernoulli

Ví dụ 17: Một hộp có 10 bóng đèn, trong đó có 6 bóng tốt, lấy 3 lần mỗi lần

một bóng có hoàn lại là 3 phép thử Bernoulli

P ( ; )   với (q=1-p) Đây là công thức tính xác suất

để biến cố A xuất hiện đúng m lần trong n phép thử độc lập

Ví dụ 18:

Xác suất bắn trúng đích của một xạ thủ là 0,7 Tìm xác suất để xạ thủ này bắn 5 viên đạn thì có 4 viên trúng đích

Giải:

Gọi A là biến cố “ Xạ thủ bắn 5 viên thì trúng đích 4 viên”

Áp dụng công thức Bernoulli với n=5, m=4, p=0,7 Ta có :

P(A)= P5( 4 ; 0 , 7 ) C54( 0 , 7 )4( 0 , 3 )1  0 , 36015

Ví dụ 19:

Có 6 hành khách bước ngẫu nhiên lên 1 đoàn tàu có 3 toa Mỗi người chọn một toa một cách ngẫu nhiên và độc lập Tìm xác suất để chỉ có 2 người lên toa một

Giải:

6 hành khách bước lên 3 toa tàu là 6 phép thử Bernoulli Xác suất lên một

toa tàu nào đó của 6 hành khách là như nhau với p =1

Cho dãy n phép thử Bernoulli, giả sử n không đổi, P n (m; p) phụ thuộc vào

m, trong n phép thử ta phải tìm giá trị m=m 0 sao cho P n (m; p) lớn nhất Tức

Khi đó m 0 được gọi là số lần xuất hiện có khả năng nhất hoặc số có khả năng

nhất để A xuất hiện và nó được tính theo công thức:

Do rút 14 lần mỗi lần 1 sản phẩm có hoàn lại để kiểm tra nên xác suất rút

được phế phẩm trong mỗi lần rút là như nhau, vì vậy p=

5

1

1 50

Vậy số có khả năng nhất là 2 hoặc 3

Ví dụ 21:

Một đề thi trắc nghiệm gồm 100 câu Một thí sinh làm đề thi đó bằng cách chọn ngẫu nhiên các đáp án Biết rằng mỗi câu gồm 4 phương án và chỉ có một phương án đúng

a Tìm xác suất để thí sinh đó làm đúng 50 câu

b Tìm số câu thí sinh đó làm đúng có khả năng nhất Hãy tính xác suất

tương ứng

Giải:

Thí sinh làm 100 câu theo cách chọn ngẫu nhiên các đáp án chính là 100

phép thử Bernoulli với A là biến cố “chọn được phương án đúng” với

BÀI TẬP CHƯƠNG I

1 Ba người cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên Gọi A i là biến

cố “ người thứ i bắn trúng bia” Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến

g Có không quá hai người bắn trúng

2 Môn học A trong kỳ 1 có 2 lần thi Xét 1 thí sinh, ký hiệu A i là thí sinh

qua được ở lần thi thứ i (i=1,2)

a Biểu diễn biến cố thí sinh không qua được môn A trong kỳ 1

b Biểu diễn biến cố thí sinh qua được môn A trong kỳ 1

3 Thang máy của một khách sạn 10 tầng xuất phát từ tầng 1 với 5 khách

Giả sử mỗi người chọn tầng ra một cách ngẫu nhiên và độc lập Tìm xác suất xảy ra các tình huống sau:

a Tất cả cùng ra ở tầng 5

b Tất cả cùng ra ở một tầng

c Mỗi người ra ở một tầng khác nhau

d Hai người ra cùng một tầng, 3 người còn lại ra ở ba tầng khác nhau

4 Có 5 hành khách bước ngẫu nhiên lên một đoàn tàu có 3 toa, tìm xác suất

để

a Chỉ có 2 người lên toa thứ nhất

b Không có người nào lên toa thứ ba

5 Vụ hợp tác quốc tế của bộ có 25 nhân viên, trong đó có 16 người biết

tiếng Anh, 14 người biết tiếng Pháp, 10 người biết tiếng Nga Có 10 người biết được cả tiếng Anh và tiếng Pháp, 5 người biết được cả tiếng Anh và tiếng Nga, 3 người biết tiếng Nga và tiếng Pháp và biết rằng không có ai biết được cả 3 thứ tiếng Cử một người đi công tác Tìm xác suất để người đó:

a Biết tiếng Anh hoặc Pháp

b Biết ít nhất một thứ tiếng ( hoặc tiếng Anh hoặc tiếng Nga hoặc tiếng

Pháp)

c Chỉ biết được một ngoại ngữ

6 Một trận không chiến giữa máy bay ta và địch, máy bay ta bắn trước với

xác suất trúng đích là 0,5; nếu trượt máy bay địch bắn trả với xác suất trúng đích là 0,4; nếu không bị trúng đạn máy bay ta lại bắn trả với xác suất trúng đích là 0,3 Tìm xác suất để:

a Máy bay địch bị rơi trong trận không chiến trên

b Máy bay ta bị rơi trong trận không chiến trên

7 Một hộp có 3 viên bi trắng, 7 viên bi đỏ và 15 viên bi xanh Một hộp khác

có 10 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 9 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi

hộp ra 1 viên bi Tìm xác suất để được 2 viên bi cùng màu

8 Có 10 hộp đựng bi, trong đó có 4 hộp loại I, mỗi hộp có 3 bi trắng và 5 bi

đỏ; 3 hộp loại II, mỗi hộp có 4 bi trắng và 6 bi đỏ; 3 hộp loại III, mỗi hộp có

2 bi trắng và 5 bi đỏ

a Rút ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một bi Tìm xác suất để

được bi đỏ

b Rút ngẫu nhiên một hộp và từ hộp đó lấy ngẫu nhiên một bi thì được bi

trắng Tìm xác suất để viên bi đó là của hộp loại II

9 Có hai lô sản phẩm Lô thứ nhất có 10 sản phẩm loại I và 2 sản phẩm loại

II Lô thứ hai có 16 sản phẩm loại I và 4 sản phẩm loại II Từ mỗi lô ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm Sau đó từ hai sản phẩm thu được ta lại lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm loại I

10 Một trong ba xạ thủ được gọi ra tuyến bắn một cách ngẫu nhiên và bắn 2

viên đạn Xác suất bắn trúng đích mỗi viên đạn của xạ thủ thứ nhất là 0,8; của xạ thủ thứ hai là 0,9 và của xạ thủ thứ ba là 0,6 Biết rằng đích không bị bắn trúng Tìm xác suất để những viên đạn không trúng đích là do xạ thủ thứ

ba bắn

11 Một hộp có 7 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi; nếu

là bi đỏ thì bỏ lại vào hộp và cho thêm vào đó 1 viên bi đỏ nữa, nếu là bi trắng thì cũng bỏ lại vào hộp và cho thêm vào đó 1 viên bi trắng nữa Sau đó lắc đều và lại lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp đó

a Tính xác suất để viên bi lấy ra sau cùng là viên bi đỏ

b Biết viên bi lấy ra sau cùng là bi đỏ, tìm xác suất để viên bi lấy ra sau

cùng là viên bi nằm trong hộp từ đầu

12 Trong túi trái của một cậu bé đựng 5 bi đỏ, 2 bi trắng và túi phải đựng 3

bi đỏ, 6 bi trắng Cậu bé lấy ngẫu nhiên 3 viên từ túi trái bỏ sang túi phải, rồi

từ túi phải lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi

a Tính xác suất để viên bi lấy ra sau cùng là màu đỏ

b Giả sử viên bi lấy ra sau cùng là màu đỏ Tìm xác suất để bi đỏ đó là của

túi trái

13 Biết rằng xác suất sinh con trai và sinh con gái là bằng nhau Tìm xác

suất để trong một gia đình có ba người con thì có:

a Hai con gái

b Không có quá hai con gái

14 Tại một nhà hộ sinh trong một ngày có 10 đứa trẻ ra đời Biết rằng xác

suất sinh con trai và sinh con gái là bằng nhau Tính xác suất để:

a Có 4 đứa là con trai

b Có ít nhất 6 đứa là con trai

c Số con trai không quá 5 và không ít hơn 3

15 Một bảng quảng cáo được mắc hai hệ thống bóng điện độc lập nhau Hệ

thống một gồm có hai bóng mắc nối tiếp, hệ thống hai gồm có hai bóng mắc song song Xác suất của mỗi bóng điện bị hỏng sau 100 giờ thắp sáng là 0,2 Tìm xác suất để:

a Hệ thống một bị hỏng

b Hệ thống hai không bị hỏng

c Chỉ có hệ thống một bị hỏng

d Hệ thống hai bị hỏng

e Chỉ có một hệ thống bị hỏng

f Chỉ có hệ thống hai bị hỏng

16 Bắn ba phát đạn vào một máy bay với xác suất trúng của từng phát theo

thứ tự là 0,4; 0,5 và 0,7 Nếu trúng một phát thì xác suất máy bay rơi là 0,2; nếu trúng hai phát thì xác suất máy bay rơi là 0,5; nếu trúng cả ba phát thì chắc chắn máy bay sẽ rơi Tìm xác suất để máy bay bị rơi

17 Trong số những ô tô tải và ô tô con đi qua một trạm xăng có 60% là ô tô

tải Xác suất để ô tô tải phải dừng lại lấy xăng là 0,1; xác suất để ô tô con phải dừng lại lấy xăng là 0,2 Một chiếc ô tô rẽ vào trạm để lấy xăng Tìm xác suất để ô tô đó là ô tô tải

18 Một sinh viên thi ba môn liên tiếp của một học kỳ Xác suất để thi đạt

môn đầu tiên là 0,8 Nếu môn trước thi đạt thì xác suất để thi đạt môn tiếp theo là 0,9; nhưng nếu môn trước thi không đạt thì xác suất thi đạt môn tiếp theo chỉ còn 0,4 Tính xác suất để sinh viên đó thi đạt hai môn

19 Một chiếc máy bay lần lượt ném mỗi lần một quả bom xuống một chiếc

cầu cho đến khi bom trúng cầu thì thôi Tìm xác suất máy bay ném bom trúng cầu mà không tốn quá 2 quả bom, biết rằng xác suất ném bom trúng cầu trong mỗi lần ném không đổi và bằng 0,7

20 Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có hai cách: đi theo

đường ngầm hoặc đi theo lối cầu Biết rằng anh ta đi theo lối đường ngầm trong 1/3 trường hợp, còn lại đi lối cầu Nếu đi theo lối đường ngầm thì 75% trường hợp anh ta về nhà trước 6 giờ; còn đi lối cầu thì có 70% trường hợp anh ta về nhà trước 6 giờ Tính xác suất để công nhân đó đi theo lối cầu biết anh ta về nhà sau 6 giờ

21 Hai công ty A và B cùng kinh doanh một loại mặt hàng Xác suất để

công ty A kinh doanh thua lỗ là 0,2 ; xác suất để công ty B kinh doanh thua

lỗ là 0,1 Trên thực tế xác suất để cả hai công ty kinh doanh cùng thua lỗ là 0,01 Tìm xác suất để:

a Chỉ có một công ty kinh doanh thua lỗ

b Có ít nhất một công ty kinh doanh không thua lỗ

22 Một xí nghiệp vận tải có hai ô tô hoạt động trong lĩnh vực vận chuyển

hàng hóa Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị hỏng tương ứng là 0,2 và 0,4 Trên thực tế xác suất để cả hai ô tô bị hỏng trong một ngày làm việc là 0,1 Tính xác suất để trong một ngày làm việc có đúng một ô tô bị hỏng

23 Trong một kỳ thi, mỗi học sinh phải thi hai môn là Văn và Toán Giả sử

có 60% học sinh đỗ môn Văn, 55% học sinh đỗ môn Toán, 30% trượt cả 2 môn Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh dự thi, tính xác suất để học sinh đó thi đỗ

cả 2 môn

24 Một người dự thi hai trường đại học, xác suất thi đỗ trường thứ nhất là

0,8; xác suất thi đỗ trường thứ hai là 0,6; xác suất thi đỗ cả hai trường là 0,5

a Tính xác suất để người đó chỉ thi đỗ một trường

b Tính xác suất để người đó đỗ khi thi vào trường thứ hai biết rằng đã trượt

ở trường thứ nhất

25 Xác suất bắn trúng đích của một xạ thủ trong mỗi lần bắn là 0,7 Xạ thủ

đó bắn 25 phát đạn

a Xác định số lần bắn có khả năng trúng đích nhất

b Nếu muốn xác suất để ít nhất có 1 viên đạn trúng đích không bé hơn 0,85

thì cần phải bắn bao nhiêu viên đạn ?

26 Tín hiệu thông tin được phát 3 lần trong một giờ với xác suất thu được

của mỗi lần là 0,4

a Tìm xác suất để nơi thu nhận được thông tin đó

b Muốn xác suất nhận được lên đến 0,9 thì cần phải phát đi bao nhiêu lần

27 Một người có ba chỗ ưa thích như nhau để câu cá Xác suất câu được cá

trong mỗi lần thả câu ở mỗi chỗ đó tương ứng là: 0,6; 0,7; 0,8 Biết rằng ở mỗi một chỗ người đó thả câu ba lần và chỉ câu được một con cá Tìm xác suất để cá câu được ở chỗ thứ nhất

28 Có 3 hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu có một câu hỏi Hộp một có 10

phiếu, hộp hai có 8 phiếu và hộp ba có 7 phiếu Một học sinh đi thi thuộc 8 câu ở hộp một, 6 câu ở hộp hai, 5 câu ở hộp ba Thầy giáo lấy ngẫu nhiên 2 câu ở hộp một, 1 câu ở hộp hai chuyển sang hộp ba sau đó cho học sinh lấy ngẫu nhiên 1 câu ở hộp ba

a Tìm xác suất để học sinh trả lời được câu hỏi thi

b Biết học sinh trả lời được câu hỏi thi, tìm xác suất để câu hỏi thi đó là của

hộp một chuyển sang

29 Trong một nhóm 15 xạ thủ thì có 5 xạ thủ giỏi, 7 xạ thủ khá và 3 xạ thủ

trung bình Xác suất bắn trúng đích của mỗi xạ thủ giỏi là 0,9; xạ thủ khá là 0,8; xạ thủ trung bình là 0,6 Gọi ngẫu nhiên 2 xạ thủ ra tuyến bắn ; mỗi xạ thủ bắn một viên đạn Tìm xác suất để cả 2 xạ thủ đều bắn trúng bia

30 Có một bệnh nhân mà bác sĩ chuẩn đoán mắc bệnh A với xác suất là

70%, mắc bệnh B với xác suất là 30% Để có thêm thông tin chẩn đoán bác

sỹ đã cho xét nghiệm sinh hoá, sau ba lần thử thì thấy có một lần dương tính Biết rằng khả năng dương tính của mỗi lần xét nghiệm đối với bệnh A và B tương ứng là 10% và 30% Hãy cho biết nên chuẩn đoán bệnh nhân mắc bệnh nào