Dạng legendre và ứng dụng

Úng dnng cuadangLegendre 42 3.1 Sơ lưocvegiaitíchb i e n phân...42 3.2 Úng dung cna dang Legendre trong giaitíchbienphân...45... Chương 1KienthÉcchuanb% Trưóctiên,chúngtôi xin trìnhbàycá

Hà N®i - Năm 2018

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

VŨ THỊ NGỌC MAI

DANG LEGENDRE VÀ ÚNG DUNG

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

VŨ TH± NGOCM A I

DANG LEGENDRE VÀ ÚNG DUNG

Chuyênn g à n h : ToánÉngdnng

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC

PGS TS Nguyen Năng Tâm

Mnc lnc

1.1 Gia thietvàkien thúcchuanb% 7

1.2 M®t sovídu 11

1.2.1 MinhHQAI 11

1.2.2 MinhHQAII 14

1.2.3 MinhHQAIII 17

1.3 TínhchatJ-transversality 18

1.4 Tính nua liên tuc dưóiyeucna dangt o à n phương 21

1.5 Dang toàn phương cóchisovàsokhuyeth u u han 23

1.6 Dang toàn phương xác đ%nh dươngvàkhôngkỳd% 25

Ketlu¾n 27 Chương 2.DangLegendre 28 2.1 DangLegendre 28

2.2 Dangtoànphươngtnakhôngkỳd% 32

2.3 C¾pLegendre 37

Ketlu¾n 41 Chương 3 Úng dnng cuadangLegendre 42 3.1 Sơ lưocvegiaitíchb i e n phân 42

3.2 Úng dung cna dang Legendre trong giaitíchbienphân 45

3.2.1 Quy tac nhân tu Lagrange 45

3.2.2 Dang tna Legendre 49

3.2.3 Lý thuyet tiêu điem 52

3.2.4 M®t úng dung cna lýthuyett i ê u điem 56

3.3 Sn ton tai nghi¾m cna bài toán quy hoach toàn phương không loi trong không gianH i l b e r t 58

Lài cam ơn

Lu¾nvănnàyđưochoànthànhtaitrưòngĐaiHQcKhoaHQcTnnhiên,ĐaiHQcQuocgiaHàN®ivóisnhưóngdanvàchibaot¾ntìnhcnaPGS.TS.NguyenNăngTâm.Emxinđưocbàytolòngbietơnsâusacđoivóisnquantâm,đ®ngviênvàsnchibaohưóngdancnathay

Ma đau

Giaitíchbienphânlàm®tlĩnhvnccnatoángiaitíchmàsudungbienphân, mà làsnthayđői nho cna hàmvàphiem hàm, đe tìm cnc đaivàcnc tieu cnaphiemhàm.Cácphiemhàmthưòngđưocbieudienbangtíchphânxácđ%nh cna hàm socùng các đao hàm cnachúng

M®ttrongnhungchươngthúv

%cnagiaitíchbienphânlàlýthuyetchiso.Nócóhaikhíacanh,lýthuyettrongtoàncucvàlýthuyettrongb®ph¾nnho.M®tphanquanTRQNGcnalýthuyettrongb®ph¾nnholàlýthuyetchisocnabienphâncaphai.Lýthuyetvebienphâncaphaicótheđưoctiepc¾ntùnhieuquanđiem

%tronglýthuyettoiưu.Trongbàitoánquyhoachtoànphươngloiho¾ckhôngloi,tínhchatLegendrecnadangtoànphươngtrongtronghàmmuctiêulàkhôngtheboquađeđambaobàitoánluôncónghi¾m

Cácdanchúngbêntrênchilàm®tphanratnhotrongsnliênh¾đadangcnadangLegendrevóilýthuyetgiaitíchbienphânvàminhHQAm®tcáchúngdungcna dangLegendretrongbàitoánquyhoachtoànphương.Tronglu¾nvănnày,dưóisnhưóngdancnaPGS

Chương 1

KienthÉcchuanb%

Trưóctiên,chúngtôi xin trìnhbàycác khái ni¾m cơ so nen tang

nhưtíchtrong,tínhtrncgiao,tínhQ-trncgiao,hàmliêntuc,hàmliêntucyeu,hàmnua liên tuc dưói yeu, dang tuyen tính, dang song tuyen tính, dang toàn phương, tínhchatJ-

transversality, tính nua liên tuc dưói yeu, kháini¾mchisovàsokhuyetcnadangtoànphương,kháini¾mxácđ%nhdươngvàkhôngkỳd%cnadang toànphương

1.1 Gia thietvàkienthÉcchuanb %

làc á c véctơ,đưockýh i¾ubangx , y,z, S othnc,đưocGQIlàsovôhưóng,đưockýhi¾ub

anga,b,c, Tőngcnahaivéctơxvàyđưockýhi¾ubangx +y,vàtíchcnaxvóisovôhưóngbđ ưockýhi¾ubangbxho¾cxb.LópconBcnaAmàđóngkínđoiphépc®ngvàphépnhânvô

hưóngđưocGQIlàlápcontuyentínhcna A.SochieucnaBlàsovéctơđ®cl¾ptuyentínhtron

gBtrongt¾plónnhatgomcácvéctơđ®cl¾ptuyentính.T¾pvéctơx1, ,x n đưocgQIlàsin

hralópcontuyentínhBcnaAgomtatcacácvéctơcódanga1x1+···+a n x n Neucácvéct

M®tlópcontuyentínhBcnaAđưocGQIlàtőngtrnctiepcnacáclópcontuyentínhB1, ,B n neuMQIvéctơxtrong Bbieudienduynhatthànhtőngx=x1+···x n vóix i trongB i (i=1 , ,n)vàneuMQIvéctơtőngnhưnàythu®cB.

Đailưong|x|≡(x,x) 1/2đưocGQIlàchuanhayđ®dàicnaxvàthoamãncách¾thúc

|x| ≥ 0,|ax|=|a||x|,|(x, y)| ≤ |x||y|,|x+y| ≤ |x|+|y|.

Đai lưong|x−y|ký hi¾ukhoang cáchtùxtóiy.

Haivéctơxvày GQI làtrncgiaoneu(x,y)=0.Véctơx GQI làtrncgiaovóilópcon BcnaA neunótrncgiaovóiMQIvéctơytrong B.HailópconBvàC GQIlàtrncgiaoneuMQIvéctơxt

vóiMQIvéctơytrong A.Nób%ch¾nneudãychuancnanó{|x q |}b%ch¾n.

Ký hi¾ua q →a0thưòng đưoc dùng đe bieu th% rang dãy so{a q }h®i tu tói

n.CũngnhaclairangneuL1(x), ,L k (x)làkdangtuyentính,thìlópBgomtatcacácvé ctơxsa ochoL i (x)=0(i=1, ,k)làlópcontuyentínhđóngcnaA.M QIdangtuyentính

%nhtrênA×AđưocGQIlàdangsongtuyentínhneunótuyentínhtheoyvóimoixvàtuyen tínhtheoxvóimoiy.

VóimoidangsongtuyentínhB(x,y)tontaitươngúngduynhatm®tc¾pphépbienđ őituyentínhTvàT ∗,đưocGQIlàliênhapcnanhau,saocho

B (x,y)=(T(x),y)=(x,T ∗ (y)). (1.6)Chúý rang|B (x,y)|≤M|x||y|vóiMthíchhop Ngoài ra, neux q ⇒x0,và

y q →y0,thìB (x q , y q )→B(x0, y0)

Đ

%nhnghĩa1.1.5([5]).DangsongtuyentínhB(x,y)đưocGQilàhoàntoànliêntncneuB(

x q ,y q )→B(x0,y0)khix q →x0vày q →y0,kýhi¾uK(x,y).

NeuK(x, y) =K(y, x)thìK(x, y)là hoàn toàn liên tuc khi và chi khi

K (x) =K(x, x)là liên tuc yeu trênAdna theo đang thúc

Vói dang toàn phương, ta có đang thúc cơ ban

Q (ax+by) =a2Q (x) + 2abQ(x, y) +b2Q (y).

M®t dang toàn phương là m®t hàm liên tuc theoxnhưng trong tőng quát

thay vì theo dang phép bien đői tuyen tính tương úng.

Tùđâyvesau, neu không có gì đ¾c bi¾t,chiso l¾p cna so hang có nghĩa là

tőng đoivói chiso đó Chuan cnaxlà

vóiMQIkhoangconS0cnaS.

Ta chúng minh ba đ%nh lý mà se dùng trong áp dung vào giai tích bien phân

Đ%nh lý 1.2.2([5]).Cho Alà không gian như trong Ví dn 1.2.1 Cho A jk (s, t) (j, k= 1,

, r )là r2hàm bình phương kha tích Lebesgue trên S×S Khi đó dang songtuyen tính

K (x,y)= A jk (s,t)x j (s)y k (t)dsdt (1.7)

S

là dang song tuyen tínhhoàn toànliên tnctrênA.

∫

khi tai hau hetcácđiem cua Sbatđangthúc

≥0trênA.

Tronggiaitíchbienphân,đieuki¾n(1.9)thưòngđưocGQIlàđieuki¾nLegendreyeu.

các điem trongt0cnaS,h¾thúc

VìQ(x)là nua liên tuc dưói yeu, ta cũng có

limQ(x q) Q (x0) =0.

q→∞

Do đó h¾ thúc (1.9) đúng tait0vàchonên đúng tai hau het các điem

trênS.Ngưoc lai, đieu ki¾n (1.9)kéotheoQ(x)≥0trênAvàdo đóQ(x)là nua liên tuc dưóiyeutrênA,như ta sethaytrong Bő đe 1.4.3 dưóiđây.

Ví dn 1.2.5([5]).XétAlà không gian gom toàn b® các cungxtrong không

gian(t, x1, , x p )xác đ%nh boi t¾pphàm giá tr% thnc

x:x j (t) (a≤t≤b,j=1, ,p) liêntuctuy¾tđoivàcóđaohàmx˙ j (t)bìnhphươngkhatíchtrêna≤t≤b.

Các soavàbco đ%nh Tích trong cnaxvàylà

(x,y)=x j (a)y j (a)+ x˙j (t)y˙ j (t)dt. (1.15)

Đ%nh lý 1.2.6([5]).Cho P jk (t) =P kj (t) (j, k= 1, , r)là các hàm kha tíchvà

Q jk (t)là các hàm bình phương kha tích trên a≤t≤b, và đ¾t

H (x)=A jk x j (a)x k (a)+2B jk x j (a)x k (b)+C jk x j (b)x k (b). (1.17)

Khi đó dang toàn phương

K (x)=H(x)+ b (P jk x j x k +2Q jk x j x˙k )dt (1.18)

a

là dangtoànphương liên tnc yeutrênA.

∫

hươngkhatíchcuasvàt,vàC jk (s,t)=C kj (t,s)làcáchàmkhatíchb

%ch¾ncotyeucuasvàt.Khiđódangsongtuyentínhđoixúng

K (x, y)=

a hoàn toàn liên tnc.

Đieuki¾n(1.21)đưocGQIlàđieuki¾nLegendre.

Đ%nh lý 1.2.9([5]).Cho D(x)là dang toàn phương

L (x)=a k x k (a)+b k x k (b)+ [A k (t)x k (t)+B k (t)x˙ k (t)]dt, (1.24)

y k (a)=a k +b k + A k (s)ds,

Đieuki¾n(1.23)đưocGQIlàđieuki¾nlàmmanhcuaLegendre.

Trongphansautasexétphépmor®ngcnaĐ%nhlý1.2.8và1.2.9chotrưòng hop khi các cung phai thoa mãn đieu ki¾n viphân

Dang tuyen tính trênAta mà khao sát códang

∫b

a

trong đóA1(t), , A r (t)là các hàm kha tích vàB1(t), , B r (t)là các hàm bình phương kha tích trêna ≤t≤b.Liên quan tói dang này, ta có

Đ%nhlý 1.2.10([5]).Dang tuyen tính(1.24)có the đưac bieu dien duy nhatdưái

dang L (x) = (y, x), trong đó y là cung trongAxácđ%nhbái

taicáchangso c k sao cho đieuk i ¾ n

B k (t) = t A k (s)ds+c k (k=1, ,r) (1.26)

a đúng hau khap nơi trên a≤t≤b.

Takhông xét dang toàn phương tőng quát nhat có thexâydnng đưocmàchigiói hanvàodang toàn phương thông thưòng đưoc nghiên cúu trong

Dang song tuyen tính tương úng là

J (x,y)=q ka (x)y k (a)+q kb (x)y k (b)+ b (ω

x k y k +ω x˙k y˙k )dt, (1.29)

a

trong đóq ka (x), q kb (x)lan lưot là đao hàm cna2q[x(a), x(b)]đoi vóix k (a), x k (b).

1.2.3 Minh HQA III

trên phan bù cnaS

(c) Đaohàmx˙ k (t)đoivóit k (vàdođóx (t))làbìnhphươngkhatíchtrên

Đ%nh lý 1.2.14([5]).Dang toàn phương

%nhnghĩa1.3.1([5]).DangtoànphươngQ(x)đưocGQIlàkhôngâmtrênlópconBcna

àdươngtrên B.Thu¾tngu“k hông dương”và“âm”đưocđ

%nhnghĩatươngtnbangcáchđőidaubatđangthúc

Đ%nhnghĩa1.3.2([5]).HaivéctơxvàyđưocGQIlàQ-trncgiaoneuQ (x,y)=

giaovóiC.

Đ%nhnghĩa1.3.3([5]).G Q IBlàlópcontuyentínhcnaA.VéctơxđưocGQI

làt¾pcácvéctơQ-transversalcnaB,túclà

B0={x∈ B:Q(x, y) = 0∀y∈ B}.

Tù đ%nh nghĩaQ-transversal ta suy raketquas a u

Bo đe 1.3.4([5]).Cho Clàt¾ptat ca các véctơ x trongAthóa mãnt¾pm phương trình

xác đ%nhbáidang tuyen tính L α (x) Neu y là Q-transversal cuaCthì ton taim®t

t¾pcác b®ih1, , h m sao cho tacó

vái MQI xtrongA.NeuL1(x), ,L m (x)làđ®cl¾ptuyentínhtrênA,cácb®ilàduynhat.

Bođe1.3.5([5]).Cho BlàlápcontuyentínhcuaAcósochieuhuuhanvà GQI ClàphanbùQ -trncgiaocuanó.G QI A0,B0,C0tươngúnglàcáct¾pQ-transversalcuaA,B,C.Khiđó: (a) Véctơzthu®cC0khi và chs khi nó là tőng z =x+y gomvéctơxthu®c

A0và y thu®cB0.

(b) Neud a n g t u y e n t í n h L (x)tri¾ttiêu trênB0thìt o n t a i d u y n h a t véctơy trongBtrnc giao váiB0sao cho L (x) =Q(y,x)trênB.

(c) Vái MQI véctơxtrongAQ-trnc giao váiB0,ton tai tương úng duy

(d) G QI B ∗ là lápcontuyen tính cuaAsao cho MQI véctơchung cuaB0vàB ∗ là

Ví dn 1.3.6([5]).Quaytro lai Ví du 1.2.1vóiJ(x)xácđ%nhboi( 1 1 4 ) :

TheoĐ%nhlý1.2.11tathayrangcungxlàJ-trncgiaovóilóp Bgomcáccung màb%tri¾t

tiêu tait =avàt=bkhivàchikhi ton tai hang soc k saocho

1.4 TínhnEaliêntncdưáiyeucuadangtoànphương

M®tphanquanTRQNGc n a c á c ketquatìmđưoctrongCh ươ ng 3 dnavàođ

%nhlýsau:

Đ%nh lý 1.4.1([5]).Cho dangtoànphương Q(x)trênA, lápAbieu

dienđưacm®tcáchduy nhat thành tőng trnc tiep cuabalápcontuyen tínhA − ,A0,A+cócáctính chatsau:

(b) Q (x)âmtrênA − ,bangkhôngtrênA0,và dươngtrênA+.

LópA0là lópQ-transversal cnaA.Ket qua trên có the đưoc phát bieu lai như

(a) P (x) = 0trênphan bù trnc giao cua láp N-transversal cuaA,

(b) N (x) = 0trênphan bù trnc giao cua láp P -transversal cuaA,

Dangtoànphươngmàtaquantâmlàdangtoànphươngnualiêntucdưói

yeu.KethopcácketquatrongphansauđâyvóiĐ%nhlý1.2.3,1.2.8và1.2.14, ta sethayrangtrong các ví dubêntrên, dang toàn phương là nua liên tucdưóiyeukhivàchikhi nó thoa mãn đieu ki¾n Legendre dangyeuhơn

Đau tiên ta cóketq u a :

Bo đe 1.4.3([5]).Neu Q(x)không âmtrênlápcontuyen tính đóngBc u a A

thì Q (x)là nua liên tnc dưái yeu trênB.

Bo đe 1.4.4([5]).Neu Q(x)không dương và nua liên tnc dưái

Ket hop ket qua này vói Đ%nh lý 1.4.1 ta thu đưoc:

Đ%nh lý 1.4.5([5]).Dangtoànphương Q(x)là nua liên tnc dưái yeutrênAkhi và

chs khi nó liên tnc yeutrênlápA − Nói riêng, neuA − cóso chieu

gom m®t dang P (x)không âm và dangK(x)liên tnc yeu Th¾tra,tacótheđői

thànhK (x)không âm và tri¾t tiêutrênláp trnc giao váicácP-transversalcuaA.

H¾ qua 1.4.7([5]).Neu Q(x)là nua liên tnc dưái yeutrênAvà Q ∗ (x)≥Q (x)

trênA, khi đó Q ∗ (x)là nua liên tnc dưái yeu trênA.

Đ%nhlý 1.4.8([5]).Neu Q(x)không âmtrênphan bù trnc giao (Q-trnc giao)cua

lápcontuyen tínhCcuaAcóso chieu huu han, khi đó Q (x)là nua liêntnc dưái

yeutrênA

1.5 Dang toànphươngcóchisovàsokhuyethEuhanĐ

%nhnghĩa1.5.1([5]).Chom®tdangtoànphươngQ(x),sochieuicnalópA − đưocmiêu

tatrongĐ

%nhlý1.4.1đưocGQIlàchssocnaQ (x)trênA.Sochieun cnaA0đưocmiêutatrongĐ

%nhlý1.4.1đưocGQIlàsokhuyetcnaQ(x)trênA.

Trongmuc nàyta quan tâm tói trưòng hop khiilà huu hanvàtrưòng hop khii +nlà huu han.Trongcác trưòng hopnàyQ(x)là nua liên tuc

dưóiyeutrênA.H¾qualàtrongcácvídutrongMuc1.2,đieuki¾nLegendređưocthoa mãn trong

dangyeuhơn mien là dang toàn phương cóchiso huuhan

Đ%nh nghĩa ve chi so là xác đ%nh đúng (well-defined) theo bő đe sau:

Bođe1.5.3([5]).Cho BlàlápcontuyentínhcuaAvà GQI B0

làlápcácQ-transversalcuanó.Giasutontaim®tlápcontuyentínhcncđaiCcuaBcósochieuhuuhan màQ (x)âmtrênđó.KhiđóQ(x)≥0trênlápDgomcácvéctơx∈BmàQ-

trncgiaováiC,batđangthúcchsđúngtrongtrưànghapxthu®cB0.NeuC ∗ làlápcontuyent

khiđósochieucuaC ∗ bangsochieucuaC.

Đ%nh lý 1.5.4([5]).Chs so i cua Q(x)trênAneu huu han thì bang m®t trongcác

đai lưang sau:

(b) so chieu cua lápcontuyen tính cnc đaiCcuaAmàtrênđó

Q (x)≤0vàkhôngchúaQ-transversalkháckhôngcuaA;

lápcontuyen tínhCcuaAcóso chieuk;

tínhDcuaAcóso chieuk;

(e) son g u y ê n bén h a t k s a o c h o t o n t a i k d a n g t u y e n t í n h L1(x), ,L k (x)

sao cho Q (x)≥0mien là L α (x) = 0 (α= 1, , k).

H¾ qua 1.5.5([5]).Neu Q(x)không âmtrênphan bù trnc giao(ho¾cQ-trncgiao)

Ta cũng có ket qua manh hơn như sau

Đ%nh lý1 5 6 ([5]).Tőngm=i+n cua chs so i và so khuyet n cua Q(x)

trênAneu huu han thìđưacxác đ%nhbáim®ttrongcácđai lưangs a u :

lápcontuyen tínhBcuaAcóso chieuk;

(c) son g u y ê n k bén h a t s a o c h o t o n t a i k d a n g t u y e n t í n h L1(x), ,L k (x)

sao cho Q (x)>0mien là xƒ= 0và L α (x) = 0 (α= 1, , k).

Chúng minh.Ket quanàyđưoc thiet l¾p nhò Đ%nh lý 1.5.4.Tőngtrnc

lý1.5.6

H¾ qua 1.5.7([5]).Neu Q(x)dươngtrênphan bù trnc giao cua

lápcontuyentínhCcuaAcóso chieu huu han, tőng cua chs so và so khuyet cua

Q (x)trênAkhông lán hơnk.

Ket qua sau đưoc suy ra trnc tiep

Đ%nh lý 1.5.8([5]).Neu A ∗ là lápcontuyen tính cuaA, và i, i ∗ làcácchs sovà n,

n ∗ làcácso khuyet tương úng cua Q (x)trênA,A ∗ ,khiđ ó

Đ%nhnghĩa1.6.1([5]).DangtoànphươngQ(x)đưocGQIlàkhôngkỳd

ctơytrong Bsaochoh¾thúc

bangD(x)vàdang song tuyen tính tương úng ký hi¾u bangD(x,y).

Tiêu chuan cna tính xác đ%nh dương đưoc đưa ra như sau:

Đ%nh lý 1.6.2([5]).Neu m®t dang toàn phương dương D(x)có m®t trong

cáctính chat sau trênAthì nó có tat ca các tính chat này:

(b) x q ⇒ 0neuD(x q )→0.

(c) x q ⇒x0neu x q →x0vàD (x q )→D(x0).

(d) Neu{D (x q )}b%ch¾n thì{x q }h®i tn yeutheodãycon(insubsequence).

(e) Neu{D (x q , y )}b%ch¾n vái mői ytrongA, thì{x q }h®i tn yeutheodãycon.

Ket lu¾n chương 1

1 Trongchương1,lu¾nvănđãh¾thonglaicáckháini¾mvegiaitíchhàm,

giaitíchloinhư:tíchtrong,chuan,tínhtrncgiao,snh®imanh,h®ituyeutrong, liêntuc yeu, nua liên tuc dưóiyeutrong không gian tuyen tính;cácdangtoànphươngcóchisovàsokhuyethuuhan.Dangtoànphương xácđ

%nhdươngvàkhông kỳd %

2 Chương1trìnhbàytőngquanm®tsocôngcuđegiaiquyetbàitoánsaunàynhưtínhchat J-transversality,tính nua liên tuc dưóiyeucna dangtoànphương,

Đ%nhnghĩa2.1.1([5]).DangtoànphươngJ (x)đưocGQIlàdangLegendreneu

(a) nó nua liên tuc dưóiyeutrênA

Vì(x−x k ,x )→0khik→ ∞nên neuT(x k )→T(x)khik→∞ thì

|x k −x|2→ 0 V¾yT(x)là dang Legendre.

2 1

Ví dn 2.1.3.Ký hi¾uA2là không gian Hilbert gom tat ca cácdãyso thnc kha

tőng Đ%nh nghĩaT :A2→A2boiTx= (0,x2, x2, ,x n , .), trongđ ó

x =(x1,x2, x3, ,x n , )∈A2.Khi đó(x,Tx)=1= (|x|2−x2).Theo[2,

M¾nh đe 3.79],(x, Tx)là m®t dang Legendre.

DangLegendrethưòngđưockýhi¾uboiJ (x)vàdangsongtuyentínhtươngúngđưo ckýhi¾uboiJ (x,y).Tasethayrangtrongúngdungvàogiaitíchbien

phân,dangLegendrelàcácdangthoamãnđieuki¾nlàmmanhcnaLegendre

Theo ý (c) cna Đ%nh lý 1.6.2 ta có

Đ%nh lý 2.1.4([5]).Dang Legendre dương là xác đ%nh dương.

Đ%nh lý 2.1.5([5]).Không gian con tuyen tính BcuaAmà trên đó có dangLegendre

J (x)không dương có so chieu huu han.

tínhchat(b) cnaJ (x),x q ⇒x0.Tù đó suy ra rang sn h®i tuyeuvàh®itumanhtrênBlàtươngđương.ĐieunàychicóthexayraneuBcósochieuhuu han,

đieu phai chúngm i n h

Dna theo ket qua này, các lópA0,A − liên h¾ vói dang LegendreJ (x)như

miêu ta trong Đ%nh lý 1.4.1 có so chieu huu han Do v¾y ta có

Đ%nh lý 2.1.6([5]).Dang Legendre có chs so và so khuyet huu han.

Ket hop Đ%nh lý 2.1.6 và 2.1.4 ta thu đưoc

Đ%nh lý 2.1.7([5]).DangtoànphươngJ(x)là dangLegendretrênAkhi vàchs khi ton

tai m®t t¾pcontuyen tínhBcuaAcóso chieu huu han sao choJ (x)là xác đ%nh

chieuhuuh a n , k h i đ ó J (x)làm®tdangLegendretrênA.

Đ%nh lý 2.1.8([5]).TőngJ(x)+K(x)cua dangLegendreJ(x)và dangtoànphương

liên tnc yeuK (x)c ũ n g l à m ® t d a n g Legendre.

Su dung ket qua này ta có the chúng minh:

Đ%nh lý 2.1.9([5]).DangtoànphươngJ(x)là dangLegendretrênAkhi vàchs khi

nócótheđưacbieu dien thànhh i ¾ u

có the đưac giái han là không âm trênA.

là liên tuc yeu trênAvà do đó dang

K (x) =D(x)−J(x) = 2N(x) + (x α , x )(x α , x)

cũng liên tuc yeu VìD(x)sai khácJ(x)bang m®t dang liên tuc yeu,D(x)là

m®tdangLegendretrênA.VìD (x)dương,theoĐ%nhlý2.1.4nólàxácđ%nh dươngvàđ%nh

lý đưocchúngm i n h

H¾qua2.1.10([5]).NeuJ (x)làm®tdangLegendrethìtontaim®tdangliêntncyeukhôn

gâmK (x)saochoJ(x)>0vái MQI x ƒ =0thu®cAcóK(x)=0.

H¾ qua 2.1.11([5]).Neu J(x)là m®t dang Legendre trênAvà J ∗ (x)làm®t

Đ%nh lý 2.1.12([5]).Neu dangtoànphương Q(x)cótính chat neu

x q →x0vàQ (x q )→Q(x0)kéotheox q ⇒x0thì Q (x)ho¾c−Q(x)là dangLegendretrênA.

[A−Q(y0)]a2+2a[B−Q(y0,z0)]+C−Q(z0) =0 (2.3)

có hai nghi¾m thnc phân bi¾ta1vàa2.Khi đó ta có

Theo gia thiet,x qα →x 0α Vìa1ƒ =a2,đieunàychi xayra khiy q ⇒y0vàz q ⇒z0.Nhưng

đieunày kéotheoA=Q(y0), C=Q(z0),mâuthuan vói(2.2) Đ%nh lý

đưocchúngm i n h

Ví dn 2.1.13([5]).Quaytro lai Ví du 1.2.5, theo Đ%nh lý 1.2.6và(1.18)

tathayrangtíchphânJ(x)xác đ%nhboi(1.20) là m®t dang toàn phương