Giải bài tập SGK Toán lớp 7

Hãy cho biết ba đường cao của tam giác đó có cùng đi qua một điểm hay không.. Lời giải - Bài tập 1: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó

Giải bài tập SGK Toán lớp 7: Ôn tập chương I: Số hữu tỉ Số thực - Giải toán 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 1 Nêu ba

cách viết của số hữu tỉ

5

3

− và biểu diễn số hữu tỉ đó trên trục số

Lời giải

- Ba cách viết số hữu tỉ

5

3

− là:

20

12

; 15

9

; 10

6

−

−

−

- Biểu diễn số hữu tỉ

5

3

− trên trục số:

Chia đoạn thẳng đơn vị (đoạn từ điểm 0 đến điểm –1) thành năm phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng 1/5 đơn vị cũ

⇒ Số hữu tỉ

5

3

− được biểu diễn bởi điểm M nằm bên trái điểm 0 và cách điểm

0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 2 Thế nào

là số hữu tỉ dương? Số hữu tỉ âm?

Số hữu tỉ nào không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm?

Lời giải

- Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương

Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm

- Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 3 Giá trị

tuyệt đối của số hữu tỉ x được xác định như thế nào?

Lời giải

Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu |x|, là khoảng cách từ điểm x tới điểm

0 trên trục số.

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 4 Định

nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Lời giải

Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là một

số tự nhiên lớn hơn 1)

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 5 Viết công

thức :

- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

- Chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0

- Lũy thừa của một lũy thừa

- Lũy thừa của một tích

- Lũy thừa của một thương

Lời giải

- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: xm xn = x(m+n)

- Chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0: xm : xn = x(m-n) (x ≠ 0; m ≥ n)

- Lũy thừa của một lũy thừa: (xm)n = x(m.n)

- Lũy thừa của một tích: (x.y)n = xn yn

- Lũy thừa của một thương:   = y (y≠0)

x y

x

n

n n

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 6 Thế nào

là tỉ số của hai số hữu tỉ? Cho ví dụ

Lời giải

Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y ≠ 0) gọi là tỉ số của hai số

x và y, kí hiệu là y x hay x : y

Ví dụ:

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 7 Tỉ lệ thức

là gì? Phát biểu tính chất cơ bản của tỉ lệ thức Viết công thức thể hiện tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải

- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số:

- Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức:

Nếu thì ad = bc

- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 8 Thế nào

là số vô tỉ? Cho ví dụ

Lời giải

Số vô tỉ là số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Ví dụ: x = 1,4142135623730950……

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 9 Thế nào

là số thực? Trục số thực?

Lời giải

- Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực

- Các điểm biểu diễn số thực đã lấp đầy trục số

⇒ Trục số còn được gọi là trục số thực:

Câu hỏi ôn tập chương 1 Đại Số (trang 46 SGK Toán 7 tập 1): 10 Định

nghĩa căn bậc hai của một số không âm

Lời giải

Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a

Bài 96 (trang 48 SGK Toán 7 Tập 1): Thực hiện phép tính (bằng cách hợp lí

nếu có thể)

Bài 97 (trang 49 SGK Toán 7 Tập 1): Tính nhanh

a) (-6,37 0,4) 2,5

b) (-0,125 ) (-5,3 ) 8

c) (-2,5 ) (-4) (-7,9)

Lời giải:

Lời giải:

a) (-6,37 0,4) 2,5 = -6,37 (0,4 25)

= -6,37 1 = -6,37

b) (-0,125 ) (-5,3 ) 8 = (-5,3) (-0,125 8)

= -1 (-5,3) = 5,3

c) (-2,5 ) (-4) (-7,9) = [(-2,5) (-4) ] (-7,9)

= 10 (-7,9) = -79

Bài 98 (trang 49 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm y biết:

Lời giải:

Bài 99 (trang 49 SGK Toán 7 Tập 1): Tính giá trị biểu thức

Lời giải:

Bài 101 (trang 49 SGK Toán 7 Tập 1): Tìm x biết:

a) |x| = 2,5

b) |x| = -1,2

c) |x| + 0,573 = 2

Lời giải:

a) |x| = 2,5 => x = ±2,5

b) |x| = -1,2

Vì |x| ≥ 0 nên không tồn tại giá trị nào của x để |x| = -1,2 c) |x| + 0,573 = 2

⇔ |x| = 2 - 0,573

⇔ |x| = 1,427

⇔ x = ±1,427

Bài 102 (trang 50 SGK Toán 7 Tập 1): Từ tỉ lệ thức

(a, b, c, d ≠ 0, a ≠ ±b; c ≠ ±d) hãy suy ra các tỉ lệ thức sau

Lời giải:

Bài 103 (trang 50 SGK Toán 7 Tập 1): Theo hợp đồng hai tổ sản xuất chia

lãi với nhau theo tỉ lệ 3 : 5 Hỏi mỗi tổ được chia bao nhiêu nếu tổng số lãi là

1280000 đồng?

Lời giải:

Gọi số tiền lãi mỗi tổ được chia là x, y

Theo đề bài ta có:

Do đó:

x = 1600000.3 = 4800000 (đ)

y = 1600000.5 = 8000000 (đ)

Bài 104 (trang 50 SGK Toán 7 Tập 1): Một cửa hàng có ba tấm vải dài tổng

cộng 108m Sau khi bán đi

thì số mét vải còn lại ở ba tấm bằng nhau Tính chiều dài mỗi tấm vải lúc đầu?

Lời giải:

Gọi chiều dài của mỗi tấm vải lần lượt là x (m), y (m), z (m)

Theo đề bài ta có:

Vậy:

Tấm vải 1 dài 24 mét

Tấm vải 2 dài 36 mét

Tấm vải 3 dài 48 mét

Bài 105 (trang 50 SGK Toán 7 Tập 1): Tính giá trị của các biểu thức sau:

Lời giải:

Giải toán 7 Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác

tam giác ABC

Hãy cho biết ba đường cao của tam giác đó có cùng đi qua một điểm hay không

Lời giải

Ta vẽ đường ba đường cao của tam giác ABC như hình vẽ

Ba đường cao đó là : AH, BI, CK

Dựa vào hình vẽ ta thấy ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm

các trường hợp còn lại của nhận xét trên (xem như những bài tập)

Lời giải

- Bài tập 1: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác

AI là đường trung trực ⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)

⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

- Bài tập 2: Nếu một tam giác có một đường trung trực đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường trung trực vừa là đường cao

⇒ AI ⊥ BC và I là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

IB = IC ( do I là trung điểm BC)

⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

- Bài tập 3: Nếu một tam giác có một đường phân giác đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường phân giác vừa là đường cao

AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

∠(BAI) = ∠(CAI) (do AI là phân giác góc BAC)

⇒ ΔABI = ΔACI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

- Bài tập 4: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác đó là một tam giác cân

Xét ΔABC có AI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

AI là đường cao ⇒ AI ⊥ BC

AI là đường trung tuyến ⇒ I là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông ΔABI và ΔACI có:

AI chung

IB = IC ( do I là trung điểm BC)

⇒ ΔABI = ΔACI (hai cạnh góc vuông)

⇒ AB = AC (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔABC cân tại A

giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác

Lời giải:

+ Xét ΔABC vuông tại A

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

Vậy E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC

+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác

Kiến thức áp dụng

+ Ba đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm Do đó khi xác định trực tâm ta chỉ cần xác định giao của hai đường cao

+ Định lý tổng ba góc trong một tam giác : Trong một tam giác, tổng ba góc

a) Chứng minh NS ⊥ LM

Hình 57

Lời giải:

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL

hay SN ⊥ ML

b)

+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

Bài 60 (trang 83 SGK Toán 7 tập 2): Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K)

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J Trên l lấy điểm M khác với điểm J Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N

Chứng minh KN ⊥ IM

Lời giải:

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⏊ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⏊ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI

IN và MJ cắt nhau tại N

Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⏊ MI

Vậy KN ⏊ IM

Kiến thức áp dụng

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó

là trực tâm của nó

a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó

b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC

Lời giải:

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC

⇒ AD ⏊ BC, BE ⏊ AC, CF ⏊ AB

a) ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB

b) Tương tự :

+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC) + Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB)

Kiến thức áp dụng

Dựa vào định lí : Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm

đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác

đó là tam giác cân Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều

Lời giải:

+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA

BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC

AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A (đpcm)

+ TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE (như hình vẽ minh họa)

Xét hai tam giác vuông EBC và DCB có :

BC (cạnh chung)

CE = BD (giả thiết)

⇒ ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF (như hình vẽ minh họa)

CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như cmt) ⇒ AB = AC

CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như cmt) ⇒ AB = BC:

⇒ AB = AC = BC

⇒ ΔABC đều