Gửi bạn Huyền Trang Cho đường tròn O; R, đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H.. a Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau.[r]
Trang 1Gửi bạn Huyền Trang
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H
(H không trùng với O) Biết AH = a; CD = 2b
a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau
b) Tính R theo a và b
c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài giải
Trang 2Vì CO=OA=OB ; Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:
Góc ACB = 90o
Chứng minh tương tự => góc ADB = 90o
a) Vì tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp => góc DCB = góc BAD
Mà CD vuông góc với AB tại H => góc CHB = góc AHD = 90o và H là trung điểm của dây CD
Tam giác HAD và tam giác HCB đồng dạng với nhau (g.g) (dpcm)
b) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ACB, BHC và ACH
=> CA2 = CH2 + HA2 = b2 + a2
CB2 = CH2 +HB2 = b2 + (2R-a)2
AB2 = 4R2 = 2b2 + a2 + 4R2 -4R.a + a2 = 2b2 + 2a2 + 4R2 – 4R.a
4R.a = 2a2 + 2b2
R = 2 a2+2 b2
4 a
c) Vì MN và PQ là 2 dây cung trong đường tròn (O)
=> MN, PQ ≤ 2R
=> Max ( MN + PQ ) = 4R
Dấu “=” xảy ra khi MN,PQ đi qua điểm O
Kẻ OK, OI vuông góc với các dây PQ, MN
MN = 2 √R2−OK2 ; QP = 2 √R2−OI2
MN + PQ = 2 ( √R2
−OK2 + √R2
−OI2 ) ≥ 4 căn( √R2
−OK2
√R2−OI2 ) = 4 căn( R4– R2.(OK22+OI2)+OI¿
√ ¿
) ≥ 4 căn( R42
– R¿
√ ¿
) ≥ 4 căn( √R4– R4 ) = 0
Vậy min ( MN+PQ) = 0 Dấu bằng xảy ra khi H≡B hoặc H≡C