Một số biểu diễn cuspidal của nhóm GL2 trên trường p adic

Ngưòi ta muon xây dnng m®t moi liên h¾ giua các dang tn đang cau và các bieu dien cna các nhóm adelic mà các bieu dien cna các nhóm p-adic đóng vai trò như các thành phan đ%a phương cna

Hà N®i - Năm 2019

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Nguyen Th% Thu Hà

M®T SO BIEU DIEN CUSPIDAL

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Hà N®i - Năm

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Nguyen Th% Thu Hà

M®T SO BIEU DIEN CUSPIDAL

Chuyên ngành: Đai so và lý thuyet so

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC

TS ĐŐ VIfiT CƯèNG

Lài cam ơn

Đe hoàn thành quá trình nghiên cúu và hoàn thi¾n lu¾n văn này, lòi đau tiên tácgia xin chân thành cam ơn sâu sac đen TS Đo Vi¾t Cưòng, cán b® khoa Toán - Cơ -Tin HQc – trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i Thay đãtrnc tiep chi bao và hưóng dan tác gia trong suot quá trình nghiên cúu đe tác gia hoànthi¾n lu¾n văn này Ngoài ra tác gia xin chân thành cam ơn các thay, cô trong khoaToán-Cơ-Tin HQc đã tao đieu ki¾n và đóng góp nhung ý kien quý báu đe tác gia hoànthành khóa HQc và ban lu¾n văn này

Cuoi cùng tác gia xin đưoc gui lòi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưòithân đã luôn đ®ng viên, cő vũ, tao MQI đieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia trong quá trình

HQc t¾p và hoàn thành lu¾n văn

1 Giái thi¾u

Lý thuyet bieu dien cna các nhóm p-adic là m®t hưóng nghiên cúu hi¾n đang đưoc

rat nhieu nhà toán HQc quan tâm M®t trong nhung lý do thúc đay vi¾c nghiên cúu các

bieu dien cna các nhóm p-adic xuat phát tù chương trình Langlands Ngưòi ta muon

xây dnng m®t moi liên h¾ giua các dang tn đang cau và các bieu dien cna các nhóm

adelic mà các bieu dien cna các nhóm p-adic đóng vai trò như các thành phan

đ%a phương cna chúng

M®t trong nhung đieu đ¾c bi¾t quan TRQNG và mói cna các nhóm p-adics (so vói các

nhóm thnc) đó là sn ton tai cna các bieu dien cuspidal Chúng ta se thay rang các bieudien cuspidal có vai trò như nhung “viên gach” dùng đe xây dnng tat ca các bieu dien

bat kha quy chap nh¾n đưoc cna các nhóm p-adic Bushnell và Kutzko trong

quyen

sách cna mình [BK93] đã xây dnng het tat ca các bieu dien cuspidal cna GLrpF q (vói

F là m®t trưòng p-adic) Các bieu dien cuspidal đưoc xây dnng cam sinh tù bieu dien

huu han chieu (đ¾c bi¾t nào đó) cna các nhóm con mo compact Muc tiêu cna bàiviet này là mô ta lai cách xây dnng đó cho trưòng hop đơn gian nhat Các bieu diencuspidal GL2pQpq đưoc xây dnng tù các bieu dien cuspidal cna GL2pFpq (đưoc xem

như là m®t bieu dien cna nhóm con mo compact K0 : GL2pZpq thông qua phép chieuchính tac GL2pZpq Ñ GL2pFpq) Nhung bieu dien này đưoc GQI là bieu diencuspidal đ® sâu 0 cna GL2pQpq

Các ket qua trong lu¾n văn đeu là nhung ket qua đã biet, đóng góp cna tác gia làtőng hop, trình bày lai các ket qua này và chi tiet hóa chúng sao cho de tiep c¾n vàlogic nhat có the Đe lu¾n văn có đ® dài vùa phai, tác gia su dung m®t cách tn do cácket qua cna lý thuyet bieu dien cna các nhóm huu han (như lý thuyet đ¾c trưng, )

mà không can phai nhac lai

Lu¾n văn đưoc trình bày như sau:

• Muc 2: Chúng ta nhac lai các khái ni¾m ve đ%nh giá và trưòng đ%a phương.

Trong muc này chúng ta đ%nh nghĩa the nào là m®t trưòng p- adic và các tính

chat cna nó Đong thòi ta cũng có đưoc cách bieu dien m®t phan tu cna trưòng

p-adic.

• Muc 3: Chúng ta nhac lai các khái ni¾m ve A- nhóm tőng quát Các nhóm GL rpF q

mà chúng ta quan tâm chính là các A-nhóm.

• Muc 4: Do các nhóm GL rpF q là các nhóm tôpô nên ta cũng can nghiên cúunhung bieu dien nhóm tương thích vói cau trúc tôpô đó Trong muc này chúng ta

nêu

ra các đ%nh nghĩa cna bieu dien trơn, bieu dien bat kha quy, bieu dien chap nh¾nđưoc, cũng như bő đe Schur, trong m®t ngu canh mói (so vói khái ni¾m bieudien cna nhóm huu han)

• Muc 5: Đưoc dùng đe đ%nh nghĩa đ® đo Haar, m®t đ® đo đ¾c bi¾t cna không

gian compact đ%a phương Khái ni¾m ve nhóm đơn modular cũng như đ¾c trưngmodular cũng đưoc đe c¾p trong muc này

• Muc 6: Đưoc dùng đe nghiên cúu kĩ hơn ve nhóm GL rpF q Trong muc này chúng

ta se nhac đen các phân tích phő bien cna nhóm này như: phân tích Bruhat,phân tích Iwasawa, phân tích Cartan Đong thòi trong muc này ta cũng nói rõhơn ve tôpô cna nó

• Muc 7: Đưoc dùng đe nhac tói các khái ni¾m ve bieu dien cam sinh và han che

cna m®t bieu dien trơn Trong muc này chúng ta đưa ra khái ni¾m bieu dien camsinh và bieu dien cam sinh compact (đưoc chuan hóa) Đưoc chuan hóa o đâyđưoc hieu là nhân thêm căn b¾c hai cna đ¾c trưng modular Lý do cna vi¾cchuan hóa này là do ta muon bieu dien cam sinh cna m®t bieu dien unita cũng làm®t bieu dien unita (do đoi tưong chính cna chúng ta không liên quan đen kháini¾m bieu dien unita nên khái ni¾m này se không đưoc đe c¾p trong n®i dungcna lu¾n văn)

• Muc 8: M®t trong nhung cách xây dnng bieu dien cna các nhóm p-adic đó là

cam sinh tù nhung bieu dien cna nhóm con đơn gian hơn như các nhóm xuyen,hay các nhóm con parabolic Muc này đưoc dành cho vi¾c đ%nh nghĩa các bieudien cam sinh parabolic Nhung bieu dien không the nh¾n đưoc như m®t bieudien con cna m®t bieu dien cam sinh tù m®t nhóm con parabolic thì đưoc GQI làm®t bieu dien cuspidal Chúng đưoc đ¾c trưng bang vi¾c có môđun Jacquet làkhông gian 0

• Muc 9: Trong muc này chúng ta mô ta tat ca các bieu dien bat kha quy cna nhóm

GL2pFpq

• Muc 10: Bieu dien bat kha quy cuspidal đ® sâu 0 cna GL2pQpq se đưoc trình bàytrong muc này

BANG THU¾T NGU VÀ KÝ HIfiU

Hoàn toàn không liên thông Totally disconnected

2 Đ%nh giá và trưàng đ%a phương

Tài li¾u tham khao cho phan này là muc 2 cna bài giang ve các bieu dien cna

các nhóm p-adic reductive cna Murnaghan [FM09] Cho F là m®t trưòng không tam thưòng (nghĩa là F 0).

Đ%nh nghĩa 2.1 M®t đ%nh giá trên F là m®t ánh xa | | : F Ñ R¥0 thóa mãn

tính chat vái MQI x, y P F ta có:

(1) |x| 0 ô x 0,

(2) |x.y| |x|.|y|,

(3) |x y| ¤ |x| |y|.

Ví dn 2.2. 1.Giá tr% tuy¾t đoi thông thưàng trên R là m®t đ%nh giá.

2. Neu F là m®t trưàng huu han, trên F có duy nhat m®t đ%nh giá đó là đ%nh giá

tam thưàng Trưàng F huu han nên có so phan tu là p n vái p là m®t so

nguyên to và n là m®t so nguyên dương nào đó Do đó x p n 1 vái MQ i x P F Đieu này

dan đen |x|p n

|1| M¾t khác ta lai có |1| 1 (do |1| |1.1| |1|2 và 1 0),

nên |x| là so thnc dương và là căn cua cua đơn v% Hay nói cách khác |x| 1.

3. Cho p là m®t so nguyên to Vái mői so huu ts x P Q , ta có the viet x duy nhat

b

p

Hơn nua, neu |x|p |y|p , khi đó |x y|p max t|x|p , |y|pu Đ%nh giá này đưac GQI là đ%nh giá p-adic.

¤ max t|x|p , |y|pu ¤ |x|p

2 2

9

Đ%nh nghĩa 2.3 Hai đ%nh giá | |1 và | |2 trên F đưac GQI là tương đương vái nhau neu | |1 = | |c , trong đó c là so thnc dương nào đó.

Đ%nh nghĩa 2.4 M®t đ%nh giá đưac GQI là rài rac neu ton tai δ ¡ 0 thóa mãn

tính chat 1 δ   |a|   1 δ kéo theo |a| 1 Nói m®t cách khác, đ%nh giá | |

đưac GQI là rài rac neu nhóm tlogp|a|q|a P F u là nhóm con rài rac cua nhóm pR,

Ví dn 2.7 1.Giá tr% tuy¾t đoi thông thưàng trên R là đ%nh giá acsimet.

2.Đ%nh giá p-adic trên Q là đ%nh giá không acsimet.

Bo đe 2.8 Các đieu ki¾n sau là tương đương:

(1) | | là không acsimet.

(2) |x| ¤ 1 vái MQI x thu®c vành con cua F sinh bái 1.

(3) |x| b% ch¾n vái MQI x thu®c vành con cua F sinh bái 1.

Chúng minh • p1q ñ p2q Do |1| |1.1| |1|2 và 1 0 nên |1| 1 Khi đó, do

| 1| |p 1q | |1| 1 nên | 1| 1

Xét x là m®t phan tu cna vành con cna F sinh boi 1 khi đó x chi có the có

m®t trong hai dang sau:

– Ho¾c x 1 1 1 Khi đó ta có:

|x| |1 1 1| ¤ max t|1|, |1|, , |1|u 1.

– Ho¾c x p 1q p 1q p 1q Khi đó ta có:

|x| |p 1q p 1q p 1q| ¤ max t| 1|, , | 1|u 1.

nÑ p q

C k x k y n k

n   ?n

1

Suy ra

  ln pn 1 q 1 n n ln p n 1 q

Khi đó (2.1) ñ |x y| ¤ max t|x|, |y|u hay | | không acsimet

M®t tôpô trên F cam sinh boi đ%nh giá | | có cơ so là các t¾p mo có dang:

U pa, sq tb P F ||b a|   su a P F, s P R .

¤

k n

Ví dn 2.9 Cho F là m®t trưàng huu han Tôpô cam sinh tù đ%nh giá tam thưàng trên

F chính là tôpô rài rac.

Bo đe 2.10 Neu hai đ%nh giá | |1 và | |2 là tương đương nhau trên F thì tôpô cam sinh bái chúng là m®t.

  s Đieu này cho thay U

cũng là t¾p mo trong tôpô cam sinh boi đ%nh giá | |2 Tương tn ta cũng có U2 là t¾p

mo trong tôpô cam sinh boi đ%nh giá | |1 Vì v¾y hai tôpô cam sinh là m®t

M®t trưòng F đưoc trang b% m®t đ%nh giá cùng vói tôpô cam sinh tù đ%nh giá đó

l¾p thành m®t không gian metric M®t câu hoi tn nhiên đưoc đ¾t ra là li¾u cácdãy Cauchy cna nó có h®i tu không? Ví du sau se chi ra rang không phai MQI dãyCauchy trên m®t trưòng đ%nh giá đeu h®i tu

Ví dn 2.11 Xét dãy ta nu P pQ, |.|5q xác đ%nh bái a1 2 Lay so nguyên a n sao cho

a2 1 0 mod 5n C HQN so nguyên b sao cho a n 1 a n b.5 n thóa mãn a2 1 0mod 5n 1 (su dnng bő đe Hensel cho đa thúc f pxq x2 1, ta luôn có the CHQN

đưac so nguyên b) Do a n 1 a n b.5 n nên a n 1 a n mod 5 n suy ra vái m

¡ n ta có a m a n mod 5 n Khi đó, vái MQI s ¡ 0, ton tai N s P N sao cho @m ¡

n ¥ N, ta có:

|a m a n|5 ¤ 5 N s   s suy ra ta nu là dãy Cauchy.

M¾t khác, gia su dãy a n có giái han là L P Q, khi đó cho n Ñ 8 ta có: |L2 1|5 0

suy ra L2 1, như v¾y không có ton tai L trên Q thóa mãn, khi đó dãy ta nu Cauchy nhưng không h®i tn trong Q vái đ%nh giá 5-adic.

Đ%nh nghĩa 2.12 M®t trưàng K vái đ%nh giá } } đưac GQI là làm đay cua trưàng F vái đ%nh giá | | neu:

1 F € K,

2 } }|F | |,

3 K là đay đu vái đ%nh giá } } (hay nói m®t cách khác là MQI dãy Cauchy trong

K tương úng vái tôpô cam sinh tù đ%nh giá } } đeu h®i tn ),

4 K là bao đóng cua F vái tôpô cam sinh tù } }.

Ghi chú: Đieu ki¾n thú 4 trong đ%nh nghĩa trên là can thiet vì vói đ%nh giá

acsimet thông thưòng (giá tr% tuy¾t đoi) trên Q, ta có trưòng R (cùng vói đ%nh giágiá tr% tuy¾t đoi) và C (cùng vói đ%nh giá lay mô đun) đeu thoa mãn ca 3 tính chat

1đau cna đ%nh nghĩa Tuy nhiên chi có R mói là trưòng làm đay cna Q theo đ%nh giáthông thưòng.

Đ%nh nghĩa 2.13 Cho trưàng so huu ts Q và p là so nguyên to Làm đay cua Q

theo đ%nh giá p-adic | |p đưac GQI là m®t trưàng p-adic và đưac ký hi¾u là Q p

Đ%nh nghĩa 2.14 M®t trưàng F đưac GQI là trưàng đ%a phương neu:

• trên F đưac trang b% m®t đ%nh giá không tam thưàng và

• F là compact đ%a phương (á đây đưac hieu là mői m®t điem cua F đeu có

m®t lân c¾n compact, đoi vái không gian Hausdorff thì đieu ki¾n này cũng tương đương vái MQI lân c¾n cua m®t điem bat kì cua F đeu chúa m®t lân c¾n compact cua điem đó) và đay đu tương úng vái tôpô cam sinh tù đ%nh giá đó.

Đe ket thúc phan này, chúng ta se chÉng minh rang Qp là m®t trưàng đ

%a phương không acsimet.

Ke tù bây giò ta xét F là m®t trưòng đưoc trang b% m®t đ%nh giá | | không tam

thưòng, không acsimet Đ¾t O : ta P F ||a| ¤ 1u, O cùng vói phép toán c®ng và

nhân

cam sinh tù F l¾p thành m®t vành con cna F

ChÉng minh O là m®t vành con cua F Vói x, y P O ta có:

| 0| 0 ¤ 1 ñ 0 P O ñ O H

| x.y| |x|.|y| ¤ 1.1 ¤ 1 ñ xy P O.

| x y| ¤ max t|x|, |y|u ¤ 1 ñ x y P O.

| x| | 1.x| | 1|.|x| |x| ¤ 1 ñ x P O.

Đ%nh nghĩa 2.15 Vành O : ta P F ||a| ¤ 1u đưac GQI là vành đ%nh giá nguyên.

Iđêan P : ta P F ||a|   1u € O là iđêan cnc đai cna O.

ChÉng minh P là m®t iđêan cua O Vói x, y P P ta có:

ChÉng minh P là iđêan cEc đai Gia su M là iđêan cna O sao cho P ˆ M € O.

Khi đó D a P M sao cho a R P Do a R P nên |a| ¥ 1 M¾t khác ta lai có |a| P M €

O

nên |a| ¤ 1 Vì the |a| 1 Đieu này dan đen |a 1| 1 Hay nói m®t cách khác a là phan tu kha ngh%ch trong O Ta vùa chúng minh rang M O hay P là iđêan cnc đai cna O.

Đ%nh nghĩa 2.16 Trưàng k : O{P đưac GQI là trưàng các láp th¾ng dư cua F

Đ¾t F là làm đay cna trưòng F vói đ%nh giá | |, O là vành đ%nh giá nguyên cna F

và P là iđêan cnc đai cna O.

Ví dn 2.17 Qp là làm đay cua trưàng Q vái đ%nh giá p-adic Vành đ%nh giá nguyên cua

nó là Z p : tx P Qp||x|p ¤ 1u và iđêan cnc đai cua Z p là pZ p

Bo đe 2.18 Ánh xa tn nhiên:

O{P Ñ O{P

a P ÞÑ a P

là m®t song ánh.

Chúng minh + Ánh xa đưoc đ%nh nghĩa tot: Gia su a P = b P suy ra a b P P

suy ra a b P P (do P là làm đay cna P) ñ a P b P.

+ Đơn ánh: Gia su a P b P suy ra a b P P ñ |a b|F   1 Mà a, b P

O € F , suy ra |a b|F   1 do đó a b P P hay a P b P.

+Toàn ánh: Vói α P O € F bat kì, luôn ton tai a P F sao cho |α a|F   1 ñ α

a P P Ta lai có |a|F |pa αq α|F ¤ max t|α|F , |a α|F u ¤ 1 nên a P O.

Bo đe 2.19 Đ%nh giá | | là rài rac khi và chs khi P là iđêan chính.

Chúng minh + Đieu ki¾n can: Vói | | là ròi rac, ta se chúng minh P là iđêan chính

Do |.| là ròi rac nên S : tlogp|a|q|a P F u là nhóm con ròi rac cna nhóm c®ng tính

R (vói tôpô thông thưòng) Do đó t0 ¤ logp|a|q ¤ r|a P F u vói r ¡ 0 co đ%nhnào đó chi có huu han phan tu Bang cách cHQN r đn lón và do |.| không tam thưòng,

ta nh¾n đưoc t¾p hop t0   logp|a|q ¤ r|a P F u khác rong và huu han phan tu.T¾p vùa nh¾n đưoc có phan tu nho nhat Do đó t0   logp|a|q|a P F u cũng có phan

tu nho nhat GQI x ¡ 0 là phan tu nho nhat đó Xét s P S, ton tai n P Z sao cho nx

s ¤ pn 1qx M¾t khác ta lai có 0   s nx P S (do S là nhóm con cna nhóm c®ng

tính R), nên theo tính nho nhat cna phan tu x ta có s nx ¥ x Đieu này suy ra

s pn 1qx V¾y S Zx.

+ Đieu ki¾n đu: Có P là iđêan chính, ta se chúng minh | | là ròi rac.

Gia su P pαq, vói a P F bat kì, ta có:

| a|   1 ñ a P P ñ D b P O sao cho a b.α Khi đó |a| |b.α| ¤ |α|

| a| ¡ 1 ñ |a|   1, tương tn ta có the suy ra |a |   |α| ñ |a| ¡ |α|

CHQN δ sao cho 0   δ   mint1 |α|, |α| 1 1u Khi đó, neu 1 δ   |a|   1 δ

thì

|a| 1 Do đó | | là ròi rac

Đ%nh nghĩa 2.20 Neu | | là rài rac, khi đó phan tu α thóa mãn P pαq

đưac GQI là phan tU đơn tr% hóa.

Bo đe 2.21 Cho F là m®t trưàng đưac trang b% m®t đ%nh giá | | không acsimet và là

đay đu vái tôpô cam sinh tù đ%nh giá đó Cho ta n , n ¥ 0u là m®t dãy các phan tu cua

F Khi đó a i h®i tn khi và chs khi lim a n 0

a i h®i tu, suy ra ton tai giói han lim s n s Ta

i

chu a i h®i

Bo đe 2.22 Cho F là m®t trưàng đưac trang b% m®t đ%nh giá rài rac | | không acsimet

và là đay đu vái tôpô cam sinh tù đ%nh giá đó Cho α là m®t phan tu đơn tr% hóa cua F G QI A € O là t¾p chúa các phan tu đai di¾n cua các láp tương đương cua O{P (mői láp ta lay ra m®t phan tu đai di¾n bat kì) Khi đó, vái MQI a P O, a luôn có the

viet đưac dưái dang

Hơn nua, MQI chuői có dang như trên đeu h®i tn đen m®t phan tu a P O.

Chúng minh Lay a P O, khi đó ton tai duy nhat a0 P A sao cho a a0P P pαq.Suy ra D b1P O : a a0 b1α hay a a0 b1α.

Do b1 P O ñ D a1P A : b1 a1 P P Suy ra D b2 P O : b1 a1 b2α ñ b1 a1 b2α.

Khi đó a a0 a1α b2α2

Gia su ta có a0, a1, , a N P A và b N 1 P O sao cho a a0 a1α

a N α N b N 1 α N 1 Do b N 1 P O, nên ton tai duy nhat a N 1 P A sao cho b N 1 a N 1 P

P Đieu này suy ra ton tai b N 2P O thoa mãn b N 1 a N 1 b N 2 α.

Bang quy nap, ta đ%nh nghĩa đưoc m®t dãy duy nhat các a iP A sao cho

Khang đ%nh thú hai là h¾ qua trnc tiep cna bő đe 2.21

Bo đe 2.23 Cho F là đay đu tương úng vái đ%nh giá | | rài rac (không yêu cau phai là không acsimet) sao cho O{P là m®t trưàng huu han Khi đó O là m®t t¾p compact Chúng minh O cùng vói tôpô cam sinh tù đ%nh giá cna F là m®t không gian metric.

Trong không gian metric, compact và compact dãy là như nhau Lay ta jujPN P O, ta

se chi ra nó chúa m®t dãy con h®i tu Theo bő đe (2.22), vói moi j, ton tai ta jnunPN

P A

a j0 vô han lan, ton tai b1 P A sao cho b1 xuat hi¾n o v% trí a j1 vô han lan cna nhung a j

có a j0 b0 Tiep tuc quá trình trên, ta có b c

sao cho a j a jn α n Vì A huu han nên ton tai b0 P A sao cho b0 xuat hi¾n o

Bo đe 2.24 Cho F là m®t trưàng vái đ%nh giá không tam thưàng | | Khi đó F là

compact đ%a phương neu và chs neu MQI hình cau đóng trong F đeu compact.

Chúng minh Hình cau đóng trong F là các t¾p con có dang B pa, rq tx P F ||x a| ¤

ru

vói a P F, r ¡ 0

Rõ ràng neu MQI hình cau đóng trong F đeu compact thì F là trưòng compact đ%a phương Ngưoc lai, gia su F là compact đ%a phương Khi đó 0 có m®t lân c¾n compact, suy ra ton tai s ¡ 0 đn nho đe qua cau đóng B p0, sq là compact (cHQN s đn nho đe hình cau đóng tâm 0 bán kính s đưoc chúa trong lân c¾n compact cna

0) Vì | | là không tam thưòng nên ton tai c P F sao cho |c| ¡ 1 Vói MQI n

¥ 1, hình cau đóng B p0, |c|n sq c n B p0, sq cũng compact Hơn nua vì |c| ¡ 1nên |c|n s Ñ 8 khi n Ñ 8, suy ra MQI hình cau đóng tâm 0 đeu compact Bang phép

t%nh tien x ÞÑ x y vói y P F

ta có MQI hình cau đóng trong F đeu compact.

H¾ qua 2.25 Cho | | là đ%nh giá không acsimet trên trưàng F Khi đó, F là compact đ

%a phương vái đ%nh giá | | neu và chs neu các đieu ki¾n sau đong thài thóa mãn:

(1) Trưàng F là đay đu (2)Đ

%nh giá | | là rài rac

(3)Trưàng th¾ng dư là huu han.

Chúng minh + Đieu ki¾n can: Gia su F compact đ%a phương.

• Xét tx nu là m®t dãy Cauchy bat kì trên F Khi đó ton tai N đn lón đe vói

MQI n ¥ N ta có |x n x N| ¤ 1, túc là ta có the gia su tx nu nam trong hình

cau đóng B px N , 1q Theo Bő đe (2.24) ta có B px N , 1q compact, suy ra

tx nu có m®t dãy con h®i tu Hơn nua vì tx nu là dãy Cauchy suy ra nó h®i tu

Khi đó F đay đn.

• Gia su phan chúng rang | | không ròi rac, khi đó vói MQI n ta luôn ton tai x n

sao cho 1 1{n   |x n|   1 (do tính không ròi rac ta luôn có the tìm đưoc x n mà

|x n| 1 mà 1 1{n   |x n|   1 1{n, neu |x n| ¡ 1, ta chi can lay phan tu

ngh%ch đao cna nó) Ta đưoc m®t dãy các x n nam trong t¾p compact Bp0, 1q,

do đó ta

có the trích ra đưoc m®t dãy con x i k h®i tu đen x0 khi k tien đen vô cùng

Vói MQI N0 P N ton tai N1 sao cho vói MQI k ¥ N1 ta có |x i k x0| ¤

1{N0 CHQN k ¥ N1 sao cho 1{N0   1 1{i k Khi đó ta có |x0| |x0

x i k x i k | ¤ maxt|x0 x i k |, |x i k |u |x i k |   1.

M¾t khác ta lai có 1 1{i k   |x i k |   1, nên theo nguyên lý kep |x0| 1 (mâuthuan) V¾y đ%nh giá |.| là ròi rac

• Vành đ%nh giá nguyên O cna F là hình cau đóng Bp0, 1q, nên theo bő đe 2.24

nó phai là m®t t¾p compact Do P Bp0, 1q vói phép toán c®ng là m®t nhómcon

mo cna O, nên x P l¾p thành m®t phn mo cna O khi cho x chay trên t¾p các phan tu đai di¾n cna O{P (moi lóp tương đương lay m®t phan tu đai di¾n bat

kì) Do đó ta có the trích ra m®t phn con huu han (do O là m®t t¾p compact) M¾t khác ta lai có O là hop ròi cna các t¾p mo x P vói x chay trên t¾p các phan

tu đai di¾n cna O{P Đieu này suy ra O{P phai là t¾p huu han (Ta cũng

có the xem m¾nh đe này là h¾ qua trnc tiep cna m¾nh đe 3.7 o dưói)

+ Đieu ki¾n đn: Gia su F thoa mãn (1), (2), (3), theo bő đe (2.23) suy ra O là t¾p compact Theo bő đe 2.19, ta có P là m®t iđêan chính GQI α là phan tu sinh cna

P Khi đó x α n O l¾p thành m®t cơ so gom toàn các t¾p compact cna x P F Do

đó F

là m®t không gian compact đ%a phương

H¾ qua 2.26 Trưàng Q p là m®t trưàng đ%a phương không acsimet.

Ví dn 3.2. 1.Nhóm pQp , q là m®t nhóm tôpô vái tôpô cam sinh tù đ%nh giá p-adic.

2. Nhóm pQ , q là m®t nhóm tôpô vái tôpô cam sinh tù tôpô cua Q p .

3. Nhóm các ma tr¾n vuông cap n, pMrpQpq, q là m®t nhóm tôpô vái tôpô là tôpô

Ta có tính chat hien nhiên sau đây:

Bo đe 3.3 Cho G là m®t nhóm tôpô Khi đó:

(1) Ánh xa: g ÞÑ g 1 là m®t phép đong phôi tù G vào chính nó.

(2) Co đ%nh g0P G, các ánh xa g ÞÑ g0 g, g ÞÑ g g0 và g ÞÑ g0 g g 1 là các phép

đong phôi tù G vào chính nó.

Cho S, T là hai t¾p con khác rong cna G Ta kí hi¾u ST và S 1 cho các t¾p tươngúng sau:

ST : tst|s P S, t P T u, và S 1 : ts 1|s P Su.

T¾p S đưoc gQI là đoi xúng neu S 1 S.

H¾ qua 3.4 Vái g0P G, t¾p U má (tương úng đóng, compact) trong G thì các t¾p

U 1 , g0U, Ug0, g 1 Ug0 cũng má (tương úng đóng, compact) trong G.

Bo đe 3.5 Cho G là m®t nhóm tôpô M QI lân c¾n má U cua 1 đeu chúa m®t lân c¾n má, đoi xúng V cua 1 sao cho V V € U.

Chúng minh Xét ánh xa nhân m : U U Ñ G Do m là ánh xa liên tuc nên m

1pU q là m®t t¾p mo và chúa p1, 1q Do đó ton tai hai t¾p mo V1 và V2 cna U

sao cho p1, 1q P V1 V2 và V1V2 € U Đ¾t V3 V1 X V2, khi đó V3V3 € U và V3

là m®t lân c¾n mo cna 1 Cuoi cùng, đ¾t V V3 X V 1 T¾p V là m®t t¾p mo chúa 1,

Cho H là m®t nhóm con cna nhóm tôpô G (o đây chúng ta không yêu cau H là m®t nhóm con chuan tac), và xét p : G Ñ G{H phép chieu chính tac tù G lên G{H.

Chúng ta đ%nh nghĩa m®t tôpô thương trên G{H là tôpô manh nhat đe p là ánh

xa chieu liên tuc Nói m®t cách chính xác hơn, V là m®t t¾p mo trên G{H neu

ton tai m®t t¾p mo U trên G thoa mãn tính chat ppU q V Tù đ%nh nghĩa, ta có

the de dàng

thay rang p là ánh xa mo (bien m®t t¾p mo thành t¾p mo).

2

M¾nh đe 3.7 Cho H là m®t nhóm con cua nhóm tôpô G Khi đó ta có:

1. Neu H compact, thì p là m®t ánh xa đóng (ánh xa bien m®t t¾p đóng thành

t¾p đóng).

2. G{H là không gian Hausdorff khi và chs khi H là m®t t¾p đóng.

3. Neu G compact đ%a phương, thì G{H cũng compact đ%a phương Neu, ta yêu

cau thêm rang, H là m®t t¾p đóng, thì H cũng là m®t t¾p compact đ%a phương.

4. Neu G là không gian Hausdorff và H là nhóm con compact đ%a phương cua G, thì H là m®t t¾p đóng.

5. Neu H là nhóm con chuan tac, thì G{H vái tôpô thương là m®t nhóm tôpô.

6. H là m®t t¾p má khi và chs khi G{H là t¾p rài rac Neu G là nhóm compact, thì khi đó H là m®t t¾p má khi và chs khi G{H là t¾p huu han.

Chúng minh 1.Xét S là m®t t¾p đóng trên G Đ¾t V ppSq, ta có

SH p 1pV q p 1pG{H V cq p 1pG{Hq p 1pV cq G p 1pV cq.

Do đó p ánh xa đóng khi và chi khi V cũng là đóng khi S chay trên HQ các

t¾p đóng cna G Đieu này tương đương vói V c (o đây V c đưoc hieu là phan bù

cna V

trong G{H) là m®t t¾p mo Theo đ%nh nghĩa cna tôpô thương thì đieu đó tương

đương vói p 1pV cq là m®t t¾p mo trong G Su dung đang thúc trên thì p 1pV cq là

m®t t¾p mo trong G khi và chi khi SH là m®t t¾p đóng trên G Do đó đe chúng minh p là m®t ánh xa đóng ta chi can chúng minh rang S là t¾p con đóng cna G, thì SH cũng là m®t t¾p con đóng cna G.

Neu SH G, khang đ%nh trên là hien nhiên Bây giò, ta gia su rang pSHqc

G SH H Lay x P pSHq , khi đó ta có S XxH H Chúng ta muon chúng

minh rang ton tai m®t lân c¾n V x cna x đưoc chúa trong SH c, hay nói m®t cách

khác là ton tai m®t lân c¾n mo V x sao cho S X V x H 1 H Do V V x x 1 là lân

c¾n mo cna 1 và xH 1 là m®t t¾p compact, nên ta chi can chúng minh khang đ

%nh sau:

“Cho S và T tương úng là t¾p con đóng và t¾p con compact cua G thóa mãn

S X T H Khi đó ton tai m®t lân c¾n má V cua 1 sao cho S X V T H.”

Lay t P T , khi đó ton tai m®t lân c¾n mo W t cna 1 thoa mãn tính chat W t W t€

S c t 1 (de dàng thay rang S c t 1 là m®t lân c¾n mo cna 1) Th¾t v¾y, do m là ánh xa

€

liên tuc nên m 1pS c t 1q là t¾p con mo cna G G và chúa p1, 1q Theo đ%nh

nghĩa cna tôpô tích, ton tai hai lân c¾n mo V1, V2 cna 1 sao cho V1 V2 € m

1pS c t 1q, hay V1V2 € S c t 1 CHQN W t V1 X V2, khi đó W t W t € S c t 1

Hơn the nua, do T t¾p compact, nên ton tai m®t t¾p huu han J cna t P T thoa

mãn tính chat T W t t (cho t chay trong T ta thu đưoc m®t phn mo

gom các W t t cna T ) Bây giò ta đ¾t V tPJ W t m®t lân c¾n mo cna 1.

Vói t1 P T bat kì, luôn ton tai t P J sao cho t1P W t t Ta có

Áp dung khang đ%nh trên cho X G{H, ta đưoc trHsu là t¾p đóng trong

G{H Ta lai có p 1ptrHsuq H Tù đ%nh nghĩa cna tôpô thương, ta suy ra rang

H phai là m®t t¾p con đóng cna G Ta vùa chúng minh rang G{H là Hausdorff

thì H là

m®t nhóm con đóng cna G.

Bây giò ta se chúng minh đieu ngưoc lai cũng đúng Gia su H là m®t t¾p con đóng cna G Trưóc het chúng ta se chúng minh khang đ%nh sau đây:

“Cho X là m®t không gian tôpô, và đ¾t ∆ tpx, xq|x P Xu € X X Khi đó X

là Hausdorff khi và chs khi ∆ là m®t t¾p con đóng cua X X vái tôpô tích.” Gia su

∆ là t¾p con đóng cna X X Lay x y P X, khi đó px, yq P ∆c và ∆ c là

m®t t¾p mo Theo đ%nh nghĩa cna tôpô tích, ton tai m®t lân c¾n mo U cna x

và m®t lân c¾n mo V cna y sao cho U V € ∆c Do đó U X V H

Gia su X là m®t không gian Hausdorff Lay px, yq P ∆c , khi đó ta có x

y Do X là Hausdorff, khi đó ton tai x P U và y P V sao cho U X V H Do

đó U V € ∆c là m®t lân c¾n mo cna px, yq Đieu này suy ra ∆c là m®t t¾p

con mo

cna X X, hay X là m®t t¾p con đóng.

Su dung khang đ%nh này, chúng ta chi can kiem tra rang ∆G{H tpgH, gHqu

là m®t t¾p đóng trong G{H G{H Ta xét ánh xa tn nhiên sau đây (ta bo qua

vi¾c kiem tra xem ánh xa có đưoc đ%nh nghĩa tot) f : pgH, g1Hq ÞÑ pg,

g1qpH Hq

tù G{H G{H vào pG Gq{pH Hq Ánh xa f là m®t đong phôi vói các tôpô cam sinh tn nhiên tương úng Ta xét t¾p p 1pf p∆G{Hqq tpg, g1q|

gH g1Hu tpg, g1q|g 1g1 P Hu (p o đây đưoc hieu là phép chieu tn nhiên tù G G vào pG Gq{pH Hq) Nó là ngh%ch anh cna t¾p H thông qua ánh xa liên tuc tù G G vào G đưoc đ%nh nghĩa boi pg, g1q ÞÑ g

1g1 Do H là t¾p đóng, nên p 1pf p∆G{Hqq cũng là t¾p đóng Su dung f là

m®t đong phôi cùng vói đ%nh nghĩa

cna tôpô thương, ta nh¾n đưoc ∆G{H là m®t t¾p đóng.

3.Do p là ánh xa mo liên tuc, nên khang đ%nh đau tiên cna m¾nh đe là hien nhiên Khang đ%nh thú hai là trưòng hop đ¾c bi¾t cna m¾nh đe “m®t t¾p con đóng cua

m®t không gian compact đ%a phương thì cũng là không gian compact đ%a phương vái tôpô cam sinh”.

4.Nhac lai rang H là m®t không gian compact đ%a phương khi và chi khi MQI điem

h P H đeu có m®t lân c¾n compact (hay nói m®t cách khác, vói moi h, ton tai

m®t t¾p mo U và m®t t¾p compact K cna H sao cho h P K € U ) Ta se

chúng minh rang H H Lay x P H, do H là m®t nhóm con cna G, nên đe

chúng minh rang x P H, ta chi can chúng minh rang ton tai m®t phan tu h P

H sao cho hx P H Bây giò chúng ta se đi xây dnng phan tu đó.

Do H là compact đ%a phương, nên ton tai m®t lân c¾n compact U € H cna 1 G

là m®t không gian Hausdorff, nên H cũng là m®t không gian Hausdorff vói tôpô

cam sinh Hơn the nua, m®t t¾p vùa Hausdorff vùa compact thì cũng là m®t t¾p

đóng Do đó U là m®t t¾p con đóng cna H Theo đ%nh nghĩa cna tôpô cam sinh,

ta có ton tai m®t t¾p con đóng V cna G sao cho V X H U Do U là m®t

lân

c¾n cna 1 trong H, nên V cũng là m®t lân c¾n cna 1 trong G Tù chúng minh

cna phát bieu (1), vói MQI lân c¾n V cna 1, luôn ton tai m®t lân c¾n W cna 1 sao cho W.W € V T¾p U là m®t t¾p compact trong H, nên nó cũng là t¾p compact

trong G (do H là m®t t¾p đóng) Do đó U cũng là m®t t¾p đóng trong G.

Ta có Wx 1 là m®t lân c¾n mo cna x 1 Do x P H (tương đương vói x 1 P H),

nên Wx 1 X H H Lay h P Wx 1X H Gia su W 1 là m®t lân c¾n mo cna

2vói MQI lân c¾n mo W 1 cna hx, giao cna W 1 và U là khác rong Hay nói m®t cách

khác hx P U U € H.

5.Neu H là nhóm con chuan tac cna G, thì G{H là m®t nhóm Bây giò chúng

ta se kiem tra rang m : px, y q ÞÑ xy và ι : x ÞÑ x 1 là các ánh xa liên tuc tương úng

vói tôpô thương e đây x đưoc hieu là x mod H.

Ký hi¾u L g là phép nhân bên trái vói g, L gpxq gx Do vói MQI g1 P G ta có

6. H là t¾p mo kéo theo các t¾p 1 điem cna G{H cũng là t¾p mo vói tôpô

thương Do đó G{H là m®t không gian ròi rac Ngưoc lai, neu G{H là m®t

không gian ròi rac, khi đó MQI t¾p 1 điem cna G{H cũng là m®t tâp mo Đ¾c

bi¾t, t¾p tHu là t¾p mo cna G{H Đieu này suy ra rang H là m®t t¾p mo cna G

(theo đ%nh nghĩa cna tôpô thương) Neu G là t¾p compact, thì G{H cũng là t¾p

Bo đe 3.9 Nhung thành phan liên thông cua m®t không gian tôpô hoàn toàn không

liên thông chs có duy nhat m®t phan tu.

Chúng minh Cho X là không gian tôpô hoàn toàn không liên thông GQI X1 là

m®t thành phan liên thông cna X Gia su X1 có nhieu hơn 1 phan tu Lay x y P X1

€ X.

Do X hoàn toàn không liên thông nên ton tai hai lân c¾n mo U, V (tương úng) cna

x, y sao cho U X V H và U Y V X.

• Trưàng Q p vái tôpô cam sinh tù đ%nh giá p-adic |.|p (vái p là m®t so nguyên to)

là m®t không gian hoàn toàn không liên thông Đe chúng minh đieu này, ta

se chúng minh rang “ MQI hình cau má Bpa, sq tx P Qp||x a|p   su là m®t t¾p đóng cua Q p ” Khi đó vái MQI a b P Qp , ta CHQN s sao cho s   |b

a|p , ta nh¾n đưac hai lân c¾n má (tương úng) cua a và b là Bpa, sq và Q p

Bpa, sq thóa mãn

các tính chat trong đ%nh nghĩa cua không gian hoàn toàn không liên thông.

Xét Q p Bpa, sq tx P Qp||x a|p ¥ su Lay x là m®t phan tu bat

kì cua Q p Bpa, sq C HQN δ   s, xét y P Bpx, δq, khi đó |y x|p   δ   |

x a|p Tù đ%nh nghĩa cua đ%nh giá p-adic ta có |y a| |y x x

a| |x a| ¥ s Do đó Bpx, δq là m®t lân c¾n má cua x trong Q pzBpa,

sq Hay nói cách khác Q p Bpa, sq

là t¾p má.

Bo đe 3.12 Cho X, Y là hai không gian tôpô hoàn toàn không liên thông Khi đó

X Y cũng là m®t không gian tôpô hoàn toàn không liên thông Chúng

minh Lay px1, y1q, px2, y2q P X Y sao cho px1, y1q px2,

y2q Trưàng hap 1: x1 x2, y1 y2

Vói x1 x2, do X hoàn toàn không liên thông nên ton tai U1, U2 mo lan lưot chúa

x1, x2 sao cho U1 X U2 H và U1 Y U2 X Tương tn, vói y1 y2, do Y hoàn toàn không liên thông nên ton tai hai t¾p mo V1, V2 lan lưot chúa y1, y2 sao cho V1XV2 H

Vói x1 x2, do X hoàn toàn không liên thông nên ton tai U1, U2 mo lan lưot chúa

x1, x2 sao cho U1X U2H và U1Y U2 X Khi đó:

hoàn toàn không liên thông.

H¾ qua 3.13 Cho F là m®t không gian tôpô liên thông không toàn phan Khi đó

MrpF q cũng là m®t không gian tôpô hoàn toàn không liên thông vái tôpô tích (ta đong nhat M pF q vái không gian tôpô F r2 ) Đ¾c bi¾t M pF q và M pQ q là hai không gian

r

tôpô hoàn toàn không liên thông.

Bo đe 3.14 Cho Y € X Neu X là m®t không gian tôpô hoàn toàn không liên thông

thì Y cũng là m®t không gian hoàn toàn không liên thông vái tôpô cam sinh tù X.

Chúng minh Lay y1, y2 P Y sao cho y1 y2 Do Y € X nên y1, y2P X, mà X là không

gian tôpô hoàn toàn không liên thông nên ton tai hai t¾p mo U1, U2 cna X lan lưot chúa y1, y2 sao cho U1 X U2 H và U1 Y U2 X Ta có X X Y pU1 Y U2q X Y

hay

Y pU1 XY qYpU2 XY q Vói y1 P U1 XY , y2 P U2 XY , hơn nua pU1 XY qXpU2 XY q H

và pU1XY qYpU2 XY q Y suy ra Y là không gian tôpô hoàn toàn không liên thông.

H¾ qua 3.15 Không gian GL rpQpq € M rpQpq (tương úng GL rpFpq € M rpFpq) là m®t không gian tôpô hoàn toàn không liên thông vái tôpô cam sinh tù tôpô cua

M rpQpq (tương úng cua M rpFpq).

Bo đe 3.16 Không gian M rpQpq vái tôpô tích nh¾n đưac tù đ%nh giá p-adic cua Q p

là m®t không gian compact đ%a phương.

Chúng minh Theo bő đe (2.23), ta có Z p là m®t t¾p compact Ta se chúng minh rang

p kZp là các t¾p compact vói MQI k P Z Th¾t v¾y, xét b r p k a r là m®t dãy bat kì trong

p kZp Khi đó a r là m®t dãy trong Z p , nên ta có the trích ra đưoc m®t dãy con a i h®i

tu đen a P Z p Đieu này dan đen dãy con b i r cũng se h®i tu đen p a P k p Z k p

Theo đ%nh lý Tychonoff, tích cna các không gian compact là m®t không gian compact

nên ta có p k M pZ q pp kZ qr2

cũng là m®t không gian compact

Các t¾p A p k M rpZpq vói k là m®t so nguyên bat kì l¾p thành m®t co so lân c¾n gom các t¾p compact cna ma tr¾n A P M rpZpq Do đó M rpZpq là m®t không giancompact đ%a phương

Bo đe 3.17 Cho Y € X và A là t¾p compact vái tôpô cua X Gia su A € Y , khi đó

A compact vái tôpô cua Y (tôpô cam sinh ra tù tôpô cua X).

pW iX Aq  A Ta nh¾n đưoc m®t phn mo cna A (theo tôpô cam sinh tù X).

Su dung A là m®t tâp compact vói tôpô cam sinh tù X, ton tai i1, , i n sao cho

Ta vùa chúng minh rang MQI phn mo theo tôpô cam sinh tù Y đeu có the trích

ra đưoc m®t phn con huu han Hay nói m®t cách khác A cũng là m®t t¾p compact vói tôpô cam sinh tù tôpô cna Y

H¾ qua 3.18 Không gian GL rpQpq cũng là m®t không gian compact đ%a phương vái tôpô cam sinh tù tôpô cua M rpQpq.

Chúng minh Kí hi¾u K j : 1 p j M rpZpq (o đây 1 đưoc hieu là ma tr¾n đơn v%)

Su dung chúng minh cna bő đe 3.16 và bő đe 3.17, ta có K j là các t¾p

compact vói MQi j P N Chúng l¾p thành m®t h¾ cơ so các lân c¾n compact cna matr¾n đơn

v%

Đ%nh nghĩa 3.19 M®t nhóm tôpô G đưac GQI là m®t A-nhóm neu nó compact đ

%a phương và hoàn toàn không liên thông.

Ví dn 3.20 Nhóm GL rpFpq và GL rpQpq là hai A-nhóm.

Đe ket thúc phan này chúng ta se chúng minh đ%nh lý quan TRQNG sau đây mô ta

m®t đ¾c điem cna các A-nhóm.

Đ%nh lý 3.21 Cho G là m®t A-nhóm Khi đó MQI lân c¾n cua phan tu đơn v%

1 đeu chúa m®t nhóm con má và compact cua G.

€

Ví dn 3.22 M QI lân c¾n cua ma tr¾n đơn v% 1 trong GL rpQpq đeu chúa K j (vái j

đu lán nào đó) Ta đã thay á trên K j là m®t lân c¾n compact cua 1 (vái j ¥ 1) Hơn

the nua nó còn là m®t nhóm con má cua GL rpQpq Th¾t v¾y:

Su dnng công thúc tính ma tr¾n ngh%ch đao, ta tìm đưac ma tr¾n ngh%ch đao cua

1 p j A cũng là phan tu cua K j Do đó K j đóng vái phép lay ngh%ch đao.

• Ta có p jZp Bp0, p 1 jq là hình cau má trong Q p , nên nó là t¾p má Do

đó M rpZpq là m®t t¾p má trong M rpQpq Đieu này kéo theo K j là m®t t¾p con má cua M rpQpq Vì the K j K j X GLrpQpq là m®t t¾p con má trong

GLrpQpq.

Chúng ta thùa nh¾n mà không chúng minh đ%nh lý sau (chúng minh chi tiet cna

nó có the tìm thay trong [RV18])

Đ%nh lý 3.23 M®t không gian tôpô X là compact đ%a phương và hoàn toàn không

liên thông khi và chs khi MQI lân c¾n cua m®t điem x P X bat kì đeu chúa m®t lân c¾n má

và compact cua nó.

H¾ qua 3.24 Nhóm tôpô G là m®t A-nhóm khi và chs khi MQI lân c¾n cua 1 đeu

chúa m®t nhóm con má và compact.

Chúng minh H¾ qua trnc tiep cna đ%nh lý 3.21 và 3.23.

Bo đe 3.25 Cho G là m®t nhóm tôpô, K là m®t t¾p con compact cua G và L là m®t

t¾p con đóng cua G Khi đó KL và LK là các t¾p con đóng cua G.

Chúng minh Ta se chúng minh rang LK là m®t t¾p con đóng cna G (vói KL ta

làm tương tn) Neu LK G, đieu này là hien nhiên, nên ta chi can xét trưòng

hop

G LK H Lay y P G LK Có nghĩa là L X yK H Do K là t¾p compact nên

yK 1 cũng là t¾p compact Theo m¾nh đe trong chúng minh ý (1) cna m¾nh đe 3.7, ta

có ton tai m®t lân c¾n mo V cna 1 sao cho L X V yK 1 H, hay FK X V y H

Do đó V y là m®t lân c¾n mo cna y đưoc chúa trong G LK.

Chúng minh cho đ%nh lý 3.21 Do G là m®t nhóm compact đ%a phương và hoàn toàn

không liên thông, nên theo đ%nh lý 3.23 ta có moi lân c¾n cna 1 đeu chúa m®t lân c¾n mo