Tìm để phương trình có hai nghiệm 4,0 đ phân biệt x1 , x2 trong đó một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.. Để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại thì..[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 17/4/2018
Câu 1 (5,0 điểm)
a) Cho biểu thức
A
4
x
Rút gọn biểu thức A Tìm các số nguyên x để A là số nguyên.
b) Cho ba số thực , , a b c thỏa 1 , , a b c Chứng minh : 2.
b c a c b a
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Cho phương trình x2 2 x 3 2 m Tìm để phương trình có hai nghiệm 0 phân biệt x x trong đó một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại 1, 2
b) Giải phương trình 2 1 x 1 x2 3 x
Câu 3 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 1 n 2 n 1 n 8 không thể là lập phương của một số tự nhiên.
b) Cho số nguyên tố p p 3 và hai số nguyên dương a , b sao cho
p a b Chứng minh a chia hết cho 12 và 2( p a 1) là số chính phương.
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4 cm E là điểm nằm trên cạnh BC ( E
khác B và C ) Một đường thẳng qua B , vuông góc với đường thẳng DE tại H và
cắt đường thẳng CD tại F Gọi K là giao điểm của AH và BD .
a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn và ba điểm K E F , , thẳng hàng.
b) Khi E là trung điểm cạnh BC , tính diện tích tứ giác BKEH
Câu 5 (3,5 điểm)
Cho hai đường tròn C1 , C2 cắt nhau tại hai điểm , A B Tiếp tuyến tại A của
(C2) cắt C1 tại M M ( khác A ) Tiếp tuyến tại A của C1 cắt C2 tại điểm N ( N
khác A ) Đường thẳng MB cắt C2 tại P P ( khác B) Đường thẳng NB cắt (C
1) tại (
Q Q khác B).
a) Chứng minh các tam giác AMP ANQ , đồng dạng.
b) Chứng minh MB NA 2 NB MA 2.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: … ……….; Số báo danh: ………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017 – 2018
HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi này có 06 trang)
Câu 1
(5,0 đ)
Cho biểu thức
A
4
x
Rút gọn biểu thức A; tìm số nguyên x để Alà số nguyên.
3,0
2 3
3
4
2
x x
A
x
x
2
x x
0,5
0,5
(vì 0 x 4 nên 0 x2)
0,5
x
x
Ta có : x 2 x 4 ( x 1)2 3 3 0 <A 1
+ Để A là số nguyên ( khi đó A =1) thì x 2 x 4 3 hay x 1
0,5
Chú ý: Các học sinh có thể đặt t = x ( 0 t <2) – thực hiện các biến đổi đại số.
Các thầy cô cho điểm thích hợp theo cách cho điểm từng phần trên đây
b) Cho ba số thực , , a b c thỏa 1 , , a b c Chứng minh : 2.
b c a c b a
2,0
Vì a,b,c có vai trò như nhau và 1 a b c , , 2 nên giả sử 2 ≥ a ≥b ≥ c ≥ 1
Khi đó: (b-a)(b-c) ≤ 0
0,25
Trang 3 b2 +ac ≤ ab+bc (*) a b 1 a
bc c ( chia 2 vế (*) cho bc)
a b a ( chia 2 vế (*) cho ab)
0,25 0,25
a b b c a c 2 2(a c)
b c a b c a c a 0,25
c a
7
5 2
a c
c a (2)
0,25
c
(2) x+
1
x
5
2 2x25x+2 0 (x2)(2x1) 0 ( đúng vì 1 x 2
(2) được chứng minh (1) được chứng minh
Dấu “=”xảy ra khi a=2, b=c=1 hoặc a=b=2, c=1 và các hoán vị của nó
0,25
Câu 2
(4,0 đ) a) Cho phương trình
2 2 3 2 0
x x m Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2trong đó một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại 2,0
Cách 1:
Ta có : x1x2 2, x x1 2 3 2m
2
1 2
x1x2 3x22m 3
2
3x 5 2m
9 x x1 2 (5 2 )(1 2 ) m m
2
2
4m 26m22 0
11 1,
2
m m
- chọn
11 2
Cách 2:
Ta có : x1x2 2, x x1 2 3 2m
Để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại thì
1 2 2 1
(x x )(x x ) 0
0,5
3 3 2 2
1 2 ( 1 2) 1 2 0
x x x x x x
1 2 ( 1 2) 3 1 2( 1 2) 1 2 0
x x x x x x x x x x
2 2
1 2 7 1 2 8 0 1 2 1, 1 2 8
Trang 4+ x x1 2 1 3 2 m 1 m1 (loai)
11
2
x x m m
( thỏa mãn )
0, 5
Cách 3 :
Để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại thì x1x22
( không xảy ra trường hợp ngược lại x2 x12 vì 0 x2 1, x12 1 (!) )
0,25 0,25
1 2m 2 1 2 2m 2 2 m 2
(2m 2) 3 2 m 2 0 2m 2 0 2m 2 3
0,5
11 1
2
m m
- Chọn
11 2
Cách 1:
(1) 2 1 x 1 x 1x = 3x (2)
x=0 thỏa điều kiện x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
0, 25
0, 25
Cách 2:
2
(1) 2[ 1 x (1 x)] [ 1 x (1x)] 0
2 1 x(1 1 x) 1 x( 1 x 1 x) 0
2
x
0,5
x
(*) 1 x 1x
Trang 5Câu 3
(4,0 đ)
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1 thì (n+2)(n+1)(n+8) không thể là
Ta có: (n+2)2< (n+2)(n+1)(n+8) < (n+4)3 (*)
n3+ 6n2+12n+8 < (n2+3n+2) (n+8)=n3+ 11n2+26n+16 < n3+ 12n2+48n+64
Giả sử có nN, n 1 sao cho (n+2)(n+1)(n+8) là lập phương của một số tự
n3+ 11n2+26n+16 = n3+ 9n2+27n+27
2n2 n 11 =0
4
n N
(!)
0,5
Vậy n 1, n N thì (n+2)(n+1)(n+8) không là lập phương của một số tự
b) Cho số nguyên tố p p 3 và hai số nguyên dương a, b thỏa mãn phương
trình p2a2 b2 Chứng minh a chia hết cho 12 và 2(p a 1) là số chính
phương.
2,0
Các ước của p2 là 1, p và p2 ; không xảy ra trường hợp b + a = b ‒ a = p
Do đó chỉ xảy ra trường hợp b + a = p2 và b ‒ a = 1
Khi đó
à
b v a
suy ra 2a = (p ‒1)(p + 1).
0,5
Từ p lẻ suy ra p + 1, p ‒1 là hai số chẵn liên tiếp (p ‒1)(p + 1) chia hết cho 8
Từ p nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 Do đó p có dạng 3k+1
hoặc 3k+2.
Suy ra một trong hai số p + 1; p ‒1 chia hết cho 3 Suy ra 2a chia hết cho 3
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 2a chia hết cho 24 hay a chia hết cho 12 (đpcm).
0,5
Xét
2
2 2
p -1
2 p + a + 1 =2 p+ +1 =2p+p +1= p+1
2
Câu 4
(3,5 đ) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4 cm E là điểm nằm trên cạnh BC (E
khác B và C) Một đường thẳng qua B, vuông góc với đường thẳng DE tại
H và cắt đường thẳng CD tại F Gọi K là giao điểm của AH và BD.
a)Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn và ba điểm K E F, , thẳng
Trang 6
(Không có hình vẽ không chấm bài)
+ Lại có A, B, H, D cùng nằm trên một đường tròn nên BAK KDE
Suy ra BCK KDE Do đó tứ giác KDCE nội tiếp trong đường tròn.
0, 5 0,5
90
EKD hay
Từ (1) và (2) suy ra K, E, F thẳng hàng.
0,25 0,25
SBKE =
Xét BHE ta có BH = BE sinE = 2 sinE =
DC
HE2 =BE2 BH2 =
4
HE =
2
5
SBHE =
2HE BH 5
0.25
0.25
SBKEH = SBKE +SBHE =
1
Câu 5
(3,5 đ) Cho hai đường tròn (C
1 ),(C 2 ) cắt nhau tại hai điểm A,B Tiếp tuyến tại A của (C 2 ) cắt (C 1 ) tại M (M A) Tiếp tuyến tại A của (C 1 ) cắt (C 2 ) tại điểm N (N A) Tia
MB cắt (C 2 ) tại P ( P B) Tia NB cắt (C 1 ) tại Q ( Q B).
Trang 7
(Không có hình vẽ không chấm bài)
2
MA MB MP
Để có (1), ta chứng minh MP =NQ
( AMP và ANQ đồng dạng , chứng minh A M = AP AMP = AQN
Cần chứng minh A M = AP hay APN ANB )
Trang 8+ Ta có P2 NAB ( chắn cung NB của (C2) )
+ Suy ra P P12 MAB AMB
+ Mặt khác ABP ANP ( chắn cung AP của (C2))
Suy ra: APN ANP
0,25
Tam giác AMP và AQN đồng dạng kết hợp AN= AP
AMP = AQN MP=NQ (2)
Từ (1) (2)
2 2
0,25 0,25
Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì các thầy cô giám khảo thảo luận và
thống nhất thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm
