NOI DUNG LUAN VAN

Tuy nhiên, từ thực tế dạy và học ở Khoa Toán-Tin trờng ĐHSPHN chothấy: ngoài việc cho sinh viên học theo từng chuyên đề mà chủ yếu là khaithác sâu kiến thức, tập trung vào các dạng bài t

Mở đầu

1 lý do chọn đề tài

1.1 Xuất phát từ mục tiêu, yêu cầu đổi mới giáo dục và đào tạo con ngời lao

động mới cho xã hội đã và đang phát triển nhanh chóng, đòi hỏi ngành giáodục và đào tạo phải đào tạo ra những con ngời mới có đầy đủ phẩm chất vànăng lực phục vụ cho công cuộc xây dựng và bảo vệ tổ quốc nói chung vàphục vụ cho sự nghiệp Giáo dục - Đào tạo nói riêng Trớc nhu cầu cấp bách đócủa xã hội, Luật Giáo dục của nớc ta đã chỉ rõ : “Phơng pháp giáo dục phổthông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợpvới đặc điểm của từng môn học; cần phải tạo ra hứng thú học tập của học sinh,nhằm rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn”

Do vậy, để đáp ứng đợc yêu cầu trên, không những giáo viên cần phải

đợc trang bị tốt về tri thức Toán học cần thiết ở Trờng Đại học S phạm(ĐHSP), mà họ cần phải đổi mới phơng pháp dạy học trong môn Toán nóichung và trong dạy học giải toán Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình

đại số ở Trung học phổ thông (THPT) nói riêng Một trong những hớng đổimới quan trọng đó là biết và nâng cao khả năng vận dụng các kiến thức trong

Đại số sơ cấp ở ĐHSP vào thực tiễn dạy học Toán ở Trờng phổ thông

1.2 Xuất phát từ vai trò, ý nghĩa của việc giảng dạy “Đại số sơ cấp” ở ĐHSP

với việc dạy học giải toán Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số

ở THPT, đặt ra vấn đề cần thiết đào tạo nghề dạy Toán ở ĐHSP cần phải gắn

bó hơn nữa với thực tiễn dạy và học Toán ở THPT

1.3 Việc nghiên cứu, khai thác Đại số sơ cấp ở ĐHSP theo hớng vận dụng vào

dạy học một số nội dung cụ thể của môn Toán ở THPT (nh dạy học giải toánphơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số) sẽ trực tiếp rèn luyệnnghiệp vụ s phạm cho sinh viên, góp phần nâng cao chất lợng đào tạo giáoviên Toán THPT ở Khoa Toán-Tin Trờng Đại học S phạm Hà Nội (ĐHSPHN)

Đồng thời kết quả nghiên cứu này có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viênToán THPT

1.4 Nội dung “Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số” là một

trong những chủ đề quan trọng của Toán học Trong khi đó, thực tiễn dạy họcgiải Toán phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình ở THPT cho thấy: việcdạy học nội dung này cha đáp ứng đợc nhu cầu đổi mới của giáo dục: tri thứcthờng chỉ đợc truyền thụ dới dạng có sẵn, học sinh tiếp thu tri thức một cách

thụ động, cha có sự vận động suy nghĩ, việc phát huy tính tích cực, tự giác,chủ động, sáng tạo của học sinh còn hạn chế Một trong những nguyên nhân

là do giáo viên (nhất là những giáo viên mới ra trờng) cha thực sự biết cáchchủ động vận dụng Đại số sơ cấp ở ĐHSP vào việc dạy học Toán ở Trờng phổthông

1.5 Đồng thời, việc nghiên cứu, khai thác mối liên hệ giữa “Đại số sơ cấp”

với Toán phổ thông còn giúp cho việc giảng dạy và học tập ở ĐHSP gắn kếthơn với thực tiễn dạy và học Toán phổ thông

Vì vậy, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: Khai thác Đại số sơ cấp“ ”

ở trờng Đại học S phạm Hà Nội để nâng cao hiệu quả dạy học giải toán Ph

“ ơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số ở THPT.”

2 MụC ĐíCH Và NHIệM Vụ NGHIÊN CứU

2.1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu “Đại số sơ cấp” ở ĐHSPHN theo hớng khai thác một số nộidung để xây dựng một số giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học giải toán

“Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số” ở THPT Từ đó góp phầnnâng cao chất lợng dạy và học toán ở trờng THPT

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

+) Tìm hiểu cơ sở lý luận của việc giảng dạy “Đại số sơ cấp” ở ĐHSPHN

và vấn đề cầu nối giữa đào tạo ở ĐHSPHN với việc giảng dạy giải toán

“Ph-ơng trình, hệ ph“Ph-ơng trình, bất ph“Ph-ơng trình đại số” ở THPT

+) Tìm hiểu thực tiễn của việc vận dụng kiến thức “Đại số sơ cấp” ở

ĐHSPHN vào giảng dạy và học tập giải toán “Phơng trình, hệ phơng trình, bấtphơng trình đại số” ở THPT

+) Nghiên cứu “Đại số sơ cấp” ở ĐHSPHN để có phơng án xây dựng một

số giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học giải toán “Phơng trình, hệ

ph-ơng trình, bất phph-ơng trình đại số” ở THPT

+) Khai thác “Đại số sơ cấp” ở ĐHSPHN để xây dựng giải pháp nâng caohiệu quả dạy học giải toán “Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đạisố” ở THPT.

+) Thực nghiệm s phạm giải pháp đa ra và đánh giá kết quả thu đợc

3 GIả THUYếT KHOA HọC

Nếu nghiên cứu đại số sơ cấp theo hớng khai thác một số nội dung thì cóthể xây dựng đợc giải pháp dạy học giải toán “Phơng trình, hệ phơng trình,bất phơng trình đại số” góp phần nâng cao hiệu quả dạy học nội dung này ở tr-ờng THPT

4 PHƯƠNG PHáP NGHIÊN CứU

4.1 Phơng pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu những tài liệu sau đây:

+) Giáo trình “Đại số sơ cấp” của các tác giả Dơng Quốc Việt và ĐàmVăn Nhỉ

+) Sách giáo khoa (SGK) và sách tham khảo môn Toán lớp 10 THPT vềchủ đề phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số

+) Giáo trình và các tài liệu tham khảo về Phơng pháp dạy học môn Toántrong đó đặc biệt chú ý các công trình về vấn đề “cầu nối” giữa “Đại số sơcấp” với việc dạy học chủ đề “Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đạisố” ở THPT

4.2 Phơng pháp điều tra quan sát

Điều tra quan sát:

+) Thực tế học tập môn học “Đại số sơ cấp” của sinh viên ĐHSPHN.+) Thực tế dạy học giải toán “Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình

đại số” ở THPT

Trong đó chú trọng tìm hiểu việc giáo viên đã khai thác “Đại số sơ cấp”

đã học đợc ở ĐHSPHN trong việc giảng dạy giải toán “Phơng trình, hệ phơngtrình, bất phơng trình đại số” ở THPT ở mức độ nào, gặp thuận lợi, khó khăngì và nguyên nhân

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba

chơng 1 – Cơ sở lý luận và thực tiễn Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Vấn đề cầu nối giữa đào tạo Toán sơ cấp ở ĐHSPHN với việc giảng“ ”

dạy môn Toán ở trờng phổ thông

Qua việc học tập, nghiên cứu và khai thác môn Toán sơ cấp ở ĐHSPHN

đồng thời dựa trên những kiến thức cơ bản đã đợc học ở chơng trình ToánTHPT, chúng tôi thấy đợc vai trò, nhiệm vụ quan trọng của Toán sơ cấp ở

ĐHSPHN đối với việc giảng dạy môn Toán ở trờng THPT:

+) Giáo trình Đại số sơ cấp là một hệ thống mở các bài giảng mang tínhchuyên đề Nội dung của mỗi chuyên đề đều mang tính định hớng, tạo điềukiện cho ngời học dựa trên những kiến thức cơ bản đã đợc học ở chơng trìnhTHPT, coi đó nh một gợi ý quan trọng để hệ thống lại các dạng bài tập và cácphơng pháp giải làm tài liệu phục vụ cho việc học tập và giảng dạy của mình

+) Chuyên đề Toán phổ thông đã trang bị cho sinh viên những kiến thứccơ bản về một số chủ đề khó đối với chơng trình Toán ở THPT Từ đó, quaviệc học tập và luyện tập giải các bài tập ở mức độ khó, giúp cho sinh viênbiết khai thác khả năng phát triển t duy của mình thông qua các hoạt động rènluyện trí tuệ chung, đó là điều rất có ích cho việc giảng dạy sau này của sinhviên

+) Giáo trình “ Phơng pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán”bao gồm toàn bộ nội dung kiến thức chơng trình môn Toán ở SGK THPT Mỗinội dung trong giáo trình thờng đợc trình bày theo cấu trúc sau:

1) Chơng trình, nội dung;

2) Phơng pháp dạy học, gồm các nội dung sau:

* Những điều lu ý, khắc phục sửa chữa sai lầm;

* Các phơng pháp giải đợc minh hoạ bằng ví dụ cụ thể;

* Các bài toán tham khảo

Học tập, nghiên cứu và khai thác Toán sơ cấp nói chung và Giáo trình

Đại số sơ cấp nói riêng giúp cho sinh viên có cái nhìn bao quát nhất, chínhxác nhất về nội dung chơng trình Toán THPT đồng thời vận dụng một cáchsáng tạo vào dạy học những nội dung cụ thể để đạt kết quả cao nhất

Từ những kiến thức trong môn Toán sơ cấp ở ĐHSPHN đòi hỏi mỗisinh viên (giáo viên) cần định hớng và có các biện pháp khai thác tối đa cáckiến thức đó để phục vụ cho việc giảng dạy ở trờng THPT nhằm nâng cao hiệuquả giảng dạy, học tập qua đó nâng cao chất lợng giáo dục

Tuy nhiên, từ thực tế dạy và học ở Khoa Toán-Tin trờng ĐHSPHN chothấy: ngoài việc cho sinh viên học theo từng chuyên đề mà chủ yếu là khaithác sâu kiến thức, tập trung vào các dạng bài tập khó thì nên cho sinh viênkhai thác vận dụng các kiến thức về Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơngtrình trong Đại số sơ cấp vào việc thiết kế bài soạn và giảng dạy nội dung đó ởtrờng THPT, trong đó với nội dung Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơngtrình đại số thì việc khai thác Đại số sơ cấp để nâng cao hiệu quả dạy học giảitoán ở THPT là rất quan trọng Vì vậy, chúng tôi nghiên cứu, khai thác đề tàinày với mong muốn góp phần giải quyết vấn đề trên

1.2 Chơng trình, nội dung môn Đại số sơ cấp đ“ ” ợc giảng dạy ở ĐHSP

Nội dung giáo trình Đại số sơ cấp gồm 5 ch“ ” ơng:

Đề tài nghiên cứu của chúng tôi có liên quan trực tiếp đến chơng 5trong giáo trình Đại số sơ cấp, nên các chơng khác chỉ đợc giới thiệu vắn tắt

Chơng 1: Một vài nguyên lý cơ bản

Bài 1: Nguyên lý Dirichlet

Bài 2: Nguyên lý cực trị rời rạc

Bài 3: Nguyên lý xuống thang

Bài 4: Các nguyên lý cơ bản cho các bài toán đếm

Bài 5: Nhìn vấn đề theo quan điểm cực trị

Chơng 2: Những vấn đề sơ cấp về dãy số

Bài 1: Những tổng hữu hạn không thể biểu diễn đợc qua các hàm đại số Bài 2: Một vài loại dãy truy hồi

Bài 3: Các phơng pháp xác định các tổng hữu hạn

Bài 4: Phơng pháp sử dụng hàm sinh

Chơng 3: Một vài trọng điểm về giải tích trong chơng trình phổ thông

Bài 1: Các bài toán về tiếp tuyến

Bài 2: Các ứng dụng của định lý giá trị trung bình

Bài 3: Các phơng pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Chơng 4: Đồng nhất thức và bất đẳng thức

Bài 1: Một số đồng nhất thức cổ điển

Bài 2: Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

Bài 3: Hàm lồi và bất đẳng thức Jensen

4.3 Phép khử

1.3 Mối liên hệ giữa chơng 5 trong giáo trình Đại số sơ cấp với nội“ ”

dung tơng ứng ở SGK Toán THPT

Chơng 5 trong giáo trình “Đại số sơ cấp” tơng ứng với nội dung Chơng

3 và Chơng 4 trong sách giáo khoa Đại số 10 (Ban Cơ bản và Nâng cao)

+) Bài 1: Những khái niệm cơ bản đợc trình bày trong SGK Đại số 10 là Bài

1 của Chơng 3: Đại cơng về phơng trình Tuy nhiên không trình bày hết, có

l-ợc bớt một số nội dung nh: Phân loại phơng trình, các định lý về phơng trình

t-ơng đt-ơng

+) Bài 2 trong giáo trình “Đại số sơ cấp” trình bày nhiều dạng phơng trình và

hệ phơng trình Trong khi đó ở SGK Đại số 10 chỉ trình bày một số dạng

ph-ơng trình và hệ phph-ơng trình đơn giản nh: Phph-ơng trình bậc nhất, phph-ơng trình

bậc hai, phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình chứa ẩn dới dấu căn, phơng trình bậc nhất hai ẩn, hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn, hệ ba phơng trình bậc nhất ba ẩn và có trình bày thêm các ví

dụ, hệ thống bài tập áp dụng Trong SGK không trình bày phơng trình và hệphơng trình bậc cao và chỉ trình bày định lý Viét đối với phơng trình bậc hai,

so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với số 0, trong khi giáo trình “Đại sốsơ cấp” trình bày Định lý Viét đối với phơng trình bậc n và so sánh nghiệmcủa phơng trình bậc hai với hai số  và 

+) Bài 3 trong giáo trình đợc trình bày chủ yếu ở Chơng 4 trong SGK Đại số

10 với các dạng cơ bản sau: Bất phơng trình một ẩn, hệ bất phơng trình

một ẩn, một số phép biến đổi bất phơng trình, bất phơng trình bậc nhất hai ẩn, bất phơng trình bậc hai một ẩn với một số ứng dụng đơn giản.

Không đa nội dung hệ bất phơng trình vô tỉ, bất phơng trình và hệ bất phơngtrình bậc cao vào giảng dạy ở Đại số 10

Từ những nhận xét đơn giản trên ta có thể thấy mối quan hệ giữa nộidung “Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số” trong giáo trình

Đại số sơ cấp và chơng trình môn Toán lớp 10 THPT đợc thể hiện nh sau:

a) Sự giống nhau

Nội dung Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số trong Giáotrình Đại số sơ cấp nói riêng và trong chơng trình Toán sơ cấp ở ĐHSPHN nóichung cũng bao gồm các nội dung kiến thức trong môn Toán ở THPT nhng đ-

ợc mở rộng và nâng cao hợp lý trên cơ sở đối tợng và mục tiêu đào tạo Cụthể:

+) Ngôn ngữ và cách sử dụng những ký hiệu cơ bản là nh nhau;

+) Thứ tự trình bày các dạng phơng trình, hệ phơng trình, bất phơngtrình từ cơ bản đến phức tạp, độ khó tăng dần của từng dạng Mỗi dạng Phơngtrình, hệ phơng trình, bất phơng trình đợc giới thiệu theo cấu trúc:

+ Các kiến thức có liên quan, phơng pháp giải chung;

+ Các ví dụ minh hoạ;

+ Bài tập vận dụng đối với từng dạng

+) Các dạng toán, các quy tắc, phơng pháp giải cho một số dạng bài tậpcơ bản là nh nhau

b) Sự khác nhau

+) Các kiến thức về nội dung Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơngtrình đại số trong chơng trình Toán THPT đợc trình bày ít hơn và khá đơngiản, cha có một hệ thống đầy đủ cả về phơng pháp giải lẫn bài tập vận dụng.Trong khi đó nội dung này trong Giáo trình Đại số sơ cấp đợc trình bày mộtcách có hệ thống hơn, khá phong phú và đa dạng, đặc biệt là các dạng toán.Mỗi dạng Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình vẫn đợc giới thiệu theocấu trúc:

+ Các kiến thức có liên quan, phơng pháp giải chung;

+ Các ví dụ minh hoạ;

+ Bài tập vận dụng đối với từng dạng

Tuy nhiên, ở giáo trình Đại số sơ cấp trình bày phơng pháp giải cho cácdạng toán tổng quát, hệ thống bài tập đợc mở rộng hơn, đa dạng và phong phúhơn ở THPT

+) Việc sử dụng ký hiệu cũng đợc mở rộng hơn, có một số ký hiệu đợc

sử dụng nhiều và thờng xuyên hơn so với THPT

Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sự khác nhau cơ bản đó là do đối tợng

và mục tiêu đào tạo khác nhau:

+) ở trờng THPT đối tợng là các em học sinh có trình độ nhận thức chacao và không đồng đều, mặt khác mục tiêu đào tạo cũng chỉ là cung cấp kiếnthức cơ bản nên SGK THPT chỉ trình bày các kiến thức đơn giản, cơ bản nhấtphù hợp với mọi đối tợng học sinh để các em có thể tiếp thu đợc tri thức

+) ở trờng ĐHSPHN thì đối tợng là sinh viên đã đợc học những kiếnthức cơ bản về nội dung Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình ở trờngPhổ thông, mục tiêu đào tạo cũng khác nên nội dung Phơng trình, hệ phơngtrình, bất phơng trình trong Giáo trình Đại số sơ cấp (rộng ra là Chơng trìnhToán sơ cấp) ở ĐHSPHN đợc trình bày khá đa dạng và phong phú, mang tínhchất định hớng, là tài liệu học tập, khai thác và nghiên cứu của sinh viên vàgiáo viên.

Cụ thể đợc trình bày trong bảng so sánh sau:

Nội dung Ph“ ơng trình, hệ phơng

trình, bất phơng trình đại số trong”

SGK Toán THPT

Nội dung Ph“ ơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình trong Đại” “

phép biến đổi hệ quả; Định lý Viét

+ Giới thiệu về phơng trình chứa ẩn

trong dấu giá trị tuyệt đối; phơng

trình chứa ẩn dới dấu căn thức và

giản (Vì đối tợng là các em học sinh ở

lớp 10 THPT cha đợc học chi tiết các

kiến thức về phơng trình nên SGK

trình bày đầy đủ để các em dễ hiểu,

a) Về phơng trình, giáo trình Đại số sơ cấp ở ĐHSPHN trình bày:

+ Những khái niệm cơ bản về phơngtrình (phơng trình, tập xác định,nghiệm của phơng trình, giải phơngtrình, phân loại phơng trình, phơngtrình chứa tham số, phơng trình hệquả,…))

+ Các định lý về phơng trình tơng

đ-ơng

(Các kiến thức trên đều đợc trình bàydới dạng tổng quát vì đối tợng là sinhviên, đã hoàn thành chơng trìnhTHPT, đã đợc học các kiến thức cơbản về phơng trình)

+ Giáo trình cũng đề cập đến cácdạng phơng trình nh ở chơng trìnhToán THPT, ngoài ra còn trình bàythêm phơng trình bậc cao, phơng trìnhvô tỉ dạng tổng quát mà ở THPTkhông đề cập đến (Đó là điều cầnthiết vì sinh viên cần nghiên cứu, khai

dễ tiếp thu).

đ-ợc trình bày khá chi tiết Tuy nhiên

không trình bày chi tiết các kiến thức

chung về hệ phơng trình

+ Hệ thông ví dụ và bài tập áp dụng

dễ hiểu, khá đơn giản, tuy nhiên còn

ít

c) Về bất phơng trình, SGK Đại số

10 trình bày các kiến thức:

+ Khái niệm bất phơng trình một ẩn;

bất phơng trình tơng đơng; biến đổi

+ Hệ thống ví dụ và bài tập đa ra khá

đa dạng và phong phú, có nhiều bàitập cơ bản và nâng cao hợp lý Điều

đó giúp sinh viên có điều kiện pháttriển t duy và rèn luyện các hoạt độngtrí tuệ

b) Về hệ phơng trình, giáo trình Đại

số sơ cấp ở ĐHSPHN trình bày:

+ Hệ phơng trình bậc nhất; hệ phơngtrình bậc hai; hệ phơng trình bậc cao;

hệ phơng trình đối xứng và phản đốixứng; hệ phơng trình truy hồi; hệ ph-

ơng trình thuần nhất

+ Định nghĩa và phơng pháp giải các

hệ trên hầu hết đợc trình bày dới dạngtổng quát Phơng pháp giải đợc trìnhbày bằng nhiều cách khác nhau

+ Hệ thống ví dụ và bài tập vận dụngkhá đa dạng, phong phú và có độ khó.Tạo điều kiện cho sinh viên phát triển

t duy

c) Về bất phơng trình, giáo trình

Đại số sơ cấp ở ĐHSP trình bày:

+ Khái niệm bất phơng trình; một sốphép biến đổi cơ bản (tơng đơng)

+ Bất phơng trình bậc nhất (một ẩn vàhai ẩn); bất phơng trình bậc hai mộtẩn; hệ bất phơng trình bậc hai một ẩn;

hệ bất phơng trình bậc hai hai ẩn; bấtphơng trình và hệ bất phơng trình vôtỉ; bất phơng trình và hệ bất phơng

chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối,

trong dấu căn bậc hai

+ Phơng pháp giải các dạng bất phơng

trình tơng ứng (đợc trình bày chi tiết);

tơng tự nh phơng trình và hệ phơng

trình, hệ thống ví dụ và bài tập áp

dụng tơng đối đơn giản và dễ hiểu,

tuy nhiên còn ít và không có nhiều

các bài tập phát huy tính sáng tạo của

học sinh

trình bậc cao;

+ Trong Giáo trình, các tác giả trìnhbày phơng pháp giải chi tiết, các ví dụ

và dạng bài tập đa dạng, phong phú,

có nhiều dạng bài tập khó, bài tập mởyêu cầu sự khai thác, vận dụng củasinh viên

1.4 Tình hình giảng dạy và học tập Đại số sơ cấp ở ĐHSPHN“ ”

14.1 Nội dung chơng trình, giáo trình, điều kiện học tập môn Đại số sơ cấp

ở ĐHSPHN

a) Nội dung chơng trình: Đã đợc trình bày ở mục 1.2

b) Giáo trình: Đại số sơ cấp Tác giả Dơng Quốc Việt và Đàm Văn Nhỉ,

cùng một số tài liệu tham khảo khác

c) Điều kiện học tập: Số tiết học theo phân phối chơng trình : 75 tiết.

1.4.2 Những thuận lợi, khó khăn về phía ngời dạy và ngời học

a) Thuận lợi: Môi trờng học tập tốt, các thầy cô giảng viên có trình độ cao, cơ

sở vật chất đảm bảo tốt cho việc học tập Sinh viên có năng lực, nhiệt tình và

đã đợc trang bị những kiến thức quan trọng về phơng pháp dạy học,…)

b) Khó khăn: Nội dung học tập cha gắn nhiều với nội dung đợc giảng dạy ở

THPT, cha có nhiều sự gắn kết giữa phơng pháp dạy học với nội dung học tậpgây nhiều khó khăn cho sinh viên trong quá trình vận dụng vào các nội dung

cụ thể

1.4.3 Nhận xét về việc khai thác mối liên hệ giữa Đại số sơ cấp với nội“ ”

dung và việc dạy học giải toán Ph“ ơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số ở THPT”

Nội dung Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số đợc trìnhbày ở giáo trình Đại số sơ cấp khá đa dạng và phong phú cả về nội dung kiếnthức và dạng bài tập Tạo điều kiện cho sinh viên rèn luyện phát triển t duy

giải phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình và một phần nắm đợc các

ph-ơng pháp dạy học nội dung đó ở trờng phổ thông

Tuy nhiên, trong quá trình học tập vì điều kiện trên lớp không cho phépnên thời gian để các bạn sinh viên vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễngiảng dạy còn ít, do đó các bạn sinh viên cha học đợc cách dạy nội dung đó ởtrờng phổ thông nh thế nào cho đạt hiệu quả cao nhất Hầu hết các bạn sinhviên học Toán sơ cấp ở ĐHSPHN chủ yếu theo hớng giải bài tập, cha có nhiều

sự suy nghĩ về việc liên hệ giữa kiến thức đã học với việc giảng dạy ở trờngphổ thông

Mặt khác, trong quá trình giảng dạy Đại số sơ cấp ở ĐHSPHN, cácgiảng viên thờng công nhận lý thuyết (đặc biệt là các phơng pháp giải cácdạng toán) vì cho rằng sinh viên đã biết thông qua tự đọc giáo trình, thông quacác kiến thức đã học ở THPT Do đó, giảng viên chủ yếu đa ra các dạng bàitập để sinh viên thực hành giải toán mà cha có sự t duy về mối liên hệ, về việcvận dụng các kiến thức đó ở trờng ĐHSPHN vào giảng dạy ở THPT

Mặc dù đã có rất nhiều điều kiện học tập thuận lợi nhng việc khai tháccác kiến thức trong Giáo trình Đại số sơ cấp với việc dạy học giải toán Ph ơngtrình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số còn có những hạn chế, do giáoviên cha kết hợp tốt các kiến thức trong giáo trình với kiến thức về phơng phápdạy học đã đợc trang bị nên hiệu quả giảng dạy cha cao, cha phát huy tối đakiến thức đã đợc học vào thực tế giảng dạy

1.5 Tình hình dạy học giải toán Ph“ ơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số ở THPT”

1.5.1 Về nội dung chơng trình, tài liệu.

a) Nội dung chơng trình (SGK Đại Số 10- THPT)

I Ôn tập về phơng trình và hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 2: Bất phơng trình và hệ bất phơng trình một ẩn

I Khái niệm bất phơng trình một ẩn

II Hệ bất phơng trình một ẩn

III Một số phép biến đổi bất phơng trình

Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

I Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất

II Xét dấu tích, thơng các nhị thức bậc nhất

III áp dụng vào giải bất phơng trình

Bài 4: Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn

I Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn

II Biểu diễn tập nghiệm của bất phơng trình bậc nhất hai ẩn

III Hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn

IV áp dụng vào bài toán kinh tế

Bài đọc thêm: Phơng pháp tìm cực trị của biểu thức F= ax+by trên một miền đa giác

Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

I Định lí về dấu của tam thức bậc hai

II Bất phơng trình bậc hai một ẩn

Ôn tập chơng 4

b) Tài liệu học tập

1 Sách giáo khoa Đại số 10 ( Ban Cơ bản và Ban Nâng cao), 2006

2 Sách bài tập Đại số 10 ( Ban Cơ bản và Ban Nâng cao), 2006

3 Sách giáo viên Đại số 10 ( Ban Cơ bản và Ban Nâng cao), 2006

4 Tài liệu bồi dỡng giáo viên lớp 10

5 Các sách tham khảo về phơng pháp dạy học

6 Các sách tham khảo về Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình

đại số

1.5.2 Những khó khăn, thuận lợi về phía giáo viên và học sinh

a) Những khó khăn và một số sai lầm thờng gặp ở học sinh:

Do mới là học sinh lớp 10, trình độ đại trà của học sinh còn cha cao nêngặp nhiều khó khăn trong tính toán, ngoài ra việc xây dựng khái niệm phơngtrình và bất phơng trình trên cơ sở khái niệm mệnh đề cũng gây khó khăn chohọc sinh trong việc tiếp thu kiến thức

Sau đây là một số sai lầm của học sinh hay mắc phải trong nội dung này:

+) Cha hiểu rõ tập xác định và điều kiện xác định của một phơng trình, bất

phơng trình nên còn lúng túng trong cách viết và hiểu khi nào thì nên viết điềukiện, khi nào thì viết tập xác định

+) Sai lầm trong việc sử dụng các phép biến đổi tơng đơng, phép biến đổi hệquả Đây là sai lầm thờng gặp nhất của học sinh trong việc giải toán phơngtrình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số ở THPT

Trong trờng hợp này h(x)=x-1 có thể bằng 0 nên cha thể sử dụng ngay

định lý vào phơng trình (1) đợc, do đó phơng trình (1) và phơng trình (2)không tơng đơng

+) Sai lầm trong việc giải bất phơng trình có chứa ẩn ở mẫu thức:

VD3: Gải bất phơng trình sau:

1

1 2

Rõ ràng bất phơng trình (1) và bất phơng trình (2) là không tơng đơngvì biểu thức g(x)= 2x-1 có thể âm, có thể dơng nên việc quy đồng mẫu thứccòn làm thay đổi chiều của bất phơng trình Nguyên nhân dẫn đến sai lầm trên

là do học sinh quen với việc quy đồng của phơng trình và cha hiểu rõ các phépbiến đổi tơng đơng trong bất phơng trình

+) Sai lầm trong việc sử dụng định lý Viét: Chủ yếu là việc áp dụng định lýViét trong phơng trình bậc hai mà không tìm điều kiện để phơng trình có hainghiệm x1, x2 Nhất là đối với những phơng trình có tham số

VD4: Sau khi dạy xong nội dung định lý Viét, chúng tôi có đa ra câu hỏi:

Tìm tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau: x2+x+1=0 Sau đónhiều học sinh cho đáp số là: S=-1, P=1 Rõ ràng phơng trình trên không cónghiệm nên không thể áp dụng định lý Viét đợc

+) Sai lầm trong việc giải bất phơng trình bậc nhất: Chủ yếu vẫn là việc sửdụng các phép biến đổi tơng đơng cha đúng Đặc biệt là việc chia hai vế củabất phơng trình cho một số hay một biểu thức lấy giá trị âm

+) Sai lầm trong việc giải các bất phơng trình vô tỉ: Đặc biệt là bất phơng trìnhdạng : f(x) g(x) Nhiều học sinh chỉ xét một trờng hợp g(x) 0 mà thiếumất trờng hợp g(x) < 0

+) Học sinh thờng hay gặp khó khăn trong việc tìm giao của các tập hợp là tậpcon của tập số thực R Điều này làm hạn chế kỹ năng giải các hệ bất phơngtrình, đặc biệt là hệ có nhiều hơn hai bất phơng trình

+) Sai lầm trong việc giải bất phơng trình bậc hai: Việc học nội dung định lý

về dấu của tam thức bậc hai không phải là vấn đề khó đối với học sinh Tuynhiên, việc áp dụng định lý vào một số dạng bài tập còn gặp nhiều khó khăn

Đặc biệt là việc xét dấu các tam thức bậc hai còn lúng túng dẫn đến việc kếtluận nghiệm của bất phơng trình bậc hai còn cha chính xác.

+) Kỹ năng tính nhanh, tính nhẩm của học sinh bị giảm sút do lạm dụng máytính điện tử trong tính toán

Trong chơng trình Đại số 10 ở cả ban Cơ bản và ban Nâng cao thì nộidung phần phơng trình và bất phơng trình là rất quan trọng và đóng vai trò chủ

đạo Tuy nhiên thời gian phân phối chơng trình cho phần này là không nhiềunên rất hạn chế việc giáo viên có thể chi tiết hoá một số nội dung của phầnnày nhằm giúp học sinh dễ hiểu hơn Khả năng tự học của học sinh diện đạitrà còn hạn chế nên ở trên lớp giáo viên không có đủ thời gian để tiến hànhgiúp đỡ cá biệt, khắc phục những sai lầm của học sinh

Việc đổi mới phơng pháp giảng dạy của giáo viên còn hạn chế, vẫn sửdụng chủ yếu những phơng pháp truyền thống trong dạy học, không còn phùhợp với sự thay đổi của SGK và sự phát triển chung của nền giáo dục nớc ta

Do đó hoạt động của giáo viên và học sinh cha phát huy tốt tính tự giác, tíchcực, chủ động và sáng tạo của học sinh Tuy nhiên, cơ sở vật chất cha đảmbảo, trình độ của học sinh còn cha đồng đều cũng là những hạn chế trong việc

đổi mới phơng pháp dạy học

Đối với học sinh, khi học nội dung giải toán Phơng trình, hệ phơngtrình, bất phơng trình mặc dù nội dung kiến thức không phải là khó nhng thờilợng cho thực hành vận dụng lý thuyết còn ít, do đó khi đứng trớc một bàitoán khó học sinh thờng lúng túng không biết vận dụng phơng pháp nào, cáchsuy luận nào để giải bài toán đó Nhiều học sinh còn bị hổng kiến thức màphần lớn là kỹ năng biến đổi, kỹ năng trình bày một bài toán hoàn chỉnh, điều

đó gây trở ngại cho học sinh khi học nội dung này Mặt khác, trong quá trìnhhọc tập, nhiều học sinh còn vận dụng kiến thức một cách thụ động, thiếu sángtạo

b) Những thuận lợi

Do xã hội ngày càng phát triển, việc đầu t cho giáo dục ngày càng tốthơn nên học sinh đợc học tập trong môi trờng có nhiều điều kiện thuận lợi,học sinh có nhiều cơ hội giao lu, học hỏi kinh nghiệm thông qua các phơngtiện thông tin đại chúng Bên cạnh đó, học sinh còn đợc học tập dới sự hớngdẫn, chỉ bảo tận tình và tâm huyết của đội ngũ giáo viên đã đợc đào tạo bàibản, chính quy

Nội dung phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đợc đa vào chơngtrình THPT với một hệ thống kiến thức phù hợp với trình độ của học sinh, đốivới từng cấp học đợc nâng lên từ dễ đến khó hơn, từ đơn giản đến phức tạp, đ-

ợc thể hiện thông qua phần lý thuyết và các dạng bài tập đa vào chơng trìnhvới lợng kiến thức phù hợp hơn đợc trình bày một cách cụ thể, dễ hiểu và dễvận dụng

Học sinh luôn đợc học kiến thức một cách lôgíc, nội dung phơng trình,

hệ phơng trình, bất phơng trình luôn đợc để sau nội dung hàm số, các phépbiến đổi, mệnh đề, tập hợp, bất đẳng thức nên việc tiếp cận kiến thức phơngtrình, hệ phơng trình, bất phơng trình đợc dễ dàng và thuận lợi hơn

1.5.3 Nhận xét về việc ứng dụng Đại số sơ cấp đối với việc dạy học giải“ ”

toán Ph“ ơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số ở THPT”

Việc học tập “Đại số sơ cấp” của sinh viên ĐHSP có ý nghĩa rất lớntrong việc cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về đại số sơ cấpnhằm phục vụ tốt hơn trong việc kiến tập, thực tập của sinh viên và công tácgiảng dạy sau này Giáo trình cung cấp thêm các kỹ năng giải và sáng tạo cácbài tập toán có ý nghĩa Ngoài ra, giáo trình còn cung cấp cho các bạn sinhviên cách nhìn tổng quát các vấn đề sẽ đợc giảng dạy ở THPT mà SGK khôngthể giải thích hết đợc vì những lý do khác nhau Tuy nhiên, để nội dung cuốnsách có hiệu quả hơn nữa yêu cầu sinh viên và giáo viên cần khai thác tốt cácphơng pháp dạy học vào từng nội dung cụ thể trong từng chơng

Đối với giáo viên THPT, việc áp dụng kiến thức đã học ở giáo trình

“Đại số sơ cấp” vào giảng dạy nội dung phơng trình, hệ phơng trình, bất

ph-ơng trình đại số còn hạn chế

1.6 Kết luận chơng 1

Trong chơng này chúng tôi tìm hiểu cơ sở lý luận và thực tiễn của việcdạy và học giải toán “Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số” ở tr-ờng THPT theo hớng vận dụng Đại số sơ cấp đã đợc học ở ĐHSP Từ đó làmcơ sở cho chơng 2 xây dựng phơng án dạy học giải toán phơng trình, hệ phơngtrình, bất phơng trình đại số ở THPT theo định hớng đó

Chơng 2: Khai thác đại số sơ cấp để nâng cao hiệu quả dạy học giải toán phơng trình, hệ ph-

có thể xây dựng đợc hệ thống các phơng pháp dạy học phù hợp với nội dungtừng phần kiến thức và phù hợp với đối tợng học sinh Việc khai thác này dựatrên một số định hớng sau đây:

2.1.1 Tôn trọng và bám sát nội dung phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng

trình đại số trong chơng trình môn Toán ở THPT, đồng thời có mở rộng vànâng cao một cách hợp lý đối với đối tợng học sinh khá, giỏi

Bên cạnh ý nghĩa rất quan trọng của nội dung phơng trình, hệ phơngtrình, bất phơng trình đại số trong chơng trình Toán sơ cấp ở ĐHSP, thì nộidung này trong chơng trình môn Toán ở THPT lại là những kiến thức cơ bảnnhất, phù hợp với mọi đối tợng học sinh, và đó cũng là cơ sở cho việc học cácnội dung khác trong chơng trình môn Toán Vì vậy trong quá trình dạy họcgiáo viên cần tôn trọng và bám sát nội dung “Phơng trình, hệ phơng trình, bấtphơng trình đại số” trong chơng trình SGK THPT giúp học sinh lĩnh hội đợcnhững kiến thức cơ bản nhất và rèn luyện các hoạt động trí tuệ, đó cũng là cơ

sở để học sinh phát triển tri thức, sáng tạo ra các cách giải hay trong khi giảitoán

Tuy nhiên, đối với học sinh khá, giỏi dựa trên nền tảng kiến thức cơ bản

đó giáo viên cần mở rộng, nâng cao một cách hợp lý để phục vụ thi Đại học,Cao đẳng và thi Học sinh giỏi Cũng thông qua đó giúp học sinh khá, giỏi có

điều kiện phát triển khả năng t duy toán học, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

2.1.2 Khai thác mối liên hệ giữa nội dung “Phơng trình, hệ phơng trình, bất

phơng trình đại số” ở ĐHSP với ở THPT trong quá trình xây dựng hệ thốngbài toán và đa ra các biện pháp dạy học

+) Sử dụng kiến thức, phơng pháp trong Đại số sơ cấp để tìm ra phơngpháp giải toán ở THPT đối với các dạng bài toán về:

2.1.3 Tăng cờng tổ chức các hoạt động học tập cho học sinh để rèn luyện các

thao tác t duy, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo trong quá trình giải toán “Phơngtrình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số” ở THPT

“Học phải đi đôi với hành”, “Lý thuyết phải đi liền với thực tiễn, họctập đi liền với hoạt động” Do đó, để học sinh có thể lĩnh hội tri thức một cáchtrọn vẹn, giáo viên với vai trò là ngời thiết kế, điều khiển phải tăng cờng tổchức các hoạt động cho học sinh, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phơngpháp dạy học, tạo điều kiện cho học sinh có nhiều cơ hội hoạt động trong họctập, đem lại cho các em sự ham mê học tập, từ đó phát huy đợc tính tự giác,tích cực, chủ động, sáng tạo, huy động tối đa tri thức và khả năng của mình đểphát hiện và giải quyết vấn đề một cách triệt để

2.2 Khai thác Đại số sơ cấp để nâng cao hiệu quả dạy học giải toán“ ”

Ph

“ ơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình đại số ở THPT”

Để nâng cao hiệu quả dạy học giải toán “Phơng trình, hệ phơng trình,bất phơng trình đại số” ở THPT chúng tôi tiến hành khai thác “Đại số sơ cấp”

ở ĐHSP theo hớng xây dựng hệ thống bài toán dựa trên cơ sở kiến thức và

ph-ơng pháp đã đợc trình bày trong giáo trình “Đại số sơ cấp” Nội dung này đợctrình bày theo cấu trúc nh sau:

a) Dạng toán và phơng pháp giải đợc trình bày ở Sách giáo khoa lớp 10

THPT

b) Cơ sở lý thuyết trong giáo trình Đại số sơ cấp.

c) Vận dụng vào 5 dạng toán (trong phần này chúng tôi khai thác Đại số

sơ cấp để hớng dẫn học sinh giải toán, khắc phục những sai lầm có thểmắc phải và nghiên cứu sâu lời giải để mở rộng bài toán)

+) Chú ý khi dạy học+) Ví dụ minh họa+) Bài tập vận dụng

2.2.1 Phơng trình và hệ phơng trình bậc nhất

2.2.1.1 Dạng toán và phơng pháp giải đợc trình bày ở SGK lớp 10 THPT

+) Phơng trình bậc nhất: là phơng trình có dạng: ax+b=0, a, b là hai

số đã cho và a khác 0

+) Phơng pháp giải:

Giải và biện luận phơng trình dạng: ax + b = 0 (1), x-ẩn, a,b-tham số

1) a 0 : Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất x=

-a b

2) a=0 và b 0: Phơng trình (1) vô nghiệm3) a=0 và b=0: Phơng trình (1) nghiệm đúng với mọi xR

+) Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn: Cho hai phơng trình bậc nhất hai

ẩn ax+by=c và a’x+b’y=c’ (tức là a2+b2 0 và a’2+b’2 0) Khi đó, ta có hệhai phơng trình bậc nhất hai ẩn sau: 

c by ax

c by ax

3 3

2 2

2 2

1 1

1 1

d z

c y

b x

a

d z

c y

b x

a

d z

c y

b x

a

trong đó các hệ số của ba ẩn x, y, z trong mỗi phơng trình của hệ không đồngthời bằng 0.

+) Phơng pháp giải:

Trong SGK Đại số 10 – Cao học K18 Nâng cao chỉ trình bày cách giải hệ ba phơngtrình bậc nhất ba ẩn mà các hệ số của ẩn và các hệ số hằng số là các số thựccho trớc

Nguyên tắc chung để giải các hệ phơng trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn đểquy về giải các phơng trình hay hệ phơng trình có ẩn số ít hơn Để khử bớt ẩn,

ta cũng có thể dùng các phơng pháp cộng đại số hay phơng pháp thế giống nh

đối với hệ phơng trình hai ẩn (ở đây không trình bày phơng pháp định thức)

Nh vậy, trong SGK Đại số 10 chỉ trình bày hệ ba phơng trình bậc nhất

ba ẩn mà các hệ số của ẩn và các hệ số hằng số là các số thực cho trớc, tức chỉyêu cầu học sinh giải hệ ba phơng trình bậc nhất ba ẩn với phơng pháp khử ẩn

là đợc Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy, với đối tợng là học sinh khá, giỏigiáo viên nên hớng dẫn học sinh giải bằng cả phơng pháp sử dụng định thức

và đa ra sự so sánh về hai phơng pháp, đồng thời đa thêm một số bài toán giải

và biện luận hệ có tham số để khuyến khích học sinh phát triển t duy

Phơng trình bậc nhất một ẩn đã đợc trình bày ở cấp Trung học cơ sở(THCS) Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn cũng đã đợc trình bày ở SGK lớp

9 THCS, ở lớp 10 THPT có trình bày thêm hệ phơng trình bậc nhất ba ẩn vàkhông trình bày dạng tổng quát của hệ phơng trình bậc nhất n ẩn (n thuộc N, n

2) Việc không trình bày dạng tổng quát một phần do sự hạn chế về kiếnthức của học sinh, một phần do yêu cầu của chơng trình Đại số lớp 10

2.2.1.2 Cơ sở lý thuyết trong Giáo trình Đại số sơ cấp

+) Phơng trình bậc nhất: ax = b, a, b là hai số đã cho và a khác 0.

1

s i

b x a

n

j ij j i

Nh vậy, đối với phần hệ phơng trình bậc nhất trong giáo trình Đại số sơcấp chỉ trình bày dạng tổng quát mà không chi tiết hoá bằng hai dạng hai ẩn

và ba ẩn vì giáo trình phục vụ cho đối tợng là sinh viên, đã đợc trang bị khá

đầy đủ về nền tảng toán học hiện đại Tuy nhiên, việc giảng dạy ở THPT chỉ ởhai dạng là hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn và ba ẩn nên khi dạy giáo viên cần

đặc biệt hoá và chú ý đến các kết quả mới cho hệ hai ẩn và ba ẩn

Đối với hệ phơng trình bậc nhất dạng tổng quát

1

s i

b x a

n j

i j ij

trong giáo trình Đại số sơ cấp nêu ra hai phơng pháp là khử ẩn hoặc sử dụng

định thức (Chi tiết đã đợc trình bày trong giáo trình Đại số tuyến tính)

Nh vậy, trong giáo trình Đại số sơ cấp, nội dung hệ phơng trình bậcnhất chỉ trình bày dạng tổng quát và đa ra hai phơng pháp giải là định thức vàkhử ẩn (Phơng pháp Gauss), đối chiếu với nội dung này ở THPT thì trongSGK Đại số 10 chỉ trình bày một phơng pháp sử dụng định thức (chỉ ở dạng

định thức cấp hai) Sở dĩ trong SGK Đại số 10 không trình bày phơng phápkhử ẩn là vì ở lớp 9 đã trình bày phơng pháp này rồi

Phần bài tập trong SGK và Sách bài tập chủ yếu xoay quanh phơngpháp định thức Tuy nhiên, theo chúng tôi cần phải đa thêm hệ thống bài tập

để củng cố lại phơng pháp giải bằng cách khử ẩn (Phơng pháp Gauss) mà đã

đợc trình bày ở lớp 9 Đồng thời đối với học sinh khá, giỏi có thể gặp những

hệ bậc nhất ba ẩn, khi đó giáo viên cần vận dụng phơng pháp định thức cấp 3cho học sinh tính toán bên cạnh phơng pháp khử ẩn Gauss

Ngoài các dạng bài toán đợc bàn đến ở trên, đối với các “tình huốngdạy học giải toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình”, trong giáo trình

Đại số sơ cấp không trình bày nhng trong thực tiễn Toán phổ thông lại có và làmột trong số những dạng toán quan trọng Điều đó đòi hỏi giáo viên cần linhhoạt và sáng tạo trong việc áp dụng dạng bài tập này vào thực tiễn cuộc sống

để có các bài tập hay, có nhiều ứng dụng và phù hợp với đối tợng học sinh

2.2.1.3 Vận dụng vào một số bài toán

Đối với học sinh ở lớp 10, kiến thức về phơng trình còn hạn chế, vì vậy việc đa

ra đầy đủ các tình huống trong bài toán giải và biện luận là rất quan trọng,giúp học sinh nhanh hiểu bài hơn, tránh việc áp dụng máy móc lý thuyết đãhọc vào một tình huống cụ thể

+) Đối với các bài toán chuyển về bậc nhất mà có chứa ẩn ở mẫu thức,

có chứa ẩn trong dấu căn thức ta phải đặc biệt lu ý đến điều kiện xác định củaphơng trình để biện luận cho chính xác

+) Đối với phần hệ phơng trình có thể hớng dẫn học sinh giải bằng cách

sử dụng máy tính điện tử

+) Đối với học sinh khá, giỏi nên hớng dẫn thêm nội dung Phơng pháp

định thức cho hệ phơng trình bậc nhất ba ẩn

b) Ví dụ minh hoạ

VD1: Giải và biện luận phơng trình sau (tham số m) : 3 2

m x

(*)

Hớng dẫn giải:

Vận dụng kiến thức trong Đại số sơ cấp, ta thấy phơng trình trên là

ph-ơng trình có chứa ẩn ở mẫu thức Do đó, chúng tôi hớng dẫn học sinh giải vàbiện luận phơng trình trên theo 4 bớc của G.Pôlya, để giúp học sinh đa ra lờigiải đúng, lập luận chặt chẽ, chính xác bằng cách đặt các câu hỏi tình huốnggợi ý cho học sinh tìm ra hớng giải quyết vấn đề Từ đó giúp học sinh hiểu bàitoán một cách sâu sắc hơn và khắc sâu đợc tri thức Cụ thể nh sau:

Bớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Giáo viên (GV): Nêu nhận xét về dạng phơng trình?

Học sinh (HS): Là phơng trình chứa tham số, có chứa ẩn ở mẫu thức

Bớc 2: Xây dựng chơng trình giải

GV: Có thể biến đổi phơng trình về dạng đơn giản hơn đã đợc học không?HS: Có, sử dụng phép quy đồng mẫu thức, chuyển phơng trình về dạng ax=b.GV: Trên cơ sở phơng pháp giải và biện luận phơng trình ax=b đã đợc học, từ

đó suy ra kết quả cho phơng trình (*)

Để x là nghiệm của phơng trình (*), ta phải có 



 2 0

x x

0 1 6

m m

 m 2

GV: Kết luận cho yêu cầu bài toán?

HS:

Kết luận : +) m=-1 hoặc m=2 : Phơng trình (*) vô nghiệm.

+) m -1 và m 2 : Phơng trình (*) có nghiệm duy nhất x=

1

6



m

Bớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

GV: Hãy kiểm tra lời giải của bài toán? Từ đó khái quát hoá các bớc giải vàbiện luận cho các bài toán về phơng trình có chứa ẩn ở mẫu thức nói riêng, ph-

ơng trình có điều kiện nói chung?

HS:

+) Tìm điều kiện xác định của phơng trình;

+) Biến đổi, chuyển phơng trình đã cho về phơng trình dạng ax=b;

+) Giải và biện luận phơng trình ax=b;

+) Kiểm tra điều kiện và kết luận

Nhận xét:

+) Học sinh đã biết cách giải phơng trình có ẩn ở mẫu thức ở các lớp

d-ới Tuy nhiên, giải và biện luận phơng trình có tham số ở dạng này thì phứctạp hơn nhiều Khó khăn là ở chỗ, học sinh phải biết cách xét xem với giá trịnào của tham số thì mỗi giá trị tìm đợc của ẩn thoả mãn hay không thoả mãn

điều kiện của phơng trình Từ đó mà có những kết luận đúng về tập nghiệm

của phơng trình ban đầu Đơn giản hơn, ta nhận thấy đây là bài toán giải vàbiện luận phơng trình có điều kiện, vì vậy trớc khi kết luận nghiệm cho phơng

trình (*) nhất thiết phải kiểm tra điều kiện để loại những giá trị của tham số

làm cho nghiệm của phơng trình (1) không thoả mãn điều kiện

+) Việc xét xem khi nào thì giá trị x=

1

6



m thoả mãn điều kiện x 0 và

x 2 có thể tiến hành bằng cách loại trừ những trờng hợp của m mà

my x

m y mx

HS: Do D có thể bằng 0 hoặc khác 0 nên ta phải xét các trờng hợp sau:

y x y x

y x y x

R x

2 + Nếu m=-1 thì D=0 nhng Dx 0 nên hệ vô nghiệm

GV: Kết luận cho yêu cầu của bài toán?

R x

2

Bớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

GV: Kiểm tra lại quá trình biên luận và kết luận của bài toán? Có thể mở rộngphơng pháp định thức cho hệ 3 phơng trình bậc nhất ba ẩn

Nhận xét:

+) Giải và biện luận hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn bằng phơng pháp

định thức là phơng pháp mới, nhiều học sinh còn lúng túng trong việc tìm địnhthức Do đó giáo viên cần hớng dẫn và luyện tập cho học sinh về cách lập vàtính các định thức ấy đối với mỗi hệ phơng trình cụ thể

+) Ngoài ra cũng nên cho học sinh thực hành lại các phơng pháp đã học

ở THCS và yêu cầu học sinh đa ra so sánh về sự tối u của các phơng pháp, nhthế để học sinh thấy đợc sự tất yếu phải sử dụng đến phơng pháp định thức

VD3: Giải và biện luận hệ phơng trình sau: 

y x

b z

by x

a z

y ax

(x,

y, z là ẩn)

Hớng dẫn giải:

a ab

abc D

b a

c ac

abc D

a c

b bc

abc D

c b

a abc

D

z

y

2 2

D D

z

D D

y

D D

1 (

2 0

.

) 1 )(

1 (

2 0

.

) 1 )(

1 (

2 0

.

b a

z

a c

y

c b

x

.Khi a=b=c=1 thì hệ có vô số nghiệm dạng x=p, y=q, z=1-p-q với p, q R.Khi b=c=1, a 1 hoặc c=a=1, b 1 hoặc a=b=1, c 1, thì hệ có vô số nghiệm.Chẳng hạn, ta xét b=c=1, a 1

Khi đó cho z=p, ta tính đợc x=1, y=-p với p R

Khi b 1, c 1 hoặc c 1, a 1 hoặc a 1, b 1 thì hệ phơng trình đã vônghiệm

Nhận xét:

Đây là bài toán giải và biện luận hệ phơng trình bậc nhất ba ẩn (dànhcho học sinh khá, giỏi), ta có thể sử dụng phơng pháp khử ẩn, tuy nhiên sẽ gặpnhững khó khăn nhất định Trên cơ sở những hiểu biết từ Đại số sơ cấp giáoviên hớng dẫn học sinh tính các định thức, hớng dẫn cách giải và biện luận

3

3 3

m x

Kết luận : +) m=-1 hoặc m=2: Phơng trình (*) vô nghiệm.

+) m -1 và m 2: Phơng trình (*) có nghiệm duy nhất x=

Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất? vô nghiệm? nghiệm

đúng với mọi x thuộc R?

1 m(m-1)x=m2-1

2 2mx-1=x+m (*)

3 (4m2-2)x=1+2m-x

m m

+ Phơng trình (*) nghiệm đúng với mọi x thuộc R  Phơng trình (1) nghiệm

đúng với mọi x thuộc R 

m

m

, hệ vô nghiệm  Không có giá trịnào của m để phơng trình (*) nghiệm đúng với mọi x thuộc R

Bài 4: Giải các hệ phơng trình sau:

4

9 2

5

y x y x

7

13 3

2

y x

y x

2

1 2

3

y x

y x

2

1 3

2

2

z y

x

z y

x

z y x

2

3 3

2 4

13 5

3 2

z y

x

z y

x

z y

3

5 2

11

z y x

z y

x

z y

3 1 1 4

y x

y x

7 )

( 3

x y y x y x y x

0 9 5 3

y x

y x

Vậy hệ đã cho có nghiệm (1;0).

Bài 5: Giải và biện luận các hệ phơng trình sau: ( ẩn là x, y)

m y mx

my x

2 3 ( ) 1 (

2 ) 4 ( ) 2 (

y m x

m

y m x m

) 3 2 ( ) 1 (

y x m

m y m

x m

Bài 6: Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phơng trình sau có nghiệm?

1 )

1 (

y a x

a y x a

9 3 3 ) 2 (

y a

x

a y x a

Hớng dẫn giải:

1 Ta có D=a2 Hệ có nghiệm trong hai trờng hợp sau:

TH1: Hệ có nghiệm duy nhất, tức là D khác 0 (xảy ra khi và chỉ khi a khác 0) TH2: Hệ có vô số nghiệm, tức là D=Dx=Dy=0 (không xảy ra)

Kết luận: a 0 là những giá trị cần tìm của a để hệ phơng trình có nghiệm.

Bài 7: Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho hệ phơng trình sau vô

2

by x y ax

Hớng dẫn giải:

Nếu hệ phơng trình đã cho vô nghiệm thì D=ab-6=0 Có 8 cặp sốnguyên thoả mãn điều kiện này là: (1;6), (-1;-6), (6;1), (-6;-1), (2;3), (-2;-3),(3;2), (-3;-2) Trong số đó, chỉ có cặp (a;b)=(3;2) là không thoả mãn điều kiệncủa bài toán (lúc này hệ phơng trình có vô số nghiệm) Vậy có 7 cặp thoả mãnyêu cầu của đề bài

Bài 8: Cho hai đờng thẳng (d): x+my=3 và (d’): mx+4y=6 Với giá trị nào của

m thì:

a) Hai đờng thẳng cắt nhau?

b) Hai đờng thẳng song song với nhau?

c) Hai đờng thẳng trùng nhau?

y mx my x

Bài 9: Một gia đình muốn mua một chiếc máy bơm nớc Có hai loại với cùng

lu lợng nớc bơm đợc trong một giờ; loại thứ nhất giá 1,5 triệu đồng loại thứhai giá 2 triệu đồng Tuy nhiên, nếu dùng máy bơm loại thứ nhất thì mỗi giờ

tiền điện phải trả là 1200 đồng, trong khi dùng máy bơm loại thứ hai thì chỉphải trả 1000 đồng cho mỗi giờ bơm Kí hiệu f(x) và g(x) lần lợt là số tiền(tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử dụng máy bơm loại thứ nhất và loại thứhai trong x giờ (bao gồm tiền điện và tiền mua máy bơm).

a) Hãy biểu diễn f(x) và g(x) dới dạng các biểu thức của x.

b) Vẽ đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) trên cùng một mặt phẳng

toạ độ

c) Xác định toạ độ giao điểm của hai đồ thị ấy Hãy phân tích ý nghĩa

kinh tế của giao điểm đó

Giải và biện luận phơng trình: ax2+bx+c=0

1) a=0: Trở về giải và biện luận phơng trình bx+c=0

+) Hệ phơng trình bậc hai hai ẩn: Trong SGK Đại số 10 – Cao học K18 Nâng cao có

giới thiệu hai dạng: Hệ gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậchai đối với hai ẩn x, y; hệ phơng trình đối xứng đối với hai ẩn x, y

+) Phơng pháp giải :

+) Hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc

hai của hai ẩn x, y Ta sử dụng phơng pháp thế.

+) Hệ phơng trình đối xứng đối với hai ẩn x, y:

1 Nếu khi thay x bởi y và y bởi x mà các phơng trình trong hệ là không

thay đổi thì ta sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ S=x+y, P=xy (Hệ đối

xứng loại 1)

2 Nếu khi thay x bởi y và y bởi x mà phơng trình thứ nhất chuyển

thành phơng trình thứ hai và ngợc lại thì ta thờng giải bằng cách trừ

từng vế hai phơng trình trong hệ (Hệ đối xứng loại 2).

2.2.2.2 Cơ sở lý thuyết trong giáo trình Đại số sơ cấp

3 x4+ax3+bx2+ax+1=0 Ta thấy x=0 không là nghiệm của phơng trình

Vậy x 0, chia hai vế cho x2 và đặt t=x+

x

1

ta đợc phơng trình bậc hai

t2+at+b-2=0, t  2

4 x4+ax3+bx2-ax+1=0 Ta thấy x=0 không là nghiệm của phơng trình

Vậy x 0, chia hai vế cho x2 và đặt

t=x-x

1

ta đợc phơng trình bậc hai

t2+at+b+2=0

5 (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m với a+d=b+c Nhóm lại và sử dụng phép

đặt ẩn phụ t=x2+(a+d)x ta đợc phơng trình bậc hai (t+ad)(t+bc)=m

Nh vậy, trong SGK Đại số 10 (Nâng cao) chỉ trình bày về phơng trìnhbậc hai (một ẩn) và hệ phơng trình bậc hai hai ẩn với hai dạng cơ bản là: Hệgồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai đối với hai ẩn x, y;

hệ phơng trình đối xứng đối với hai ẩn x, y Tuy nhiên, trong Giáo trình Đại sốsơ cấp, ngoài các dạng cơ bản trên còn giới thiệu thêm 5 dạng phơng trình đa

về bậc hai bằng các phép biến đổi khác nhau mà trong SGK THPT không trìnhbày Các dạng phơng trình đa về bậc hai này đã đợc trình bày ở Lớp 9, tuynhiên khi giảng dạy về phơng trình bậc hai, giáo viên cũng nên trình bày lạicác dạng bài tập này và ra thêm một số bài tập về nhà cho học sinh củng cốcòn phục vụ cho các chơng trình nâng cao hơn

+) Hệ phơng trình bậc hai đối với hai ẩn x, y có dạng:

2 2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 2 1 1 2 1

f y e x d y c xy b x a

f y e x d y c xy b x a

Thông thờng ngời ta biến đổi để có thể rút ra một ẩn và đem thế ẩn đóvào phơng trình còn lại

+) Hệ phơng trình đối xứng: Hệ phơng trình 



 0 ) , (

0 ) , (

y x g y x f

đợc gọi là hệphơng trình đối xứng khi hệ này tơng đơng với hệ 



 0 ) , (

0 ) , (

x y g

x y f

Với hệ đối xứng, nếu (x0,y0) là nghiệm của hệ thì (y0,x0) cũng là nghiệmcủa hệ Nếu hệ đối xứng có đúng một nghiệm (x0,y0) thì x0=y0

+) Hệ phơng trình phản đối xứng: Hệ phơng trình 



 0 ) , (

0 ) , (

y x g

y x f

,

(

0 )

ơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai theo hai ẩn x, y và hệ phơngtrình đối xứng đối với hai ẩn x, y (chủ yếu là bậc hai) với phơng pháp giải chohai loại tơng ứng mà không trình bày hệ phơng trình phản đối xứng Điều đóphù hợp với nội dung chơng trình và lợng kiến thức của học sinh

2.2.2.3 Vận dụng vào một số bài toán

a) Chú ý khi dạy học

Khi dạy học nội dung này ở trờng THPT ta cần lu ý đến một số điểmsau đây:

+) Đối với các bài toán về phơng trình bậc hai, do học sinh đã đợc học ở

ch-ơng trình lớp 9 THCS nên cần khai thác nhiều dạng bài tập về phch-ơng trình bậchai, đặc biệt là các bài toán liên quan đến nghiệm và các bài toán về sử dụng

Định lí Viét Cũng do học sinh đã đợc học cách giải phơng trình bậc hai ởTHCS, do đó ở THPT điều chủ yếu không phải là cách giải mà là cách biệnluận các phơng trình nói trên trong trờng hợp có tham số Điều học sinh thờnghay thắc mắc là căn cứ vào đâu để phân chia các trờng hợp Vì vậy, giáo viêncần phân tích thêm điều này trong mỗi ví dụ cụ thể để học sinh hiểu rõ hơn

+) Cần yêu cầu học sinh nhận dạng tốt các dạng hệ bậc hai đã học để áp dụngphơng pháp làm cho chính xác.

+) Đối với hệ đối xứng loại 1 có thể sử dụng phép biến đổi tơng đơng thay vì

sử dụng ẩn phụ, giáo viên nên viết bằng cả hai cách ở một số bài tập để họcsinh quan sát và áp dụng

+) Nhận xét Nếu một hệ ph“ ơng trình đối xứng đối với hai ẩn có nghiệm là (a;b) thì cũng có nghiệm là (b;a)” sẽ rất có ích cho học sinh Học sinh có thể

căn cứ vào đó để tự kiểm tra xem mình giải hệ phơng trình có gì sai sótkhông: nếu tìm thấy nghiệm (a;b) mà không thấy nghiệm (b;a) thì có thểkhẳng định lời giải “có vấn đề” Tuy nhiên, nếu có đầy đủ các nghiệm (a;b) và(b;a) thì vẫn cha thể khẳng định lời giải chắc chắn đúng Thử lại là phơngpháp tốt nhất trong trờng hợp này Mặt khác, có thể sử dụng nhận xét trên đểgiải một số bài tập đơn giản có chứa tham số

b) Ví dụ minh hoạ

VD1: Giải và biện luận phơng trình sau theo tham số m :

GV: Vậy phải xét các trờng hợp nào?

HS: Xét cụ thể hai trờng hợp m=0 và m 0

Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1,2=

Bớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

GV: Yêu cầu học sinh kiểm tra lại lời giải và tổng quát hoá cho dạng bàitoán : Giải và biện luận phơng trình ax2+bx+c=0, a, b, c là các tham số

Nhận xét:

+) Sai lầm thờng gặp nhất của học sinh trong bài toán này là tính ngay biệtthức  mà không có điều kiện m 0 Chủ yếu là do học sinh quen với việcgiải phơng trình bậc hai ở THCS Giáo viên nên phân tích và chỉ rõ sai lầmnày để học sinh không mắc phải ở các bài toán sau đó

+) Ngoài bài toán giải và biện luận ở trên, nên khai thác bài toán bằng các câuhỏi liên quan đến nghiệm của phơng trình nh:

+ Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình có hai nghiệm phânbiệt?

+ Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình có nghiệm duy nhất?+ Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình vô nghiệm?

Trả lời đợc các câu hỏi trên sẽ nâng cao khả năng t duy, óc suy luận chohọc sinh

Hớng dẫn giải: D=R

Vận dụng cơ sở lý thuyết trong Đại số sơ cấp, hớng dẫn học sinh giảibài toán trên theo 4 bớc của G.Pôlya Cụ thể nh sau:

Bớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

GV: Hãy nhận xét phơng trình đã cho? (phơng trình bậc mấy? các biểu thức

có liên hệ với nhau nh thế nào?)

HS: Là phơng trình bậc 4, có chứa biểu thức (x2+x) và (x2+x)2

Bớc 2: Xây dựng chơng trình giải

GV: Có nên khai triển biểu thức (x2+x)2 hay không? Vì sao?

HS: Không, vì phơng trình thu đợc là phơng trình bậc 4 đầy đủ sẽ khó giảihơn

GV: Vậy có phơng pháp nào để giải bài toán một cách đơn giản hơn không?HS: Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ

Bớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

GV: Yêu cầu học sinh kiểm tra lại lời giải bài toán và tổng quát hoá phơngpháp đặt ẩn phụ cho những phơng trình dạng : af2n(x)+bfn(x)+c=0, a 0

Khi đó đặt t=fn(x) ta đợc phơng trình bậc hai: at2+bt+c=0 Giải phơngtrình bậc hai theo ẩn t, thay lại phép đặt và tìm nghiệm x cho phơng trình ban

đầu

Nhận xét: Để giải phơng trình, đôi khi ta dùng cách đặt ẩn phụ.

Giả sử ta cần giải phơng trình sau với điều kiện D:

F(x)=0 (1)

Nếu F(x) có thể viết đợc dới dạng F(x)=f(u), trong đó u=g(x) thì việcgiải phơng trình (1) có thể đợc tiến hành nh sau:

Bớc 1: Đặt ẩn phụ.

Trong phơng trình (1), đặt u=g(x), ta có phơng trình ẩn là u (thờng gọi

là phơng trình trung gian) f(u)=0 (2)

Bớc 2: Giải phơng trình (2).

+) Nếu (2) vô nghiệm thì (1) vô nghiệm

+) Nếu (2) có các nghiệm là u1, u2, …) thì với điều kiện D:

) (

) (

2

1

u x g

u x g

Bớc 3: Giải các phơng trình g(x)=u1, g(x)=u2, …)với điều kiện D

Khi đó tập nghiệm của phơng trình (1) là tập tất cả các nghiệm thu đợc

y x xy

y xy x

(I)

Hớng dẫn giải:

Vận dụng kiến thức trong Đại số sơ cấp, hớng dẫn học sinh giải bài toántheo 4 bớc của G.Pôlya nh sau:

Bớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

GV: Nhận xét mỗi phơng trình trong hệ khi thay thế x bởi y và y bởi x?

HS: Khi thay x bởi y và y bởi x thì mỗi phơng trình trong hệ là không thay

đổi

GV: Hệ phơng trình có tính chất nh vậy gọi là hệ phơng trình đối xứng loại 1

đối với hai ẩn x và y

Bớc 2: Xây dựng chơng trình giải

GV: Để giải hệ phơng trình đối xứng loại 1 hãy biến đổi hệ phơng trình đã cho

về hệ phơng trình có chứa (x+y) và x.y?

HS: Biến đổi x2+y2=(x+y)2-2xy, khi đó hệ (I) trở thành hệ phơng trình sau:

4 )

y x

xy

xy y

x

(II)GV: Có thể biến đổi hệ phơng trình (II) về hệ phơng trình gồm 1 phơng trìnhbậc nhất và một phơng trình bậc hai theo hai ẩn đợc không? Bằng cách nào?HS: Có, bằng cách đặt ẩn phụ : S=x+y và P=xy

GV: Khi đó thu đợc hệ phơng trình theo hai ẩn S, P Giải hệ tìm S, P và quaylại phép đặt tìm nghiệm (x;y) cho hệ ban đầu

GV: Hãy biến đổi để chuyển hệ đã cho về hệ gồm một phơng trình bậc nhất vàmột phơng trình bậc hai theo hai ẩn?

HS: Đặt S=x+y, P=x.y, thay vào hệ (II) ta đợc hệ phơng trình sau :

P S

P S

(III)GV: Hãy giải hệ phơng trình (III)?

HS: Sử dụng phơng pháp cộng đại số ta đợc nghiệm của hệ là:

P S

và 



 0 2

P S

.+) Với 





 5 3

xy y x

, hệ phơng trình này vô nghiệm.+) Với 





 0 2

xy y x

, hệ phơng trình này có hai nghiệm(0;2) và (2;0)

Vậy hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm là : (0;2) và (2;0)

Bớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

GV: Kiểm tra lại kết quả của bài toán? Từ đó khái quát hoá các bớc giải hệphơng trình đối xứng loại 1?

HS:

+) Biến đổi các phơng trình trong hệ theo tổng và tích của hai ẩn x, y.+) Đặt S=x+y, P=x.y đa hệ ban đầu về hệ cơ bản đã biết cách giải

+) Giải hệ đó với hai ẩn mới S, P

+) Quay trở lại giải hệ phơng trình với ẩn x, y

+) Kết luận nghiệm cho hệ ban đầu

hệ theo tổng và tích của hai ẩn x, y đa về hệ phơng trình cơ bản gồm một

ph-ơng trình bậc nhất và một phph-ơng trình bậc hai của hai ẩn mới Cuối cùng, bằnghoạt động khái quát hoá yêu cầu học sinh nêu ra các bớc giải hệ phơng trình

đối xứng loại 1 đối với hai ẩn x, y

2 2 2 2

y x y x

y x y x

Hớng dẫn giải:

Vận dụng kiến thức đã học ở Đại số sơ cấp, hớng dẫn học sinh giải bàitoán theo 4 bớc của G.Pôlya nh sau:

Bớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

GV: Phơng pháp giải hệ đối xứng loại 1?

HS: Đặt ẩn phụ S=x+y, P=xy

GV: Sử dụng phơng pháp trên vào bài tập này gặp khó khăn gì?

HS: Phải quy đồng mẫu thức, thu đợc hệ tơng đối phức tạp

GV: Vậy còn cách đặt ẩn phụ nào khác? Nhận xét về mối liên hệ giữa các

ph-ơng trình trong hệ, từ đó đa ra cách đặt ẩn phụ

2

2 v u v u

(I)GV: Yêu cầu học sinh giải hệ (I)?

y y x x

y y x x

, giải hệ ta đợc (x;y)=(

2

5

3  ;1).GV: Kết luận nghiệm cho hệ ban đầu?