Giáo trình xác xuất thống kê

Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê Giáo trình xác xuất thống kê

DO NONG NGHIEP vA PIlAT TRIEN NONG THON

- -~ -~ ~ -_._ -

~ _.-DJ! an Khoa hQccong ngh~ nong nghi~p - Giai do~n 2010-2012

H~ng ml}c: Bien so~n Giao trinh h~ Cao ding

Ngimh Cong ngh~ Ky thu~t xay dl}'ng

GIAOTRINH

Bien so~n: P~M VANTIEN (Chii bien)

A

LE THJ KIM OANH

Xlic suAt - TheSng ke la miln hQCnghien CUu cacsP,r ki~n, cac d(li lugng ngiu nhien va(mg d\lllg chung vao thP,rcutNht'lng thanh tP,ru(ilia xac su&t deu c6 (mg d\lng trong hau hStcac Iinh VP,rCkinh tS,IcY thu~t, qulin SP,r,nong nghi~p, lam nghi~p, ngu nghi~p, ho~c xli' Iycac kSt qua thl nghi~m bAng phuang phap theSng ke toan hQC, ho~c biSu di~n cac quy lu~tngl1u nhien bAng mo hlnh toan hQC Do v~y, Xac suAt • theSng ke la mQt trong nht'lng mon hQC CI1ban duQC dua vao giang d(lYa tAt ca cac tTuemg cao dAng, d(li hQC Day la mQtchuyen nganh cua toan hQC nen deSivai sinh vien cac nganh IcY thu~t, kinh tS b~c cao dingmon hQC nay duQ'c cho la mon hQC kh6 Til nht'lng thP,rctS d6 va nht'lng kinh nghi~m quaqua trinh giang d(lY, chung toi bien SO(ln cueSn giao trlnh nay nhAnt giup cho sinh vien h~cao dAng hQc teSt han Giao trinh Xac sudt - theSng ke duQ'c bien SO(ln CM cli' vao chuangtrlnh hQCphan dil duQ'c phe duy~t g6m 6 chuang:

Chuang I: mAl 11CH T() HQP

Chuang II: BI~N C() NGA u NHI~N vA xAc SUAT

Chuang III: D~I UfQNG NGAU NHI~N VA pHAN PH()I xAc SUAT

Chuang IV: MAu NGAU NHI~N

Chuang V: VOC LUQNG THAM S()

Chuang VI: KI~M DlNH mA THI~T TH()NG Iffi

ChUng toi dil ceSgAng trinh bay nQi dung mon hQc nay mQt cach day du, $ ke, ngAngQn va d~ hieu Nhieu khai ni~m duQC trinh bay C\l the kern theo cac vi d\l th\l'c tS de minhhQa CueSimal chuang deu c6 phdn bai t~p va huang din giai hay dap ses giup sinh vien c6the tP,rluy~n ~p va kiem tra De c6 the nAm vt'lng cac kian thilc duQ'c trinh bay trong giaotrlnh sinh vien phai hQCxong mon Toan d(li cuang cua b~c cao dAng

M~c dil cac tac gia dil rAt ces gAng trong vi~c bien SO(ln giao trinh nhung chilc chAnkhong tranh duQ'c nht'lng khiam khuyat nhAt djnh ChUng toi rAt mong nh~n duQ'c mQi ykiSn d6ng g6p cua quy dQc gia

Chung toi xin trlin trQng cam an Ban giam hi~u, cac dan vi chilc nMg cua tTuemgCao dAng Cong ngh~ - Kinh tS va Thuy lqi mien Trung, TS Cao VM Nuoi tTuemg D(li hQc

Su ph(lm Da Nang dil c6 nhieu d6ng g6p de cueSngiao trinh sam duQ'c ra mAt b(ln dQC

Cae tae gia

2.2.1 Binb ngbia eil dien eua xac suAt 122.2.2 Binh ngbia xae suAt theo thling kL 142.2.3 Binh nghia xac suAt theo hlnh hQc 15

2.4 Cae phep thli d~e ijp va IIlQ'CdA Bernoulli 17

2.5.3 Cong thue xae suAt toan phin va eong th.rc Bayes 25

3 3

3.1.3 B,i luqng ngAu nhifn rm r,c va bang phlln phlii xac suilt 353.1.4 Otti luqng ngAu nhifn Iifn tye va bam mit d~ xae suilt 373.2 Cae dtie trung sli eua d,i luvng ngAu nbifn 42

-~3~.2~.3 B\llfcb cbuin 49~-~

5.2.3 Khoang lI'6'c lllQ'Dg cua phl101lg sai t6ng thL 89

6.1.2. Cac lo,i sai lAm khi lilEm iljnb giii tliiet tbAng ke lOO

6.1.5 Cac booc cila mqt bii toan Idem iJjnh gil thi@tthAng kl! 101

6.2 Mqt sA bii toan Idem dtnh gil thi@tthAngkl! 1016.2.1 Kiem iJjnh gil thi@tv~ trung binh tAng the 1016.2.2 Kiem djnh gil thi@tvi phl101lgsai tAng thL I086.2.3 Kiem iJjnh gil thi@tvi ti I~ tAng the 111

CbltOlIg I GfA-.TicH T6 HQP

1.1 Quy tic c{lng, quy tAc nbin

1.1.1 Quy tAc c{lng

Gia sir ml)t c6ng vi~c dllQ'Cth\lC hi~n theo ml)t trong k phll<1llgan.

C6 nIcach th\lc hi~n phll<1llgan thu nhAt

C6 n2 cach th\lc hi~n phll<1llgan thu hai

C6 nk cach th\lc hi~n phll<1llgan thu k

Khi d6 c6ng vi~c nay c6 the dllQ'Cth\lC hi~n theo nl+n2+ +nk cach

Quy lAcnay gQi la quy t~c cl)ng

Vi dy 1.1 Ml)t 16p c6 20 sinh vien nam va IS sinh vien nit H6i c6 bao nhieu cach chQn

ml)t sinh vien di tT\lcwang?

Giai:

C6 20 cach chQn I sinh vien nam va IS cach chQn I sinh vien nit Vi v\iy c6 20 + IS =

35 (cach) chQn I sinh vien di tT\lcwang

1.1.2 Quy tAc nbin

Gia sir ml)t c6ng vi~c nao d6 bao gam k c6ng dO\ln,trong d6:

C6ng dO\lnthu nhAtc6 nl cach th\lc hi~n

C6ng dO\lDthU hai c6 n2 cach th\lc hi~n

C6ng dO\lDthu k c6 nk cach th\lc hi~n

Khi d6 c6ng vi~c nay c6 the th\lC hi~n theo nlnZ nk cach

Quy Mc nay gQi la quy Mc nhan

Vi dy 1.2.Tilthanh ph6 A den thanh ph6 B c6 2 con dllang, tilthanh ph6 B den thanh ph6

C c6 3 con dllang Hoi c6 bao nhieu cach ditil A den C?

Giai:

Tilthanh ph6A den thanh ph6 B c62cach di, sau dotilthanh ph6 B qua thanh ph6 C co

3 cach di Nhll v\iy sl!co tAtca 2.3=6 cach ditil A den C

V\iy theo quy lAcnhiin s6 tl! nhien co 3 chit s6 khac nhau la: 5.4.3=60 s6

-~ C1iWigmirm:

De t\lOnen mgt hOllnvi ta tiSn Mnh theo cae buac sau:

_ChQn mgt trong n phfuttir dil cho xSp vao vi tri thir nhAt.C6 n each

_ChQn tiSp mgt trong n - I phdn tir con I\lixSp vao vi tri thir haL C6 n - I each

- Sau khi dil chQn k - I philn tir r6i, chQn mgt trong n - k+I philn tir xSp vao vi tri thir k.C6 n-k +I each

- Cu3i cimg trong ~p hQ1lban diiu chi con mgt philn tir XSp phfut tir nay vao vi tri thir n.C6 I each

Nhu v(iy theo quy tAcnhlin ta dugc

Giai:

a) M6i each sApxSp la I hoan vi ella 4 phfut tir (m6i philntula I sinh vien)

S3 each sApxSp la: P4= 4! = 24 each

b) DS 3 sinh vien nit va 4 sinh vien nam dUng xen ke thi thl bAtdilu hang ngang d6 pMi lasinh vien nam

S3 each sApxSp vi tri cho 4 sinh vien nam la 4!

S3 each sApxSp vi tri cho 3 sinh vien nit la 3!

Theo quy tAcnhlin ta c6 : 4!3! = 144 each

Noon xet: Do m6i hoan vi d~u c6 dll m~t cae phfut tu nen hai hoan vj khac nhau khi c6 it

nh~t mgt thfr tv' sApxSp nao d6 khac nhau (chilng h\ln: 123oF 132)

1.3 Chinh h'lP

1.3.1 Chinh h'lP kh6ng lijp

Binh nghia 1.2 Cho ~p hQ1lA g6m n philn tir (n ~ I)

KSt qua ella vi~c lAyk philn tir (I :0;k:0;n) khac nhau til ~p hQ1ltren va sAp xSp theomgt thir tv nao d6 dugc gQi la mgt chinh hQ1lkh6ng I~p ch(ip k ella n philn tir dil cho

Vidy 1.5 Cho t(ip hQ1lA= {I; 2; 3; 4} Hily li~t ke tAtca cae chinh hQ1lch(ip 3 ella 4 philntir ella t(ip hQ1lA?

Binb Iy 1.2 S3 chinh hQ1lkh6ng I~p ch(ip k ella n phfut tir,kj hi~u la A~, dugc xac dinhbai:

n (n-k)!

Chrmgminh:

De ~o nen mQt chinh hgp khong I(!.pch~p k cua n phfuJtil ta tien hanh nhll sau:

- ChQn mQt trong n phfuJtil dii cho xep v~o vi tri tM nhilt C6 n cach

- ChQn tiep mQttrong n - I phfuJtil con I(lixSp vao vi tri thti hal C6 n - I cach

- Sau khi dii chQn k - I phfuJtil r5i, chQn mQttrong n - (k - I) phfuJtil xSp vao vi trithti k C6 n - k+I cach

Til d6 theo quy lAcnhan ta dugc:

Nhdn xet: Hai chinh hgp khong i(!.pch~p k cua n phfuJ til khac nhau nSu n6 c6 it nhilt c6

mQt phfuJtil khac nhau (123 "" 124) ho(!.cchung c6 tM 1\lkhac nhau (123 ",,-132)

1.3.2 Cbinb b9'P I(j.p

Binb ngbia 1.3 Cho ~p hgp A g5m n phdn tli (n ~ I)

Chinh hgp I(!.pch~p k cua n phdn til la mQt cach sApxSp c6 thti 1\lk phdn til til t~p hgp

A rna mili phfuJtil c6 the c6 m(!.tt6"ik Idn

Vi dy 1.7 Cho t~p hgp A = {l, 2} Li~t ke tilt cil cac chinh hgp l(!.pch~p 3 cua 2 phfuJtilcua ~phgpA

Giili:

Ta e6: Ill, Il2, 122, 121, 2Il, 212, 221, 222

V~y c6 tilt cil2.2.2 =8 chinh hgp I(!.pch~p 3 cua 2 phfuJtli dii cho

Binb ly 1.3 s6 chinh hgp l(!.peh~p k cua n phfuJtil dii cho bfutg nk

Chrmgminh:

De ~o mQtchinh hgp I(!.pch~p k cua n philn tli ta phili th\lc hi~n nhu sau:

- ChQn mQttrong n philn til dii cho xSp vao vi tri thti nhilt, c6 n cach

- ChQn mQttrong n phdn til dii cho xSp vilOvi tri thti hai, e6 n cach

- ChQn mQttrong n philn tti dii cho xSp vao vi tri thti k, c6 n cach

Theo quy tAcnhan ta c6 nk each t(lOmQt chinh hgp llip eh~p k cua n phfuJtil dii cho

Vi dy 1.8 C6 bao nhieu cach xSp IO ngum len 3 toa tilu Ma

1.4 T6 bllP

Binb ngbiB 1.4 Cho ~p hgp A g6m n phdn tir (n ~ I)

M~t ~p hgp con g6m k phdn tir (I ~ k ~ n ) clla ~p hapk A duqc gOi Iii m~t t6 hqp ch~p

k clla n phdn tir dli.cho

Vid\l 1.9 Cho ~p hgp A= {I, 2, 3, 4, 5} Hay li~t ke cac t6 hgp ch~p 3 clla 5 phdn tir Clla

M~t t6 hgp ch~p k Cllan phdn tir da cho se duqc thanh I~p nhu sau:

- Chon m~t t~p hgp con clla k phdn tir clla t~p hgp g6m k phdn tir, co C~ each

- slip thu tl,rk phdn tir da chQn, co k! cacho

b) Chon:3 qua du d6 til 5 qua cdu do, co C~ cacho

ChQn I qua cdu xanh til 3 qua cdu xanh, co 3 cacho

Theo quy tdc nhan ta co s6 cach cdn tim Iii C~ 3=30 cacho

Vi d\l 1.11 M~t gio co 5 bong hoa h6ng, 6 b6ng hoa Ian vii 8 bOng hoa hu~ M~t nglIaichon ngdu nhien 3 bOng hoa Hoi co bao nhieu cach chon ra:

a) 3 bong hoa khac 10{l1

b) Duqc it nhdt m~t bOng hoa h6ng

a) ChQn ra m~t bong hoa h6ng, co 5 cacho

ChQn ra m~t bOng hoa Ian, co 6 cacho

ChQn ra m~t bOng hoa hu~, co 8 cacho

Nhu v~y co: 5.6.8=240 cach chon duqc 3 bong hoa khac 10\11

b) S6 each chon ra 3 bOng hoa trong do co it nhdt m~t bong hoa h6ng la:

C~C~.+C;C: +C;=605 cach

Nhdn xet: Hal t6 hgp gQi la khac nhau khi co it nhdt m~t phdn tt'r khac nhau T6 hgp khac

chinh hgp khong llip&vi~c khong llIUy den thu tl,rslip xep clla cac phdn tiro

Itl -Biob ogltia 1.5; S\l'phan chia ~p A th3nh k ~p con Ai' i = I, k) khac 0 sao cho

AinAj =0 (i,j=l,k)

i~j

dugc gQi la m{ltphiln hO!lchClla~p hgp A th3nh k ~p con

Biob Iy 1.5 Cho ~p hgp A c6 n phAntiro

Ta phan hO!lch~p hgp A thanh k t~p con A" A2, , Ak sao cho:

C6 nl phAnttl trong ~p AI

C6 n2 phdn ttl trong ~p A2

C6 nk phdn tir trong ~p Ak

Khi d656cach phan hO!lchla:

n!

n1!nz L nk!Trong d6: n, +n2+ +nk=n

Vi d", 1.12 C6 bao nhieu cach phan 10 nguui len 3 toa tau hOa sao cho toa thir nhAt c6 5

nguui, toa thu hai c6 3 nguui, toa thu ba c6 2 nguui

Gilii:

Tt;ng 56 cach phan cong chinh la56 phan hO!lch~p A gAm 10 phdn ttl (mfli phdn tir lam{ltnguui) Do d6 c6

10'-_ = 2520 cacho5!3!2!

Vi d", 1.13 M{lt 16'pc6 35 sinh vien L6'p tru6ng cAn phiin chia 16'pthanh banh6m d~ lao

d{lng Nh6m 1 c6 15 sinh vien, nh6m II c6 12 sinh vien va nh6m III c6 8 sinh vien Hoi 16'ptru6ng c6 bao nhieu cach phiin chia cho ba nh6m sinh vien

con A" A2 trong d6 t~p A, c6 k phAntir va t~p A2 c6 n - k phdn tiro

Di Cong tffilc nlijtlilic Newton

Taco: (a+ b)2= a2 +2ab+ b2 = C~a2b6 +C1aV +C~aOb2

(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 =C~a3bO + C~a2bl +C~alb2 + C~aOb3Mcr r{ing ra:

n

(a+ b)n =C~anbO +C~an-lbl + +C~an-kbk + +C~aObn = LC~an-kbk

k~OCong thuc tren dugc gQi la cong thuc nhi thUc Newton

c) Co nhieu nhAt 3 nam

1.6 M{it nh6m co 10 nam va 15 nil".Trong m{it bu6i khieu vii, hoi co bao nhieu cach:a) ChQn ra m{it doi nam nil"

b) ChQn ra 3 doi nam nil"

1.7 Cho cac chil"562,3,4,5,6 Hoi co bao nhieu cach s~p xep 5 chil"56nay sao cho nhomchil"56chdn va nhom chil"56Ie tach bi~t nhau?

1.8 M{it nhom g6m 12 hQc sinh g6m co 5 nil"va 7 nam Hoi co bao nhieu cach s~p xep 12hQc sinh tMnh hang ngang de ch\lp anh sao cho 5 hQc sinh nil"pMi dUng lien nhau?

1.9 Ngucri ta lAy 3 bi tir h{ip co 5 bi xanh, 6 bi do va 7 bi vang Hoi co bao nhieu cach lAy

ra:

a) Cac bi co mau lily y

b) 2 bi do va I bi xanh

c) Cac bi co mau khac nhau

d) it nhAt m{it bi mau xanh

-~1~.1~9~ Ge-baonh~u eOOht~g IG-phfuIqua eho3-em besao-cho-em be

th(r~t~ -dugc 2 phfut qua, em be thu hai nh~ th(r~t~ -dugc 4 phfut qua va em be thu ba nh~ th(r~t~ -dugc 4 phdnqua

1.11 Co 6 cai the dugc ghi 6 s6 I, 2, 3, 4, 5, 6 lAyng~u nhi~n lfut luQ't3 cai the va sApthanh 1 hang ngang l\lo thanh 1 s6 tv nhi~n co 3 chit s6 Hoi co bao nhi~u s6 l\lo thanh des6do:

c) Khong co san phdm 10ili1Il nao

1.13 Co 9 tAmthe dugc danh s6til 1 den 9 ChQn ng~u nhi~n 2 tAmthe va xep thanh hangngang de dugc m~t s6 co hai chit s6 Hoi co bao nhi~u s6 dugc l\lo thanh sao cho tfch cuahai s6 tr~n tAmthe la s6 chin

1.14 Bi\DA co 15 ngum bi\Dtrong do co 1 c(ip vg ch6ng Bi\DA dinh mai 5 ngum trong s6

15 ngum biln cua minh den dl! ti~c Hoi bi\DA co bao nhieu cach mm de c(ip vg ch6ngcung luon dugc maL

1.15 Co k buc tranh va m cai moc treo tuang Hoi co bao nhieu cach khac nhau de treocac buc tranh len moc treo tuang (m6i moc treo m~t tranh) neu:

a) k=6, m=4b) k=m=71.16 Tr~n m~t duang tron co 12 diem Co bao nhieu cach ve day cung co hai ddu mut lahai diem bdt kYtrong 12 diem dii cho? Co bao nhieu cach d\fDgtam giac nh~n cac diem ladinh?

1.17 MQt l(ypco 20 hQc sinh, trong do co 3 nit Hoi co bao nhieu cach I~p ra mQt nhOmtham gia bieu dien van ngh~ sao cho co ft nhdt m~t hQc sinh nit?

tinh nguy~n g6m 5 sinh vi~n sao cho co ft nhAt2 nam va 2 nit Hoi co bao nhieu cach chQn

ra d~ido:

a) Neu cac sinh vien deu vui ve tham gia

b) Neu co 2 sinh vientil ch6i tham gia

1.19 Co 16 d~i bOng dli, chia lam b6n bang A, B, C va D, m6i bang 4 d~i Hoi co baonhieu phuong an philn chia (khong ke thu tv cac d~i trong m6i bang)

~~~ •• 'A -nUU1'l\:J" "l)ANGIAI - tJAP Su

24

81.5!

a) 816 b) 85 c) 210 d) 530C;o.C:.C:

a) 60 b) 8 c) 6a) 56385 b) 444600 c) 53130

52

286a) 360 b) 504

a)66 b) 220460

a) 1650 b) 1893

16!

(4!)4

-€bmmg-H; mE~-e6~-NlIIENv:A xAe_su*T 2.1 Bi~n eel ngiu nhi~n

2.1.1 Philp thii' ngiu nhi~n

M(\t trong nhilng kMi ni~m ca bim clla Iy thuy~t xac sudt Iii phep thfr D6 hi m(\t thinghi~m, m(\t phep do hay m(\t S\1'quan sat d~ nghil!n Clrum(\t d6i lugng hay m(\t hi~ntugng nilo d6

Cac phep tM chi xily ra khi nh6m cac dieu ki~n xac djnh cho truac giin lien vai n6 dugcth\1'chi~n Nh6m nily pMi r5 rang, 3n dinh trang qua trinh nghil!n Clru vii c6 thi! dugc I~pl\li nhieu Idn Ch~ng h\ln, khi mu3n quan sat vi~c xudt hi~n m~t sdp hay ngfra clla m(\t d6ng

xu ta phili tung d6ng xu d6; di! m(\t hIlt gi3ng c6 nily mdm hay khong ta phili ti~n Mnh gieothi di~m hIlt gi6ng do; hay khi mu6n ki~m tra chdt hrgng Clla m(\t 10 san phdm ta pMi Idym(\t ho~c m(\t viii san phdm di! ki~m tra

Do v~y, vi~c th\1'chi~n m(\t nh6m cac dieu ki~n xac djnh nilo do di! nghil!n Clrum(\t hi~ntugng nilo do co xay ra hay khong dugc gQiIii th\1'chi~n m(\t phep thfr

Cac phep thfr mil khi b~t ddu ti~n Mnh thfr ta bi~t k~t quil nilo se xay ra sau khi thtl:gQi Iiiphep thfr tdt y~u Chiing h\ln, khi thfr dun nuac adieu ki~n thuang (ap sudt I atm) thi d~n100°C nuac se sol Day Iii phep thfr tdt y~u

Cac phep thfr dugc coi Iii phep thfr ngiu nhil!n n~u k~t quil clla chUng khong th~ bi~ttruac dugc m~c du dil bi~t ~p hgp tdt cil cac k~t quil co th~ xily ra clla phep thli' do

Ly thuy~t xac sudt chi nghil!n Clrucac phep thfr ngiu nhil!n, do v~y d~ cho g<.mphep thfrngiu nhil!n dugc gQi~t Iii phep thfr

T~p hgp cit cil cac k~t qua co thi! xily ra clla phep thfr dugc gQi la khong gian miu, kyhi~u Iiin.

Mili phdn tfr Cllan dugc gQi la m(\t bi~n c6 sa cdp, ky hi~u Iii(0. Do do, khong gianmiu con dugc gQi Iiikhong gian cac bi~n c6 sa cdp

Khong gian miu c6 th~ dugc mo til b~ng cac cach sau:

Khi khong gian miu co hiln h\ln phdn tli', ta co th~ Ii~t kl! cac phdn tlr do

Khi khong gian miu co vo h\lfi phdn tlr, ho~c cac phdn tfr co cung thu(\c Hnh, ta coth~ mo til khong gian miu biing m~nh de ho~c quy tde

Ta co th~ mo ta khong gian miu biing sa d6 cay

Cac vi d\l minh hQave phep thfr vii khong gian miu luang li'ng:

Tung m(\t d6ng xu can d6i va d6ng chdt la m(\t phep thli' Khi d6 khong gian miu

co thi! vi,h la n ={S,N}, trong d6 ky hi~u S chi S\1'sudt hi~n m~t sdp cua d6ng xu,

N chi S\1'xudt hi~n m~t ngli'a Cllad6ng xu

Gieo m(\t can xuc s~c can d6i va d6ng chdt la m(\t phep thfr N~u ta quan tam d~nS\1' xudt hi~n s6 chdm trl!n m~t can XllC s~c thi khong gian miu Iii

n ={I,2, 3, 4, 5, 6} Con n~u ta quan tam d~n s\1'sudt hi~n s6 chdm tren m~t can xucs~c Iii chfu1hay Ie thi khong gian mdu la n = {chlin, Ie}

Ldy ngiu nhil!n m(\t di~m nk trong mien hinh chit nh~t trl!n m~t phdng tQa d(\ Oxyvai kich thuac [0; 2] x [0; 4] la th\1'c hi~n m(\t phep tM vai khong gian mdu la

n ={(x;y) I0 ~ x ~ 2;0 ~ Y~ 4}

Xet phep thli' tung m(\t d6ng xu can d6i va d6ng chdt

-Neu xuACIJi~nm~t nguallii tilllg dong xu do-ranOO-nai:-mu xuAt ni~n m~tsAplnI

tung m(it con xuc slic cful d6i va d6ng chAtm(it Ian Khi do khong gian m~u clla phep thirnay la n={NS,NN, Si, S2,S3,S4,S5,S6}

2.1.2 Biin c6 nglu nhien

Ket qua clla phep thir duQ'cgQi la bien c6 hay Sl!ki~n Dung cac chi!' cai A, B, C de

ky hi~u cho cac bien c6

VI dy 2.1

Gieo m(it con xucs~c din d6i va d6ng chAt la m(it phep thir Khong gian m~u

n ={I,2, 3,4, 5, 6} Neu gQiA la bien c6 con xuc s~c xudt hi~n m~t Ie chdm thi A cothe duQ'Cbieu diSn nhu sau: A={I,3,5}

Ldy ng~u nhien m(it quful bai trong b(i bai 52 quful Neu gQi B la bien c6 Idy duQ'cqulin mang s6 2 thi bien c6 B duQ'cbieu diSn nhu sau: B= {2CCJ, 2 ro, 2 chu6n, 2blch}

Gieo m(it d6ng xu lien tiep ba Ian

Khong gian m~u n ={SSS,SSN, SNS,SNN,NSS, NNS, NSN, NNN} Xet cac bien c6: AI: "Ian dau tien xudt hi~n m~t ngira"

A2: "m~t sdp xay ra dung m(it Ian"

A3: "M~t sdp xudt hi~n it nhdt m(it Ian"

Khi do ta co: Al={NSS,NNS, NSN, NNN} , A2 ={SNN, NNS, NSN},

A3 ={SNN, NNS, NSN, SSN, SNS, NSS, SSS}

b) Phdn logi biin eli

Biin c6 chAc ch~n la bien c6 luon luon xay ra khi thl!Chi~n phep thir, bien c6 nay tuangirng vai khong gian m~u nen kYhi~u la n

VI dy 2.2 M(it lap co 35 sinh vien nam ChQn ng~u nhien m(it sinh vien tham gia van ngMtruOng Bien c6 chQn duQ'cnam sinh vien la bien c6 ch~c chlin

Biin c6 kh6ng th~ la bien c6 khong bao gia xay ra khi thl!c hi~n phep thir, ky hi~u la

e) Kit qua thU/;inItJieho biin etJ

M3i ket qua cUa phep thir lam cho bien c6 A xay ra duQ'c gQi la m(it ket qua thu~ IQ'iCllabien c6 A

Vi dV 2.5 Xet phep thir gieo m(it d6ng xu lien tiep ba IAn.GQi A la bien c6 s6 IAnxudthi~n m~t sdp la m(it s6 Ie Khi do cac ket qua thu~n lqi cho bien c6 Ala:

{SNN, NNS, NSN, SSS}

2.1.3 Quan h~ gii1'acae biin c6

-~C~It~e- A_vA_B_Ja_Itai_b~lia_Gimgm9t pItepthU

-Bi~n c3 A gQi IIIkeo theo bi~n c3 B, kYhi~u III A c B , n~u bi~n c3 A xay ra thi bi~n c3

B ciing xay ra

Vi dy 2.6 MQt sinh vien mua mQttave s3GQiA IIIbi~n c3 sinh vien d6 trung gilli ~c bi~t

B IIIbi~n c3 sinh vien d6 trung s3

Khid6: AcB

b) Biin c6 biing nhau

Hai bi~n c3 A vll B gQi IIIbAngnhau n~u A keo theo B vll B keo theo A, ky hi~u III

e) Biin c6 a6ng kha nang

Cac bien c3 gQi Iii d6ng kha nang n~u khi th\lc hi~n phep thir cMng c6 dmg khil nangxay ra

Vi dy 2.9

- Trong mQt hQp c6 7 vien bi co kfch thuac nhu nhau, n(ing nh~ nhu nhau, nhful nhju nhunhau (mau s~c cua chung c6 the khac nhau), ta nh~m m~t chQn ngdu nhien m(\t vien bi thi

ca 7 vien bi c6 kha nang Idy ra nhu nhau, khong c6 vien nao dUQ"cuu tien han ca

- Gieo ngdu nhien mQt con xuc s~c can d3i va d6ng chdt thi cac bien c3 chi s3 chdm xudthi~n tren m(\t con xuc s~ la cae bien c3 d6ng kha nang Vi ca 6 m\it Clla con xuc s~c dBuc6 kha nang xudt hi~n nhu nhau, khong m\it nilOdUQ"cuu tien xudt hi~n han m(\t nao

2.2.4 Cae phep toan tren bj~n e6

Cho A va B IIIhai bien c3 cua cung mQt phep thir vai khong gian mdu wang irng III O.

a) Biin eli tling

T6ng (hay hQ"P)cua hai bien c6 A vll B, ky hi~u Iii A +B ho\ic A U B, Iii mQt bien c3xay ra khi vll chi khi ft nhdt mQttrong hai bien c6 A ho(\c B xily ra

Vi dy 2.10 C6 hai thQ"san cung b~ m(\t con tM GQi A III bien c6 nguai thu nhdt b~n

trung con thu, B IIIbien c6 nguaj thu hai b~n trung con thu Khi do C=A U B IIIbi~n c3

co it nhdt m(\t nguai b~n trung con thu hay C Iii bi~n c6 con tM bi b~n trung

T6ng quat: T6ng cua n bi~n c6 AI, Az, , An IIIbien c3 xay ra neu ft nhdt mQt trong n

bi~n c3 d6 xay ra Ky hi~u t6ng cua n bi~n c3 la

AI UA, U UAn

b) Biin eli tich

. -n<:h chay glllorCurtaiiYh!n <:6A va-B;-kyiri~uia AB hay*"Jr,la-n$-bi&l-cd-xay ra

khi va chi khi ca hai biBnc3 A va B cung xay ra

Vidy2.11 ChQn ngdu nhil:n mQt sinh vil:n cua mQttruimg d(li hQc GQiA la biBn c3 sinhvil:n d6 biBt tiBng Anh, B la biBn c3 sinh vil:n d6 biBt tiBng Phap Khi d6 C = An B la biBnc3 sinh vil:n d6 biBtca hai thir tiBng Anh va Phap

T6ng quat: Tich cua n biBn c3 AI, Az, , An la biBn c3 xay ra nBu tdt ca n biBn c3 d6

d~u xay ra Ky hi~u tflOgcua n biBnc3 la

Oily n biBn c3 Bio Bz, • , Bn I~p thanh h~ ddy du cac biBnc6 n~u chung xung khic timg

n

doi va UBi=0

i=l

Vidl}2.12 Tung mQtd6ng xu can d3i va d6ng ch~t

GQi BI la biBnc3 d6ng xu xu~t hi~n m~t s~p

Bz la biBnc3 d6ng xu xu~t hi~n m~t ngila

Khi d6 Bio Bz I~p thanh h~ ddy du cac biBn c3, vi chUngthoa miln tinh ch~t:

+B,nBz= 0

+BIUBz=O

2.2 Cae ilinb ngbia xae suAt

2.2.1 Binb ngbia e3 ili@neua xae suAt

Binb ngbia 2.1 Cho rnQt phep thu c6 N(O) kBt qua d6ng kha nang, trong d6 c6 N(A) kBtqUa thuan lai cho biBn c3 A Khi do ti s3 N(A) goi la xac su~t cua biBn c3 A, "" hil:u la. . N(O) .

Ta co khong gian rndu cua phep thu trl:n la 0= {I, 2,3, 4, 5, 6} Vi can xuc sic can d3i

va d6ng ch~t va vi~c gieo la ngdu nhil:n nl:n cac keltqua co tinh d6ng kha nang xay ra

Dodo: N(O) =6

~ -~-A-lit-bien~thmn-xuc-sik-xuAt~n-"*-c~cZ,-4,-6};-N(:A-)-=-3-

-Theo dinh nghia ta co: P(A) = i = ~b) GQi B la bien c3 con xuc sAcxuAt hi~n m~t co s3 chfun chia het cho 3 B = {3, 6}, N(B)

=2

Theo dinh nghia ta co: P(B)= ~ = ~

Vi dy 2.14 MQt tui k~o chua 5 chiec k~o me, 6 chiec k~o b(IC ha va 10 chiec k~o

chocolate MQt em be chQn ng~u nhien 2 chiec k~o Tinh xac suAtde duc;rc:

a) Hai chiec k~o me

b) MQt chiec k~o me va mQtchiec k~o chocolate

c) itnhdt mQtchiec k~o b!lc ha

Ta co: N(n) = C;, = 210a) GQiA la bien c3 em be chQn duc;rchai chiec k~o me Suy ra: N(A) = C; =10Xac suM cua bien c3 Ala: P(A) = N(A) = ~ =_1

N(n) 210 21b) GQiBla bien c3 em be chQn duc;rcmQtchiec k~o me va mQtchiec k~o chocolate Suy ra:N(B) = 5.10 = 50

X.acsuatcua, b"lenco'B I'a: P(B) =~-=-=-N(B) 50 5

N(n) 210 21c) GQi C Iii biSn c3 em be chQn duc;rcit nhdt mQtchiSc k~o b!lc ha

Suy ra: N(C) = 6.15 +C; = 105X""c su"t cua" b"len co, C I' P(C)a: = ~~N(C) = -105 = -I

N(n) 210 2

Vidy2.15 Tren ban co hai illi d\!l1gbili thi kSt thuc hQc ki, mQttui d\!l1g45 bai thi cua lap12A vii mQt tui d\!l1g50 bai thi cua lap 12C KSt qua chfun theo thang diem 10 duc;rcchotrong bang du&i diiy:

Suy ra: N(i\) = 1"5:9= 135

V~y xac suat cUa bien co A Iii: peA) =2250 = 50

b) GQi B Iii bi~n <:6nit dugc mQt bili d\lt 10 di~m

Suy ra: N(B) =8.41 +9.37 =661

Xac suAt clla bi~n c6 B Iii: PCB)= 661

2250c) GQiCIii bi~n c6 nit dugc it nhAt mQt bili d\lt 10 di~m

Suy ra: N(e) =8.9 +661 =733

• , b" , C I' P(C) 733

Vay xac suat cua len co ,,:

• Uu di~m vii h(lDch~ Clla djnh nghTa c6 di~n v~ xac suAt

dinh

- H(ln eM: Binh nghTa c6 di~n Clla xac suAt doi hoi phep thir phili co hitu h\ln k~t qua d6ngkhil nang Nhung tren th\lc t~ nhi~u phep thir co vo h(lD k~t qua B6ng thai tinh d6ng khilnang Clla cac k~t qua khong phili bao gia cling xacdjnh dugc

N~u cac k~t quil cUa phep thir khong d6ng kha nang thi xac suAt st! dugc xac dinh b~gdjnh nghTa xac suA! theo th6ng ke nhu sau:

2.2.2 Binb ngbia xac suAt thea tb6ng ke

Binb ngbTa 2.2 Th\lc hi~n mQt phep thir n Idn Giil sir bi~n c6 A xuAt hi~n m IAn Khi do mdugc gQi Iii tAn s6 clia bi~n c6 A vii 1)' s6 m dugc gQi Iii tAn suAt xuAt hi~n Clla bi~n c6 A

n

Vi dy 2.16 Ki~m tra ngdu nhien IAlUg( 90 siln phAm do mQt cong ty siln suAt thAy co 5 ph~phAm GQiAla bi~n c6 xuAt hi~n ph~ phAm" Khi do 1)'s6 :0 tdn suAt xuAt hi~n clia bi~nc6 A la treng 90 ldn ki~m tra

Nb,n xet: Khi n thay d6i thi tAn suAt m ciing thay d6i NguOi ta nMn thAy n~u n nho thi

ntdn suAt co S\l dao dQng rAt IOn Nhung khi n kha 1m;thi tAn suAt m co S\l 6n dinh vii dao

-I)-in~b~n-g-b-la~1£~.J~.-K~Ji-~lin thf!C i1ifopile" thir 0kM100,oSu tin suAtcila

biSo-e6 A-&! -dinh ddn ve 56 p xac diOOnao d6 thl 56 p gQi la xac sudt cua biSn c6 A, ky hi~u la peA)

Tlic la: peA)= lim m

0 •00 n

• Nhugc dii!m cua diOOnghia xac sudt theo th6ng ke la chi ap d\lng cho cae hi~n tugng c6

tdo sudt 6n diOO.D6ng thOi de xacdiOO gia tri chfnh xae cua xac sudt thi pMi th\lc hi~n 56

ldo thli tuang d6i Ian Trong th\lc te vi nhieu Iy do, mQt s6 bai toan khong the tien hanh

phc!pthli OOuv~y detil d6 ta c6 the dnh dugc xac sudt cua mQtbien c6

1.1.3 Binb ngbla xae suit theo hlnh hQC

Trong th\lc te doi khi ta thulmg g~p cac bai toan dimg: Cho mQt mien hiOOhQc G (c6 the

la mQt dOilnth~ng, mQtmien ph~ng, mQtmanh m(it cong hay mQt kh6i khong gian) va mQtmien con S cua G Ldy ngdu OOienmQt diem M thuQc mien G Tfnh xac sudt de diem M d6rai vao mien S

M6i cach ldy ngdu OOienmQt diem M thuQc mien G se cho ta mQt bien c6 cua phep thli

Do v~y phep thli nay c6 khong gian mdu g6m vo hilDket qua d6ng kha nang GQi A la bienc6 "Diem M rai vao mien S"

Nhu v~y m6i cach Idy diem M trong mien S la mQt ket qua thu~n 19i cho bien c6 A Khid6 phc!pthli nay cling c6 vo hiln cac ket qua thu~n Igi cho bien c6 A

Do d6, ta khong the ap d\lng diOOnghia c6 dien cua xac suilt de dnh xac sudt cua biSn c6

A Trong trulmg hgp nay nguOi ta xiiy d\lDgdiOOnghia xac sudt theo hinh hQc

V6i nhihlg gia thiSt OOutren, xac sudt Clla bien c6 A dugc tfnh nhu sau:

Giai:

Di~n tich hlnh thoi MNPQ la: ~MP.NQDi~n tfch hlnh chii'nh~t ABCD la: AB.BCGQi A la bien c6 qua b6ng rai vao trong vulm hoa hlnh thoi MNPQ

peA) = Di~n Hch hlnh thoi MNPQ

'''''i'~dlr2;19;tfuj-ngum h~n ~ nha:u-~~ia diem trong kholin-g-tlKrigian tlti-gicr d~n8

gia Nguai d~n tnrac sl! cha ngum d~n sau trong kholing thai gian 15 pMt n~u khong g~psl! di

Tfnh xac suAt d~ hai ngum g~p nhau tlli diem ht:n, biet r~g mili ngum co the d~n chilht:n trong kholing thai gian dli quy dinh m~t cach ng~u nhien va khong ph\) thu~c VaGnguai kia

6015

Ta thAy: n~u gQi x, y IAnluqt la thm diem

ngum tht'r nhAt, ngum tht'r hai d~n chil ht:n thi

hai nguai g~p nhau khi va chi khi:

Ix-yl::::15pMt

{X -y:S; 15 {y ~ x -15

x - y :s;15<:=> <:=>

Bieu di8n X, y nhu tQa d~ cac diem tren m~t

ph~g tQa d~ De-cac vuong goc

2.2.4 Binh nghia xac sudt theo tien d@

M~c du ra dai tir the ki XVII, nhung do ngu6n g6c xuAt phat va cac khai ni~m duQ'c neu

ra thi~u nhUng lu~n ct'r khoa hQCnen ca quling thm gian dilitirthe ki XVII d~n tmac nhUngnam 30 cua the ki XX xac suAt khong duQ'c coi Ia nganh toao hQc chfnh th6ng Mlii t6'i nlim

1933 khi nba toan hQCngum Nga A.N Kolmogorop xily d\ffig h~ tien de cho Iy thuy~t xacsuAt thi xac suAt mai duQ'Ccong nh~n la m~t nglinh khoa hQc chfnh th6ng sanh ngang hangv6"i nhieu nglinh toan hQCkhac nhus6 hQc, hinh hQc, dlli s6, giai tich,

Binh nghia 2.4 Cho m~t phep thfr co khong gian m~u lan.D~t t~p w(O) ={AIAcO}

(w(Q) gQi la t~p tAt ca cac bi~n c6 cua phep thir dli cho)

M~t anh XliP: w(Q) ~ lR

A HP(A)duQ'c gQi la m~t bam xac suAt xac dinh tren t~p w(Q) n~u no thOa mlin cac tiende sau:i) VA E w(n):0:;; peA) :;;I;

Ii) pen) = I;

iii) N~uA],A2, ,An E w(Q) vaAjnAj=0(Vi,j=l,n, i;"'j)

thi P(AI UA2U UAn) = P(AI) + P(A2) + + P(An)

2.2.5 Ynghia cua xac sudt

Tir cac dinh nghia cua xac suM ta thdy xac sudt cua m~t bien c6 la dlli lugng d~c trung

cho kha nling khach quan xudt hi~n bi~n c6 do khi th\l"c hi~n phep thir Bi~n c6 co xac sudt

-lmr(gan-biing-11-thi-kM-nW1g-x-uAt-hi~n-cua-bien-c5-d6-c3ng_nhien, bien

c8-c6-xac-sl!At-nh6 -(gAn b~ng 0)thi kM nling xudt hi~n cUa no cling it

Chu v: Xac sudt ph\! thuc;lc vao dieu ki~n cua phep thir Neu cac dieu ki~n nay thay d6ixac sudt cling sl! thay d6i

2.3 Cac tinh chAt cua xac suAtCho A, B la hai bien c5 cua cling mc;ltphep thir co khong gian milu n.Ta co:

(i) Neu AcB thi P(A)::; PCB)(ii) V6'i bien c5 A bdt kY ta co 0::; P(A)::; I(iii) peA) = 1- peA)

(iv) P(0) =0

Chrmgminh:

(i) Vi AcB nen B = AU BAM~tkhac:

A va BA xung kh~c nhau nen theo tien de 3 ta co:

-PCB) = peA U BA)= peA) +P(BA)

Vi P(BA) ~ 0 nen PCB) ~ peA)(li) Theo tien de I ta co peA) ~ O Neu peA) < I thi theo tien de 3 peA) <0, dieu nay trlii

Ch~ng h(ln: Tung mc;lt d6ng xu nhieu I~n sl! t(lo nen mgt day phep thir dgc I~p, hay ldynhieu IAn bong den til mgt 10bong den theo phuang thirc co holm l(li cling sl! t(lO nen mc;ltday phep thir dgc l~p,

Lugc d6 Bernoulli la day n phep thir gi5ng h~t nhau thOa man cac dieu ki~n sau:

Baltoan nRy(1ugcriM bac hQCngum ThWST Bernoulli glaiTiflli~lcTxvnnendugcgQi la hai toan Bernoulli Xac sudt tren duQCxac djnh nhu sau:

Pn(k) = C~pkqn-k (v6i q=1 - P )

Ch,mgminh:

GQi Hk la bi~n c6 xay ra k bi~n c6 A trong dlly n phep thl'rd{icI~p

Trong n phep thl'rd{icI~p co C~ truimg hgp bi~n c6 A xay ra k Idn M6i Idn k bi~n c6 Axay ra co xac suAt la pkqn-k Pn(k) la xac suAt de Hk xay ra, va ta coP(Hk) = Pn(k) = C~pkqn-k do cac bi~n c6 de k Idn A xay ra la d{icI~p

Vi d\l 2.21 Gieo 10 Idn lien ti~p m{itd6ng xu can d6i va d6ng chAt.Tinh xac suAtde trong

10 Idn gieo co 6 Idn xuAthi~n m(it sAp

Giai:

Gieo 10 Idn lien ti~p m{it d6ng xu can d6i va d6ng chAt dugc xem la th\i"chi~n day 10phep thl'rthoa man lugc d6 Bernoulli Khi do ta co: n=10, k=6

(1)6[ 1)4

Do do xac suilt ciin tim la: PIO(6)= C~0"2 1-"2 "" 0,205

Vi d\l 2.22 Ty l~ nay mdm cua h\lt ngo la 90% Tinh xac suAtde khi gieo 100 hilt ngo coSOhilt nay mdm

Giai:

Ta co: n= 100, k=SO,P=90% Theo cong thuc Bernoulli xac suAtcdn tim la:

PIOO(SO)=cfgo(0,9)80(1- 0,9)'0 "" 0,0012

2.5 Cong tblic Hnb xac suit

2.5.1 Cong tbuc cQng xac suit

Dinb Iy2.1 N~u A va B la hai bi~n c6 xung khik nhau thi

P(A+B )=P(A) +P(B)

Chu-ngminh:

Xet phep thl'rco n k~t qua d6ng kha nang trong do co nJ k~t qua thu~ 19i cho bien c6 A

va n2 ket qua thu~ 19i cho bien c6 B Do A va B xung khdc nhau nen khong co ket quathu~n Igi cho ca A va B cimg xay ra V~y s6 ket qua thu~n Igi cho bien c6 A+B la n, +n2.Theo djnh nghia c6 dien cua xac suAtta co:

V~y P(A+B)=P(A)+P(B)

Vi d\l 2.23 M{it lap co 30 sinh vien trong do co 20 nam va 10 nit GQing&unhien hai sinhvien Tinh xac suAtde dugc hai sinh vien cung gi6i tinh

Giai:

GQiA la bi~n c6 hai sinh vien dugc gQideu la nam

- B hi biSn ellhai sinh vi~n ~ gQidtu la 1Ii\"; ~ -~

C la biSn c5 hai sinh vi~n duqc gQi cling gimKhi do: C = A + B

Vi A va B Iii hai biSn c5 xung khAc nhau n~nP(C) = peA + B) = peA) + PCB) = Clo + C~o = 190+~= 47

C30 C30 435 435 87

VI dy 2.24 Mi)t 10 hang chua 10 Hnh ki~n di~n tlr trong do co 2 Hnh ki~n bi hong Tlnh

xac sudt de khi Idy ng&u nhi~n ra 5 Hnh ki~n thi co khong qua I Hnh ki~n bi hOng

Giili:

GQi Alia biSn c5 trong 5 Hnh ki~n Idy ra khong coHnh ki~n Olio bi hong

Az Iii biSn c5 trong 5 Hnh ki~n Idy ra co I Hnh ki~n bi hOng

A Iii biSn c5 trong 5 Hnh ki~n ldy ra co khong qua I Hnh ki~n bi hong

Giili:

GQi A Iii biSn c5 Idy duqc it nhdt 3 vi~n phdn milu do

Khi do: A Iii biSn c5 3 vi~n phdn Idy ra khong co vi~n phdn do nilo, tlrc Iii cil 3 vi~nphdn deu Iii phdn milu trdng

Vi P(A)=-=- n~n

H~qua 2.1 NSu n biSn c5 A" Az, • , An xung khAc tUng doi thi

P(AI + Az + + An) = peA,) + P(Az) + + P(An)

Binb Iy2.2 NSu A vii B Iii hai biSn c5 bdt ky (khong nhdt thiSt phili xung khlic) cua clingm(\t phep thie thi

peA + B) = peA) + PCB) - P(AB)

Chu-ngminh:

Ta co: AU B = (A B) U (AB) U (AB)

Vi AB,AB,ABxungkhlictitngdoin~n P(AUB)=P(AB)+P(AB)+P(AB) (I)

GQi A la bien cb sinh vien d6 biet tieng Anh

B la bien cb sinh vien d6 biet tieng Nh~t

C la bien c5 sinh vien d6 biet it nhAt mQt ngo~i ngil'

a) Thi dll it nhAt mQt man

b) Khong dll man nao

c) Thi truqt it nhAt m(it man

d) Thi dll dung mQt man

Giai:

GQi A la bien c5 sinh vien d6 thi dll man Toan

B la bien c5 sinh vien d6 thi dll man V~tLy.

C la bien cb sinh vien d6 thi dll it nhAt mQt man C = A +B

D la bien c5 sinh vien d6 khong thi dll man nao D = AS = C

E la bien c5 sinh vien d6 thi truqt it nhAt mQt man E = A + S

F la bien cb sinh vien d6 thi dll dung mQt man F = AS + AB

Theo gia thiet ta c6: peA) = 0,4; PCB) = 0,5; P(AB) = 0,25

V~y: P(C) = peA +B) = peA) +PCB) - P(AB) = 0,4 +0,5 - 0,25 = 0,65

2.5.2 Cong thuc nhlin xac suAt

Nhu ta dii biet xac suAt cua bien cb A nao d6 trong mQt phep thfr luon ph\! thuQc vaonh6m cac dieu ki~n xac djnh cua phep thfr Neu nh6m dieu ki~n nay thay dbi thi n6i chungxac suM cua bien cb A se thay dbi Gia sfr B la m(it bien cb Clla phep thfr dang xet Nhieubai toan th\lc te cho thAy vi~c xay ra hay khong xay ra cua bien cb B doi khi se anh hu6ngden xac suM xay ra cua bien c5 A Ta xet vi d\! sau:

~ ~-~~ -II-A~(l~tnM-ay-san-xuAt~I6p~xe-Ote-gAm~hai-pllan-xI1(mg~san~x~ong-JI$ !hang nba

may san xudt dl1Q'CN chi~c 16p, trong d6 philn xl1CmgI san xudt dl1Q'cn, chi~cva philnxl1CmgII san xudt dl1Q'cn2 chi~c Trong n, chi~c 16pdo philn xUCmgI san xudt c6 m, chi&kMng d(lt ti~u chufuJ,trong n2 chi~c do philn xl1CmgII san xuAt c6 m2 chi~c kh/lng dllt ti~uchudn ChQn nglu nhi~n I chi~c 16p Clla nha may Tinh xac sudt de chi~c 16p d6 kh/lng d(ltti~u chufuJ, bi~t rfulg chi& 16pd6 do philn xl1CmgI san xudt

Bily gia ta gQi A la bi~n c6 chQn duQ'c chi~c 16p kh/lng d(lt ti~u chufuJ va B la bi~n c6chQn duQ'cchi~c 16pdo philn xUCmgI san xudt

Khi d6: Xac sudt cAntim chinh la ti Ie 16pkh/lng d(lt ti~u chufuJ Cllaphiln xUCmgI, Wc laxac sudt cua A vai di8u kien B dii xay ra la: peA / B)= ml Trong khi peA) = ml +rn2

peA / B)= P(AS)

PCB)Tl1angw: Vai peA)>0, xac sudt c6 di8u kien cua bien c6 B vai di8u kien bien c6 A diixay ra, ky hieu la P(B/A) cling duQ'Cxac dinh b6'i c/lng thirc P(B/ A)= P:~)

Tir dinh nghia 2.5 va cac tinh chdt cua xac sudt ta c6 the suy ra tinh chdt cua xac suAtc6di8u kien nhu sau:

(i) O:S peA / B) :S 1

(ii) P(B/B) = 1(iii) P(A/B) =I-P(A/B)(iv) N~u A va B xung khdc thi peAluA, / B)=peAl I B) + peA, / B)

Sinh vi~n W chUng rninh cac tinh chdt tr~n xern nhu bai t~p

eMf':

- N~u PCB)=0 thiP(AIB) kh/lng xac dinh

- Xac sudt c6 di8u kien P(AIB) c6 the duQ'Ctinh tf\lc ti~p dga vao cac di8u kien dii chotrong bai toan rna kh/lng cfuJphili sir d"lng c/lng thirc tr~n

- Y nghia cua xac sudt c6 diSu kien: Xac sudt c6 diSu kien cho phep chung ta sir d"lngth/lng tin vS sg xay ra cua rnQtbien c6 de dg bao xac sudt xay ra cua bi~n c6 khac

V~.t1I\I~;28;_MQtIhUng_roli,-ve-trong doco3ve trt1ng tl'iucrng;-Ngum-lIllrnndt-lJoc lve,biet ve d6 khong trUng thlIlmg Tinh xac sudt de nguai thu hai b6c duqc ve trUng thu6ng(gia su mlii ngum chi duqc b6c I vel.

Giai:

GQi A la bien c6 nguai thu nhdt b6c duqc ve khong trung thu6ng

B la bien c6 ngum thu hai b6c duqc ve trUng thu6ng

Khi d6 xlic sudt cdo tim la: PCBIA) = ~ =.!.

9 3

Tir djnh nghia 2.4 ta suy ra dinh Iy sau:

Djnh Iy 2.3 Cho hai bien c6 A va B cua cimg mQt phep thu Khi d6 ta c6 cong thuc nhanxac sudt d6i v6'i hai bien c6 A va B nhu sau:

P(AB) =P(A)P(BI A) = P(B)P(A/B)

Vi dy 2.29 MQt 10 hang c6 10 chinh phdm va 2 phe phdm MQt ngum Idy ngAu nhien lientiep 2 san phdm de kiem tra Tinh xlic sudt de hai san phdm Idy ra deu la chinh phdm

Giai:

GQi Ai ldo lugt la bien c6 san phdm Idy ra ldo thu i la chinh phdm (i=1,2)

A la bien c6 hai san phdm Idy ra deu la chinh phdm

P(A,A, An) =P(AJ) P(AJA,) P(AJA,A,) P(A,A, An)

peAl) P(A,A,) P(AJA, An_tl

Vi P(AJA, An_,) >0 nen theo cong thuc xac sudt c6 di6u ki~n ta c6:

P(AJA, An) = P(AJ)P(A, I A,)P(A, I AJA,) P(An I AJA, An_,)

b) 811allc ltjp clIa cac biln cli

Djnh nghia 2.6 Hai bien c6 A va B duqc gQi la dQc I~p nhau neu vi~c xay ra hay khongxay ra cua bien c6 A khong anh hu6ng den xae sudt xay ra cua bien c6 B va nguqc I\li.Nhu v~y: peA IB) =peA) va PCBIA) = PCB)

Vi dy 2.30 Hai X\l thu cung biin vao mQt tdm bia GQi A la bien c6 XIIthu thli' nhdt bAntrung bia va B la bien c6 X\l tM thu hai bAn trung bia Vi hal X\Ithu biin trUng va tmgt biakhong anh hu6ng den ket qua cua nhau Do d6 hai bien c6 A va B dQC I~p v6'i nhau

Vi dy 2.31 MQt hQp c6 5 qua cdu trAng va 3 qua du xanh Ldy ngAu nhien I qua du tirhQp GQi A la bien c61dn thu nhdt Idy duqc qua cdu trAng, khi d6 peA) = i.Qua cdu duqctra I\li vao hQp va tiep tl,tc Idy I qua cdu nua tir hQp d6 GQi B la bien c6 Idn thu hai ciingIdy duqc qua cdu trAng, khi d6 PCB)=PCBIA) = PCBIA) = i.Nhu v~y xac sudt ldy duqc

~ ~ ~quiI-~ thir hai (bi8H ~kl\('lng pIW-tht$:-vtle k8t quacoo

1~-1Ay-tM-nMt-(bi8n cd A) Do d6hai bi8n cd A va B d(\c I~p vrn nhau

Binb ngbis 2.7 Day bi8n cd AI A2, , An dugc gQiIa d(\c I~p timg doi vrn nhau neu timg

doi m(\t trong day d6 dQc l~p vai nhau

Vi dy 2.32 Gieo m(\t con xuc sAcdin ddi va dang chAtba liln GQi Ai la bien cd con xuc

s~c xudt hi~n m~t 5 chdm trong Ilin gieo thu i (i=I, 2, 3) Khi d6 ba bien cd AI A2, A3 d(\cl~p timg doi vai nhau

Binb ngbis 2.8 Day bien cd AI A2, , An dugc gQi la dQc I~p toan philn vai nhau neu

m~i bien cd trong chung d(\c l~p vai m(\t t6 hgp my y cua cae bien cd con I\li

Til dinh Iy 2.3 ta c6: P(AB) = P(A)P(B / A) = P(B)P(A / B)

Vi A va B Ia hai bien c6 d(\c l~p nen P(A / B) = P(A) va P(B / A) = P(B)Suy ra P(AB) =P(A)P(B)

Vi dy 2.33 M(\t thj trdn nho c6 m(\t xe cdI' CUuva m(\t xe cUu hoa sdn sang dUng cho cac

truOng hgp khAn cdI' Xac suAt de chiec xc CUuhOa slin c6 de dung cho truOng hgp khAncdI' Ia 0,95 va xac suAtde chiec xe cdI' CUudugc dung khi dugc gQi la 0,9 C6 m(\t ngucri bithucrng do m(\t toa nbit dang cMy Tlnh xac sudt de hal chiec xe cdI' CUuva CUuhOa deuslin sang th\l'c hi~n nhi~mV\!.

Giai:

GQi AlIa bien c6 chlec xe cdI' CUuslin sang th\l'Chi~n nhi~mV\!.

A2 Ia bien c6 chiec xe CUuhOa slin sang th\l'c hi~n nhl~mV\I.

va A Ia bien c6 ca hai xe deu slin sang th\l'c hl~n nhi~mV\!.

Khi d6: A=A!A2

Vi hai bien cd A! va A2 d(\c I~p nhau nen

P(A! A2)=P(AdP(A2) =0,95.0,9 =0,855M(\t cach t6ng quat ta c6: Neu day bien c6 AI A2, , An d(\c I~p toan phlin vai nhau thi

P(Al A2 An)=P(A!)P(A2) P(An)H~ qua 2.3 Neu A va B Ia hai bien c6 d(\c I~p vai nhau thi cac c~p bien c6 A va B,A va

P(AB) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B)

= P(A)[I- P(B)]

= P(A)P(B)Sinh vi/!nt\l chUng minh hai c~p bien c6 A va B dQCI~p , A va B dQc I~p xem nhu bai

~p

Trong th\lc te khi de giai cac bai toan tinh xac sudt clla cac bien c6 phuc t;lp ta phai bieu

di~n cae bien c6 do duai d(lllg t6ng (hQ'P) hay tfch (giao) clla clla bien c6 don gian dli biet

xac sudt

Vi dy 2.34 Hai thg san cung biin dQc I~p vao mQt con thu Xac sudt biin trUng clla thg santhu nhdt va thu hai tuong Ung la 0,7 va 0,8 Biet ling con thu sl! bi biin trUng neu co it nhdtmQt thg san bim trUng no Tinh xac sudt de con thu do bi biin trung

Giai:

GQi At la bien c6 thg san thU nhdt biin trung con thu

A2 la bien c6 thg san thu hai biin trung con thU

A la bien c6 con thu bi b4n trung

Khi do: A =A,A2

Vi A va B kh6ng xung kh4c nhung chUng dQc I~p vai nhau n/!n

P(A) = P(A,A,) = P(A,) + P(A,)- P(A,A,)

= P(A,)+P(A,)-P(A,)P(A,)

= 0, 7 +0,8-0, 7.0,8= 0,94

Vi dy 2.35 Xac sudt de dQng co thu nhdt clla mQt may bay chien ddu bi trung d(lllia 0,2,dQng C<Jthu hai trung d(lllia 0,2 va xac sudt trung d(m clla phi c6ng la 0,1 Biet rfulg maybay bi rai neu ca hai dQng co deu bi trung d(m ho~c phi c6ng bi trung d(m Tinh xac sudt demay bay rm

Giai:

G9i A, la bien c6 dQng co thu nhdt bi trung d(m

A2 la bien c6 dQng co thu nhdt bi trung d\ln

A3 la bien c6 phi c6ng bi trUng d\ln

B la bien c6 may bay bi rai

Khi do: B=A,A2 +A3

Vi A,A2 va A3 kh6ng xung kh4c va A" A2, A3 dQc I~p toan phAn n/!n

P(B) = P(A,A, +A3) = P(A,A,)+P(A3)- P(A,A,A3)

= P(A,)P(A,) + P(A3) - P(A,A,A3)

= P(A,)P(A,) + P(A3) - P(A,)P(A,)P(A3)

= 0,2.0,2+ 0,1- 0,2.0,2.0, 1= 0,136

Vi dy 2.36 MQt xi nghi~p co 3 6 t6 hO\lt dQng dQc I~p Xac suA! de trong mQt ngay cac 6 t6

bi hOng tuong Ung la 0,1; 0,2; 0,15 Tim xac suA! de trong mQt ngay co dung I 6 t6 bihong

Giai:

GQi A; la bien c6 "0t6 thui bi hong trong mQt ngay" (i =1,3)

A la bien c6 "Trong mQt ngay co dung I 6 t6 bi hong"

V"?y -A -A\AzA3 +-AIAzA3 +-ArAzA3

Vi cae nh6m bi~n e6 A\AzA3, A\AzA3, A\AzA3 xung khl1etimg doi va trong m6inh6m cae bi~n e6 I\li d(Je I~p toan phfuI vai nhau Do d6:

-=P(A\)P(Az)P(A3) + P(A\)P(Az)P(A3) + P(A\)P(Az)P(A3)

Vi peAl) = 0,1 ; P(A2)=0,2; peA)~ = 0,15

G(}i A la bi~n e6 4 bi Idy ra khong du 3 mau

~ A la bi~n e6 4 bi Idy ra e6 du 3 mau

oj C6ng thYc xac sudt taim phdn

Djnh If 2.5 Cho MdAy du cae bi~n e6 BI, B2, , Bn sao eho PCB; > 0) (vai i= I,n) va A

la bi~n e6 bdt ky xay ra d6ng thai vai m(Jt trong cae bi~n e6 BI, B2, , Bn•

Khi d6 xae sudt eua bi~n e6 A duge tinh theo eong thue sau:

Vi BI, B2, , Bnl~p thanh h~ dAy du cae bi~n e6 nen

A=Afl=A(BI +B2 + +Bn) =AB\ +ABz + +ABn

M(it khae cae bi~n e6 AB1,AB2, , ABn xung khl1e timg doi nen

peA) = P(AB\ +AB2 + +ABn) = P(AB\)+ P(AB2)+ + P(ABn)

Ap d\lng eong thue nhlin xae sudt ta e6:

(k=l,n)Khi d6:

Ldy ng~u nhien 1 san phdm tilkho hang eua nha may Tinh xae sudt de sim phdm lAy ra

la phe phdm Til d6 suy ra ti I~ phe phdm eua nha may.

Giai:

GQi Bj la bien ell san phdm Idy ra do phfuI xuemg thu i san xuftt (i = 1, 2, 3)

A la bien ell san phdm Idy ra la phe phdm

Ta e6: Bt, B2, B3I~p thanh h~ dAy du eae bien ell

Theo cllng thue xac suAt toan phAn ta e6:

peA) =PCB!) P(AIB!) +P(B2) P(AlB2) +P(B3) P(AlB3)

= 0,5.0,05+0,3.0,03+0,2.0,01= 0,036

V~y ti I~ phe phAm eua nha may la 3,6%

Vi dl}2.39 C6 hai ehu6ng gao Chu6ng I e6 4 ga trllng va 5 ga mai Chu6ng II e6 6 ga trllng

va 5 ga maio B~t ng~u nhien 1 eon ga til ehu6ng I b6 sang ehu6ng II Sau d6 til ehu6ng IIbAt ng~u nhien 1 eon gao Tinh xae suAt de eon ga d6 la ga mai

Giai:

GQi B! la bien ell eon ga b~t ratil ehu6ng I b6 sang ehu6ng II la ga trllng

B2 la bien ell eon ga bAt ratil ehu6ng I b6 sang ehu6ng II la ga mai

A la bien ell eon ga bAt ra tilehu6ng II la ga mai

Ta e6: Bt, B2 I~p tMnh h~ dAy du eae bien ell

C6ng thue tren duge gQi la e6ng thue Bayes

9,~5-;,0 6940,036 ,

a) TiOO xae sud! de san phdm lay ra Iii san phdm t6t

b) Giil sir siln pham lay ra Iii siln phdm t6t, Hnh xae sudt de siln phdm d6 thu()e ki~n Mngtbu haL

Giili:

a) GQi Bj Iii bien c6 siln phdm lay ra tbu()e ki~n hilng thu i (i=I, 2, 3)

A Iii bi~n c6 siln phdm lay ra Iii siln phdm t6t

Ta e6: Bj, B2, B3 I~p tMOOMdAy du cae bi~n e6

I

P(Bj) =P(B2) =P(B3) ="3

Theo eilng thuc xae sudt toan phdn ta co:

P(A) =P(Bt} P(AIB}) +P(B2) P(AlB2) +P(B3) P(AlB3) =

2.1 Gieo mQt con XliCsAc can d6i vii d6ng chat hai Idn

a) Hay mil til khilng gian mdu eua phep thir tren

b) Hay bieu di8n cac bi~n c6:

A: "T6ng s6 ehdm xudt hi~n tren m(it con XliCsAc bAng 8"

B: "it nhat mQt Idn xudt hi~n m(it 5 ehdm"

c:"s6 cham trong eil hai Idn gieo bllng OOau"

2.2 Ba X(Ithu A, B, C m6i nguiYi blln mQt vien d(ln vilo mQt m\lc tieu Giil sir M, N vii P Iiicae bi~n e6 sau:

M: "X(I thit A blln trung m\lc tieu"

N: "X(I thu B blin trUng m\le tieu"

P: "X(I thu C blin trUng m\lC tieu"

a) Hay mil til cae bien e6 sau:

-o)-Xercacoianc"6 sl11r-~ -

C: "C6 it nhllt mQtX\I tM bAn trUng m\lc Heu"

D: "C6 dung mQtX\Ithu bAn trUng m\lc tieu"

E: "C6 nhi~u nhllt mQtX\I thu blln trUng tieu"

F: "Chi c6 X\I thu A blln trUng m\lC tieu"

G: "C6 dUng hai X\I thu blln trUng m\lc tieu"

Hay bi~u di~n cac bi~n c3 fillYtheo cac bien c3 M, N va P

2.3 Ki~m tra IAn lUg! ba san phllm GQi Ai la bien c3 san phAm thu i la san phllm t3t

(i =1,3) Hay bi~u di~n cac bien c3 sau theo cac bien c3 Ai:

a) eli ba san phllm d~u la san phAm xllu

b) C6 it nhAt mQt san phAm xllu

c) C6 dung mQt san phllm t3t

d) C6 it nhllt hai san phllm t3t

2.4 Til mQt tili chUa nam tAm the dUQ"cdlinh s3 1, 2, 3, 4, 5, Illy ng1l:unhien lien ti€p hai Ian

m6i IAnmQt tAm the va x€p chung theo thu l\r til tnii sang pMi

a) Hay mo ta khong gian m1l:u

b) Xac djnh cac bien c3 sau:

A: "Chi! s3 sau nh6 han chi! s3 tmac"

B: "Chi! s3 truac gllp doi chi! s3 sau"

C: "Hai chi! s3 bllng nhau"

c) Hay tinh xac sudt cua cac bien c3 A, B va C

2.5 MQt em be chai trax€p chi! til cac chi! cai A, I, M, V, N, E, T Tinh xac sullt d~ em be

x€p dUQ"cchi! VIETNAM

2.6 Trong mQt hinh tam giac &ba dinh c6 ba con ki€n M6i con blit dau chuy~n dQng theo

mQt huang bilt ky theo c\lnh tam giac den mQt g6c khac Xac sullt cliasg vi~c khong c6 con

ki€n nao d\lng nhau la bao nhieu?

2.7 MQt 10hang c6 100 san phAro, trong d6 c6 10 ph€ phAm Llly ng1l:unhien til 10hang 5

san phAm Tinh xac sullt d~:

a) Llly dUQ"c5 chinh phllm

b) Llly dUQ"c2 chinh phAm va 3 ph€ phAm

c) LAy dUQ"cit nhllt mQt ph€ phAm

2.8 MQt hQp c6 5 qua cau trling va 7 qua cau den Tinh xac sullt d~ khi lily ng1l:unhien 2

qua cau til hQp thi dUQ"chai qua cau clmg mau

2.9 Gieo mQt d6ng xu can d3i va d6ng chilt ba Ian Tinh xac suilt d€ c6 it nhilt mQt Ian xuilt

hi~n m~t silp

2.10 S3 Iugng sinh vien cua mQt tmang d\li hQc dUQ"cphan theo nganh hQc va gi6i tinh

nhu sau:

Tinh xac sudt d~ chQn ngau nhien mQt sinh vien thl dUQ"c:

a) MQt nam sinh vien

b) MQt sinh vien nit hQc nganh k€ toano

c) MQt sinh vien hQc nganh quan tli kinh doanh

d) MQt nam sinh vien hQc nganh ngan hang

2.11 Bay nguOi A, B, C, D, E , M , N cling ng61 ngau nhien vao mQt gh€ dai c6 bay chi'ing6i Tinh xac sudt d~ M va N ng6i 6 hai ddu gh€

2.12 MQt nh6m c6 9 hQc sinh trong d6 c6 3 nit dUQ"cchia thanh 3 tll d~u nhau Tinh xacsudt d~ mi'ii tll c6 mQt hQc sinh nit

2.13 Gieo ngau nhien mQt chdm di~m vao manh bla hinh vuong C(lnh a, trong d6 c6 vemot hinh trim ban kinh r = l: 4 Tinh xac sudt de chdm diem rai vao trong hinh trim

2.14 MQt em be chai tro ph6ng ngau nhien mQt mlii ten vao mQt tAm bla hinh trim bankinh 20cm (gia sir mQI Idn ph6ng d~u trling tdm bia) Tinh xac sudt de em be ph6ng hungdiem:

a) Ndm trong hinh vuong nQi ti€p hlnh tron tdm bla

b) Niim cach tam khong qua 5cm

2.15 Hai tau thllY cling den b6c hang t(ii mQt b€n cang trong cling mQt ngay Bi€t riing thOigian b6c hang clla tau tbUy thu nhdt la 1 gio, clla tau tbUy thu hai la 2 gio va hai tau khongcling b6c hang Tinh xac sudt de mQt trong hai tau phai cho tau kia

2.16 Trong mQt kl thi tuyen sinh c6 30% thi sinh trung tuy~n Rut ngau nhien 15 h6 sacllacac thi sinh Tinh xac sudt de trong 15 h6 sad6 c6 5 h6 satrling tuy~n

2.17 Xac sudt thanh cong clla mQt ca phau thu~t tim la 0,7 Ti€n hanh phau thu~t tim mQtcach dQc l~p cho 10 em be Tinh xac sudt d~ trong 10 ca phau thu~t d6:

a) C6 dung 3 ca thanh congo

b) C6 tir 2 d€n 5 ca thanh congo

2.18 Theo doi k~t qua di~u tra v~ b~nh lao clla mQt vling nQ thdy ti I~ nguoi bi lao la0,002 Tinh xac sudt de khi kham 15 nguoi thdy:

a) Khong c6 nguoi nao bi lao

b) C6 dung 5 nguoi bi lao

c) it nhdt I nguoi bi lao

2.19 MQt lap c6 100 sinh vien trong d6 c6 40 sinh vien gi6i Tin hQc , 30 sinh vien gi6iToan, 20 sinh vien gi6i ca Tin hQc Ian Toan Sinh vien nao gi6i it nhdt mQt trong hai mon

-~ -seduqe khen thuOilg vilo eubi hQe kyoChQn ngl\unnien mQt sii!lrvientrofiglOp

Tijj!fXii-e -suAtd~ sinh vien d6 duge khen thu6ng vao cuM hQe kYo

2.20 MQt eong ty sir d\lng hai hinh thire quang eao la quang eao tren dili phllt thanh va

quang eao tren truyen hlnh Gia sir e6 30% khaeh hang bi~t duge thOng tin quang eao qua

dai phat thanh, 20% khaeh hang bi~t duqc thong tin quang eao tren truyen hinh va 10%

khaeh hang bi~t duge thong tin quang eao qua ea hai hinh thire tren Ph6ng vAnmQt khaeh

hang Tinh xae suA!d~ ngum d6 bi~t duge thong tin quang eao eua eong ty

2.21 MQt 10 hang e6 50 san phdm, trong d6 e6 10 san phdm 10(li2 LAy ngl\u nhien lien

ti€p ba san phdm d~ ki~m tra Tinh xae suAtd~ ea ba san phdm deu la 10(li2

2.22 M(\t thu kho co chUmehia kh6a g6m 10ehi€e trong d6 chi e6 m(\t ehi€ernaduqe eira

kho NguOi d6 thir ngl\u nhien timg ehia kh6a mQt, ehi€e nao duqc tM r6i thi khong thir

I(li.Tinh xae suAtd~ nguai d6rnaduge eira khoa lfintM thir 4

2.23 C6 hai ehu6ng ga Chu6ng thfr nhAte6 3 ga trbng va 3 ga mai Chu6ng thir hai e6 4

ga trbng va 2 ga mai BAtngl\u nhien tir mbi ehu6ng m(\t con gaoTinh xae suAtd~ hai con

ga bAtduge deu la ga tr6ng

2.24 Be duge xem la thi d~u m(\t thi sinh phai vug! qua duge ea ba vong thi d(\e I~p nhau

Xae suAtde thi sinh d6 vugt qua 3 vong thi mang irng la 0,9; 0,8; 0,8 Tinh xae suAtde thi

sinh d6 thi d~u

2.25 Hai X(Ithu cimg bAnvao m(\t tAmbia Xae suAtbAntrug! eua X(lthu thfr nhdt la0,2 va

eua X(ItM thfr hai la 0,3.Tinh xae suAt:

a) Chi co mQt nguai bAntrung bia

b) Ca hai deu bAntrugt

c) C6 nguai bAntrung bia

2.26 M(\t cAutM nem b6ng vao r6 eho den khi triIng r6 thi dirng Tinh xae suAtde cAuthu

d6 dirng nem alfin nem thfr 5, bi€t xae sudt trung r6 ambi lfinnem deu bdng0,7

2.27 C6 hai hQp bi

HQp I e6 3 bi trAng, 5 bi do

HQPII e6 5 bi trAng,6 bi do

LAyrtgl\u nhien tlr mbi h(\p ra m(\t bi

a) Tinh xae sudt de duqc hai bi lAyra deu la bi trAng

b) Tinh xae sudt de duge m(\t bi mau trAngva bi con I(lila mau do

c) Tinh xae sudt de duqc hai bi cimg mau

2.28 Ba nguai eho b6ng r6, nem d(\e l~p mbi nguai mQt qua vao r6 Xae sudt nem trung r6

eua mai nguai lfin lug! la 0,5; 0,6; 04 Tinh xae suAtde:

a) Ce6 dung I nguai nem trung r6

b) Ca ba ngum deu nem trung r6

c) C6 it nhAtm(\t nguai nem triIng r6

d) C6 dung hai nguai nem trung r6

- 2.29.-Hai-ngtWi-Glmg-san~a ml}t10\li-sim-pllfun-vui86 Iyqng Rim Riulli

Xac-su.it~ -ngum thu nhdt va Xac-su.it~ -ngum thu hai san xudt ra phe phdm tuang (eng la 0,03 va 0,04 Rut ngdunhien I san phAm cua hai ngucri Tinh xlIc suAt de san phdm d6 khong pMi la phe phAm.2.30 M{\t nh6m sinh vien c6 20 nam va 15 nii' Trong d6 ti I~ nam sinh bi c~ thi la 25% va

ti l~ nii' sinh bi c~ thj III 30% ChQn ngdu nhien I sinh vien til nh6m d6 Tinh xac sudt desinh vien d6 bi c~n thi

2.31 M{\t kho hang chua cac chi tiet may 10\li I va 10\li II do hai cong ty san xud!, trong d6s6 chi tiet may do cong ty A san xudt gAp 3 Idn s6 chi tiet may do cong ty B san xuAt Ti I~chi tiet may 10\li I clla cong ty A la 80%, clla cong ty B la 90% LAy ngdu nhien I chi tietmay clla kho hang

a) Tinh xac suAt de dugc chi tiet may 10\li I

b) Gia Slrchi tiet may lAy ra thuQc 10\li I, tinh xac suAt de chi tiet may d6 do cong ty A sanxudt

2.32 M{\t hQp d\ll1g 20 qua b6ng ban trong d6 c6 15 qua b6ng m6i va 5 qua b6ng dii qua

Slrd\mg MQt ngucri Idy ra 3 qua de thi ddu, sau d6 tm l\li vao hQp Sau d6 ngum d6 tiep !VcIdy ra til hQp 2 qua nii'a Tinh xac suAt de 2 qua Idy ra lfin sau deu m6i

2.33 Ti I~ oto tili va oto con qua ducrng c6 tr\lIn bam ddu la %. Khi qua ducrng d6, xac sud!

de m{\t oto tili vao tr\lIn nh~n dfiu la 0,3 va xac sudt de mQt oto con vao tr\lm nh~n dau la0,4 C6 mQt oto di qua ducrng ducrng tren va vao tr\lIn nh~n dfiu Tinh xac sudt de oto d6 laoto con

2.34 Theo th6ng ke amQt vimg c6 65% dan ong bi beo phi va 55% ph\! nii' bi beo phi s6dan ong va ph\! nii'a vllng d6 coi nhu bAng nhau Xac sudt de m{\t ngucri wng d6 dugcchQn ngiiu nhien la nguai beo phi biing bao nhieu?

HU<1NG DAN GIAI - DAp 86

10 9 8 3-.-.-=-

112.32 Sir dVng cong thirc xac sullttolm phdn

2.33 -8

172.34 0,6

1': ::l' A A A' •

3.1 B,i hrqng ngAn nhih3.1.1 KhAi ni~m (ltd hrQ'Dg ngAn nhi~nMQt trong nhitng kMi ni~ quan tr(;mg cua Iy thuyet xac suAt IA kbai ni~ri1 d(li IUQ'IlgngAu nhien hay bien ngAu nhien Truoc khi di den khai ni~ d(li IUQ'IlgngAu nhien ta hayxet cae vi d\l sau:

Vi dV3.1 Gieo mQt d6ng xu can d6i vA d6ng chAt hai IAn lien tiep

Khong gian mAu Clia phep tht'r tren IA!l =ISS, SN, NS, NN} GQiX IA s6 IAn xuAt hi~nm\it sAp khi th1,fchi~n phep tht'r tren

Ta thAyxc6 the nh~n cac gia trj IA0, I, ho\ic 2

X = 0 neu trong 2 IAn gieo d6ng xu xuAt hi~n m\it NN Di~u nAy c6 nghia IAt'rng v6i bienc6 A = {NN} cho s6 0 E IR

X = I neu trong 2 ldn gieo d6ng xu xuAt hi~n m(lt SN ho(lcNS Di~u nAy c6 nghia IAt'rngv6i bien cf>B = {SN} ho\ic bien cf>C = {NS} cho sf> 1 E IR

X = 2 neu trong 2 IAn gieo d6ng xu xuA! hi~n m\it NN Di~u nAy c6 nghia IAt'rng voi biencf>D= ISS} chosf>2EIR

Qua vi d\l tren ta thAy r~g d(li IUQ'IlgX lien quan den phep tht'r rnA t'rng v6i m6i bien cf>

sa cAp cua phep tht'r cho mQt gia trj nAo d6 thuQc t~p sf>th1,fCIR D(li IUQ'Ilgnhu v~y dUQ"cgQi IAd(li lUQ'IlgngAu nhien (hay bien ngAu nhien)

Tild6 ta c6 khai ni~m d(li lUQ'IlgngAu nhien nhu sau:

Binh nghia 3.1 cr - d(li sf>

Cho t~p n~0 LOp IF cac t~p con cua nduQ"CgQi IAmQt cr - d(li sf>neu:

-nElF

- A E IF thi ACE IF

- {An} ElF, n Erf thi UAn ElF

n=1Tren IR, cr - d(li sf>nh6 nhAt cht'ra lOp cac t~p c6 d(lng [a;b) dUQ"cgQi IA cr - d(li sf>Borelcua IR vAky hi~u 9l(IR)

Binb nghia 3.2 MQt anh X(lXtil khong gian mAu !l vAo t~p sf>th1,fc IR:

x: n~IR(O~X«(O)

duqc gQi IA d(li IUQ'IlgngAu nhien (hay bien ngAu nhien) neu voi mQi A E 9l(1R) thi

X-I (A) ElF Trong d6 IF IA cr- d(li sf>cac t~p con cua n

Hay n6i cach khac: D(li IUQ'IlgngAu nhien IA mQt quy tAc cho luang t'rng m6i phdn til

trong khong gian mAu voi duy nhA! mQt sf>th\lc

D(li IUQ'IlgngAu nhien thuOng dUQ"cky hi~u IA X, Y, X, ; XI, X2, , Xn; VI, Y2, ,

Yn; ,;, TJ, ••• con gia trj cua chUng thi dUQ"cky hi~u IAx" X2, , xn; y" Y2, , Yn; T~ptAt ca cac gia trj rna d(li lUQ'IlgngAu nhien c6 the nh~n dUQ"CgQi la t~p gia trj cua d(li IUQ'IlgngAu nhien

Cac vi d\l minh hQa v~ d(li lUQ'IlgngAu nhien:

GQi-X1asa-)j\lCgi6ng nay mam KIllgleo 3 h\ll g16ng.lG11db X la mQrd(ll hIQ11gng!unhien va X co ~p giatrj la {0,1,.2,3}.

- GQi Y la s6 be trai dugc sinh ra trong 50 be s&pdugc chao dm crmQt ~nh vi~n Y ciing

la mQt d\li IUQ11gngdu nhien, ~p gia trj CllaY la {O, 1,2, , 50}

- MQt binh chUa 5 qua Mng do va 3 qua Mng xanh Lay lfulluQ'! khang hOM I\li 2 quabong til binh N~u gQi Z la s6 bong do lay dugc thi Z la mQt d\li IUQ11gngdu nhien vmt~p gia trj la {O, 1, 2}

• GQi Xl la "sai s6 khi do luang mQtdIIi lUQ11gv~yIy" thi XI la mQtd\li IUQ11gng!u

nhien

- GQi X2 la tu6i thQcua mQtthi~t bi dang hO\ltdQngthi X2 la mQtdIIi IUQ11gngdu nhien.Tir tfnh chat cua t~p gia tri cua d\li IUQ11gng~u nhien ngm'yita chia d\li IUQ11gngdu nhienthanh hai 10\li:B\li IUQ11gngdu nhien rm fIICva d\li lUQ11gngdu nhien lien t\lC

Be xac dinh mQtd\li IUQ11gng~u nhien Wac h~t ta cful xac djnh t~p gia trj cua no Songtren th\l"Ct~ dieu d6 la chua du, vi c6 nhUng d\li IUQ11gngdu nhien khac nhau rat nhieunhung t~p gia tri cua no I\li gi6ng nhau Vi v~y dieu quan trQng la ta cful phfli xac dinhdugc xac suat de dIIi IUQ11gngdu nhien d6 nh~ cac gia trj trong t~p gia tri Clla no la baonhieu Cach rna ta bieu di~n m6i lien h~ giua cac gia trj trong ~p gia trj cua d\li IUQ11gngdu

nhien va cac xac suat Wong iing vm cac gia trj do dugc gQi la quy lu,t phlln ph6i xac

suit cua d,i hrQ1lgngAu nbien

Nguai ta thuang dUng ba pbuong phap de rna til quy lu~t phan ph6i xac suat cua mQt dIIi

IUQ11gngll.unhien la: Bang phan ph6i xac suat, ham m~t dQxac suat va ham phan ph6i xacsuat Ta se IAnluQ'!tim hieu cac phuong phap do

3.1.2.Ham pblln pb6i xac suit

Ham phan ph6i xac suat dugc ap d\lng cho cft hai 10\lidIIi IUQ11gngll.unhien rm r\lCvad\li IUQ11gngdu nhien lien tl,lc.Cho X 1ftd\li lUQ11gngdu nhien bat IcY va xE IR Xet bienc6 " d\li lUQ11gngdu nhien X nh~n gia tri nho hon x",IcYhi~u 1ft(X<x).R5 rang khi x thayd6i thi (X <x) ding thay d6i, cho nen P(X <x) cling thay d6i theo Nhu v~y P(X <x) lamQt ham s6 cua x

Dinb ngbia 3.3 Hftm phan ph6i xac suat (hay ham phan ph6i) cua d\li lUQ11gngll.unhien X,

IcYhi~u 1ftF(x) vft dugc xac dinh nhu sau:

(iv) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1

(v) N~u f(x) lien t\lCt\li x E JR thi F.(x) = f(x)

(vi) N~u ham phan ph6i cua X lien tl,lc!\IiXo thi P(X =Xo) =O Do do

P(a ~ X ~b)=P(a ~X <b) =P(a <X~ b) =P(a< X <b)

Chu"gminh:

(i) Tfnh chat nay dugc suy ratil dinh nghia cua ham phan ph6i