Lược đồ gabor đa cửa sổ trong biểu diễn ảnh và tín hiệu

Tù đây nay sinh ra ý tưong ve phép bien đői Fourier thòi gian ngan:chi áp dung bien đői Fourier trên tùng đoan thòi gian ngan cna tín hi¾u.. Dauv¾y, lưong thông tin ve thòi gian - tan so

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Đ¾NG QUANG LONG

LƯeC ĐO GABOR ĐA CUA SO

TRONG BIEU DIEN ANH VÀ TÍN HIfiU

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - Năm 2018

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Đ¾NG QUANG LONG

LƯeC ĐO GABOR ĐA CUA SO

TRONG BIEU DIEN ANH VÀ TÍN HIfiU

Chuyên ngành: Toán Éng dnng

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC

TS Nguyen NGQC Phan

Lài cam ơn

Em xin gui lòi cam ơn sâu sac nhat đen TS Nguyen NGQc Phan,ngưòi đã t¾n tình hưóng dan, cung cap các nguon tài li¾u, các phương phápnghiên cúu và nhung kinh nghi¾m quý báu cho em trong suot thòi gian thnc hi¾nlu¾n văn

Em xin chân thành cam ơn các thay giáo tham gia giang day lóp Cao HQc Toánkhóa 2015-17 đã quan tâm và giúp đõ em trong suot thòi gian HQc t¾p tai trưòng

Em cũng xin gui lòi cam ơn đen t¾p the lóp Cao HQc Toán khóa 2015-17 và đ¾cbi¾t là nhóm Toán úng dung đã luôn sát cánh và giúp đõ em rat nhieu trong quátrình HQc t¾p

Cuoi cùng, em xin gui lòi cam ơn sâu sac nhat đen gia đình, ban bè, nhungngưòi đã luôn quan tâm, đ®ng viên em trong HQc t¾p, cũng như Ban lãnh đao Vi¾nCông ngh¾ Thông tin, Vi¾n Hàn lâm Khoa HQc và Công ngh¾ Vi¾t Nam đã taođieu ki¾n thu¾n loi đe em đưoc đi HQc

M¾c dù đã no lnc và co gang nhưng lu¾n văn này se không tránh khoinhieu thieu sót Em rat mong đưoc sn góp ý cna Quý thay cô và các ban!

Hà N®i, tháng 1 năm 2018

3

Mnc lnc

1.1 Các không gian 5

1.2 Bien đői Fourier 7

1.3 Các phép toán cơ ban 8

1.4 Bien đői Fourier thòi gian ngan 10

1.5 Hàm Gauss 11

2 Khung trong không gian Hilbert và khung Gabor 15 2.1 Dãy Bessel và cơ so Riesz 15

2.2 Khung trong không gian Hilbert 18

2.3 Cơ so Gabor và khung Gabor 24

3 Khung Gabor đa cEa so 30 3.1 Bien đői Zak 31

3.2 Phương pháp đai so ma tr¾n 33

3.3 Các trưòng hop m¾t đ® lay mau 35

3.4 Khung đoi ngau 42

3.5 Đ%nh lý Balian-Low và cách xây dnng khung 43

Lài ma đau

Phân tích tín hi¾u đóng vai trò rat quan TRQNG trong xã h®i hi¾n đai Các úngdung cna nó trai dài trên nhieu lĩnh vnc khoa HQc ky thu¾t, tù liên lac vien thôngđen chuan đoán y HQc, tù giao thông đen ngành công nghi¾p giai trí Tín hi¾uđưoc hieu là m®t đai lưong v¾t lý chúa thông tin hay du li¾u và có the truyen điđưoc

Phân tích Fourier là m®t công cu tiêu bieu trong phân tích tín hi¾u Ve m¾t toán

HQc, tín hi¾u đưoc bieu dien boi các hàm tuan hoàn ròi rac đưoc tao thành tù cácdao đ®ng có tan so và biên đ® khác nhau Phép bien đői Fourier mô ta ve lưongcna tùng tan so chúa trong tín hi¾u Tuy nhiên, du li¾u ve thòi gian b% mat đi quabien đői này Tù đây nay sinh ra ý tưong ve phép bien đői Fourier thòi gian ngan:chi áp dung bien đői Fourier trên tùng đoan thòi gian ngan cna tín hi¾u Các đoantín hi¾u này đưoc chia boi m®t hàm cua ső trơn t%nh tien trên toàn tín hi¾u Dauv¾y, lưong thông tin ve thòi gian - tan so mà phép bien đői Fourier thòi gian ngancung cap lai quá thùa và can đưoc giam bót trong khi van bao toàn đưoc lưongthông tin cna tín hi¾u

M®t nhi¾m vu đưoc đ¾t ra trong phân tích tín hi¾u là vi¾c mô ta các hàmbat kỳ boi m®t b® hàm đơn gian có các tính chat phő bien và de v¾n dung.Phân tích Fourier thnc hi¾n nhi¾m vu này bang cách bien tín hi¾u thành tőngcác dao đ®ng cơ ban, còn phép bien đői Fourier thòi gian ngan thì su dungm®t b® các t%nh tien thòi gian - tan so cna m®t hàm cua ső duy nhat Tù đâynay sinh ra lý thuyet ve khung - m®t khái ni¾m tőng quát cna cơ so - màDennis Gabor là ngưòi đ¾t nen móng vào năm 1946 Phân tích Gabor đe racác đieu ki¾n đe b® hàm t%nh tien thòi gian - tan so là m®t khung và mor®ng tín hi¾u thành tő hop cna các hàm này

Lu¾n văn này trình bày ve phương pháp đa cua ső trong phân tích tín hi¾uthông qua lý thuyet khung và loi the cna vi¾c su dung nhieu hơn m®t cua ső.Lu¾n văn bao gom các chương sau:

• Chương 1 giói thi¾u tőng quan ve m®t so khái ni¾m quan TRQNG trong giai tích Fourier và trong phân tích tín hi¾u

• Chương 2 giói thi¾u lý thuyet ve khung trong không gian Hilbert tőng quát và m®t trưòng hop riêng quan TRQNG là khung Gabor trong không gian L2(R)

• Chương 3 trình bày ve phương pháp ma tr¾n đai so đoi vói lưoc đo Gabor đa cua ső đe kiem tra tính chat cna các hàm cua ső.

• Chương 4 trình bày ve m®t úng dung trong xu lý tín hi¾u

Không gian tương đương ròi rac cna Lp (R) là không gian l p (I) các dãy giá tr% vô

hưóng p-kha tőng vói I là t¾p chi so đem đưoc

Vói 1 ≤ p < ∞, lp (I) là không gian Banach

k∈I

vói chuan ǁ{x k } k∈I ǁ p

Đ%nh lý 1.1 Gia su U : L2(R) → L2(R) là toán tu b% ch¾n và ǁI − Uǁ < 1 vái

I là toán tu đong nhat thì U kha ngh%ch.

Đ%nh nghĩa 1.2 Toán tu unita là toán tu tuyen tính b% ch¾n U : L2(R) L2(R)

sao cho U là song ánh và U bao toàn tích trong:

1.2 Bien đoi Fourier

Vói f ∈ L1(R), bien đői Fourier fˆ : R → C đưoc đ%nh nghĩa boi

so ω Hàm fˆ(ω) mô ta dáng đi¾u tan so cna f (x)

Bo đe 1.1 (Bő đe Riemann-Lebesgue) Vái f ∈ L1(R), fˆ liên tnc đeu và

hau khap nơi.

Đ%nh lý 1.3 (Đ%nh lý Plancherel) Gia su f ∈ L1 ∩ L2(R) Khi đó

1.3 Các phép toán cơ ban

Đ%nh nghĩa 1.4 Ta đ%nh nghĩa các toán tu toán tu tuyen tính:

Hình 1.1: M®t tín hi¾u và các dòi thòi gian, dòi tan so và dòi thòi gian-tan so.

Chúng minh Vói MQI f, g ∈ L2(R) và x ∈ R ta có

V¾y Tx là toán tu unita.

Tương tn, ta cũng có Mω , D α là các toán tu unita.

1.4 Bien đoi Fourier thài gian ngan

Bien đői Fourier cung cap thông tin toàn cuc ve tan so cna m®t tín hi¾u.Đieu này chi huu ích cho nhung tín hi¾u bat bien theo thòi gian Vói tín hi¾uđ®ng, bien đői Fourier không cho ta biet nhung tan so nào dien ra trong m®tthòi gian nào đó Đe khac phuc đieu này, tín hi¾u se đưoc chia nho ra theonhung khoang thòi gian ngan mà tai moi khoang đó tín hi¾u có the đưoc coinhư là tuan hoàn Bien đői Fourier đưoc lay lan lưot trong nhung khoang này

Vì khi chia nho như v¾y, tín hi¾u se b% đút đoan và hình thành nhieu trongphő tan so nên thay vì chia nho tín hi¾u, ta se dùng m®t hàm cua ső trơn.Hàm cua ső là m®t hàm nh¾n giá tr% không bên ngoài m®t khoang huu han,

và khoang đó có the r®ng ho¾c hep

Đ%nh nghĩa 1.5 Gia su g ∈ L2(R)\{0} là m®t hàm cua ső Bien đői Fourier thài gian ngan (STFT) cua m®t hàm f ∈ L2(R) theo g đưac đ%nh nghĩa bái

Bien đői Fourier thòi gian ngan dưòng như có the cung cap thông tin vecác tan so ω dien ra tai thòi gian x như mong đoi Tuy nhiên Nguyên lý bat đ

%nh sau chi ra rang đieu đó không xay ra

Đ%nh lý 1.5 (Nguyên lý bat đ%nh) Gia su f L2(R) và a, b R là các so bat

Đang thúc xay ra khi và chs khi f là b®i cua T M ϕ (x) = e 2πib(x−a) e −π(x−a)2/c vái

c > 0.

Nguyên lý trên chi ra rang bien đői Fourier thòi gian ngan có giói han ve đ®phân giai trong không gian thòi gian - tan so: Ta có nhieu thông tin ve thòi giannhưng mat đi thông tin ve mien tan so neu hàm cua ső hep và ngưoc lai neuhàm cua ső r®ng

Hình 1.2 cho ta thay đưoc han che này

Đ%nh lý 1.6 Gia su f, g ∈ L2(R) Khi đó

ǁSTFT g fǁ L2 (R 2 ) = ǁfǁ L2 (R)ǁgǁ L2 (R) Trong trưàng hap ǁgǁ L2 = 1 ta có

ǁfǁ L2 (R) = ǁSTFT g fǁ L2 (R 2d)

vái MQI f ∈ L2(R) và do đó, STFT là phép đang cn tù L2(R) vào L2(R2).

Đ%nh lý trên chi ra rang: bien đői Fourier thòi gian ngan cũng bao toànnăng lưong cna tín hi¾u

Đ%nh lý 1.7 (Công thúc ngh%ch đao) Gia su g, γ ∈ L2(R) và (g,

−∞ −∞

Theo Nguyên lý bat đ%nh o trên, ton tai m®t hàm so đe bat đang thúc trongnguyên lý xay ra dau bang, đó là hàm Gauss Do đó, hàm Gauss là lna cHQN totnhat cho hàm cua ső trong bien đői Fourier thòi gian ngan đe đat đưoc đ® phân

giai thòi gian - tan so tot nhat Ngoài ra, hàm Gauss là bat bien (tói hang so) quabien đői Fourier.

Hình 1.2: M®t tín hi¾u và các bien đői Fourier thòi gian ngan vói hàm cua ső r®ng và hàm cua ső hep e trưòng hop cua ső r®ng, ta có đ® phân giai tan sotot nhưng

không thay đưoc thông tin ve thòi gian e trưòng hop cua ső hep, ta có đ® phân giai thòi gian tot nhưng các tan so không rõ ràng.

Đ%nh nghĩa 1.6 Hàm Gauss ϕ a đưac đ%nh nghĩa bái

ϕ : R d → R, ϕ (x) = e −πx2/a , vái đ® l¾ch chuan a > 0 ts l¾ thu¾n vái đ® r®ng cua hàm.

Hàm g trong Hình 1.1 là m®t ví du cna hàm Gauss

Ta se chúng minh sn bat bien cna hàm Gauss qua phép bien đői Fourier:

Đ%nh lý 1.8 Hàm ϕ(x) = e −πx2 thóa mãn ϕˆ = ϕ, túc là

(Fϕ)(ω) = e −πω2 Chúng minh Bien đői Fourier cna ϕ(x) vói x ∈ R là

= ∫

∂h (x, ω)dx

Ta suy ra H(ω) là hàm hang và do đó Hω) ≡ H(0) Hơn nua

Σ−

Đau tiên, ta nhac lai các khái ni¾m ve cơ so và cơ so trnc chuan.

k=1 trong không gian Hilbert H đưac GQI là m®t

cơ sá cua neu vái MQI f , ton tai duy nhat b® h¾ so vô hưáng phúc

}

Σ

Bây giò ta se xem xét các dãy không phai là cơ so nhưng có tính chat giongnhư Bat đang thúc Bessel.

Dãy Bessel đưoc đ%nh nghĩa như sau:

B > 0 cho trưác Khi đó, f k ∞

k=1 là m®t dãy Bessel vái c¾n Bessel B

T : {c k } ∞ k=1 → c k f k

k=1

là m®t toán tu b% ch¾n, đ%nh nghĩa tot tù l2(N) → H và ǁTǁ ≤ √ B.

Đau tiên ta can chi ra rang T ck ∞

k=1 đưoc đ%nh nghĩa tot, túc làtu

Σ

{ }

Σ

{ }

Chúng minh Gia su {f k } ∞ k=1 là m®t dãy Bessel vói c¾n B Gia su {cΣ k } ∞ k=1

k =m+

1

n

c k f k , g)

ǁgǁ=1

k =m+1

2 2

Σ

|c k | Σ1/

2

sup

đ%nh nghĩa tot.

T là toán tu tuyen tính Vì

T c k ∞

k=1 = sup

ǁ { } ǁ

U −1 f = Σ(U −1 f, e k )e k = Σ(f, (U −1)∗ e k )e k

k=

1 k1=

Tính chat chính cna m®t cơ so {fk } ∞ k=1 cna không gian Hilbert H là MQI f ∈ Hđeu có the đưoc bieu dien qua các phan tu fk trong cơ so:

không the khôi phuc lai tín hi¾u qua các h¾ so còn lai cna khai trien cna tínhi¾u qua cơ so Ngưoc lai, neu các h¾ so cna khai trien không duy nhat, ta cónhieu cách đe bieu dien tín hi¾u đó

Moi cơ so trnc chuan ek ∞

k=1 cna không gian Hilbert đeu thoa mãn Đang

k=1

Tuy nhiên, m®t dãy có the thoa mãn Đang thúc Plancherel nhưng không phai

là m®t cơ so, chang han như o ví du sau:

Σ

Ta GQI m®t dãy thoa mãn Đang thúc Plancherel là m®t khung Parseval.

M®t khung Parseval can phai thoa mãn Đang thúc Plancherel, còn m®t khungtőng quát chi phai thoa mãn đieu ki¾n nhe hơn:

Đ%nh nghĩa 2.6 M®t dãy f k ∞

k=1 trong không gian Hilbert là m®t khung neu ton tai các hang so A, B > 0 sao cho vái MQI f thì công thúc Plancherel tőng quát đưac thóa mãn:

k=1 đưac GQI là m®t khung ch¾t neu ta có the CHQN các c¾n khung A = B.

• {f k } ∞ k=1 đưac GQI là m®t khung Parseval neu nó có các c¾n khung A = B = 1.

∈ H

{ } H

Σ

2.Khung là m®t dãy chú không phai là m®t t¾p hop nên có the l¾p lai

phan tu Vector không cũng có the là m®t phan tu cna khung

3.Neu {fk } ∞

k=1 là m®t khung thì chuoi ∞

k=1 |(f, f k )|2 h®i

tu 4.Khung là m®t dãy Bessel

5.M®t dãy Bessel không nhat thiet phai đay đn, nhưng khung phai đay đn

3 {e1, 1 e2, 1 e3, } là m®t dãy trnc giao, đay đu và là m®t cơ sá cua H, nhưng

nó không có c¾n khung dưái và do đó không phai là m®t khung.

S : H → H, Sf = T T ∗ f = (f, f k )f k

k=1

Đ%nh lý 2.3 Toán tu khung S có các tính chat sau:

1 S là toán tu b% ch¾n, kha ngh%ch, tn liên hap và xác đ%nh dương.

S

suy ra B−1 S kha ngh%ch hay S kha ngh%ch.

2.Vì S tn liên hop nên S−1 cũng tn liên hop Do đó

Tù đ%nh lý trên, ta thay rang moi khung {fk } ∞

k=1 đeu có m®t h¾ đoi ngau

{S −1 f k } ∞ k=1 và h¾ này cũng là m®t khung Khung đoi ngau này không duy

chính tac là duy nhat.

Trong chương này, ta se kí hi¾u f˜k = S −1 f k, khi đó khung đoi ngau chính tac là {f˜k } ∞

Đ%nh nghĩa 2.10 M®t h¾ Gabor G(g, a, b) là m®t dãy trong L2(R) có dang

G(g, a, b) = {M mb T na g} m,n∈Z , trong đó g ∈ L~ 2(R) đưac GQI là hàm cua ső cua h¾, a, b > 0 co đ%nh.

Đ%nh nghĩa 2.11 Neu (g, a, b) là m®t khung cua L2(R) thì ta GQI nó là m®t khung Gabor Neu (g, a, b) là m®t cơ sá Riesz cua L2(R) thì ta GQI nó là m®t cơ sá Gabor.

Neu G(g, a, b) là m®t khung Gabor thì toán tu khung cna nó là

Sf = (f, M mb T na g)M mb T na g.

m,n∈Z

M®t ví du đơn gian nhat cna cơ so Gabor là

G(χ [0,1] , 1, 1) = {e χ 0,1] (x − n)} m,n∈Z (χ [0,1] , 1, 1) là m®t cơ so trnc chuan cna L2(R) Tuy nhiên, hàm χ [0,1] không liên tuc Hơn nua

sin

πξ πξ

.ΣΣ

gˆ giam ch¾m và dao đ®ng Do đó hàm g này không huu ích trong phân tích tín

hi¾u

M®t câu hoi đưoc đ¾t ra là li¾u ta có the thay hàm χ[0,1] bang m®t hàm liêntuc đe van thu đưoc m®t cơ so Gabor Tuy nhiên, Đ%nh lý Balian-Low sauđây chi ra han che ve tính chat cna m®t hàm g như v¾y

Đ%nh lý 2.5 (Đ%nh lý Balian-Low) Gia su (g, 1, 1) là m®t cơ sá Riesz cua

L2(R) Khi đó

.∫ ∞ |xg(x)|2dxΣ ∫ ∞ |ξgˆ(ξ)|2dξΣ = ∞. (2.6)Đ%nh lý này nói rang hàm g sinh ra cơ so Gabor không the đưoc giói hantot trong ca mien thòi gian và tan so, do đó ta không the xây dnng đưoc h¾Gabor huu ích là cơ so Riesz trong L2(R) Chính vì the ta can tính linh hoatcna khung đe xây dnng đưoc các h¾ Gabor huu ích

Vói moi h¾ Gabor G(g, a, b) ta xét hàm G a-tuan hoàn đưoc đ%nh nghĩa boi

G(x) = Σ |g(x − na)|2 = Σ |T na g(x)|2.

Đ%nh lý 2.6 Gia su g ∈ L~ 2(R), a, b > 0 co đ%nh Khi đó

1. Neu 0 < ab 1 và supp(g) [0, 1/b] thì(g, a, b) là m®t khung cua L2(R)

khi và chs khi ton tai các hang so A, B > 0 sao cho

n∈Z

Khi đó, A, B là các c¾n khung cua G(g, a, b).

2. Neu 0 < ab < 1 thì ton tai các hàm g có giá trong [0, 1/b] thóa mãn phương trình (2.7) và trơn.

3. Neu ab = 1 thì MQI hàm g có giá trong [0, 1/b] và thóa mãn phương trình (2.7) là hàm không liên tnc.

4. Neu ab > 1 và g có giá trong [0, 1/b] thì phương trình (2.7) không đưac thóa mãn và G(g, a, b) không đay đu trong L2(R).

Chúng minh.

1.Gia su supp(g) [0, 1/b] và phương trình (2.7) đưoc thoa mãn.

Xét hàm f trong không gian con trù m¾t Cc(R) (không gian các hàm liêntuc, có giá compact)

Vì g ∈ L2(R) có giá trong [0, 1/b] nên T na g ∈ L2(I k ) vói I k = [na,

Vì Cc (R) trù m¾t trong L2(R) nên (g, a, b) là m®t khung vói các c¾n

A, B Chieu ngưoc lai se đưoc chúng minh o đ%nh lý sau.

2.Gia su 0 < ab < 1 và g là m®t hàm liên tuc sao cho g(x) = 0 ngoàiđoan [0, 1/b] và g(x) > 0 trên (0, 1/b) Chang han có the cHQN g là

hàm nón có giá trong [0, 1/b]

Vì a < 1/b nên hàm G(x) =n∈Z |g(x − na)|2 liên tuc và dương Do đó

0 < inf G ≤ sup G < ∞ nên theo phan (1), G(g, a, b) là m®t khung.

3.Gia su ab = 1 Neu supp(g) [0, 1/b] = [0, a] thì Tna g có giá trong [na, (n + 1)a] Neu g liên tuc thì g(0) = g(a) = 0 ⊆

Σ

G

Vì các khoang [na, (n + 1)a] giao nhau tai nhieu nhat m®t điem nên G

liên tuc và G(na) = 0 vói MQI n Z Theo phan (1) ta suy ra (g, a, b) không the là m®t khung.

4.Gia su ab > 1 thì a > 1/b Khi đó G(x) = 0 trên [1/b, a], nên (g,

a, b) không the là m®t khung.

M¾t khác, hàm χ[1/b,a] trnc giao vói MQI phan tu cna (g, a, b), do đó (g, a, b)

không đay đn

Tù đ%nh lý trên, ta rút ra đưoc rang:

• Neu 0 < ab < 1 thì ta có the xây dnng các hàm g trơn và có giá huu

han sao cho G(g, a, b) là m®t khung ho¾c th¾m chí là m®t khung

Parseval cna L2(R)

• Neu ab = 1 thì ton tai các khung Gabor (g, a, b) cna L2(R), tuy nhiên

các khung này có hàm cua ső g không liên tuc

• Neu ab > 1 thì không có h¾ Gabor nào vói supp(g) ⊆ [0, 1/b] có the

là m®t khung cna L2(R); th¾m chí G(g, a, b) không đay đn.

Đ%nh lý trên cho ta đieu ki¾n can và đn cho sn ton tai cna khung Gabor

(g, a, b) khi hàm cua ső g có giá trong đoan có đ® dài 1/b Đieu ki¾n can

đưoc mo r®ng cho hàm g trong L2(R) như sau:

Đ%nh lý 2.7 Gia su g ∈ L~ 2(R) và a, b > 0 sao cho G(g, a, b) là m®t khung cua

L2(R) vái các c¾n A, B > 0 Khi đó Ab ≤ G ≤ Bb hau khap nơi, túc là

n∈Z

Cn the hơn, g b% ch¾n.

Chúng minh e đây ta không biet giá cna g, do đó ta chi t¾p trung xét hàm f b

% ch¾n và có giá trong đoan I có đ® dài 1/b Khi đó, f.Tna g thu®c L2(I).

Vì {b1/2 e 2πibmx } m∈Z là m®t cơ so trnc chuan cna L2(I) nên ta có

G

G

Σ

∫Σ

Neu G(x) < bA trên m®t t¾p con E nào đó cna I có đ® đo dương thì ta có the

cHQN f = χ E đe không thoa mãn phương trình (2.9) Do đó, ta can phai có G

bA hau khap nơi trên I Vì I là m®t đoan bat kỳ có đ® dài 1/b và truc thnc có

the đưoc phn boi m®t t¾p đem đưoc các t%nh tien cna I nên ta suy ra bA

G bB hau khap nơi trên R.

H¾ qua 2.3 Gia su g L~ 2(R) và a, b > 0 Neu (g, a, b) là m®t khung cua

4 (g, g˜) = ab, vái g˜ = S −1 g là hàm cua ső cua khung đoi ngau chính tac.

5 G(g, a, b) là cơ sá Riesz khi và chs khi ab = (g,

2.Neu G(g, a, b) là m®t khung Parseval thì A = B = 1 nên tù phan (1) ta có ǁgǁ2

5.Gia su G(g, a, b) là m®t cơ so Riesz, khi đó G(g1, a, b) cũng là m®t cơ

so Riesz M¾t khác, G(g, a, b) là m®t khung ch¾t vói các c¾n A = B = 1,suy ra ǁg1ǁ2

2 = 1 Do đó ab = 1.

e chieu ngưoc lai, gia su ab = 1 Khi đó ǁg1ǁ2

2 = ab = 1, suy ra G(g1,

a, b) là m®t cơ so trnc chuan cna L2(R) Do đó G(g1, a, b) là m®t cơ

so Riesz, kéo theo G(g, a, b) là m®t cơ so Riesz

Tù h¾ qua trên, ta có the thay giá tr% ab chia khung Gabor thành ba

trưòng hop:

• Neu ab > 1 thì G(g, a, b) không phai là m®t khung

• Neu G(g, a, b) là m®t khung và ab = 1 thì G(g, a, b) là m®t cơ so Riesz

L

L

L

G

Chương 3

Khung Gabor đa cEa so

N®i dung đưoc trình bày o chương này đưoc tham khao o các tài li¾u [4] và [5].Trong không gian thòi gian - tan so, gia su g(x) là m®t hàm cua ső có tâm o

goc TQA đ® Các hàm cơ ban dang Gabor cap (m, n) đưoc đ%nh nghĩa boi

vói {cm,n } là các TRQng so úng vói các hàm cơ ban

Như đã nói o Chương 1, vi¾c su dung nhieu hàm cua ső se giai quyet đưoc van đe ve đ® phân giai thòi gian - tan so cna trưòng hop dùng m®t hàm cua ső

Gia su {gr (x)} R−1 là R hàm cua ső khác nhau, chang han R hàm Gauss vói đ®r®ng khác nhau Khi đó, m®t tín hi¾u f (x) ∈ L2(R) có the đưoc bieu dien boi

{

}