tỷ số h v đối với các môi trường đàn hồi có biến dạng trước và ứng dụng

21 3 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, chịu biến dạng trước, chịu ràng buộc trong tổng quát 25 3.1 Các phương trình cơ bản... Gần đây, các công thức chínhxác, đúng cho biến dạng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS PHẠM CHÍ VĨNH

Hà Nội - Năm 2012

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, cho phép em được gửi lời cảm ơnchân thành tới thầy Phạm Chí Vĩnh, người đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ emtrong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo

đã dạy dỗ em trong suốt những năm học vừa qua, đặc biệt là các thầy cô trong

bộ môn Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè và các anh chị trong "nhóm xêmina" đã luôn bên em, cổ vũ, động viên,giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Mục lục

Lời mở đầu 4

1 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước, nén được 7 1.1 Các phương trình cơ bản 7

1.2 Sóng Rayleigh 9

1.3 Công thức H/V 13

2 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, chịu biến dạng trước, không nén được 19 2.1 Các phương trình cơ bản 19

2.2 Sóng Rayleigh 21

2.3 Công thức H/V 21

3 Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, chịu biến dạng trước, chịu ràng buộc trong tổng quát 25 3.1 Các phương trình cơ bản 25

3.2 Sóng Rayleigh 28

3.3 Công thức H/V 31

4 Xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V 36 4.1 Sự phụ thuộc của tỷ số H/V vào biến dạng trước 36

4.1.1 Môi trường nén được 36

4.1.2 Môi trường không nén được 41

4.1.3 Môi trường chịu ràng buộc trong tổng quát 44

4.2 Tìm ứng suất trước khi đo được tỷ số H/V 48

4.2.1 Môi trường nén được 484.2.2 Môi trường không nén được 504.2.3 Môi trường chịu ràng buộc trong tổng quát 51

LỜI MỞ ĐẦU

Ngày nay vật liệu có ứng suất trước (vật liệu dự ứng lực) đã và đang được

sử dụng rộng rãi trong thực tế, nên việc xác định ứng suất trước trong các kếtcấu công trình trước và trong quá trình sử dụng là hết sức cần thiết và quantrọng, và vận tốc sóng Rayleigh là một công cụ thuận tiện để thực hiện nhiệm

vụ này (xem [2], [4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) Trong các nghiên cứu (xem [2],[4], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) để đánh giá ứng suất trước bằng vận tốc sóngRayleigh các tác giả đã thiết lập các công thức xấp xỉ cho vận tốc sóng Rayleigh.Chúng phụ thuộc tuyến tính (xem [2], [7], [8], [10], [11], [32], [33]) hoặc là các

đa thức bậc hai [4] đối với biến dạng trước (hay ứng suất trước) nên rất thuậntiện khi sử dụng Mặc dù vậy, vì chúng thu được bằng phương pháp nhiễu nêncác công thức này chỉ đúng khi biến dạng trước là nhỏ Khi biến dạng trước

là không nhỏ, chúng hoàn toàn mất tác dụng Gần đây, các công thức chínhxác, đúng cho biến dạng trước bất kỳ đã được tìm ra bởi Vinh [19] cho các môitrường đàn hồi chịu ứng suất trước nén được, Vinh [18] cho các môi trường đànhồi chịu ứng suất trước không nén được, Vinh & Giang [29] cho các môi trườngđàn hồi có ứng suất trước chịu một ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát

Chú ý rằng, sự tồn tại của sóng mặt Rayleigh trong môi trường đàn hồiđẳng hướng được Rayleigh [30] chứng minh từ hơn 100 năm trước, năm 1885, và

từ đó đến nay có một số lượng rất lớn các nghiên cứu về sóng mặt Rayleigh trongcác môi trường đàn hồi khác nhau, do những ứng dụng to lớn của nó trong nhiềulĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ Công cụ tìm kiếm google scholarcho khoảng một triệu đường link với từ khóa "Rayleigh waves", xem [34] Mặc

dù vậy, các công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh chỉ mới được tìm ragần đây, bởi Nkemzi [15], Malischewsky [12], Vinh &Ogden [26] cho môi trườngđàn hồi đẳng hướng nén được, bởi Vinh & Ogden [27, 28] cho môi trường đànhồi trực hướng nén được, bởi Ogden & Vinh [17] cho môi trường đàn hồi trựchướng không nén được, bởi Vinh [19, 18] cho môi trường đàn hồi có biến dạngtrước nén được và không nén được, bởi Vinh & Giang [29] cho môi trường đànhồi có biến dạng trước chụi một ràng buộc trong đẳng hướng tổng quát, Vinh

& Linh [25] cho môi trường đàn hồi chụi ảnh hưởng của trọng trường Nhờ các

công thức này, bằng phương pháp bình phương tối thiểu, một số công thức xấp

xỉ với độ chính xác rất cao của vận tốc sóng Rayleigh, xem [20]-[24], đã đượctìm ra Chúng có dạng đơn giản nên rất tiện lợi khi sử dụng

Trong một bài báo gần đây [9], Junge và các cộng sự chỉ ra rằng, so vớivận tốc sóng Rayleigh tỷ số H/V (tỷ số giữa các giá trị cực đại của môđunchuyển dịch ngang và môđun chuyển dịch thẳng đứng tại biên của bán khônggian của sóng Rayleigh) có hai ưu điểm: (i) nhạy cảm hơn đối với ứng suất trước(ii) không phụ thuộc vào việc đo khoảng cách giữa điểm kích động và điểm nhậntín hiệu, và thời gian chuyển động của sóng Rayleigh trên đoạn đường này Tức

là, để đánh giá ứng suất trước trong các kết cấu công trình, so với vận tốc sóng,

tỷ số H/V là công cụ tốt hơn Cho đến nay, theo hiểu biết của tác giả, chưa

có một công thức chính xác nào được thiết lập cho tỷ số H/V đối với các môitrường đàn hồi có ứng suất trước Do vậy, việc tìm ra công thức này là rất có ýnghĩa, về cả phương diện lý thuyết và ứng dụng thực tế

Mục đích chính của luận văn này là thiết lập các công thức chính xác của

tỷ số H/V đối với các môi trường đàn hồi có ứng suất trước (biến dạng trước),nén được, không nén được và môi trường chịu ràng buộc trong đẳng hướng tổngquát Ứng dụng các công thức thu được, khảo sát một số ví dụ đơn giản về việcxác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V Cần nhấn mạnhrằng tỷ số H/V phụ thuộc vào vận tốc sóng Để thu được công thức chính xáccủa nó, trước hết cần tìm ra các công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh.Trong các kết quả thu được, tác giả đã sử dụng các công thức chính xác của vậntốc sóng Rayleigh tìm ra gần đây bởi Vinh [19] cho môi trường nén được, Vinh[18] cho môi trường không nén được, và Vinh& Giang [29] cho môi trường chịuràng buộc trong đẳng hướng tổng quát

Nội dung của luận văn bao gồm 4 chương :

• Chương 1: Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước,nén được

Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/V đối với môi trườngđàn hồi, có biến dạng trước, nén được Từ công thức thu được, suy ra côngthức (7) trong [14], công thức (12) trong [13] biểu diễn tỷ số H/V đối với

môi trường đàn hồi đẳng hướng, nén được, không có ứng trước.

• Chương 2: Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước,không nén được

Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/V đối với môi trườngđàn hồi, có biến dạng trước, không nén được

• Chương 3: Công thức H/V đối với môi trường đàn hồi, có biến dạng trước,chịu ràng buộc trong tổng quát

Mục đích của chương này là thiết lập công thức H/V đối với môi trườngđàn hồi, có biến dạng trước, trong trường hợp có ràng buộc trong tổngquát Từ công thức thu được ta đưa được về trường hợp công thức H/V

đã được thiết lập ở chương 2

• Chương 4: Xác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V.Mục đích của chương này là sử dụng các công thức thu được khảo sát một

số ví dụ đơn giản về sự phụ thuộc của tỷ số H/V vào biến dạng trước, vàxác định ứng suất trước từ các giá trị đo được của tỷ số H/V

x1 = λ1X1, x2= λ2X2, x3 = λ3X3, λj =const, j = 1, 2, 3, (1.1)trong đó các hằng số λj (λj > 0, j = 1, 2, 3) được gọi là các độ dãn chính Saukhi chịu biến dạng ban đầu (1.1) vật thể chiếm bán không gian x2 ≤ 0 Xétchuyển động phẳng trong mặt phẳng (x1, x2) với các thành phần nhiễu chuyểndịch như sau:

uj = uj(x1, x2, t), j = 1, 2, u3 = 0, (1.2)trong đó t là thời gian Khi đó, bỏ qua lực khối, các phương trình chuyển động

là [16, 6]:

A1111u1,11+ A2121u1,22+ (A1122+ A2112)u2,12 = ρ ¨ u1, (A 1122 + A 2112 )u 1,12 + A 2121 u 2,11 + A 2222 u 2,22 = ρ ¨ u 2 , (1.3)

trong đó ρ là mật độ khối lượng của vật liệu ở trạng thái ban đầu, dấu chấm(trên) chỉ đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy chỉ đạo hàm theo các biến khônggian (xj), các thành phần khác không của tenxơ hạng bốn Aijkl được xác địnhbởi công thức [6, 16]:

, (i 6= j, λ i 6= λ j ) 1

vị thể tích, J = λ1λ2λ3

Khi môi trường không có biến dạng trước, các thành phầnAijkl trở thành:

A iiii = λ + 2µ, A iijj = λ, A ijij = A ijji = µ, (1.7)trong đó λ, µ là các hằng số Lame Nhiễu ứng suất trên mặt x2 = const đượctính bởi công thức trong [6]:

s21= A2121u1,2+ A2112u2,1,

s22 = A2222u2,2+ A1122u1,1. (1.8)Ứng suất Côsi được xác định bởi [6, 31]:

α11u1,11+ γ2u1,22+ (α12+ γ∗) u2,12 = ρ0u ¨1,

γ1u2,11+ α22u2,22+ (α12+ γ∗) u1,12= ρ0u ¨2. (1.11)

Từ điều kiện cần và đủ để hệ (1.11) là eliptic mạnh (strongly elliptic) ta có [6]:

α11 > 0, α22 > 0, γ1 > 0, γ2 > 0. (1.12)

Giả sử sóng mặt Rayleigh truyền theo hướng x 1 và tắt dần theo hướng

x2, khi đó ta tìm nghiệm của hệ (1.11) dưới dạng:

u1= A1exp[iksx2+ i(kx1− ωt)],

u 2 = A 2 exp[iksx 2 + i(kx 1 − ωt)], (1.13)trong đó: A1, A2 là các hằng số, ω là tần số sóng, k là số sóng, s là hằng số cầntìm Để trường chuyển dịch của sóng Rayleigh tắt dần theo chiều sâu, tức là:

lim

x 2 →−∞ uj = 0, j = 1, 2 (1.14)thì s phải có phần ảo âm, tức là :

Ims < 0. (1.15)Thay (1.13) vào (1.11) ta được :

α11A1(ik)2+ (α12+ γ∗)(ik)2sA2+ γ2(ik)2s2A1 = A1ρ0(−iω)2,

γ1A2(ik)2+ (α12+ γ∗)(ik)2sA1+ α22(ik)2s2A2 = A2ρ0(−iω)2, (1.16)

α11+ γ2s2− ρ0c2(α 12 + γ∗)s

(α12+ γ∗)s

γ 1 + α 22 s2− ρ 0 c2

Sau khi khai triển định thức cấp hai, phương trình (1.18) trở thành:

⇔ (α11+ γ2s2− ρ0c2)(γ1+ α22s2− ρ0c2) − (α12+ γ∗)2s2 = 0

⇔ ˆ cs4+ 2bs2+ a = 0, (1.19)trong đó:

ˆ

c = α22γ2, 2b = α 22 (α 11 − ρ 0 c2) + γ 2 (γ 1 − ρ 0 c2) − (α 12 + γ∗)2,

Theo (1.15), để thỏa mãn điều kiện tắt dần thì s 1 , s 2 phải có phần ảo âm Từ

đó ta sẽ chứng minh được rằng vận tốc sóng Rayleigh c phải thỏa mãn các bấtđẳng thức sau :

0 < ρ0c2 < min(γ1, α11). (1.22)Thật vậy, đặt X = s2, từ (1.19) suy ra:

ˆ

cX2+ 2bX + a = 0. (1.23)Trường hợp 1: ∆ ≥ 0: Khi đó X1, X2 là các số thực, do vậy X1, X2 phải làcác số âm Vì nếu ngược lại, chẳng hạn X1 ≥ 0 thì s1 = √

X1 là một số thực,

do vậy phần ảo của s1 bằng không, mâu thuẫn với điều kiện Ims1 < 0 Do đó:

s21 = X1 < 0, s22 = X2 < 0, → s21s21 > 0 suy ra theo (1.12) và (1.21), hoặc:







(α11− ρ0c2) > 0 (γ1− ρ0c2) > 0

(1.25)





(α11− ρ0c2) > 0 (γ1− ρ0c2) > 0

s2 = 0, điều này mâu thuẫn với (1.15) Từ (1.20) và (1.28) ta có, hoặc:







(α11− ρ0c2) > 0 (γ 1 − ρ 0 c2) > 0

(1.32)

hay: 0 < ρ0c2< min(γ1, α11).

Như vậy, trong mọi trường hợp ta luôn có:

0 < ρ0c2 < min(γ1, α11).

Từ phương trình (1.19) ta tìm được s1, s2 sao cho Imsj < 0 (j = 1, 2) Với mỗi

sj(j = 1, 2) ta tìm được nghiệm riêng tương ứng, có dạng (1.13) trong đó cáchằng số A 1 , A 2 xác định bởi hệ (1.17) Một tổ hợp tuyến tính của các nghiệmriêng này chính là trường chuyển dịch của sóng Rayleigh, tức là:

u1 = [C1exp(iks1x2) + C2exp(iks2x2)] exp[i(kx1− ωt)],

u2 = [q1C1exp(iks1x2) + q2C2exp(iks2x2)] exp[i(kx1− ωt)], (1.34)trong đó C1, C2 là các hằng số (được xác định từ điều kiện biên), q1, q2 được xácđịnh bởi công thức sau:

q m = −(α11+ γ2s

2

m − ρ0c2) (α12+ γ∗)sm = −

(α12+ γ∗)sm(γ1+ α22s 2

m − ρ0c 2 ), m = 1, 2. (1.35)Giả sử mặt biên x2 = 0 tự do đối với ứng suất tức là s21 = s22 = 0 tại x2 = 0.Khi đó, theo (1.8) và (1.10) ta có:

γ2u1,2+ γ∗u2,1= 0 (1.36)

u1(x2= 0)

u2(x2= 0) =

γ∗(q1− q2) + γ2(s1− s2)

γ2(q2s1− q1s2) . (1.41)Theo (1.35) ta có:

q1− q2 = (α11− ρ0c2− γ2s1s2)(s1− s2)

(α12+ γ∗)s1s2 (1.42)Mặt khác, cũng từ (1.35):

q2s1− q1s2 = −α11− ρ0c2+ γ2s22

(α12+ γ∗)s2 s1+

α11− ρ0c2+ γ2s21(α12+ γ∗)s1 s2 =

α11− ρ0c2(s22− s 2

1 ) (α12+ γ∗)s1s2

χ(12) =

u1(x3= 0)

u3(x3= 0)

=

Trường hợp 1: Nếu α 13 + ¯ ¯∗ 6= 0 thì x(13)r được xác định bởi công thức:

x(13)r = 1 − t

(13) r 2

θ − t(13)r 2

trong đó t(13)r được xác định bởi công thức sau:

t(13)r = −1

3a2+

3p

R + √

D + q

2

3p

R + √ D

1 − a ; a1 =

aθ − 1

1 − a ; a2=

√ b(θ − d)

1 − a ; q

2 = a

2

2 − 3a19

α33¯2 (1.64)Công thức (1.59) trong đó P, S và ρ0c2 xác định bởi (1.60) và (1.61)hoặc (1.64)biểu diễn chính xác và hoàn toàn tường minh, tỷ số H/Vnhư là hàm của các tham số vật liệu và biến dạng trước (ứng suấttrước)

Xét trong trường hợp môi trường đàn hồi đẳng hướng không có biến dạngtrước, khi đó: λ1 = λ2 = λ3 = 1, J = λ1λ2λ3 = 1 Từ (1.4)-(1.7)ta có:

α12 = A1122= λ; α11= α22 = λ + 2µ,

γ1 = A1212 = µ; γ2 = A2121 = µ; γ∗ = A2112 = µ, (1.65)

Sử dụng (1.65) vào (1.48) và tính đến phương trình tán sắc của sóng Rayleighđối với môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, không có ứng suất trước, tasuy ra được các công thức (7) trong [14], công thức (12) trong [13] biểu diễn tỷ

số H/V cho môi trường đàn hồi đẳng hướng nén được, không có ứng suất trước.Thật vậy, ta có:

ρc2

λ + 2µ (1.67)

B1111u1,11+ (B1122+ B2112)u2,21+ B2121u1,22− p∗,1= ρ¨ u1, (B 1221 + B 2211 )u 1,12 + B 1212 u 2,11 + B 2222 u 2,22 − p∗,2 = ρ¨ u 2 , (2.1)trong đó p∗ là nhiễu của áp lực thủy tĩnh ban đầu, ρ là mật độ khối lượng củavật liệu, dấu chấm (trên) chỉ đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy chỉ đạo hàmtheo các biến không gian (xj), Bijkl là các thành phần của tenxơ hạng bốn đượcxác định bởi các công thức sau [5, 16]:

Biijj = λiλj ∂

2 W

λ2i − λ 2 j

, (i 6= j, λi 6= λj) 1

B iiii = B ijij = µ (i 6= j), B iijj = B ijji = 0 (i 6= j). (2.5)Giả sử biên của bán không gian tự do đối với ứng suất, khi đó ta có [5]:

B2121u1,2+ (B2121− σ2)u2,1 = 0 khi x2 = 0 , (B1122− B2222− p)u1,1− p∗= 0 khi x2= 0 (2.6)trong đó p là áp lực thủy tĩnh ở trạng thái ban đầu, σj(j = 1, 2, 3) là ứng suấtCôsi được xác định bởi:

αψ,1111+ 2βψ,1122+ γψ,2222 = ρ( ¨ ψ,11+ ¨ ψ,22) (2.10)trong đó :

α = B1212, γ = B2121, 2β = B1111+ B2222− 2B1122− 2B1221 (2.11)

Từ điều kiện eliptic mạnh của hệ (2.1) suy ra [5]:

α > 0, γ > 0, β > − √

2.2 Sóng Rayleigh

Đạo hàm hai vế(2.6) theox1 và sử dụng (2.1), (2.7) và (2.9) thế vào (2.6)dẫn đến:

γ(ψ,22− ψ,11) + σ2ψ,11 = 0 khi x2 = 0, (2β + γ − σ 2 )ψ ,112 + γψ ,222 − ρ ¨ ψ ,2 = 0 khi x 2 = 0. (2.13)Xét sự truyền sóng theo hướng x1 và tắt dần theo hướng x2 Để chuyển dịch u1

và u2 tắt dần ở vô cùng thì hàm ψ phải dần tới không khi x2 → −∞ Do vậyhàm ψ được tìm dưới dạng:

ψ = (Aeks1 x 2 + Beks2 x 2 ) exp(kx 1 − ωt) (2.14)trong đó A, B là hằng số, ω là tần số sóng, k là số sóng, c là vận tốc sóng, và

s1, s2 là nghiệm của phương trình :

γs4− (2β − ρc2)s2+ α − ρc2= 0 (2.15)

Từ (2.15) ta có:

s21+ s22 = (2β − ρc2)/γ, s21s22 = (α − ρc2)/γ. (2.16)

Để hàm ψ tắt dần khi x2 → −∞, s1, s2 phải có phần thực dương Các nghiệm

s21, s22 của phương trình (2.15) hoặc đều là số thực (và do vậy đều dương do s1,

s2 phải có phần thực dương) hoặc chúng là số phức liên hợp của nhau Trong cảhai trường hợp ta đều có: s21s22> 0 Từ (2.16) và γ > 0 suy ra:

0 < ρc2 < α, (2.17)hay

u2 = −ψ,1 = −k Aeks1 x 2 + Beks2 x 2 e(kx1 −ωt) , (2.20)trong đó A, B là các hằng số được xác định từ điều kiện biên (2.11) Từ (2.17)

và (2.18) ta có:

χ(12)=

u1(x2 = 0)

u2(x2 = 0)

... định (1.46) (1.49)hoặc (1.52) biểu diễn xác h? ??n toàn tường minh, tỷ số H< small>/Vnhư h? ?m tham số v? ??t liệu biến dạng trước (ứng suấttrước)

Bằng phương pháp làm tương tự trường h? ??p... H< small>/V sóng Rayleigh thực truyền sóng theo h? ?ớng xk

v? ? tắt dần theo h? ?ớng xm Thay (1.47) v? ?o (1.45) ta thu tỷ số H< small>/V đượcbiểu... liệu biến dạng trước (ứng suấttrước)

Bằng phương pháp làm tương tự ta tìm tỷ số H< small>/Vtrong trường h? ??p truyền sóng theo h? ?ớng x1 tắt dần theo h? ?ớng